Геометрические построения на плоскости и в пространстве: задачи и решения

   А.А. Дадаян





   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи и решения

   2-е издание

   Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособя для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования







МОСКВА 2020

УДК 514(075) ББК 22.151я723
      Д14




Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теория вероятностей МГУ В.В. Сенатов;


      Дадаян А.А.
Д14 Геометрические постороения на плоскости и в пространстве: задачи и решения : учебное пособие / А.А. Дадаян. — 2-е изд. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2020. — 464 с. : ил. — (Профессиональное образование).

        ISBN 978-5-91134-807-6 (ФОРУМ)
        ISBN 978-5-16-009146-4 (ИНФРА-М)

        Книга представляет собой учебное пособие по одному из важнейших разделов конструктивной геометрии — решению геометрических задач на построение. В ней широко представлены методы геометрических пострений, составляющих стержень идей «наглядной» геометрии, в которой весьма ограничены алгебраические вычисления площадей и объемов (разумеется, кроме алгебраического метода геометричесских построений).
        В пособие включено 640 задачс решениями. Большинство из этих решений выполнено по строгой схеме: анализ, построение, доказательство, исследование с обязательным выполнением рисунка. В книге — 710 рисунков, как к решениям задач, так и множествам связей и конфигураций различных геометрических объектов, помогающих решению задач.
        Книга предназначена для учителей и учащихся средних школ. Она может служить полезным пособием и для студентов и преподавателей педагогических вузов.

                                                    УДК 514(075)
                                                    ББК 22.151я723









ISBN 978-5-91134-807-6 (ФОРУМ) © Дадаян А.А., 2007, 2013
ISBN 978-5-16-009146-4 (ИНФРА-М) © Издательство «ФОРУМ», 2007, 2013

Оглавление









Оглавление..........................................................3
Предисловие.........................................................8
Введение...........................................................13
Глава 1. Общие сведения о решении задач на построение..............19
  § 1.1. Задачи на геометрические построения.......................19
  § 1.2. Связи и конфигурации......................................27
     1. Две точки..................................................27
     2. Точка и прямая.............................................27
     3. Две прямые.................................................28
     4. Прямая MN и две точки А и В................................28
     5. Точка и окружность.........................................29
     6. Прямая и окружность........................................30
     7. Угол и точка...............................................30
     8. Угол и прямая..............................................31
     9. Окружность (О, R), прямая MN и точка Р на этой прямой......31
     10. Две окружности (два круга)................................32
     11. Точка Р на окружности (О, r) и прямая MN..................32
     12. Прямая АВ и две параллельные прямые CD и EF...............33
     13. Окружность S и две параллельные прямые AB и CD............34
     14. Окружность S и угол а.....................................34
  § 1.3. Общие точки двух геометрических фигур.....................36
  § 1.4. Определение положения геометрической фигуры...............38
     1. Точка......................................................38
     2. Прямая и отрезок прямой....................................40
     3. Угол.......................................................40
     4. Окружность.................................................40
     Задачи для самостоятельного решения (во всех случаях исследуйте вопрос существования решения).................................43
  § 1.5. Задачи на построение углов и отрезков.....................43
  § 1.6. Задачи на построение некоторых множеств точек, встречающихся в сложных задачах..................................................45
  Решения задач из главы 1.........................................47
Глава 2. Простейшие задачи на геометрические построения............59
  § 2.1. Элементарные построения...................................59
  § 2.2. Основные построения (простейшие задачи)...................61
     Задачи........................................................71
     Задачи для самостоятельного решения...........................72
     Решения задач из главы 2......................................73

