Методическое обеспечение профессионального образования, 2019, № 1 (3)

 

 
                    
ISSN 2617-9873

НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ 

АЛЬМАНАХ

 

 

   
 

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
2 

ISSN 2617-9873

Свидетельство о регистрации

средства массовой коммуникации

ЭЛ № ФС 77 - 73318 от 20 июля 2018 г.

ЭЛЕКТРОННОЕ НАУЧНОЕ

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ

Научно-педагогический альманах

«Методическое обеспечение 

профессионального образования»

Главный редактор: А.С. Бажин

Редакционно-издательский совет:

Зам. главного редактора: Р.В. Светайло

Ответственный редактор: В.И. Николаева

Технический редактор А.С. Овчинников

Ответственный редактор англоязычного содержания Н.И. Фомина

Выпуск № 1 (3)
2019 г.

© «Эксперт – Наука», 2019. Все права защищены.
© Коллектив авторов, 2019. Все права защищены.

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
3 

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Манилова Г.В.

Доцент кафедры общей физики

Московский институт электронной техники

Россия, г. Москва

Борзаков С.С.
ученик 11 кл.

ГБОУ Школа №1692

Россия, г. Москва

Карпухина Д.Г.
ученица 11 кл.

ГБОУ Школа №1692

Россия, г Москва

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ 
РАБОТ ПО ФИЗИКЕ ПО ТЕМЕ: «ИЗУЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО 

УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ МЕХАНИЧЕСКИХ 

КОЛЕБАНИЙ»

Аннотация. Изучение темы «Механические колебания» в 11 классе 

традиционно вызывает у учащихся трудности, связанные с необходимостью 

применять математический аппарат дифференциального исчисления для 

описания физических процессов. Предлагаемые авторами лабораторные работы 

– один из методических приёмов практического преодоления указанных 

трудностей.

Ключевые 
слова: 
физика, 
лабораторные 
работы, 
механические 

колебания.

Методические 
указания 
по 
выполнению 
лабораторных 
работ 

предназначены для учащихся 11-х физико-математических классов школ, 

гимназий и лицеев. Они позволят систематизировать, углубить,  закрепить и 

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
4 

практически применить теоретические знания, полученные учащимися при 

изучении темы «Механические колебания». Далее разобраны способы 

получения 
дифференциального 
уравнения 
свободных 
 
незатухающих 

гармонических  колебаний, позволяющие вычислить период этих колебаний. 

Даны методические указания по выполнению трёх лабораторных работ по этой 

теме. Эти лабораторные работы, по усмотрению учителя, могут быть выполнены 

как фронтальные, так и лабораторные работы по вариантам. Безусловным 

преимуществом предложенных работ является тот факт, что для их проведения 

необходим очень скромный комплект оборудования, которым располагает 

любой 
кабинет 
физики. 
Продолжительность 
выполнения 
любой 
из 

лабораторных работ позволяет учащимся провести опыты, вычисления, 

оформить и обосновать полученные результаты работы учителю  в течение 

одного школьного урока.

На заметку учителю: обратите, пожалуйста, внимание учащихся на то, 

что методику, разработанную для изучения механических колебаний, можно с 

хорошей точностью применять к процессам, которые периодическими не 

являются (как это делается, например, в лабораторной работе №1).

Теоретическое значение периода свободных незатухающих механических 

колебаний данной колебательной системы  можно получить,  составив  

дифференциальное уравнение, описывающее эти колебания. Для этого можно 

применить два способа.

Первый 
способ: 
применение 
уравнений 
динамики.

Покажем суть этого способа на примере пружинного маятника, который 

представляет собой  груз, совершающий колебания на пружине, к которой он 

подвешен.

По первому закону Ньютона  можно рассчитать деформацию пружины, 

обусловленную весом груза:

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
5 

1) Покой (рис. 1)
Рис. 1

kx0 = mg

X0 = 

𝑚𝑔

𝑘

Для того чтобы начались колебания, необходимо деформировать пружину 

дополнительно на  х (см. рис. 2)

2) Колебания

k(x0 + x) – mg + mx'' = 0
Рис. 2

kx0 + kx – mg + mx'' = 0

mg + kx – mg + mx'' = 0

T = 2𝜋√

𝑚

𝑘

Второй способ: применение закона сохранения механической энергии.

Т.к. затуханием колебаний мы пренебрегаем, применим к той же механической 

модели закон сохранения механической энергии. Для корректного описания 

процесса необходимо записать этот закон в тот момент колебаний, когда в 

системе присутствуют все виды механической энергии.

2) Закон сохранения энергии 

Ek + En = const

𝑚𝜗2

2  + 

𝑘𝑥2

2  = const

Обе части полученного равенства необходимо продифференцировать по 

времени:

𝑚
2 · 2𝜗 · 𝜗′ + 𝑘

2 · 2𝑥 · 𝑥′ = 0

X0 

m 

K 

X0 

m 

l0 

X 

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
6 

m · x' · x'' + k · x · x' = 0

mx'' + kx=0

mx'' + kx=0  |  : m

x'' + 

𝑘

𝑚 𝑥 = 0

ω2 = 𝑘

𝑚

T = 2𝜋√𝑚

𝑘

Применим рассмотренные способы получения дифференциального уравнения 

свободных незатухающих гармонических колебаний в описанных ниже 

лабораторных работах.

Лабораторная работа № 1.

«Определение времени и силы удара мяча о поверхность»

Цель: Определить время и силу удара мяча о поверхность.

Оборудование: штатив, песок, мяч массой 200 грамм.

