Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика

Москва
Лаборатория знаний
2020

4-е издание, электронное

МЕТАФИЗИКА
ВЕК XXI

Под редакцией
Ю. С. Владимирова

ВЫПУСК
4

АЛЬМАНАХ

ВЫХОДИТ С 2006 ГОДА

Метафизика и математика

УДК 530.12; 539.12
ББК 22.31
М54
Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:
Ю. С. Владимиров (редактор-составитель),
доктор физ.-мат. наук, профессор
(Физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова);
С. А. В´екшенов, доктор физ.-мат. наук, профессор
(Российская академия образования);
П. П. Гайденко, доктор филос. наук, член-корр. РАН
(Институт философии РАН);
А. П. Ефремов, доктор физ.-мат. наук, профессор
(Российский университет дружбы народов);
Д. Г. Павлов, кандидат физ.-мат. наук
(МГТУ имени Н. Э. Баумана, директор по науке
Института гиперкомплексных систем геометрии и физики).

М54
Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика / под ред. Ю. С. Владимирова. — 4-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2020. — 466 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-714-1
Настоящий выпуск посвящен философскому (метафизическому) анализу
оснований математики и ее соотношению с физикой. Сборник состоит
из четырех частей. В первой части представлены статьи отечественных
математиков, в которых рассматриваются фундаментальные проблемы математики. Во вторую часть вошли статьи выдающихся ученых прошлого
об основаниях математической науки. Третья часть составлена из статей
физиков-теоретиков, в которых обсуждаются вопросы соотношения физики
и математики. Наконец, в четвертую часть включены работы философов
об основаниях и ключевых проблемах математики.
Для научных работников (математиков, физиков и философов), преподавателей вузов, студентов и широкого круга читателей, интересующихся
основами мироздания.
УДК 530.12; 539.12
ББК 22.31

Деривативное
издание
на
основе
печатного
аналога:
Метафизика.
Век XXI. Альманах. Вып. 4: метафизика и математика / под ред. Ю. С. Владимирова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 463 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-0551-3.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-714-1
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Фоменко А. Т.
Расслоенное пространство

Предисловие редактора

«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет
собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы
не знаем какого-то направления, которое позволит в конце
концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли
вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет
когда-нибудь получен и признан всеми математиками».1)

Г. Вейль

«Математика — это форма, в которой мы выражаем наше понимание природы, но не содержание. Когда в современной науке
переоценивают формальный элемент, совершают ошибку, и при
том очень важную. . . ».2)

В. Гейзенберг

«Математика сама по себе никогда ничего не объясняет — это
лишь средство, с помощью которого мы используем совокупность одних фактов для объяснения других, и язык, на котором
мы выражаем наши объяснения».3)

С. Вайнберг

Предлагаемый вниманию читателей четвертый выпуск альманаха «Метафизика. Век XXI» посвящен общефилософскому (метафизическому) анализу
оснований современной математики в ее взаимосвязи с фундаментальной
физикой. Напомним, что в предыдущем, третьем, выпуске рассматривались
проблемы соотношения науки, философии и религии. Назначение данного
альманаха состоит в выявлении общей направленности ключевых проблем
в математике, физике и философии, что, надеемся, будет способствовать
их более успешному решению. По нашему глубокому убеждению, все
составляющие единой культуры опираются на одни и те же метафизические принципы, что предопределяет общность фундаментальных проблем,
решаемых в рамках отдельных дисциплин.
В этом выпуске четыре части. В первых двух излагается трактовка
оснований и проблематики математики самими математиками, в третьей
части представлены взгляды физиков по вопросам соотношения математики
и физики, а также их понимание роли математики в решении конкретных

1)Цит. по книге В. И. Попкова «Физика и ее парадигмы». — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, с. 51.
2)Там же, с. 69.
3)Там же, с. 48.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
5

физических проблем. Наконец, в четвертой части раскрываются позиции
философов относительно роли математики в развитии мировой культуры.
Перед каждой статьей помещена одна из известных графических работ
академика РАН А. Т. Фоменко.