Оглавление

Глава 3. Общие требования к решению задач на построение............80
  § 3.1. Схема решения геометрических задач на построение..........80
  § 3.2. Основные этапы в решении задач на построение..............82
     1. Пояснительный рисунок......................................82
     2. Анализ.....................................................83
     3. Построение.................................................87
     4. Доказательство.............................................87
     5. Исследование...............................................88
  § 3.3. Пример решения геометрической задачи на построение........90
     Задачи.......................................................103
  § 3.4. Геометрические софизмы...................................104
     Решения задач из главы 3.....................................107
Глава 4. Методы решения геометрических задач на построение........109
  § 4.1. Введение.................................................109
  § 4.2. Решение геометрических задач на построение методом пересечений.....................................................113
     Задачи.......................................................120
  § 4.3. Решение геометрических задач на построение методом параллельного переноса и поворота...............................120
  § 4.4. Решение геометрических задач на построение методом симметрии.......................................................128
  § 4.5. Решение геометрических задач на построение методом спрямления......................................................132
  § 4.6. Решение геометрических задач на построение методом подобия.136
  § 4.7. Решение геометрических задач на построение методом обратности......................................................142
     Решения задач из главы 4.....................................145
Глава 5. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение........................................................165
  § 5.1. Введение.................................................165
  § 5.2. Решение простейших задач на построение алгебраическим методом.........................................................167
     Задачи.......................................................175
  § 5.3. Отношение отрезков.......................................177
     1. Отношение т : п : р.......................................177
     2. Отношения а²: b², а³: b³ и т. п...........................178
     3. Отношения Оа :-7b, 4!a : 4fb и т. д.......................180
     Решения задач из главы 5.....................................182
Глава 6. Построение отрезков, многоугольников и окружностей.......195
  § 6.1. Построение отрезков и углов..............................195
  § 6.2. Построение треугольников.................................200
     Задачи.......................................................210
  § 6.3. Построение четырехугольников.............................211
     1. Построение квадрата.......................................211
     Задачи.......................................................212
     2. Построение прямоугольника.................................213
     3. Построение ромба..........................................214

Оглавление                                                           5

     4. Построение параллелограмма.................................214
     5. Построение трапеции........................................218
     6. Построение произвольных четырехугольников..................223
  § 6.4. Построение окружности и ее частей.........................229
  § 6.5. Решение сложных задач на построение на плоскости..........236
     Решения задач из главы 6......................................258
Глава 7. Построение правильных многоугольников.....................334
  § 7.1. Простейшие задачи на построение правильных многоугольников.... 334
     I. Построение квадрата........................................334
     Задачи для самостоятельного решения...........................335
     II. Построение правильного шестиугольника и равностороннего треугольника..................................................335
     Задачи для самостоятельного решения...........................336
     Упражнения для самостоятельного построения....................337
  § 7.2. Задача об отыскание общего метода построения правильных многоугольников..................................................337
  § 7.3. Построение правильного пятиугольника......................339
     Задачи для самостоятельного решения...........................341
  § 7.4. О невозможности построения при помощи циркуля и линейки правильного семиугольника........................................342
     Задачи........................................................344
     Решения задач из главы 7......................................344
Глава 8. Основные построения в пространстве........................348
  § 8.1. Изображение пространственных фигур........................348
     Задачи........................................................355
  § 8.2. Общие принципы построения в пространстве..................356
     Задачи........................................................359
  § 8.3. Основные методы построения в пространстве.................359
     Задачи........................................................361
     Задачи........................................................363
     Задачи........................................................365
  § 8.4  . Построение сечений многогранников и круглых тел.........366
     Задачи........................................................367
  § 8.5. Построение правильных многогранников......................369
     Решения задач из главы 8......................................370
Глава 9. Неразрешимость классических задач на построение...........384
  § 9.1. Трисекция угла............................................384
  § 9.2. Удвоение куба.............................................387
  § 9.3. Квадратура круга..........................................387
  § 9.4. Невозможность построения треугольника по трем ее биссектрисам.....................................................388
Глава 10. Построение геометрических фигур в зависимости от принятых инструментов.......................................................391
  § 10.1. Использование различных инструментов при решении геометрических задач на построение...............................391
  § 10.2. Решение задач на построение одним циркулем...............393
     I. Построение параллельных и перпендикулярных прямых..........395

