Математический анализ. Сборник задач и решений с применением системы Maple

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

СБОРНИК ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ 
С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ MAPLE

О.С. КУЗНЕЦОВА
М.Н. КИРСАНОВ

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по техническим и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») 
(протокол № 8 от 22.06.2020)

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
К89

Кузнецова О.С.
К89  
Математический анализ. Сборник задач и решений с применением 
системы Maple : учебное пособие / О.С. Кузнецова, М.Н. Кирсанов. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 375 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1160964.

ISBN 978-5-16-016476-2 (print)
ISBN 978-5-16-108735-0 (online)
Сборник содержит теоретический материал, условия и примеры решений задач с ответами, а также более 400 тестовых вопросов по математическому анализу для контроля усвоения теоретического и практического материала. Все задачи и тестовые вопросы могут быть использованы как для 
самостоятельного решения, так и в качестве контрольных работ и типовых 
заданий при очном, очно-заочном и дистанционном обучении. Пособие 
содержит рекомендации применения системы компьютерной математики 
Maple для решения задач и краткий справочник по основным командам 
этой системы.
Для студентов и преподавателей технических и экономических вузов.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Р е ц е н з е н т ы:
Прохоров Д.В., доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой математического анализа Саратовского национального исследовательского государственного университета имени 
Н.Г. Чернышевского;
Ткачёв В.Г., доктор физико-математических наук, профессор Математического института Университета Линчёпинга (Швеция)

А в т о р ы:
Кузнецова О.С., кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского;
Кирсанов М.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Национального исследовательского университета «МЭИ»

ISBN 978-5-16-016476-2 (print)
ISBN 978-5-16-108735-0 (online)
© Кузнецова О.С., Кирсанов М.Н., 
2020

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Часть I.
Предел последовательности

Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Классификация множеств действительных чисел . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Основные операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава 2. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . . . . 19
2.3 Основные теоремы о пределах последовательностей . . . . . . . . . . . 20
2.4 Верхняя и нижняя грани множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Арифметические действия с пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 «Эталонные» пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 Фундаментальность последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Часть II.
Предел и непрерывность функции в
точке

Глава 1. Понятия функции, предела и непрерывности . . . . . . . . . . . 28

1.1 Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Окрестность. Определения непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Предел функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Теоремы о пределах функций в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Глава 2. Односторонняя непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Односторонняя непрерывность. Односторонние пределы . . . . . . . . . 40
2.2 Классификация разрывов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции . . . . . . 44

3.1 Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции . . . 44
3.2 Предел функции в бесконечно удалённой точке . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Часть III.
Производная функции
одной переменной

Глава 1. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Оглавление

1.1 Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2 Интерпретация производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3 Теоремы о средних значениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4 Дифференциал первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава 2. n-дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Теоремы о дифференцируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Производная параметрической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Производная неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Правило Лопиталя – Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Глава 3. Исследование поведения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Теоремы о дифференцируемых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Исследование функции и построение графика . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Замечания о наибольшем и наименьшем значении. . . . . . . . . . . . . 70

Часть IV.
Интеграл

Глава 1. Неопределённый интеграл и первообразная . . . . . . . . . . . . 72

1.1 Определение первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.2 Метод непосредственного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3 Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4 Тригонометрические подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.7 Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы . . . . 87
1.8 Интегрирование тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 90
1.9 Дифференциальные биномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.10 Эллиптические интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 2. Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.1 Интеграл Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2 Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3 Интеграл Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Геометрический смысл определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Понятие несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6 Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Часть V.
Функции многих
переменных

Глава 1. Дифференцирование функций многих переменных . . . . . . 112

Оглавление
5

1.1 Пространство Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.2 Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.3 Частные производные
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.4 Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.5 Частные производные сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Глава 2. Экстремумы функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . 120

2.1 Необходимое условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.2 Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Часть VI.
Дифференциальные
уравнения

Глава 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . 128

1.1 Порядок дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.2 Применение дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Глава 2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.1 Определение, порядок и решение дифференциального уравнения . . . 130
2.2 Интегральные кривые и изоклины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.3 Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Глава 3. Классификация и методы решения ДУ . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3 Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5 Линейные уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6 Схема решения однородного линейного ДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.7 Схема решения неоднородного ЛДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Часть VII.
Ряды

Глава 1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.1 Предварительные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.2 Свойства сходящихся числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.3 Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами . 154
1.4 Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Глава 2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.1 Равномерная сходимость функциональных рядов. . . . . . . . . . . . . . 160
2.2 Свойства равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4 Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Оглавление

2.5 Разложение некоторых функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . 168

Часть VIII.
Математика в Maple

Глава 1. Вычисления и символьные преобразования . . . . . . . . . . . . 170

1.1 Ввод информации и простейшие вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1.2 Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1.3 Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1.4 Предел. Построение графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1.5 Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1.6 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1.7 Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
1.8 Обыкновенные дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.9 Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1.10 Информационный пакет MathematicalFunctions . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 2. Программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

2.1 Оператор цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
2.2 Условный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
2.3 Процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.4 Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.5 Преобразование и упрощение выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Часть IX.
Тесты