Часть I. Математики об основаниях математики
и ее проблемах

В первую часть альманаха включены статьи отечественных математиков,
в которых излагаются их взгляды на состояние математической науки, ее
ключевые проблемы и перспективы дальнейшего развития.
Статья академика С. П. Новикова «Вторая половина XX века и ее
итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе»
имеет аналитический характер. В первой части статьи дана эволюция
математики XVI–XIX вв. и общая характеристика состояния математики
в первой половине XX в. Как пишет автор, это был «период беспредельного
господства теории множеств в идеологии математики». В эти годы в развитии математики наметился уклон в сторону формализации исследований
и отрыва от физики и других разделов естествознания.
Далее автор обращает внимание на необходимость тесного взаимодействия математиков с физиками-теоретиками, которые нередко приходят к важным математическим результатам. Новиков пишет: «Я понял
в процессе изучения, что теоретическая физика, изученная систематически,
с самых начал до современной квантовой теории, — это единое и нераздельное, обширное и глубокое математическое знание, замечательно приспособленное к описанию законов природы, к работе с ними, к эффективному
получению результатов. Нельзя не согласиться с Ландау: чтобы понять
это, необходимо изучить весь его „теоретический минимум“. Это — костяк,
определяющий Ваш уровень цивилизации. Человек, не изучивший его, имеет
убогое неполноценное представление о теоретической физике. Такие люди
могут оказаться вредны для науки, их не хочется допускать к теоретической
физике. Их влияние будет способствовать распаду образования. К сожалению, сообщество математиков того времени не изучало даже элементы
этого знания, включая и тех, кто называл себя прикладными математиками.
К примеру, я быстро обнаружил, что практически никто из специалистов
по уравнениям с частными производными не знает точно, что такое тензор
энергии-импульса, и ни за что не сможет математически четко определить
это понятие».
Излишняя формализация и отрыв от физики позволяет говорить о неком
кризисе в математике на исходе XX в. Однако, как замечает автор, «наличие
кризиса сообщества математиков с его системой образования и подходом
к науке надо отделять от вопроса: есть ли кризис математики как науки?

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Может быть, кризиса и нет, просто лучшие работы в ряде областей стали
делать другие люди, выходцы из физики? В 70–80-е гг. довольно значительные коллективы физиков-теоретиков, включая прикладных физиков, по
существу, стали математиками. Они много сделали для развития современной математики, дали ей большой импульс». Далее приводятся конкретные
примеры.
В заключение статьи автор пишет: «Уход большой группы талантливых
теоретических физиков в математику никем не будет восполнен. В самой
математике образование дает гораздо меньше знаний, чем 30 лет назад. Из
лучших университетов Запада выходят очень узкие специалисты, которые
знают математику и теорфизику беспорядочно и несравнимо меньше, чем
в прошлом». «Итак, мы встречаем XXI в. в состоянии очень глубокого
кризиса. Нет полной ясности, как из него можно выйти: естественные меры,
которые напрашиваются, практически очень трудно или почти невозможно
реализовать в современном демократическом мире. Конечно, мы вошли
в век биологии, которая делает чудеса. Но биологи не заменят математиков
и физиков-теоретиков, это совсем другая профессия. Хотелось бы, чтобы
серьезные меры были приняты».
Не утратило своей актуальности выступление академика А. Н. Колмогорова «Автоматы и жизнь»1) в МГУ имени М. В. Ломоносова (1961 г.),
в котором были поставлены следующие вопросы:
«Могут ли машины воспроизводить себе подобных и может ли в процессе такого самовоспроизведения происходить прогрессивная эволюция,
приводящая к созданию машин, существенно более совершенных, чем
исходные?
Могут ли машины мыслить и испытывать эмоции?
Могут ли машины хотеть чего-либо и сами ставить перед собой новые
задачи, не поставленные перед ними их конструкторами?»
Колмогоров высказал уверенность, что математика (кибернетика) в состоянии решить как эти, так и ряд других принципиальных вопросов
о сущности жизни и мышления и о соотношении рациональных и иных
форм познания.
Примечательна позиция академика по вопросу о соотношении дискретного и непрерывного: «Несомненно, что переработка информации и процессы управления в живых организмах построены на сложном переплетении
дискретных (цифровых) и непрерывных механизмов, с одной стороны,
детерминированного и вероятностного принципов действия — с другой. Однако дискретные механизмы являются ведущими в процессах переработки

1)Материалы выступления А. Н. Колмогорова любезно предоставлены профессором мехмата МГУ им. М. В. Ломоносова А. Н. Ширяевым, редактором-составителем юбилейного
издания трудов А. Н. Колмогорова в трех книгах к его 100-летию со дня рождения. (М.:
Физматлит, 2003).

