Математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

УНИВЕРСИТЕТ ПРАВОСУДИЯ

Н. Б. Карбачинская

Е. Е. Харитонова

Практикум для среднего профессионального образования  

Москва

2019

МАТЕМАТИКА

 
© Карбачинская Н. Б., 2019

 
© Харитонова Е. Е., 2019

 
©  Российский государственный 

университет правосудия, 2019

УДК 51
ББК 22.1
     М 34

М 34

Авторы:

Карбачинская Н. Б.,

старший преподаватель кафедры общеобразовательных дисциплин РГУП,

Харитонова Е. Е.,

старший преподаватель кафедры общеобразовательных дисциплин РГУП

Рецензенты:

Богданова М. В., 

профессор кафедры информационного права, математики и информатики 

РГУП, д-р эконом. наук, доцент, 

Ушаков А. В., 

доцент кафедры высшей математики и методики преподавания математики 

Института цифрового образования МГПУ, канд. физ.-мат. наук, доцент

Карбачинская Н. Б., Харитонова Е. Е.
Математика : Практикум для среднего профессионального образования. — 
М.: РГУП, 2019. — 114 c.

Практикум подготовлен для студентов факультета непрерывного образования 

РГУП, обучающихся по программе среднего профессионального образования, специальность  21.02.05 Земельно-имущественные отношения.

В учебном издании учтены требования к изучению математики студентами 

средних профессиональных образовательных учреждений, заложенные Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального 
образования.   

Предназначен для самостоятельной подготовки обучающихся к внутрисеме
стровым аттестациям, зачетной и экзаменационным работам, может быть полезным учителям средней школы, преподавателям ССУЗов, учащимся 10-11 классов 
средней школы.

Содержание

От авторов………………………………………………………………………………………………….4
Глава 1. Первая рубежная работа

Демонстрационный вариант №1………………………………………………………………5
Демонстрационный вариант №2.……………………………………………………………...9
Варианты для самостоятельной работы.……………………………………………………19

Вариант № 1…………………………………………………………………………………….19
Вариант № 2…………………………………………………………………………………….20
Вариант № 3…………………………………………………………………………………….20
Вариант № 4.……………………………………………………………………………………21

Глава 2. Вторая рубежная работа

Демонстрационный вариант №3………………………………………………………………23
Демонстрационный вариант №4………………………………………………………………34
Варианты для самостоятельной работы..………………………………………..………….41

Вариант № 5…………………………………………………………………………………….41
Вариант № 6…………………………………………………………………………………….42
Вариант № 7…………………………………………………………………………………….43
Вариант № 8…………………………………………………………………………………….44

Глава 3.  Зачетная работа

Демонстрационный вариант №5………………………………………………………………45
Демонстрационный вариант №6…….………………………………………………………...51
Варианты для самостоятельной работы…………………………………………………….62

Вариант № 9……………………………………………………………………………….……62
Вариант № 10..……………………………………………………….…………………………62
Вариант № 11.…………………………………………………………………………………..63
Вариант № 12.…………………………………………………………………………………..64

Глава 4.  Экзаменационная работа

Демонстрационный вариант №7………………………………………………………………66
Демонстрационный вариант №8.…….………………………………………………………..74
Демонстрационный вариант №9.…….………………………………………………………..83
Варианты для самостоятельной работы.………………………………………..………….92

Вариант № 13…………………………………………………………………………………..92
Вариант № 14…………………………………………………………………………………..93
Вариант № 15…………………………………………………………………………………..94
Вариант № 16…………………………………………………………………………..………94
Вариант № 17.………………………………………………………………………….………95
Вариант № 18…………………………………………………………………………..………95

Ответы………………………………………………………………………………………………….97
Приложение...……………………………………………………………………………..........…101

От авторов

В учебном издании представлены все темы, сформулированные в Фе
деральном государственном образовательном стандарте среднего профессионального образования.