Теория:

Удар мяча о поверхность пола можно рассматривать как колебания упруго 

деформированного тела с периодом T = 2π√

𝒎

𝒌 , где m – масса мяча, k – жёсткость 

мяча. Отпускаем мяч с высоты  H без начальной скорости.

Из закона сохранения энергии (рис. 3): 

𝒌𝒙𝟐

𝟐 = 𝐦𝐠𝐇

где х - величина деформации, находим k – жёсткость мяча

k
=

𝟐𝒎𝒈𝑯

𝒙𝟐 .

Из рис. 4 определим величину деформации мяча:

•
AB = x; x = OA – OB; OA = 

𝑫

𝟐;

•
OB = √𝑶𝑪𝟐 – 𝑩𝑪𝟐 = √(

𝑫

𝟐)

𝟐

 − (

𝒅

𝟐)

𝟐
;  x = 

𝑫

𝟐 - √(

𝑫

𝟐)

𝟐

 − (

𝒅

𝟐)

𝟐

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
7 

•
Где D – диаметр мяча, d – диаметр следа от удара мяча, полученного с 

помощью песка.

С учетом k и x находим: τ = 

𝝅𝒙

√𝟐𝒈𝑯.

Рис.3
Рис.4

Эксперимент:

Далее, проводя серию опытов, можно показать, что 

𝒙

√𝑯 = const. А 

следовательно, время τ не зависит от высоты Н падения мяча. Можно так же  

получить оценку времени соударения (τ = 30 ÷ 50 мкс).

Лабораторная работа № 2.

«Определение периода колебаний пробирки с песком в воде»

Цель: определить период колебаний пробирки с песком в воде.

Оборудование: силиконовая пробирка, песок, электронные весы, сосуд  с 

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
8 

водой, линейка. 

Теория: На плавающую пробирку с песком действует сила тяжести Fт, 

направленная вертикально вниз, и Архимедова сила Fа, направленная 

вертикально вверх (см. рис. 5). В положении равновесия: Fт = Fа.  Fа = ρgV, где 

ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, V – объем 

погруженной части пробирки.

Таким образом, в положении равновесия Fт = ρgV.

Если 
погрузить 
пробирку 
на 
глубину 
x, 
то 
результирующая 

выталкивающая сила будет равна: Fx = Fт – Fа’; Fа’ = ρgV’, где V’ = V + Sx

объем погруженной части пробирки в данный момент, S – площадь поперечного 

сечения трубки.

Fx = ρgV – ρg(V + Sx) = -ρgSx;

Fx = -ρgSx.  С другой стороны, Fx = -kx, следовательно, k = ρgS.

Подставив это выражение в формулу для периода колебаний T = 2n√

𝑚

𝑘 , 

получим:  T = 2n√

𝒎

𝝆𝒈𝑺 .

Эксперимент:

Погрузив пробирку с песком в воду, 
возбудить малые колебания пробирки и 
измерить время нескольких колебаний. 
Определить экспериментальное 
значение периода колебаний, разделив 
полученное значение на число 
колебаний. Экспериментальное 
значение периода сравнить с 
теоретическим значением,
рассчитанным по формуле, выведенной 
выше.

Рис. 5

FА

mg

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
9 

Лабораторная работа № 3.

«Определение периода колебаний столба жидкости в U-образной 

трубке»

Оборудование: U-образная трубка, вода, краситель, шприц (без иглы), 

штатив, пробка с отверстием, линейка.

Теория: Вода движется ускоренно под действием разности силы давления 

столбов жидкости. Колебания будут совершаться относительно положения 

равновесия, соответствующего равным высотам уровня воды в обоих коленах. 

Поэтому разность уровней будет равна 2x (см. рис. 6).

На всю массу воды действует сила Fx = -ρgSx, где ρ – плотность воды, g –

ускорение свободного падения, S – площадь внутреннего сечения трубки 

пробирки. Знак  “-”  означает, что сила направлена против смещения. 

С другой стороны: F = -kx.

Следовательно: kx = 2ρgSx =>  k = 2ρgS.

Подставляя значение для k в формулу для периода колебаний

T = 2π√

𝒎 

𝒌 , получим:

T = 2π√

𝒎

𝟐𝝆𝒈𝑺.

Массу воды можно вычислить, зная сечение трубки и плотность жидкости:

m = ρSL, где L – длина всего водяного столба в манометре.

Для периода колебаний получаем следующую формулу: 

T = 2π√

𝝆𝑺𝑳

𝟐𝝆𝒈𝑺 =>  T = 2π√

𝑳

𝟐𝒈.

Эксперимент: Возбудить малые колебания столба подкрашенной 

жидкости в U-образной трубке при помощи шприца, вставленного в пробку,  

измерить время нескольких колебаний. Определить экспериментальное значение 

Научно-педагогический альманах  

«Методическое обеспечение профессионального образования»  

№ 1 (3) 2019 г. 

_________________________________________________________________ 

 

 
almanah-mopo@mail.ru 
10 

периода колебаний, разделив 

полученное значение на число 

колебаний. 

Экспериментальное значение 

периода 
сравнить 
с 

теоретическим 
значением, 

рассчитанным по формуле, 

выведенной выше.

Рис. 6

Список использованных источников:

1.
Иродов, И. Е. Механика. Основные законы. // Физматлит; Невский 

диалект; Лаборатория базовых знаний. / И. Е. Иродов. – М.: 2001. – 320 с.

2.
Дельцов, В. П. Физика. Дойти до самой сути! Настольная книга для 

углубленного изучения физики в средней школе. Механика // Издательская 

группа “URSS” / В. П. Дельцов, В. В. Дельцов. – М.: 2017. – 272 с.

x

x