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
7

информации и управления в живых организмах. Не существует состоятельных аргументов в пользу принципиальной ограниченности возможностей
дискретных механизмов по сравнению с непрерывными».
В ряде высказываний проявляется отрицательная позиция Колмогорова
по вопросу признания актуальной бесконечности: «Проблемы, которые
не могут быть решены без большого перебора, останутся за пределами
возможностей машины на сколь угодно высокой ступени развития техники
и культуры. К этому выводу мы пришли, не обращаясь к понятию бесконечности. Оно нам не понадобилось и вряд ли понадобится при решении
реальных проблем, возникающих на пути кибернетического анализа жизни.
Зато важным становится другой вопрос: существуют ли проблемы, которые
ставятся и решаются без необходимости большого перебора? Такие проблемы должны прежде всего интересовать кибернетиков, ибо они реально
разрешимы».
Заканчивалось выступление словами: «Наше собственное внутреннее
устройство, в принципе, может быть понято, но понятно и то, что это устройство содержит в себе колоссальные, ничем не ограниченные возможности.
На самом деле, нужно стремиться этот глупый и бессмысленный страх
перед имитирующими нас автоматами заменить огромным удовлетворением
тем фактом, что такие сложные и прекрасные вещи могут быть созданы
человеком, который еще совсем недавно чем-то непонятным и возвышенным
находил простую арифметику».
В статье профессора мехмата МГУ П. К. Рашевского «О догмате
натурального ряда» поставлен вопрос о справедливости общепринятой
арифметики в случае очень больших чисел. Как пишет автор: «Натуральный
ряд и сейчас является единственной математической идеализацией процессов реального счета. Это монопольное положение осеняет его ореолом
некой истины в последней инстанции, абсолютной, единственно возможной,
обращение к которой неизбежно во всех случаях, когда математик работает
с пересчетом своих объектов. Более того, так как физик использует лишь
тот аппарат, который предлагает ему математика, то абсолютная власть натурального ряда распространяется и на физику и — через посредство числовой
прямой — предопределяет в значительной степени возможности физических
теорий. . . Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время
имеет смысл сравнивать с положением евклидовой геометрии в XVIII в.,
когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась
некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математиков,
и для физиков. Считалось, само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же
еще?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчет как угодно больших
материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний
в физическом пространстве и т. п. должны подчиняться существующим
схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же еще?)».

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Далее П. К. Рашевский высказал гипотезы относительно обобщений
координатного пространства, построенного на основе иной аксиоматики
арифметики. Примечательно, что в работах В. Л. Рвачева было показано, что
измененные представления о свойствах натурального ряда уже воплощены
в физике в виде закономерностей специальной теории относительности, т. е.
не в координатном пространстве, а в пространстве скоростей.
Вопрос, поставленный Рашевским, ныне приобретает особый интерес
в связи с рядом астрофизических открытий. Не исключено, что возникшие
в астрофизике и космологии проблемы, в частности, с введением «темной
энергии» могут оказаться связанными с проявлениями изменений арифметики на очень больших расстояниях.
Статья академика В. И. Арнольда «Математика и физика: родитель
и дитя или сестры?» примечательна, главным образом, позицией этого
выдающегося отечественного математика в вопросе соотношения физики
и математики. В данной работе, приведенной здесь в сокращенном виде,
обосновывается положение о единстве математики и физики. В этом контексте примечательны ссылки, с одной стороны, на высказывание Д. Гильберта,
утверждавшего, что «геометрия — это часть физики», а с другой, — на заявление П. Дирака о том, что «физику никогда не следует опираться на физическую интуицию, которая чаще всего — имя для предвзятых суждений».
Статья профессора РАО С. А. В´екшенова «Метафизика и математика двойственности» посвящена обсуждению одной из существенных
особенностей современной математики, проявляющейся и в теоретической
физике, которую ныне стремится преодолеть философия, — это отсутствие
динамики (понятия процесса) в самих основаниях дисциплин. Автор предлагает включить динамическую составляющую на основе учета принципа
двойственности. Как пишет В´екшенов, «двойственность — фундаментальная
особенность окружающего мира. Пространство и время, правое и левое,
количество и порядок, частица и волна — подобные двойственные сущности
можно множить и множить. Идея двойственности лежит на поверхности, но,
пожалуй, только квантовая теория возводит ее, хотя и не вполне осознанно,
в ранг фундаментальных принципов: дуализм Л. де Бройля, принцип дополнительности Н. Бора, принцип взаимности М. Борна.
Иную тенденцию реализует теоретико-множественная математика. Она
видит мир как универсум разнообразий одной сущности — множества. Этот,
казалось бы, естественный взгляд, однако, очень быстро приводит к принципиальным коллизиям типа парадокса Рассела, континуум-проблемы и пр.
Внимательный анализ ситуации говорит о том, что источником большинства
этих коллизий является „склейка“ двойственности, в данном случае, „количества“ и „порядка“ (пространства и времени). В результате этой склейки
доминирующей становится количественная (пространственная) составляющая. Она же становится основой разнообразных формализмов, с которыми
математика подступает к осмыслению реальности, в самом широком ее

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
9

понимании. Эти формализмы „продвигают“ свойственные теории множеств
взгляды и коллизии в самые тонкие и абстрактные инструменты познания.
В результате структуры реальности приобретают отчетливый количественный, пространственный оттенок. Даже само время в этой трактовке становится формой пространства. В этом количественном мире трансформируются, становятся невидимыми, исчезают целые концепции, основанные на
интуиции времени. Масштаб потерь оценить сложно, но, вероятно, часть
изгнанных из математики теорий возникают в образе теорий физических».
В статье подробно обосновывается позиция автора и предлагается конкретный путь реализации принципа двойственности в математике.