Практикум состоит из четырех разделов и Приложения. Первые два 

раздела нацелены на подготовку студентов к внутрисеместровым аттестациям первого и второго семестров. Третий и четвертый разделы 
включают задания, необходимые для выполнения итоговой контрольной работы в рамках зимней зачетной сессии и экзаменационной работы 
в рамках летней экзаменационной сессии, соответственно. 

В каждом разделе авторами приведены варианты работ с их подроб
ным решением, а также варианты для самостоятельной работы студентов, необходимой для закрепления изученного материала. В конце пособия помещены ответы ко всем заданиям. В Приложении представлен 
теоретический материал, знание которого необходимо для успешного 
выполнения предложенных вариантов.

Издание предназначено для самостоятельной подготовки обучаю
щихся к указанным работам, однако может быть использовано и при контактной работе с преподавателем в составе учебной группы аудиторно.

Варианты работ, представленные в Практикуме, предназначены для 

конкретного вида аттестационных испытаний в соответствии с УМК 
по математике. Тем не менее следует учитывать, что задания и последовательность их прохождения имеют тенденцию изменяться. 

Пособие предназначено для обучающихся по программам среднего 

профессионального образования, но может быть полезно учащимся 1011 классов средней школы, учителям средней школы, преподавателям 
ССУЗов и методистам.

Глава 1. ПЕРВАЯ РУБЕЖНАЯ РАБОТА 

Демонстрационный вариант №1

№1. Даны множества A = {–4; 7; 8; 9; 18} и B = {–5; –4; 6; 9}. Найдите A∪B, 
A∩B, A\B.

Решение:
По определению объединением множеств A и B (A∪B) называется 

множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.

Тогда получаем, что A∪B = {–5; –4; 6; 7; 8; 9; 18}.
По определению пересечением множеств A и B (A∩B) называется 

множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B.

В этом случае получаем, что A∩B = {–4; 9}.
По определению разностью множеств A и B (A\B) называется мно
жество, состоящее из тех элементов множества A, которые не являются 
элементами множества B.

Таким образом, A\B = {7; 8; 18}.
Ответ: A∪B = {–5; –4; 6; 7; 8; 9; 18}; A∩B = {–4; 9}; A\B = {7; 8; 18}.

№2. Вычислите а) i113; б) i8 + i14.

Решение:
а) Число i называется мнимой единицей и определяется как число, 

квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.

i113 = i112 · i = (i2)56 · i = (–1)56· i = 1· i = i.
б) С помощью различных преобразований выделим в каждой из сте
пеней i2 и заменим его на –1:

i8 + i14 = (i2)4 + (i2)7 = (–1)4 + (–1)7 = 1 + (–1) = 0.
Ответ: а) i113 = i; б) i8 + i14 = 0.

№3. Для чисел z1 = –6 + 6i и z2 = 1 – 8i найдите z1 + z2; z1 – z2; z1 · z2; z1 : z2.

Решение:
Действия с комплексными числами производятся по тем же прави
лам, что и с действительными числами.

z1 + z2 = –6 + 6i + 1 – 8i = (–6 + 1) + (6i – 8i) = –5 – 2i;

z1 – z2 = –6 + 6i – (1 – 8i) = –6 + 6i – 1 + 8i = (–6 – 1) + (6i + 8i) = –7 + 14i;

Демонстрационный вариант №1

6

z1· z2 = (–6 + 6i) · (1 – 8i) = –6 · 1 – 6 · (–8i) + 6i · 1 + 6i · (–8i) = 

= –6 + 48i + 6i – 48i2 = –6 + 48i + 6i + 48 = 42 + 54i.

При делении комплексных чисел используется приём домножения чи
слителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к знаменателю. 
По определению для некоторого комплексного числа z = a + bi сопряженным является число 
=
−
.
z
a
bi  В этом случае в знаменателе появляется 

формула разности квадратов, которая дает действительное число. 

