Математика. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
УНИВЕРСИТЕТ ПРАВОСУДИЯ

М. Е. Бегларян
А. Н. Ващекин
В. Ю. Квачко
Е. А. Пичкуренко

Учебное пособие

Москва
2015

МАТЕМАТИКА

Часть I

Авторы:

Бегларян М. Е., 
канд. физ.-мат. наук, доцент,
зав. кафедрой социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин 
(СГЕНД) СКФ ФГБОУВО РГУП

Ващекин А. Н., 
канд. экон. наук, доцент, профессор кафедры информационного права,  
информатики и математики (ИПИиМ) ФГБОУВО РГУП

Квачко В. Ю., 
канд. физ.-мат. наук, доцент, 
доцент кафедры информационного права,  
информатики и математики (ИПИиМ) ФГБОУВО РГУП

Пичкуренко Е. А., 
канд. пед. наук, доцент, 
доцент кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин 
(СГЕНД) СКФ ФГБОУВО РГУП

Бегларян М. Е., Ващекин А. Н., Квачко В. Ю., Пичкуренко Е. А.
Математика: Учебное пособие / Под ред. А. Н. Ващекина. — М.: 
РГУП, 2015.

ISBN 978-5-93916-473-3

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 40.02.01 — «Право и организация социального обеспечения», 21.02.05 — 
«Земельно-имущественные отношения», 38.02.01 — «Экономика и бухгалтерский 
учет». 
Пособие содержит основные определения, методические указания к решению 
типовых задач, контрольные вопросы, индивидуальные задания для самостоятельной работы, а также варианты зачетных контрольных работ и примеры тестовых 
заданий.

 
© Бегларян М. Е., 2015
 
© Ващекин А. Н., 2015
 
© Квачко В. Ю., 2015
 
© Пичкуренко Е. А., 2015
 
©  Российский государственный 
университет правосудия, 2015

УДК 22.1
ББК 51(075.8)
М 34

ISBN 978-5-93916-473-3

М 34

Содержание

Раздел 1. Линейная алгебра
Основные определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .  32
Зачетная работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  47
Примеры тестовых заданий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50
Раздел 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Основные определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57
Методические указания по выполнению заданий  . . . . . . . . . . . . . . . .  68
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  79
Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .  81
Зачетная работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  84
Примеры тестовых заданий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  86
Раздел 3. Комплексные числа
Основные определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  92
Методические указания по выполнению заданий  . . . . . . . . . . . . . . . .  97
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . 101
Зачетная работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Примеры тестовых заданий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Раздел 4. Математический анализ
Основные определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Методические указания по выполнению заданий  . . . . . . . . . . . . . . . 128
Контрольные вопросы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . 148
Зачетная работа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Примеры тестовых заданий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Раздел 5. Приложения теории множеств и линейной алгебры к 
задачам принятия решений в судебной системе
Основные определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Методические указания по выполнению заданий  . . . . . . . . . . . . . . . 174
Индивидуальные задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . 182
Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Основные определения

1.1. Матрицы и действия над ними
Матрицей размера m  n называется прямоугольная таблица чисел, 
содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами A, B, C, ..., 
а элементы матрицы строчными aij, bij, ... с двойной индексацией (i – номер строки, j – номер столбца).







 








n

n

m
m
nn

a
a
...
a
a
a
...
a
A
...
...
...
...
a
a
...
a

11
12
1

21
22
2

1
2

.

Две матрицы одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть aij = bij для любого i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Некоторые специальные виды матриц
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк 
равно числу столбцов. Элементы квадратной матрицы a11, a22, …, ann, расположенные на прямой, мысленно проведенной из верхнего левого угла 
в нижний правый, образуют главную диагональ матрицы. Элементы, 
расположенные на прямой, идущей из верхнего правого в нижний левый, 
образуют побочную диагональ.
Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если 
все элементы матрицы, расположенные под (соответственно, над) главной диагональю, равны 0.

Основные определения

Квадратную матрицу назовем диагональной матрицей, если все ее 
элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Скалярной называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны между собой.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается E.
Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом.
Матрицу, не имеющую особых свойств, называют прямоугольной.

Основные операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А 
на число λ называется матрица В = λА, элементы которой bij = aij 
для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Если 

2
1
1
0


 






A
 то 

8
4
4
4
0



 






A
.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m  n называется матрица С = А+В, элементы которой cij = aij + bij, 
для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

8
10
2
4
2
5
6






























2
1
1
1
4

.

3. Вычитание матриц. С = А – В = А + (–1)В.
4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В возможно только если число столбцов (длина строки) первой матрицы равно числу строк (длине столбца) второй матрицы (в этом случае матрица 
А называется согласованной с матрицей В). Произведением матриц А и В 
называется матрица С, каждый элемент cij которой равен сумме попарных произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В.
Т.е. для 
,
m k
k n
m n
A
B
C





1
1
2
2
...
ij
i
j
i
j
ik
kj
c
a
b
a
b
a
b







,
i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Раздел 1. Линейная алгебра

6

Пример. Найти произведение матриц:




 





 











   


  


   
 













    


  
 

    
 





1
4
5
1
2
0
2
1
0
1
1
1
2
1
1

1 1
2 2
0 2
1 4
2 ( 1)
0 1
1 5
2 0
0 ( 1)
5
2
5
1 1
1 2
( 1) 2
1 4
1 ( 1)
( 1) 1
1 5
1 0
( 1) ( 1)
1
2
6

Замечание. Умножение матриц в общем случае некоммутативно, 
т.е. АВ ≠ ВА.
Пример. Заданы матрицы А и В.

2
3
3
5
,
1
1
1
2






















A
B
.

