Математические методы и модели в экономике

Б
А
К
А
Л
А
В
Р
И
А
Т

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПРАВОСУДИЯ

Ващекин Андрей Николаевич
Квачко Вячеслав Юрьевич
Царькова Елена Валентиновна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
В ЭКОНОМИКЕ

Учебное пособие

Москва
2019

УДК  51 (075.8)
ББК  22.1
М 34

А в т о р ы :

А.Н. Ващекин, профессор кафедры информационного права, 
информатики и математики РГУП, канд. экон. наук, доцент ;

В.Ю. Квачко, доцент кафедры информационного права, 
информатики и математики РГУП, канд. физ.-мат.  наук, доцент;

Е.В. Царькова, доцент кафедры информационного права, 
информатики и математики РГУП, канд. физ.-мат. наук, доцент.

Учебное пособие содержит основные определения, методические указания к 
решению типовых задач, контрольные вопросы, а также индивидуальные задания 
для самостоятельной работы. 
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 38.03.01 — 
«Экономика», 38.03.02 — «Менеджмент», 38.03.04 — «Государственное и муниципальное управление». 

Математические методы и модели в экономике: 
Учебное пособие.  / Под ред. Е. В. Царьковой. — М.: РГУП, 2019.
ISBN 978-5-93916-716-1

 
© Коллектив авторов, 2019
 
© Российский государственный  
ISBN ISBN 978-5-93916-716-1 
 
университет правосудия, 2019

М 34

Содержание

Содержание

Глава 1. Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Понятие о математическом моделировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Применение математических методов в экономических задачах . . . . . . . . . 9

Глава 2. Линейное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Классификация задач линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Графический способ решения задачи ЛП. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Симплекс-метод решения задачи ЛП с естественным базисом. . . . . . . . . . 28
Построение начального опорного плана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Признак оптимальности опорного плана; симплекс-таблицы. . . . . . . . . . . 31
Симплекс-метод решения задачи ЛП с искусственным базисом . . . . . . . . 36
Пример решения задачи ЛП симплекс-методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Двойственность в ЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Экономическая интерпретация двойственности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Особые случаи задач ЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Решение задачи ЛП в табличном редакторе MS Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Варианты индивидуальных заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Глава 3. Транспортная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Постановка задачи по критерию стоимости в матричной форме . . . . . . . . 80
Построение начального опорного плана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Метод северо-западного угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Метод минимального элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Метод Фогеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Метод двойного предпочтения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Метод потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Вырожденный план . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Транспортная задача с нарушенным балансом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Транспортная задача по критерию времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Транспортная задача с ограничениями на пропускные способности . . . . 99
Транспортная задача с фиксированными доплатами . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Глава 4. Методы оптимизации на графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Основные определения теории графов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Маршруты, цепи, циклы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
Матричное представление графов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Сетевое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Алгоритм нумерации событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Параметры сетевого графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Математические методы и модели в экономике

Алгоритм нахождения минимальных времен и критического пути . . . .125
Алгоритм нахождения максимальных времен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
Нахождение резервов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
Алгоритм построения кратчайшей по числу дуг цепи. . . . . . . . . . . . . . . . .128
Алгоритм нахождения кратчайших по длине цепей. . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Потоки в сетях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
Алгоритм пометок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
Алгоритм Форда-Фалкерсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Глава 5. Моделирование в нечетких условиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
Задачи нечеткого моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
Вычисление перспективного ассортимента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Практические примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Задания для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

Cписок литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

Глава 1 

Общие сведения

Понятие о математическом моделировании
Любая экономическая система является сложной и характеризуется 
колоссальным числом параметров, которые вдобавок могут меняться 
с течением времени. Сложность системы усугубляется тем, что важной ее 
составляющей являются люди (или группы людей), субъективно оценивающие окружающую обстановку и принимающие те или иные решения, 
исходя из собственного понимания целей функционирования всей системы. 
Помимо этого, экономическая система подвергается бесчисленному множеству случайных, трудно прогнозируемых возмущений. Вот почему анализ 
экономических систем требует специального математического аппарата.
Всю математику условно принято разделять на теоретическую (фундаментальную) и прикладную. Основной задачей прикладной математики 
является построение так называемых математических моделей различных 
процессов и объектов.
Моделирование — один из способов исследования систем. Модель — 
образ реальной системы (объекта, процесса) в материальной или теоретической форме. Этот образ отражает существенные свойства объекта, 
он замещает реальный объект в ходе исследования и управления. Моделирование основывается на принципе аналогии, т. е. возможности изучения реального объекта (системы) не непосредственно, а опосредованно, 
через рассмотрение подобного ему и более доступного объекта (модели).
Математической моделью процесса (или объекта) называют некоторую структуру, элементами которой являются математические объекты 
с определенными взаимосвязями между ними, в той или иной мере отражающую свойства реального процесса. Под математическими объектами 
здесь понимается все, что является предметом изучения в математике: 
геометрические фигуры, функции, уравнения и неравенства, матрицы, 
графы, соотношения алгебры логики и т. д.
В частности, математическая модель объекта управления — это 
одно либо несколько математических уравнений, которые задают связи 
между наиболее существенными для управления показателями объекта.
По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические методы и модели. Различие между ними состоит 
в решаемых с их помощью задачах и применяемых методах.

Глава 1 . Общие сведения

Целью моделирования является повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления. Экономическое 
управление осуществляется на макро- и микроэкономическом уровнях. 
На макроуровне объектами управления являются народное хозяйство 
в целом, отрасли и сектора экономики, на микроуровне — отдельные 
предприятия и рынки.
Как и любая модель, математическая лишь в некоторой мере отражает 
свойства реального процесса. Однако, как показывает практика, и этого зачастую оказывается достаточно для более эффективного принятия решений. 
Формы математических моделей весьма разнообразны: это и всевозможные графические структуры, и системы логических правил (алгоритмы), 
и статистические оценки параметров процессов. Но чаще всего математическая модель представляет собой отдельное уравнение или целую систему 
обыкновенных алгебраических или дифференциальных уравнений или 
неравенств, описывающих взаимосвязи между параметрами x1, x2, …, xn 
изучаемого процесса. Чаще всего математическая модель имеет вид

1
2

1
2

(
,
,...,
)
0,
1,

(
,
,...,
)
0,
1,

i
n

i
n

f x x
x
i
k

f x x
x
i
k
m


=
=

≤
=
+


,

где fi(x1, x2, …, xn) — некоторые заданные функции, или соотношения 
модели.
Основными целями построения математических моделей являются:
1. Анализ экономических объектов и процессов.
2. Экономическое прогнозирование, т. е. предвидение развития экономических процессов при заданных значениях его управляемых параметров.
Пусть, например, известна приближенная зависимость 
( ,
)
V
f p
=
a  
объема продаж некоторого товара V от цены p и расходов на рекламу a. 
Требуется дать прогноз величине объема продаж при заданном уровне 
цены и расходах на рекламу.
В качестве других примеров можно привести также проблему анализа 
и прогнозирования покупательского спроса в маркетинге, задачу анализа 
распределения работников по уровню заработной платы в экономике 
и социологии труда и др.
3. Оптимизация процесса, то есть нахождение таких значений 

1
2
,
, ...,
ò
x
x
x
∗
∗
∗  параметров процесса, при которых следует ожидать наилучшего его протекания с той или иной точки зрения. При этом должна 
быть определена функция F(x1, x2, …, xn) → max(min), выражающая 

Понятие о математическом моделировании

наиболее интересующий нас показатель качества протекания процесса, 
которую называют функционалом качества, или функцией цели (целевой функцией), или критерием оптимальности и т. д.
4. Выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.
Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, 
альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях 
которых приходится принимать планово-управленческие решения, которые 
и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор 
производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т. д.). Суть принципа 
оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение 
1
2
(
,
,...,
)
n
x x
x
, где 
(
1, )
jx
j
n
=
 — его компоненты, которое 
наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние 
условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Слова «наилучшим образом» означают выбор некоторого критерия 
оптимальности, т. е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности — «максимум 
прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности», «скорейшая 
реализация плана» и др.
Учет внутренних возможностей и внешних условий производственной 
деятельности состоит в том, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т. е. выбор 
1
2
(
,
,...,
)
n
x x
x
 
осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений 
D, эту область называют также областью определения задачи.
Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности 
в планировании и управлении — это значит решить экстремальную 
задачу вида:

1
2
(
,
,...,
)
max(min)
n
f x x
x
→
 при 
1
2
(
,
,...,
)
n
x x
x
D
∈
,

где 
1
2
(
,
,...,
)
n
f x x
x
 — целевая функция, т. е. математическая запись критерия оптимальности.
Следует иметь в виду, что далеко не во всех случаях данные, полученные в результате экономико-математического моделирования, могут 
использоваться непосредственно как готовые управленческие решения. 
Они скорее могут быть рассмотрены как консультирующие средства. 
Принятие управленческих решений остается за человеком.

Глава 1 . Общие сведения

Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании, как и при всяком моделировании, является понятие адекватности модели, т. е. соответствия модели моделируемому объекту или 
процессу. Адекватность модели — в какой-то мере условное понятие, 
так как полного соответствия модели реальному объекту быть не может, что характерно и для экономико-математического моделирования.  
При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствие по тем свойствам, которые считаются существенными для 
исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей является весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняет 
трудность измерения экономических величин. Однако без такой проверки 
применение результатов моделирования в управленческих решениях 
может оказаться малоэффективным и даже вредным.
Экономико-математические модели включают в себя целевые критерии, уравнения, неравенства и ограничения, описывающие функционирование объекта, а также соотношения между показателями, 
обусловленные существующими экономическими зависимостями между 
ними. Для разработки экономико-математических моделей используют 
аппарат математического программирования, теории планирования 
и управления и др.
Экономико-математическая модель должна быть простой, обозримой: 
ее нужно уметь формально записать, получить для этого все необходимые 
числа, суметь произвести необходимые расчеты. Известный математик 
Беллман так охарактеризовал проблему: «Если мы попытаемся включить 
в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то 
захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры 
и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более 
сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров 
и функций и т. д. Если же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, 
построим слишком упрощенную модель, то обнаружим, что она не определяет 
последовательность действий так, чтобы удовлетворять нашим требованиям. 
Следовательно, Ученый, подобно Паломнику, должен идти прямой и узкой 
тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения».
Таким образом, математическая модель всегда беднее реальной экономической системы; она всегда описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни (важные) свойства и пренебрегая другими 
(неважными). Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из 
которых призван отразить какую-то одну определенную сторону эко

Применение математических методов  в экономических задачах

номической действительности с тем, чтобы при решении конкретной 
экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая 
лучше всего к ней подходит.
Экономико-статистические модели связаны с анализом статистических данных об объекте управления. Эти модели устанавливают 
статистические связи, существующие между показателями объекта.  
Для разработки экономико-статистических моделей используют аппарат 
математической статистики и теории вероятностей.

Применение математических методов  
в экономических задачах
К экономико-математическим методам относятся методы линейной 
алгебры, математического (линейного и нелинейного) программирования, 
теории вероятностей и математической статистики, методы экономической кибернетики, методы теории игр и принятия решений и др.
Этапами экономико-математического моделирования являются:
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.  
На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру 
и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать 
гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение 
модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала 
определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный 
перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых 
сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных 
моделей; при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны 
объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно. 
Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого 
упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных 
черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда 
формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической 
структуре.

Глава 1 . Общие сведения

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели 
и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство 
существования решения сформулированной задачи. При аналитическом 
исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные 
могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы 
тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических 
объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; 
в таких случаях переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. В экономических задачах это, как 
правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело отнюдь 
не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом 
надо принимать во внимание не только принципиальную возможность 
подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации 
используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки 
достоверности данных и т. д. При системном экономико-математическом 
моделировании результаты функционирования одних моделей служат 
исходной информацией для других.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов 
численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты 
на основе экономико-математической модели носят многовариантный 
характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря 
высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение 
существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для 
многих моделей является единственно возможным.
6. Математический и экономико-логический анализ полученного 
оптимального решения. На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования 
и применимости их как в практической деятельности, так и в целях 
усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть 
проведена проверка соответствия найденного решения условию задачи 
и адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве 
существенных. Другими словами, должны быть произведены верифи