− +
− +
⋅
+
− −
+
+
− −
+
−
=
=
=
=
=
−
−
⋅
+
−
+
−
−
=
= −
−

2

1
2
2
6
6
( 6
6 ) (1
8 )
6
48
6
48
6
48
6
48
:
1
8
(1
8 ) (1
8 )
1
64
1
64
54
42
54
42 .
65
65
65

i
i
i
i
i
i
i
i
Z
Z
i
i
i
i
i
i

Ответ: z1 + z2 = –5 – 2i; z1 – z2 = –7 + 14i; z1 · z2 = 42 + 54i; z1 : z2 = −
−
54
42 .
65
65
i

№4. Для числа z = 8 – 5i найдите z и z · z.

Решение:
По определению для некоторого комплексного числа z = a + bi сопря
женным является число 
=
−
.
z
a
bi

Тогда если z = 8 – 5i, то 
=
+
8
5
z
i  — сопряженное.

При умножении воспользуемся формулой разности квадратов:

=
+
z
a
bi
 · z = (8 – 5i) · (8 + 5i) = 82 – (5i)2 = 64 – 25i2 = 64 – 25 · (–1) = 64 + 25 = 89.

Ответ: 
=
+
8
5
z
i ; z · z = 89.

№5. Решите уравнение на множестве комплексных чисел x2 – 2x + 5 = 0.

Решение:
Данное уравнение является квадратным, поэтому решаем его, ис
пользуя дискриминант. 

D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4 · 1 · 5 = 4 – 20 = –16.

Так как дискриминант получается отрицательным, то квадратный ко
рень из него выражаем с помощью мнимой единицы: 
= 4
D
i. По фор
муле корней квадратного уравнения получаем

− ±
±
⋅
±
=
=
=
= ±
⋅

1,2
2
4
2 (1
2 )
1
2 .
2
2 1
2

b
D
i
i
x
i
a

Замечание: Так как второй коэффициент квадратного уравнения чет
ный, то можно было использовать формулу D1. В этом случае корни было 
бы вычислить проще.

Ответ: 1 – 2i; 1 + 2i.

Глава 1. Первая рубежная работа

№6. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 

−
8
.

14
10
Решение:
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, не
обходимо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное к знаменателю. В этом случае используется формула разности квадратов: (a – b) · (a + b) = a2 – b2.

⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
=
=
=
−
−
−
⋅
+
−
⋅
+
=
=
⋅
+
=
+

2
2
8
8 ( 14
10)
8 ( 14
10)
8 ( 14
10)
14
10
14
10
( 14
10) ( 14
10)
( 14)
( 10)
8 ( 14
10)
2 ( 14
10)
2 14
2 10
4

Ответ:
+
2 14
2 10.

№7. Вычислите а) 
⋅ 3
3 32
2 ; б) 3
4
3
2
3
:
.
8
3
Решение:
В этом задании надо воспользоваться свойствами корней n-ой степени: 

⋅
=
n
n
n
b
ab
a
 и 
=
=
=
:
:

n
n
n
n
n
n
a
b

a
b

a
b
b
a
 (приложение №II, ① и ②).

а) 
⋅
=
⋅
=
=
3
3
3
3
32
2
32 2
64
4 , так как 43 = 64.

б) 
=
=
⋅
=
=
=
4
4
4
4
4
3
2
27 2
27 3
81
3
3
:
:
1,5,
8
3
8
3
8
2
16
2
 , так как 34 =81 и 24 = 16.

Ответ: а) 4; б) 1,5.

№8. Представьте в виде степени с рациональным показателем 
(
)
⋅
4
3,67
0,12
3
10
:
y
y
y .

Решение:
В приложении №II указаны основные свойства степеней. В этом задании 

надо воспользоваться определением степени с рациональным показателем

=

m
n
m
n
a
a

и следующими свойствами степеней:

① am · an = am+n;
② am : an = am–n;
③ (am)n = am · n.

