Математика

        

Москва
2016

Чернецов М.М.,

Карбачинская Н.Б.,
Лебедева Е.С.,  
Харитонова Е.Е.

Учебное пособие

Под редакцией М.М. Чернецова

МатеМатика

федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования

российский государственный университет правосудия

УДК 22.1
ББК 51
М 34

А в т о р ы:

Чернецов М.М., доцент кафедры общеобразовательных 
дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП, кандидат философских наук

Карбачинская Н.Б., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Лебедева Е.С., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Харитонова Е.Е., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Р е ц е н з е н т:

Деза Е.И., доцент, кандидат физико-математических 
наук, доктор педагогических наук, профессор кафедры 
теоретической информатики и дискретной математики 
ФГБОУ ВПО МПГУ
                                         
Математика: Учебное пособие / Под ред. М.М. Чернецова. 2-е изд., 
испр. и доп. — М.: РГУП, 2016. — 342 с.

ISBN 978-5-93916-481-8

Содержание учебного пособия соответствует Примерной программе изучения общеобразовательной дисциплины «Математика» в учреждениях начального и среднего профессионального образования.
В пособии содержится значительное число упражнений и кратко изложенный соответствующий теоретический материал по всем разделам, изучаемым 
в данной дисциплине: числовые множества, степени, корни, логарифмы, тригонометрия, начала математического анализа, прямые и плоскости, многогранники и фигуры вращения, векторы и координаты, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся на базе основного общего среднего образования по всем специальностям. Оно может быть использовано учащимися старших классов общеобразовательных школ и преподавателями математики.

© Коллектив авторов, 2016
© Российский государственный  
ISBN 978-5-93916-481-8
университет правосудия, 2016

М 34

Содержание

 

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Глава 1. Развитие понятия о числе
§ 1. Основные операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
§ 2. Замкнутость множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
§ 3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
I. Множество натуральных чисел N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
II. Множество целых чисел Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
III. Множество рациональных чисел Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
IV. Множество иррациональных чисел J . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
V. Множество действительных чисел R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
VI. Множество комплексных чисел C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Глава 2. Функции и их свойства
§ 1. Понятие функции и её основные свойства. . . . . . . . . . . . . . . .29
I. Понятие функции. Область определения и множество 
значений функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
II. Нули функции. Промежутки знакопостоянства  
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
III. Четность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
IV. Периодичность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
V. Монотонность функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
VI. Стационарные и критические точки функции. . . . . . . . . .33
VII. Точки экстремума и экстремумы функции . . . . . . . . . . . .33
VIII. Выпуклость и точки перегиба графика функции . . . . . .35
IХ. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
§ 2. Композиция функций и взаимно обратные функции. . . . . .36

Математика 

4

Глава 3. Корни, степени и логарифмы
§ 1. Корень натуральной степени и его свойства . . . . . . . . . . . . . .47
I. Квадратный корень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
II. Корень n-ой степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
§ 2. Степень с действительным показателем и её свойства . . . . .54
I. Степень с рациональным показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
II. Степень с действительным показателем . . . . . . . . . . . . . . . .54
§ 3. Иррациональные уравнения и неравенства. . . . . . . . . . . . . . .59
I. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
II. Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
§ 4. Логарифмы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
I. Понятие логарифма. Натуральный и десятичный 
логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
II. Свойства логарифмов и основные формулы . . . . . . . . . . . .66
§ 5. Показательная и логарифмическая функции, их графики 
и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
I. Показательная функция, её свойства и график. . . . . . . . . . .71
II. Логарифмическая функция, её свойства и график . . . . . . .71
§ 6. Показательные и логарифмические уравнения  
и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
I. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
II. Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
III. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
IV. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Глава 4. Основы тригонометрии
§ 1. Радианная мера угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
§ 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс действительного числа . . .91
I. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
II. Знаки тригонометрических функций по четвертям. . . . . .91
III. Связь между значениями тригонометрических  
функций чисел «α» и «−α» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 3. Основные формулы тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

Содержание

5

I. Зависимости между тригонометрическими функциями 
одного и того же аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
II. Формулы сложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
III. Формулы удвоенного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
IV. Формулы понижения степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
V. Формулы половинного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
VI. Преобразование произведения тригонометрических 
функций в сумму (разность) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
VII. Преобразование суммы и разности  
тригонометрических функций в произведение . . . . . . . . . . .100
VIII. Выражение тригонометрических функций через  
тангенс половинного аргумента (универсальная 
подстановка) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
IХ. Введение вспомогательного угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Х. Формулы приведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
§ 4. Тригонометрические функции, основные свойства 
и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
I. Функция y = sin x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . . .110
II. Функция y = cos x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . .111
III. Функция y = tg x, её свойства и график. . . . . . . . . . . . . . . .112
IV. Функция y = ctg x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . .114
§ 5. Обратные тригонометрические величины . . . . . . . . . . . . . . .121
I. Арксинус числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
II. Арккосинус числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
III. Арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
IV. Арккотангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
§ 6. Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
I. Уравнение sin x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
II. Уравнение cos x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
III. Уравнение tg x = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
IV. Уравнение ctg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
V. Примеры решения более сложных тригонометрических 
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