Глава 1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Глава 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.1 Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2.2 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
2.3 Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.4 Пределы рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.5 Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Глава 3. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.1 Производные 1 и высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.2 Дифференциал 1 и 2 порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.3 Касательная и нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.4 Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.5 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.6 Производная неявной и параметрической функций . . . . . . . . . . . . 236
3.7 Приближённые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Глава 4. Интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.1 Первообразная по определению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Оглавление
7

4.2 Табличные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.3 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.4 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.5 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.6 Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.7 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Глава 5. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.1 Область существования функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.2 Частные производные и дифференциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.3 Экстремум и наибольшее (наименьшее) значения . . . . . . . . . . . . . 261

Глава 6. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.1 Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.2 Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.3 ДУ n порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4 Замена переменных в ДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5 Различные типы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 273

Глава 7. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Часть X.
Задачи

Глава 1. Множества. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . 283

1.1 Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1.2 Предел числовых последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
1.3 Вычисление предела числовой последовательности . . . . . . . . . . . . 287

Глава 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

2.1 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
2.2 Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
2.3 Второй замечательный предел-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
2.4 Предел с корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Глава 3. Производная функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . 292

3.1 Производная функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3.2 Производная в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.3 Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.4 Производная неявной функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.5 Производная параметрически заданной функции . . . . . . . . . . . . . . 305
3.6 Вторая производная от многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.7 Производная второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
3.8 Асимптоты функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
3.9 Экстремумы функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.10 Исследование на экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3.11 Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Оглавление

Глава 4. Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

4.1 Интеграл от тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4.2 Интегрирование дроби-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.3 Интегрирование дроби-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.4 Интегрирование дроби-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.5 Интегрирование дроби-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.6 Интегрирование дроби-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.7 Метод неопределённых коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.8 Интегрирование дифференциальных биномов . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.9 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

4.10 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4.11 Определённый интеграл-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.12 Определённый интеграл-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.13 Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.14 Приложения определённого интеграла-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Часть XI.
Ответы

Глава 1. Ответы к заданиям по последовательностям . . . . . . . . . . . 345

Глава 2. Ответы к заданиям по пределам функций . . . . . . . . . . . . . 346

Глава 3. Ответы к заданиям по производным . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Глава 4. Ответы к заданиям по интегралам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Глава 5. Ответы к тестам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Предисловие

Широко распространено мнение студентов, особенно первокурсников, о необычайной сложности математического анализа, который, в
том или ином объёме, приходится изучать практически всем вчерашним школьникам. Авторы пособия имеют многолетнюю практику преподавания математического анализа именно такой аудитории, ежегодно
встречаясь с почти массовыми трудностями в восприятии, которые
имеют несколько однотипный характер.
Авторы настоящего пособия задались целью издать сборник задач
по математическому анализу, который необходим многим специальностям ВУЗов. Особое внимание уделено применению цифровых технологий к данному классическому курсу, а именно, решение задач и демонстрация возможностей современной математической компьютерной
системы Mаple.
В пособии в достаточной мере представлен теоретический материал
(основные теоремы и следствия, без доказательств), индивидуальные
варианты задач, а также тестовые вопросы. Более 400 тестовых вопросов, относящихся к типу множественного выбора, снабжены ответом
или ответами и в пособии конкурируют с традиционными задачами в
смысле удобства проверки правильности решения и оценивания студенческих работ преподавателем. Пособие также может быть использовано
при подготовке к студенческим олимпиадам по математике, наравне с
такими изданиями, как [36].
Варианты индивидуальных задач разработаны на основе двух
генераторов
проф.
М.Н.
Кирсанова,
МЭИ
и
А.А.
Финогeнова,
ЮГУ.
Ссылки
на
генераторы
задач
vuz.exponenta.ru
и

http://generatorzadach.blogspot.com.
Данное пособие в черновом варианте было апробировано в течение нескольких лет работы со студентами Саратовского социальноэкономического института (филиала) РЭУ им. Г.В. Плеханова.
Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о
книге: astra1987@yandex.ru, mpei2004@yandex.ru

Часть I

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Глава 1

Элементы теории множеств

При изучении наук примеры
полезнее правил.

И. Ньютон

1.1 Понятие множества

Язык теории множеств — наиболее общий, универсальный язык, с
помощью которого можно привести определение математики как науки,
изучающей различные отношения на множествах. Обозначим
A, B, M1, M2, . . . — множества; a, b, m, . . . — элементы множества;
a ∈ M — «элемент a принадлежит множеству M»;
a /∈ M — «элемент a не принадлежит множеству M».
Пусть E — некоторое свойство, тогда запись

M = {a : a обладает свойством E}

определяет множество M, состоящее из тех и только тех элементов a,
которые обладают свойством E. Например, B = {a ∈ R : a > 0} —
множество всех положительных действительных чисел.

Определение 1.1. Пусть каждый элемент множества M1 является элементом множества M2. Тогда говорят, что множество M1
является подмножеством множества M2 1: M1 ⊂ M2 (рис. 2.6).

1⊂ — знак включения множеств.