Оглавление

     II. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников................................................397
     III. Сложение, вычитание, умножение и деление отрезков......402
     IV. Построение центра окружности...............................405
     V.  Умножение и деление углов. Построение пропорциональных отрезков....................................................406
  § 10.3. Решение задач на построение одной линейкой с привлечением какой-то дополнительной фигуры.................................407
     I. Примеры задач, решаемых одной линейкой...................407
     II. Использование теоремы о пересечении высот треугольника в одной точке для построения одной линейкой.........................410
     III. Применение свойства трапеции к построениям одной линейкой.413
Приложение 1.....................................................416
  I. Свойства геометрических фигур...............................416
     I. Свойства геометрических фигур на плоскости...............416
     1. Прямая и ее элементы.....................................416
     2. Угол.....................................................419
     3. Многоугольник............................................421
     4. Треугольник..............................................422
     5. Параллелограмм...........................................425
     6. Прямоугольник............................................426
     7. Ромб и квадрат...........................................426
     8. Трапеция.................................................427
     9. Окружность и круг. Элементы окружности и круга...........428
     10. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей...............................432
     11. Вписанные и описанные многоугольники....................433
  II. Свойства геометрических фигур в пространстве..................434
     II. Изображения пространственных фигур......................434
     1. Плоскость и ее свойства..................................435
     2. Взаимное расположение прямой и плоскости.................436
     3. Параллельность прямых и плоскостей.......................437
     4. Угол между прямыми в пространстве........................438
     5. Перпендикуляр и наклонная к плоскости....................438
     6. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей..................................................439
     7. Двугранные и многогранные углы. Угол между плоскостями...440
     8. Многогранники............................................441
      8.1. Призма................................................442
      8.2. Параллелепипед........................................443
      8.3. Пирамида..............................................444
      8.4. Усеченная пирамида....................................445
      8.5. Правильные многогранники..............................446
     9. Круглые тела.............................................448
      9.1. Цилиндр...............................................448
      9.2. Конус.................................................449
      9.3. Усеченный конус.......................................449

Оглавление                                                        7

      9.4. Сфера и шар..........................................450
      9.5. Части шара...........................................451
Приложение 2. Геометрические преобразования и их свойства.......454
     1. Перемещения.............................................454
     2. Параллельный перенос....................................455
     3. Осевая симметрия........................................456
     3. Поворот. Центральная симметрия..........................457
     4. Гомотетия. Подобие......................................458
Литература......................................................460

Предисловие






    Назначение этой книги — служить учебным пособием по одному из важнейших разделов конструктивной геометрии — решению геометрических задач на построение.
    Расположение материала и стиль изложения книги несколько отличаются от порядка изложения школьного курса геометрии, так как в учебниках по геометрии, к сожалению, не предусмотрена специальная тема, целиком посвященная задачам на построение фигур по заданным условиям и с использованием тех или иных инструментов. В учебниках, в лучшем случае, даются некоторые лишь фрагменты этого раздела геометрии. Более того, изучая те или иные фигуры, например, многогранники и другие пространственные тела, учащиеся не всегда пользуются методами их построения, что отрицательно сказывается не только на знаниях, но и на умении правильно решать геометрические задачи.
    К написанию настоящего пособия автора побудила потребность учителей, учащихся средних школ, студентов педагогических и технических вузов и колледжей, а также выпускников школ, готовящихся к вступительным экзаменам по математике, иметь систематическое пособие с углубленным изложением весьма важного и необходимого в теории и методах геометрических построений материала. Учитывая, что пособия, которые бы в достаточно полной мере освещали затронутые вопросы, не издавались почти пятьдесят лет, а выпущенные в середине прошлого века аналогичные пособия¹ составляют библиографическую редкость, появление данной книги, посвященной этому разделу геометрии, должно восполнить этот пробел.