Часть II. Математики прошлого об основаниях
математики

Вторую часть альманаха составляют статьи выдающихся математиков
прошлого, в которых выдвигались ключевые идеи или рассматривались
фундаментальные проблемы математических исследований, не потерявшие
своей актуальности до наших дней.
Несмотря на то что мемуар Б. Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» был написан полтора столетия тому назад, идеи,
изложенные в нем, и сейчас находятся в центре внимания современной
фундаментальной теоретической физики. Прежде всего, следует напомнить,
что открытая Риманом геометрия лежит в основе математического аппарата
общей теории относительности и современных представлений о гравитации и космологии. Как писал А. Эйнштейн: «Заслуга Римана в развитии
идей о соотношении между геометрией и физикой двояка. Во-первых, он
открыл сферическую (эллиптическую) геометрию, которая является антитезой гиперболической геометрии Лобачевского. Таким образом, он впервые
указал на возможность геометрического пространства конечной протяженности. Эта идея сразу была воспринята и привела к постановке вопроса
о конечности физического пространства. Во-вторых, Риман имел смелость
создать геометрии несравненно более общие, чем геометрия Евклида или
неевклидовы геометрии в более узком смысле»1).
Но и это не все. Как писал Эйнштейн: «Риман пришел к смелой мысли,
что геометрические отношения тел могут быть обусловлены физическими
причинами, т. е. силами. Таким образом, путем чисто математических рассуждений он пришел к мысли о неотделимости геометрии от физики: эта
мысль нашла свое фактическое осуществление семьдесят лет спустя в общей теории относительности, которая соединила в одно целое геометрию
и теорию тяготения».

1)Эйнштейн А. «Неевклидова геометрия и физика» //Собрание научных трудов. Т. 2. — М.:
Наука, 1966, с. 181.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Придя к таким соображениям, Риман еще не мог понять, какие именно
физические силы должны быть связаны с неевклидовостью геометрии.
Интересно, что он уже размышлял о природе тяготения, но не привлек для
этого свои геометрические идеи.
В мемуаре Римана высказан ряд других интересных соображений о пространстве, которые и сегодня не потеряли своего значения, оставаясь источником новых направлений исследований. Прежде всего здесь следует назвать
его идеи о возможности изменения геометрии в микромире: «Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных
метрических отношений, — понятия твердого тела и светового луча, — повидимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом. Поэтому
вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно
малом не отвечают метрическим отношениям; мы действительно должны
были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были
объяснены наблюдаемые явления».
В настоящее время чрезвычайно важным является также поставленный
Риманом вопрос о «внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве». Он пишет: «. . . или то реальное, что создает
идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним —
силами связи, действующими на это реальное». Характерно, что Риман
завершает свой мемуар словами: «Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступить его не дает нам повода
сегодняшний день». Сейчас поводов для этого уже накопилось достаточно.
И важнейшим из них является создание квантовой теории.
В последнее время в работах ряда авторов активизировались попытки
заменить квадратичное мероопределение римановой геометрии на более
общие случаи, соответствующие финслеровым геометриям (см., например,
статью Д. Г. Павлова в этом выпуске альманаха). Впервые возможность
таких обобщений была высказана в мемуаре Римана.
Наконец, следует отметить, что развиваемые ныне варианты многомерных геометрических моделей физических взаимодействий, известные как
теории Т. Калуцы и О. Клейна, также восходят к работам Римана, который
ввел понятие «многократно протяженных величин».
Далее в этот раздел включены некоторые разделы из книг А. Пуанкаре «Наука и гипотеза» и «Последние мысли», в которых излагаются
соображения о пространстве и времени. В разделе «Пространство» из
первой книги Пуанкаре анализирует аксиоматику геометрии и, в частности, скрытые аксиомы геометрии. Он пишет: «Геометрические аксиомы
не являются ни синтетическими априорными суждениями, ни опытными
фактами. Они суть условные положения (соглашения): при выборе между
всеми возможными соглашениями мы руководствуемся опытными фактами,
но самый выбор остается свободным и ограничен лишь необходимостью