Математика 

6

Глава 5. Производная и её приложения
§ 1. Предел последовательности и предел функции . . . . . . . . . .141
I. Последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
II. Предел последовательности и его свойства . . . . . . . . . . . .142
III. Предел функции и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
§ 2. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
I. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
II. Таблица производных основных функций и правила 
дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
§ 3. Применение производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
I. Монотонность функции, стационарные и критические 
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
II. Точки экстремума, экстремумы, промежутки  
выпуклости и точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
III. Схема исследования функции y = f (x) и построение  
её графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
IV. Наибольшее и наименьшее значения функции 
на промежутке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

Глава 6. Первообразная и её приложения
§ 1. Первообразная функции и неопределенный интеграл . . . .168
§ 2. Определенный интеграл и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . .174
§ 3. Приложения определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . .175
I. Площадь криволинейной трапеции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
II. Вычисление площадей фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
III. Вычисление объемов тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
IV. Физические приложения определенного интеграла . . . .181

Глава 7. Прямые и плоскости в пространстве
§ 1. Изображение пространственных фигур на плоскости . . . .188
§ 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей 
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
I. Основные аксиомы стереометрии и следствия из них . . .194
II. Взаимное расположение прямых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

Содержание 

7

III. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . . . . . .196
IV. Взаимное расположение плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . .196
§ 3. Углы и расстояния в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
I. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
II. Угол между прямой и плоскостью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
III. Расстояния в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
IV. Угол между плоскостями. Двугранный угол . . . . . . . . . . .204
§ 4. Некоторые теоремы о параллельности 
и перпендикулярности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

Глава 8. Многогранники
§ 1. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
I. Призма. Правильная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
II. Параллелепипед. Куб… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
III. Объём и площадь поверхности призмы,  
прямоугольного параллелепипеда и куба. . . . . . . . . . . . . . . . .217
§ 2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
I. Пирамида. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
II. Усечённая пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
III. Объём и площадь поверхности пирамиды . . . . . . . . . . . .225
§ 3. Правильные многогранники. Симметрия  
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
I. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
II. Симметрия в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

Глава 9. Фигуры (тела) вращения
§ 1. Цилиндр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
I. Цилиндр. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
II. Объём и площадь поверхности цилиндра . . . . . . . . . . . . .236
§ 2. Конус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
I. Конус. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
II. Усечённый конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
III. Объём и площадь поверхности конуса. . . . . . . . . . . . . . . .240
§ 3. Шар и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

Математика 

8

I. Шар и сфера. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243
II. Объём и площадь поверхности шара . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Глава 10. Векторы и координаты
§ 1. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
I. Векторы. Основные понятия. Правила действия 
с векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
II. Компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
III. Скалярное произведение векторов. Основные  
формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
§ 2. Координаты в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
I. Прямоугольная система координат в пространстве . . . . .250
II. Правила действий с векторами в координатах.  
Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

Глава 11. Элементы комбинаторики
§ 1. Основные методы и формулы комбинаторики . . . . . . . . . . .259
I. Перебор возможных вариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
II. Логический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
III. Основные комбинаторные конструкции:  
перестановки, размещения, сочетания. . . . . . . . . . . . . . . . . . .261
IV. Общая схема решения некоторых задач по  
комбинаторике (схема Гладковой Е. Б.). . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
§ 2. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
I. Треугольник Паскаля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
II. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
§ 3. Правила сложения и умножения в комбинаторике . . . . . . .274
I. Правило сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
II. Правило умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

Глава 12. Элементы теории вероятностей и математической 
статистики
§ 1. Основные понятия теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . .278
§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.  
Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Содержание

§ 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. . . . . . . . . .291
§ 4. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
§ 5. Статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
Список использованной литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
Список рекомендованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

ПредиСловие

На протяжении всей истории цивилизованного человечества математике придавалось особое значение, не случайно её считали и считают «царицей наук», и, как положено царице, она и изящна, и красива, 
и величава, и труднодоступна.
В переводе с греческого μαθημα [матэма] — это знание, познание 
путём рассуждения. История науки и познания в целом убедительно 
подтверждают «непостижимую эффективность» математики, которая 
стала действенным, наиболее безупречным методом получения достоверного знания о мире.
Общепризнано, что математика является важнейшей составляющей 
человеческой культуры и её изучение во все времена и на всех ступенях образования считалось одним из приоритетных. Хорошее математическое образование и развитие математических способностей 
необходимо не только тому, кто впоследствии займётся научными исследованиями в области точных наук, но и тем, кто выберет для себя 
гуманитарное образование. Математический стиль мышления, умение 
рассуждать строго, без логических скачков, привычка к полноценности аргументации нужны также экономистам и историкам, биологам 
и лингвистам, психологам и юристам.
Данное пособие предназначено для студентов первого курса факультета непрерывного образования Российского государственного 
университета правосудия, обучающихся по различным специальностям юридического и экономического профиля, но может быть использовано во всех учебных учреждениях среднего профессионального