¹ Сошлемся здесь на более или менее полные пособия по методам геометрических построений: 1. А. Адлер. Теория геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1940; 2. И. И. Александров. Сборник геометрических задач на построение, М.: Учпедгиз, 1950; 3. Н Ф. Четверухин. Методы геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1952; 4. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.

Предисловие

9

    Геометрические задачи на построение не только дают возможность глубже изучить геометрию, но и прививают такие навыки и способности, которые весьма полезны каждому. Отметим лишь, что решение геометрических задач на построение:
    1)     является одним из надежных способов систематического повторения геометрии;
    2)     заставляет учащегося обстоятельно и глубоко вникнуть в известные геометрические факты;
    3)     приучает учащихся проявлять настойчивость в достижении намеченной цели;
    4)     приучает учащихся логически и рационально мыслить, дисциплинировать свое мышление;
    5)    приучает проявлять инициативу и изобретательность;
    6)    способствует развитию пространственных представлений.
    Принимая во внимание роль, которую играют геометрические задачи на построение в усвоении курса геометрии и развитии мышления, необходимо предлагать учащимся эти задачи в течение всего времени прохождения курса геометрии, начиная от самых легких и постепенно переходя к более сложным. Осуществить решение геометрических задач на построение достаточно легко, так как на протяжении изучения курса геометрии имеется возможность найти достаточное количество задач этого рода, которые были бы тесно связаны с любой прорабатываемой темой курса.
    Приведем краткую характеристику материала настоящего пособия.
    Весь материал изложен в десяти главах и двух приложениях.
    Глава 1 содержит обзор общих сведений по решению геометрических задач на построение. Здесь дается определение понятия геометрической задачи на построение, ее условия и заключения, устанавливаются всевозможные связи и конфигурации между различными геометрическими фигурами, их положениями, а так же представлена система задач с решениями и рисунками к ним.
    Глава 2 посвящается решению простейших задач на построение. Существуют задачи (мы называем их основными), которые широко используются при решении более сложных задач. А потому, при решении сложной задачи, в которой как элемент встречается эта простейшая, каждый раз не нужно приводить ее полное решение, требуется лишь ссылка на нее, при условии, что чи

Предисловие

татель уже знает как ее решить. Далее приводятся примеры использования этих простейших задач.
    В главе 3 изложены общие требования к решению задач на построение, дана схема и основные этапы в решении задач на построение и на многих примерах показано как все это используется при решении задач.
    Предмет главы 4 — методы решения геометрических задач на построение. Выделяются и иллюстрируются шесть чисто геометрических методов решения задач на построение: метод пересечений (метод геометрического места точек), метод параллельного переноса, метод симметрии (осевой и центральной), метод спрямления, метод подобия и метод обратности.
    Алгебраическому методу решения геометрических задач на построение посвящена отдельная 5 глава. Здесь же даны решения простейших задач на построение, решаемые алгебраическим методом и использование отношений отрезков.
    Глава 6 — специальная. Здесь представлено большое число задач (более двухсот) на построение отрезков, многоугольников (специально выделены группы задач на построение треугольников, квадратов, прямоугольников, ромбов, параллелограммов, трапеций, произвольных четырехугольников), построение окружностей и ее частей. Выделен специальный параграф, где представлены решения более сложных задач на построение.
    Глава 7 посвящена построению правильных многоугольников. Вначале главы приводятся решения задач на построение простейших правильных многоугольников, известных из школьного курса геометрии, затем рассматривается задача на отыскание общего метода построения правильных многоугольников, приведено построение правильного пяти- и десятиугольника и показано, что невозможно при помощи циркуля и линейки построить некоторые правильные многоугольники.
    В главе 8 рассматриваются некоторые методы решения задач на построение в пространстве при помощи циркуля и линейки. Первый параграф главы посвящен весьма важному вопросу стереометрии: изображению пространственных фигур на плоскости. Затем представлены общие принципы построения в пространстве и некоторые методы построения. Материал § 8.4 весьма важен для развития пространственных представлений; здесь представлены задачи на построение сечений многогранников и круглых тел.