(
)

+
⋅
−
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅

3
0,12 4
1
4
3,67
0,12
3
3,67
3,67
0,48
0,3
3,67 0,48 0,3
3,85
0
10
:
:
.
:
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y

Ответ: y3,85.

Демонстрационный вариант №1

8

№9. Решите уравнения: а) 
−
=
3 9
4
x
; б) 
+
=
48
7
x
x.

Решение:
а) Корень нечетной степени не влияет на знак подкоренного выраже
ния, поэтому можем возвести обе части уравнения в третью степень без 
дополнительных ограничений: 

−
=

−
=

−
=
− =
−
− =

= −

3

3
3
3
9
4;

( 9
)
4

9
6

.

;
4;
64
9;
55;

55

x

x
x
x
x

x

б) Корень четной степени может принимать только неотрицательные 

значения, а также подкоренное выражение должно быть не меньше нуля. 
Возведём обе части уравнения во вторую степень и учтём, что правая 
часть должна быть больше или равна нулю:


+
=

≥


2
2
( 48
)
(7 )
7
0;
;
x
x

x


+
=

≥


2;
48
49

0;

x
x

x


−
−
=

≥


2
49
48
0;

0.

x
x

x

Решаем квадратное уравнение и получаем корни x1 = 1 и 
= −
2

48
49
x
. 

Однако из-за ограничения x ≥ 0 второй корень оказывается 

посторонним.

Замечание: Уравнение можно было решить без введения ограниче
ния. Но в этом случае необходимо выполнить проверку полученных корней подстановкой в исходное уравнение.

Ответ: а) –55; б) 1. 

Глава 1. Первая рубежная работа

Демонстрационный вариант №2

№1. Даны множества A = {–3; 3; 4; 5} и B = {–5; –2; 6; 8}. Найдите A∪B, 
A∩B, A\B.

Решение:
По определению объединением множеств A и B (A∪B) называется 

множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.

Тогда получаем, что A∪B = {–5; –3; –2; 3; 4; 5; 6; 8}.
По определению пересечением множеств A и B (A∩B) называется 

множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B.

В этом случае получаем, что A∩B = {∅}, так как во множествах нет 

общих элементов. 

По определению разностью множеств A и B (A\B) называется мно
жество, состоящее из тех элементов множества A, которые не являются 
элементами множества B.

Таким образом, A\B = {–3; 3; 4; 5}.

Ответ: A∪B = {–5; –3; –2; 3; 4; 5; 6; 8}; A∩B = {∅}; A\B = {–3; 3; 4; 5}.

№2. Вычислите а) i110; б) i10 + i5.

Решение:
а) Число i называется мнимой единицей и определяется как число, 

квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1.

i110 = (i2)55 = (–1)55 = –1.

б) С помощью различных преобразований выделим в каждой из сте
пеней i2 и заменим его на –1:

i10 + i5 = (i2)5 + i4 · i = (–1)5 + ( i2)2 · i = –1 + (–1)2 · i = –1 + 1 · i = –1 + i.

Ответ: а) i110 = –1; б) i10 + i5 = –1 + i.

№3. Для чисел z1 = 2 + 5i и z2 = 3 – i найдите z1 + z2; z1 – z2; z1 · z2; z1 : z2.

Решение:
Действия с комплексными числами производятся по тем же прави
лам, что и с действительными числами.

z1 + z2 = 2 + 5i + 3 – i = (2 + 3) + (5i – i) = 5 + 4i;

Демонстрационный вариант №2

10

z1 – z2 = 2 + 5i – (3 – i) = 2 + 5i – 3 + i = (2 – 3) + (5i + i) = –1 + 6i;

z1 · z2 = (2 + 5i) · (3 – i) = 2 · 3 + 2 · (–i) + 5i · 3 + 5i · (–i) = 

= 6 – 2i + 15i – 5i2 = 6 – 2i + 15i + 5 = 11 + 13i.