Вычислить произведения А·В и В·А. Убедиться в некоммутативности 
произведения матриц.



  
 
 
 


 









 




 






  


 
 

 






















 







A B
2
3
3
5
2 3
( 3) ( 1)
2 ( 5)
( 3) 2
1
1
1
2
( 1) 3
( 1) 1
( 1) ( 5)
1 2

6
3
10
6
9
16
3
1
5
2
4
7



  
 
 
 


 









 




 






   

 
 

 





 















 







B A
3
5
2
3
3 2
( 5) ( 1)
3 ( 3)
( 5) 1
1
2
1
1
( 1) 2
2 ( 1)
( 1) ( 3)
2 1

6
5
9
5
11
14
2
2
3
2
4
5

Очевидно: А·В ≠ В·А.

Основные определения

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице 
АT, в которой строки и столбцы поменялись местами: 

T
ij
ji
a
a . 

1
1
2
3
2
0 ,
0
1
3
1









 












T
1
A
A
-1

.

1.2. Определители и их свойства
Определитель, или детерминант, – это число, характеризующее 
квадратную матрицу. Порядок определителя равен порядку данной квадратной матрицы. 
Инверсией в числовой последовательности называется каждая пара 
чисел, стоящая в порядке убывания. Например, в последовательности 1; 
2; 3; 4; 5 инверсий нет. В последовательности 3; 5; 2; 1; 4 имеется 6 инверсий – это пары (3;2), (3;1), (5;2), (5;1), (5;4), (2;1).
Определителем n–го порядка называется алгебраическая сумма всех 
возможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и столбца. Эти произведения входят в сумму со знаком «+», 
если число инверсий в последовательности вторых индексов образующих их элементов – четное, и со знаком «–», если оно нечетное. 
Обозначается определитель как det A,  Δ  или |A|:

если 

n

n

n
n
nn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

11
12
1

21
22
2

1
2

.
.
.
.
.
.
.







 








, то 

n

n

n
n
nn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

11
12
1

21
22
2

1
2

.
.
det
.
.
.
.
.


.

Очевидно, что вычислять определитель по описанным правилам затруднительно даже для матриц невысоких порядков, поскольку потребуется составить все необходимые произведения из элементов матрицы (их 
количество равно n!), не забыв ни одно из них и не записав некоторые 
дважды, да ещё и подсчитать число инверсий, а уже затем производить 
вычисления. Поэтому выработаны схематические правила для вычисления определителей второго и третьего порядка, а также приемы вычисления определителей более высоких порядков, которые приводятся ниже.
Определитель матрицы второго порядка вычисляется следующим 
образом:

Раздел 1. Линейная алгебра

8

a
a
A
a a
a a
a
a

11
12

11
22
12
21
21
22



.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется так:

a
a
a
A
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a

11
12
13

21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
13
22
31

31
32
33








a a a
a a a
12
21
33
11
23
32


.

Составные части этого выражения – произведения сомножителей, 
которые, так же, как и знаки произведений, определяются по правилу 
треугольников.

Рис. 1
Произведения элементов, расположенных на главной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны 
этой диагонали, берутся с положительными знаками, а те, что расположены на побочной (обратной) диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся с 
отрицательными знаками.

Пример. Вычислить определитель.


 






1
2
3
0
1
2
1
1
1
0 3 3
2 2 2
3 2
1
1 2 3
2 0
1
9.
2
3
1

  
 

        
      



Основные определения

Определитель матрицы четвертого и более высоких порядков может 
быть вычислен, например, способом разложения его по элементам строки (столбца). Для этого потребуется ввести понятия минора и алгебраического дополнения.
Рассмотрим квадратную матрицу А n-го порядка.
Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием 
i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n-го порядка 
называется его минор, взятый со знаком (–1)i+j.
Aij = (–1)i+j Mij.
Пример. Пусть дана матрица

1
3
2
0
1
2
.
3
1
1
A
















Найти минор и алгебраическое дополнение элемента а13.

Решение. Минор элемента а13 равен 
13
0
1
3
3
1




M
, а алгебраиче
ское дополнение A13 = (–1) 1+3 M13 = 3.

Свойства определителей
1. Если какая-либо строка или столбец матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на какое-либо число, то ее определитель умножится на это число.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы местами ее 
определитель меняет знак на противоположный.
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, 
то ее определитель равен нулю.
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

Раздел 1. Линейная алгебра

10

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же ненулевое число.
9. Определитель произведения двух матриц равен произведению их 
определителей.
10. Сумма произведений произвольных чисел b1, b2, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки 
(столбца) на числа  b1, b2, …, bn.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме 
произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

n

i
i
i
i
in
in
ij
ij
j
a A
a A
a A
a A
1
1
2
2
1
...


 





или 

n

j
j
j
j
nj
nj
ij
ij
i
a A
a A
a A
a A
1
1
2
2
1
...


 




.

Следствие. Если в определителе имеется строка (столбец) только с 
одним ненулевым элементом, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.
Действительно, в разложении такого определителя по элементам 
указанной строки (столбца) все слагаемые разложения, кроме одного, 
обратятся в нуль, так как соответствующие им алгебраические дополнения умножаются на нули.
Сделаем следующие выводы.
1. Если вычисляется определитель второго или третьего порядка, 
то следует использовать представленные выше соответствующие схемы 
вычисления.
2. Если же порядок вычисляемого определителя n ≥ 4, то необходимо 
сначала, используя свойства определителя, упомянутую теорему и следствие к ней, последовательно понизить порядок определителя до третьего и второго, а затем применить уже известные схемы вычисления.
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка Δ.
Вычислим определитель путём разложения по элементам первой 
строки.