Труды по кинетической теории

ТРУДЫ ПО КИНЕТИЧЕСКОЙ 
ТЕОРИИ

Дж. К. Максвелл

Перевод с английского
под редакцией 
В. В. Веденяпина и Ю. Н. Орлова

3-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 531
ББК 22.365+22.3г
М17

Максвелл Дж. К.
М17
Труды по кинетической теории / Дж. К. Максвелл ;
пер. с англ. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 409 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-815-5
В издании представлены семь основополагающих статей классика естествознания Джеймса Клерка Максвелла по кинетической
теории с комментариями и примечаниями. Эти статьи сыграли
огромную роль в науке, технике, образовании и формировании
научного мировоззрения, вывели всю молекулярно-кинетическую
теорию на новый уровень, близкий к современному. В них были
впервые введены уравнение Больцмана и максвелловские молекулы, максвелловское распределение молекул по скоростям, исследованы ансамбли Гиббса и кольца Сатурна.
Для научных работников, аспирантов и студентов. Книга будет
интересна математикам, физикам, химикам, историкам науки.
УДК 531
ББК 22.365+22.3г

Деривативное издание на основе печатного аналога: Труды по кинетической теории / Дж. К. Максвелл ; пер. с англ. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 406 с. : ил.
ISBN 978-5-9963-0120-1

Первый тираж осуществлен при финансовой поддержке
Российского
фонда
фундаментальных
исследований
по
проекту
№ 08-01-07068

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-815-5
c○ Лаборатория знаний, 2015

4

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ
И РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА:
МАКСВЕЛЛ НЕ СТАРЕЕТ!

Дж. К. Максвелл (1831–1879) принадлежит к числу величайших ученых мира. Некоторые его считают самым великим. Тем более удивительно, что его труды по кинетической теории не были переведены
на русский язык. Была издана единственная работа1), начальная
по кинетической теории, где Максвелл только подходит к уравнению Больцмана. В настоящем сборнике мы предлагаем перевод
семи научных трудов Максвелла: его работу по кольцам Сатурна,
получившую премию Адамса; цикл из пяти статей, связанных с описанием газа функцией распределения по скоростям и пространству,
а также перевод работы по теме, которую сейчас мы назвали бы
ансамблем Гиббса, предвосхищавшую исследования Гиббса. Работа
«Об устойчивости движения колец Сатурна» вошла в этот сборник
в связи с тем, что в ней была сделана попытка изучения движения
очень большого числа твердых тел в поле тяготения центра с учетом
их взаимного влияния друг на друга «в среднем», и хотя функция
распределения этих тел не вводилась, Максвелл по существу искал
устойчивые решения гидродинамического следствия кинетического
уравнения типа уравнения Власова в самосогласованном поле.
Труды Максвелла по электромагнетизму в определенном смысле
завершили теорию электромагнитных взаимодействий. Максвелл
ввел ток смещения, выписал правильную систему уравнений и обнаружил решения, соответствующие световым волнам. Кроме того,
он выписал лагранжиан электромагнетизма, что положило начало
полевым теориям. Его «Трактат об электричестве и магнетизме»
переведен на русский язык2), и мы далее не касаемся этой темы.

1)Максвелл Дж. К. Пояснения к динамической теории газов // Основатели
кинетической теории материи / Пер. В. С. Гохмана. Под ред. А. К. Тимирязева. —
М.–Л.: ОНТИ, ГТТЛ, 1937.
2)Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме: В 2-х т. — М.:
Наука, 1989.

От составителя и редактора перевода

Вклад Максвелла в кинетическую теорию общеизвестен, но както менее «популярен» в связи с более высокой цитируемостью его
последователей. Тем не менее, он не только заложил математические основы этой теории и развил методы решения полученных
уравнений, но и применил теорию к объяснению результатов экспериментов, в том числе и собственных, так что этот его вклад,
кажется, гораздо больше, чем вклад в теорию электромагнетизма.
Он предложил конкретную функцию распределения для описания
равновесного состояния газа. Известное ранее гауссово распределение, выведенное для закона распределения ошибок измерений, он
приспособил для объяснения газовых законов — это мы называем
теперь максвелловским распределением по скоростям. И перевел всю
теорию на совершенно новый уровень — выстрадал, вывел и обосновал кинетическое уравнение, которое мы сейчас называем уравнением Больцмана. И предложил схему вывода из него системы уравнений газовой динамики типа Навье—Стокса в единственном точно
решаемом случае, который мы сейчас называем максвелловскими
молекулами. Потом его схема вывода усовершенствовалась— это
называется теперь методом Чэпмена—Энскога, и сейчас эта задача
вновь актуальна в связи с большими скоростями самолетов и ракет
и возникающим отсюда простым вопросом: а как ведет себя вязкость
при больших перепадах (или градиентах) скоростей? Максвелл предложил простейшие кинетические модели взаимодействия газа с поверхностями твердых тел — максвелловские зеркально-диффузные
условия; такие условия многократно обобщались, и теория здесь
продолжает развиваться в связи с потребностями новых технологий. Максвелл начал выводить уравнения для движения крупной
частицы, реагирующей с газом, и его работа используется для
объяснения всего круга таких явлений — движения катализаторов,
горения, фотофореза, электрофореза и многих других. Максвелл
не стареет!
Почему же Максвелл «самый великий ученый» при всей неправильности такого вопроса? Неправильность такого вопроса разъясняет сам Дж. К. Максвелл: «Всякий великий человек является единственным в своем роде. В историческом шествии ученых у каждого
из них своя задача и свое определенное место». В англоязычной
литературе даже говорится больше — Максвелл изменил все. (The
Man who Changed Everything: The Life of James Clerk Maxwell. Basil
Mahon. Wiley, August 2004, 246 pages.) Как же это он «изменил
все»? С электричеством и магнетизмом — это уже история: именно
проверяя и опровергая по заданию Г. Л. Ф. Гельмгольца максвеллов

От составителя и редактора перевода
5

ток смещения, Генрих Герц подтвердил существование электромагнитных волн, что потом через Фердинанда Брауна, Александра
Попова и Гульермо Маркони подарило нам радиосвязь.
Но подарок кинетической теории, может быть, даже и больше.
Молекулярно-кинетическая
гипотеза
окончательно
утвердилась,
а через Людвига Больцмана и Макса Планка был осуществлен переход к атомной и квантовой физике, что уж действительно изменило
все потоком разных — если не всех последующих — изобретений.
Перевод статьи «Об устойчивости движения колец Сатурна»
выполнен С. З. Аджиевым и к. ф.-м. н. С. А. Амосовым под редакцией и с примечаниями д. ф.-м. н. В. В. Веденяпина, М. А. Негматова и д. ф.-м. н. Ю. Н. Орлова, с комментариями академика
А. М. Фридмана , С. З. Аджиева, В. В. Веденяпина и М. А. Негматова. Статья «Пояснения к динамической теории газов» дана в переводе В. С. Гохмана под редакцией и с примечаниями Ю. Н. Орлова
и комментариями В. В. Веденяпина и Ю. Н. Орлова. Статья «О динамической теории газов» переведена к. ф.-м. н. О. Б. Москалевым ,
примечания и комментарии написаны д. ф.-м. н. А. В. Бобылевым,
В. В. Веденяпиным и Ю. Н. Орловым. Статьи «Об экспериментах
Лошмидта по диффузии в связи с кинетической теорией газов»
и «О конечном состоянии системы молекул при действии сил
произвольной природы» переведены и снабжены примечаниями
В. В. Веденяпиным. Статья «О напряжениях в разреженных газах, возникающих вследствие неоднородностей температуры» переведена к. ф.-м. н. Я. Г. Батищевой и Ю. Н. Орловым, снабжена
примечаниями переводчиков и В. В. Веденяпина и прокомментирована Ю. Н. Орловым, В. В. Веденяпиным и В. С. Галкиным. Статья «По поводу теоремы Больцмана о нормальном распределении
энергии в системе материальных точек» переведена и снабжена
примечаниями Н. В. Вдовиченко и прокомментирована В. В. Веденяпиным и д. ф.-м. н. А. М. Вершиком. Статья «Феномен Максвелла»
и «Основные даты жизни Джеймса Клерка Максвелла» подготовлены В. В. Веденяпиным. Указатель имен с краткими биографиями
в работах Максвелла, вошедших в сборник, составлен Н. В. Вдовиченко. Список литературы к примечаниям и комментариям составлен В. В. Веденяпиным и помещен в конце сборника; ссылки на работы даются в виде [1], . . . Примечания и комментарии помещены
после каждой статьи Максвелла; ссылки на примечания даются
в виде [1], ..., а на комментарии — в виде К1, ....

От составителя и редактора перевода

Здесь уместно отметить, что когда работа по подготовке сборника
близилась к завершению, ушли из жизни академик А. М. Фридман и
к. ф.-м. н. О. Б. Москалев.
Наш коллектив понимает, что примечания и комментарии получились с неизбежностью односторонними, так как отражают образование и специализацию переводчиков и комментаторов, а это
по преимуществу математики.
Книга будет полезна как специалистам по кинетической теории,
так и более широкому кругу читателей: преподавателям, студентам
и всем, интересующимся ходом физических рассуждений, приведшим к открытиям мирового уровня в естествознании, и процессом
становления того математического аппарата, который используется
в современной статистической механике, физике, химии, биологии
и буквально пронизывает все отрасли науки, техники, всего, где
встречаются коллективные явления.
При переводе использовались разные источники, но все сведения
о первоисточниках даны по изданию под редакцией У. Д. Нивена
(W. D. Niven) полного собрания сочинений Максвелла 1890 г., перепечатанному без изменений в «The Scientific Papers of James Clerk
Maxwell». Edited by W. D. Niven, M. A., F. R. S., Dover Publications,
Inc., NY, 1965.
Наш коллектив выражает благодарность Г. П. Чуркиной за неоценимую помощь в работе и А. С. Попову, редактору книги, чей труд
и советы вышли далеко за рамки прямых обязанностей и существенно улучшили книгу.

В. В. Веденяпин

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ КОЛЕЦ САТУРНА∗

Перевод С. З. Аджиева и C. А. Амосова

Эссе, получившее премию Адамса за 1856 г.,
присуждаемую Кембриджским университетом

ОБЪЯВЛЕНИЕ

Положение о Премии было объявлено со следующими условиями:

Университет принимает средства фонда, созданного несколькими
членами Колледжа Св. Иоанна, с целью учреждения Премии, которая
будет называться премией Адамса (Adams), за лучшее эссе в области
чистой математики, астрономии или других разделов натурфилософии. Премия будет присуждаться раз в два года, будучи открытой
для состязания любых лиц, когда-либо принятых к соисканию ученой
степени в этом Университете.
Эксперты уведомляют, что в 1857 г. Премия будет присуждена
за работы по следующей теме:

Движение колец Сатурна

***

Задача может рассматриваться в предположении, что система
колец является в точности или приблизительно концентрической с центром в Сатурне, и расположена симметрично относительно плоскости
его экватора, а в отношении физических свойств колец могут быть
сделаны различные предположения. Можно предположить, (1) что
они являются твердыми, (2) что они являются жидкими или частично
газообразными, либо (3) что они состоят из не связанных между собой
масс вещества. Задача будет считаться решенной после того, как для

∗On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings. Опубликовано в Monthly
Notices of the Royal Astron. Society, XIX, 1859, 10, pp. 297–384. Переведено по
Scientific Papers, 1890, Vol. I, pp. 288–377.

Дж. К. Максвелл

каждого из этих предположений в отдельности будет установлено,
выполняются ли условия механической устойчивости при взаимных
притяжениях и движениях планеты и колец.
Желательно также, чтобы была сделана попытка установить,
в каком из вышеперечисленных предположений могут быть наиболее
удовлетворительно объяснены феномены ярких колец и открытого
недавно темного кольца, а также указать какие-либо причины, которыми могут быть объяснены изменения их формы, исходя из сравнения современных и сделанных ранее наблюдений.

Э. ГЕСТ, вице-канцлер,
Дж. ЧЕЛЛИС,
С. ПАРКИНСОН,
У. ТОМСОН

23 марта 1855 г.

Содержание

Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Исследование Лапласом равновесия кольца и его минимальной
плотности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Его доказательство того, что плоскость колец будет следовать
за плоскостью экватора Сатурна — что твердое однородное
кольцо с необходимостью неустойчиво
. . . . . . . . . . . . . . . .
14
Необходимо дальнейшее исследование — теория нерегулярного
твердого кольца приводит к выводу, что для устойчивости
нерегулярность должна быть огромной . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Теория жидкого или разрывного кольца разрешается исследованием волновых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Часть 1. О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ ВОКРУГ ШАРА

Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Задача I. Найти условия, при которых возможно равномерное
движение кольца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Задача II. Найти уравнения движения при слабом возмущении
20
Задача III. Свести систему из трех уравнений движения к одному
линейному уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Задача IV. Определить, является ли движение кольца устойчивым или неустойчивым, при помощи соотношений на
коэффициенты A, B, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Об устойчивости движения колец Сатурна
9

Задача V. Найти центр тяжести, радиус кругового движения
и вариацию потенциала вблизи центра кругового кольца
малого, но переменного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Задача VI. Определить условия устойчивости движения в терминах коэффициентов f, g и h, обозначающих распределение
массы в кольце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Результаты. Во-первых, однородное кольцо неустойчиво. Вовторых, кольцо, изменяющееся на отрезке по синусоидальному закону, неустойчиво. В-третьих, однородное кольцо,
отягощенное тяжелой частицей, может быть устойчиво при
условии, что масса частицы будет составлять от 0,815865
до 0,8279 полной массы. Случай, при котором отношение
массы кольца к частице относится как 18 к 82 . . . . . . . . . .
28

Часть 2. О ДВИЖЕНИИ КОЛЬЦА,
ЧАСТИ КОТОРОГО НЕ ЯВЛЯЮТСЯ
ЖЕСТКО СВЯЗАННЫМИ

1. Общая постановка задачи и ограничение почти равномерным кольцом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2. Условные обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3. Разложение функции по синусам и косинусам кратных
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4. Сила и направление притяжения между двумя элементами
возмущенного кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5. Равнодействующие сил притяжения, действующих на любое кольцо, состоящее из как-то возмущенных одинаковых
спутников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Замечание. Вычисленные значения таких притяжений для
частных случаев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6. Уравнения движения спутника кольца и биквадратное
уравнение, определяющее волновую скорость
. . . . . . . . . .
37
7. Кольцо спутников всегда может быть приведено в устойчивое состояние путем увеличения массы центрального
тела
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
8. Связь между количеством и массой спутников и массой центрального тела, необходимой для устойчивости.
S > 0,4352μ2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
9. Решение биквадратного уравнения для случая, когда масса
кольца мала, и полные выражения для движения каждого
спутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
10. Каждый спутник движется (относительно кольца) по эллипсу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

Дж. К. Максвелл

11. Каждый спутник движется независимо в пространстве
по почти эллиптической кривой для больших чисел n и по
спирали из многих почти круговых витков для малых
чисел n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
12. Форма кольца в данный момент времени есть ряд волнообразных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
13. Эти
волнообразные
колебания
распространяются
по кольцу со скоростью −n/m относительно кольца и с
абсолютной скоростью ω − n/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
14. Общее решение задачи — Для заданного положения и движения каждого спутника в любой определенный момент
времени вычислить положение и движение любого спутника в любой другой момент, считая, что условие устойчивости выполнено . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
15. Вычисление влияния периодической внешней возмущающей силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
16. Общая трактовка возмущающих сил . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
17. Теория свободных и вынужденных волн . . . . . . . . . . . . . . .
52
18. Движение кольца при невыполнении условий устойчивости. Два различных способа разрушения кольца . . . . . . . .
53
19. Движение кольца из неодинаковых спутников . . . . . . . . . .
59
20. Движение кольца, состоящего из облака рассеянных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
21. Вычисление сил, возникающих при вытеснении такой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
22. Приложение к случаю кольца этого типа. Средняя плотность кольца должна быть слишком мала, что не согласуется с характером ее движения в целом . . . . . . . . . . . . . . .
61
23. О силах, возникающих из неравенств в тонком слое самогравитирующей несжимаемой жидкости бесконечной протяженности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
24. Приложение к случаю уплощенного жидкого кольца, движущегося с равномерной угловой скоростью. Такое кольцо
будет разрушено на части, которые могут продолжать
вращаться как кольцо спутников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

О ВЗАИМНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
ДВУХ КОЛЕЦ

25. Приложение общей теории свободных и вынужденных
волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
26. Определить силы притяжения между кольцами
. . . . . . . .
71
27. Вывести уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
28. Метод определения отклика вынужденной волны на породившую ее свободную волну . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
29. Случаи, когда возмущения нарастают бесконечно . . . . . . .
77