При делении комплексных чисел используется приём домножения 

числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к знаменателю. По определению для некоторого комплексного числа z = a + bi
сопряженным является число 
=
−
.
z
a
bi  В этом случае в знаменателе 

появляется формула разности квадратов, которая дает действительное 
число.

+
+
⋅
+
+
+
+
+
+
−
=
=
=
=
=
−
−
⋅
+
−
+
+
=
=
+
=
+

2

1
2
2
2
5
(2
5 ) (3
)
6
2
15
5
6
2
15
5
Z : Z
3
(3
) (3
)
9
9
1
1 17
1
17
0,1 1,7
10
10
10

i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

Ответ: z1 + z2 = 5 + 4i; z1 – z2 = –1 + 6i; z1 · z2 = 11 + 13i; z1 : z2 = 0,1 + 1,7i.

№4. Для числа z = 7 + 2i найдите z и z · z.

Решение:
По определению для некоторого комплексного числа z = a + bi сопря
женным является число 
=
−
.
z
a
bi

Тогда если z = 7 + 2i , то z = 7 – 2i — сопряженное.
При умножении воспользуемся формулой разности квадратов:

z · z = (7 + 2i) · (7 – 2i) = 72 – (2i)2 = 49 – 4i2 = 49 – 4 · (–1) = 49 + 4 = 53.

Ответ: z = 7 – 2i ; z · z = 53.

№5. Решите уравнение на множестве комплексных чисел x2 + 2x + 2 = 0.

Решение:
Данное уравнение является квадратным, поэтому решаем его, ис
пользуя дискриминант. 

D = b2 – 4ac = 22 – 4 · 1 · 2 = 4 – 8 = –4.

Так как дискриминант получается отрицательным, то квадратный ко
рень из него выражаем с помощью мнимой единицы: 
= 2
D
i . По фор
муле корней квадратного уравнения получаем

− ±
− ±
⋅ − ±
=
=
=
= − ±
⋅

1,2
2
2
2 ( 1
)
1
2
2 1
2

b
D
i
i
x
i
a

.

Глава 1. Первая рубежная работа

Замечание: Так как второй коэффициент квадратного уравнения чет
ный, то можно было использовать формулу D1. В этом случае корни было 
бы вычислить проще.

Ответ: –1 – i; –1 + i.

№6. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 

−
3
.

13
6
Решение:
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, не
обходимо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное к знаменателю. В этом случае используется формула разности квадратов: (a – b) · (a + b) = a2 – b2.

⋅
−
⋅
−
⋅
−
−
=
=
=
=
−
−
−
⋅
+
3
3 ( 13
6)
3 ( 13
6)
3 ( 13
6)
3 13
3 6

13
6
7
7
13
6
( 13
6) ( 13
6)

Ответ:
−
3 13
3 6 .
7

№7. Вычислите а) 
⋅ 5
5 16
2 ; б) 3
3
3
1
1
:
5
625

.

Решение:
В этом задании надо воспользоваться свойствами корней n-ой степени: 

⋅
=
n
n
n
b
ab
a
 и 
=
=
=
:
:

n
n
n
n
n
n
a
a
a
b
a b
b
b
 (приложение №II, ① и ②).

а) 
⋅
=
⋅
=
=
5
5
5
5
16
2
16 2
32
2 , так как 25 = 32.

б) 
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
3
3
3
3
3
3
1
8
1
8 625
1
:
:
8 125
2 5
10
5
625
5 625
5
1

, так как 23 = 8 и 

53 = 125.

Ответ: а) 2; б) 10.

№8. Представьте в виде степени с рациональным показателем 

(
)

−
⋅

3
2
1,23
0,1
5
:
m
m
m
.

Решение:
В приложении II указаны основные свойства степеней. В этом за
дании надо воспользоваться определением степени с рациональным 
показателем 

=

m
n
m
n
a
a

и следующими свойствами степеней: