Математическое моделирование и проектирование

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

А.С. КОЛОМЕЙЧЕНКО
И.Н. КРАВЧЕНКО
А.Н. СТАВЦЕВ 
А.А. ПОЛУХИН

Под редакцией А.С. Коломейченко

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим 
советом профессионального образования 
в качестве учебного пособия для учебных заведений, 
реализующих программу среднего профессионального 
образования по специальности 35.02.05 «Агрономия» 
(протокол № 12 от 24.06.2019)

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [519.86+63](075.32)
ББК 22.12:4я723
 
К61

Коломейченко А.С.
К61  
Математическое моделирование и проектирование : учебное пособие / А.С. Коломейченко, И.Н. Кравченко, А.Н. Ставцев, А.А. Полухин ; под ред. А.С. Коломейченко. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
181 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-015651-4
В учебном пособии изложены теоретические основы математического 
моделирования различных процессов в сельскохозяйственном производстве. Дается структурный анализ моделируемых систем и подробный разбор поэтапного построения ряда экономико-математических моделей, 
имеющих практическую значимость для прогнозирования и эффективной 
оптимизации различных производственных процессов в растениеводческой отрасли. На примере рассматриваемых задач подробно описана методика оптимизации производственных параметров с учетом критерия 
экономической эффективности. Дается обобщенный анализ и классификация методов оптимального проектирования, применяемых в исследовании экономических систем и процессов, приводятся практические примеры разработки математических моделей на основе методов линейного 
программирования и математической статистики с применением современных программных средств.
Для студентов учреждений среднего профессионального образования, 
обучающихся по специальности 35.02.05 «Агрономия», студентов сельскохозяйственных вузов.

УДК [519.86+63](075.32)
ББК 22.12:4я723

Р е ц е н з е н т ы:
Князев С.Д., доктор сельскохозяйственных наук, профессор, директор Всероссийского научно-исследовательского института селекции 
плодовых культур;
Новикова Н.Е., доктор сельскохозяйственных наук, профессор кафедры растениеводства Орловского государственного аграрного университета имени Н.В. Парахина

ISBN 978-5-16-015651-4
© Коломейченко А.С., Кравченко И.Н., 
Ставцев А.Н., Полухин А.А., 2020

Введение

Развитие экономической науки на современном этапе сопровождается повышенным интересом специалистов к научному решению 
проблем с использованием экономико-математических методов и моделей. В первую очередь это связано с тем, что математические методы 
и модели позволяют описывать сложнейшие экономические и производственные системы в более удобном для понимания и исследования 
виде. Во-вторых, они позволяют принимать научно обоснованные 
и апробированные на опыте управленческие решения. Большинство 
явлений и процессов в агропромышленном производстве находятся 
в постоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи. Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет большую роль в агропромышленном комплексе (АПК) как на макро-, так и на микроуровне. 
Объекты и процессы в АПК достаточно сложны и обладают 
определенной степенью неопределенности, в связи с чем замена их 
модельным аналогом часто сопровождается сбором большого числа 
статистических данных. Применение математических методов 
при моделировании процессов и явлений позволяет определить, 
каким образом будет развиваться производственная система или 
каким образом необходимо ее развивать. Математическое моделирование позволяет быстрее и с меньшими затратами определить оптимальный путь развития производства, в отличие от естественных 
экспериментов. Основная проблема при стратегическом планировании производства и оперативном управлении состоит в том, 
чтобы из множества возможных решений при заданных условиях 
уметь находить наилучшее, т.е. оптимальное. Для этого и применяются методы математического моделирования. Наибольшее распространение среди них получил метод линейного программирования. 
Методы математического моделирования постепенно проникают 
во все сферы человеческой деятельности, максимально широкое 
применение они находят в планировании и управлении.
В учебном пособии рассматриваются общие понятия математического моделирования и экономико-математического в частности, дается подробный разбор поэтапного построения и анализа 
ряда экономико-математических моделей, имеющих практическую 
значимость для прогнозирования и эффективной оптимизации различных производственных процессов в растениеводстве. На примере рассматриваемых задач изучается методика принятия решения 
в растениеводческой отрасли на основе оптимизации производ

ственных параметров по критерию экономической эффективности. 
В теоретической части дается обобщенный анализ и классификация методов и моделей, применяемых в исследовании экономических объектов и процессов в сельском хозяйстве, далее приводятся практические примеры разработки математических моделей 
на основе методов линейного программирования и математической 
статистики. Решение всех рассматриваемых задач проводится средствами программы Microsoft Excеl.
Представленный в учебном пособии теоретический и практический материал позволит студентам освоить следующие компетенции:
 
• способность к абстрактному мышлению, анализу и синтезу;
 
• владение методами программирования урожаев полевых культур 
для различных уровней агротехнологий;
 
• способность обосновать задачи исследования, выбрать методы 
экспериментальной работы, интерпретировать и представить 
результаты научных экспериментов;
 
• готовность применять разнообразные методологические подходы к моделированию и проектированию сортов, систем защиты растений, приемов и технологий производства продукции 
растениеводства;
 
• готовность применять разнообразные методологические подходы к проектированию агротехнологий и моделированию агроэкосистем, оптимизации почвенных условий, систем применения удобрений для различных сельскохозяйственных культур;
 
• способность обосновать оптимальный способ использования 
земли, средств химизации и механизации для получения наибольшей экономической и экологической эффективности; 
 
• готовность использовать информационные технологии и системы 
в своей профессиональной деятельности.
В результате изучения материалов данного пособия студент 
должен:
знать
 
• основные понятия и термины теории математического моделирования;
 
• классификацию математических моделей и круг решаемых на их 
основе задач;
 
• методы экономико-математического анализа и оптимального 
проектирования;
 
• возможности и принципы применения аппарата математического моделирования для решения производственных и научноисследовательских задач в растениеводстве и экологии;

уметь
 
• обобщать и анализировать результаты статистической обработки 
данных;
 
• разрабатывать формализованные модели, позволяющие спрогнозировать влияние удобрений и химических мелиорантов на плодородие почв, урожайность и качество сельскохозяйственных 
культур и экологическую безопасность агроландшафтов;
 
• разрабатывать проекты оптимизации почвенного плодородия 
различных агроландшафтов; 
 
• разрабатывать и реализовывать проекты экологически безопасных 
приемов и технологий производства высококачественной продукции растениеводства с учетом свойств агроланд шафтов и экономической эффективности;
владеть
 
• экономико-математическими методами проектирования оптимальных систем землепользования и производства продукции 
растениеводства;
 
• способами решения разработанных математических моделей 
с применением современных программных средств;
 
• навыками создания оптимизационных моделей технологий возделывания сельскохозяйственных культур, систем защиты растений.
Учебное пособие также может быть полезно для практических 
работников, желающих самостоятельно изучить и применять 
на практике разнообразные экономико-математические методы 
и модели.

Глава 1. 

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ В АГРОПРОМЫШЛЕННОМ 
КОМПЛЕКСЕ

1.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И НАПРАВЛЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 
АГРОПРОМЫШЛЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

Моделирование производственных процессов на уровне сельскохозяйственного предприятия или региона применяется для конкретизации основных целей развития производства и определения 
средств, необходимых для достижения этих целей. Построение 
экономико-математических моделей всегда направлено на повышение эффективности производства, которой можно достичь 
лишь при соблюдении принципа пропорционального развития 
отраслей. Для этого необходима балансовая увязка между производственными ресурсами и запланированными объемами производства продукции, между отраслями растениеводства, животноводства и перерабатывающим производством, по отдельным 
возделываемым сельскохозяйственным культурам и отдельным 
выращиваемым группам (видам) скота как внутри сельскохозяйственных предприятий, так и между предприятиями региона. 
Моделирование соотношения отраслей в организации агропромышленного комплекса помогает определить его специализацию, 
учитывая сложившиеся экономические условия. Оптимизированная структура предприятия должна соответствовать, с одной 
стороны, потребностям общества в продуктах сельского хозяйства, 
что находит свое отражение в плановых заданиях, а с другой — способствовать наиболее полному и эффективному использованию 
земельных, трудовых и материальных ресурсов хозяйства. Наряду 
с экономическими условиями сочетание отраслей по их размерам 
и количеству определяется также технологическими, биологическими, почвенно-климатическими и другими условиями. Например, для рационального землепользования необходимо наиболее полно учитывать свойства и особенности ландшафта, способствовать охране и воспроизводству почвенного, растительного 
покрова и других природных компонентов. Достижение поставленных целей возможно на основе ландшафтно-экологического 
подхода, предполагающего выявление связей в экосистемах агроландшафтов и их учет при выборе направлений и видов исполь

зования земель. Эколого-экономический подход должен обязательно учитываться при проектировании оптимальной структуры, 
специализации и сочетания отраслей по критериям экономической 
и экологической эффективностей, так называемый равновесный 
критерий. Как правило, в таких моделях учитывают качество почв 
по баллу бонитета, тип почв, эрозированность, уклон и т.д.1

Знаете ли вы?
Доля эродированной пашни на Среднерусской возвышенности составляет 35—60%, а средняя интенсивность эрозии — 8,6 т/га. Один 
из путей решения этой проблемы заключается в моделировании экологически устойчивых севооборотов.

Все это делает проблему правильной специализации и рационального сочетания отраслей сельскохозяйственных предприятиях 
сложной, многовариантной задачей. Изменение размера даже 
одной из отраслей в силу наличия прямых и обратных связей приводит к определенным изменениям в других и во всей структуре 
производства. Поэтому любая корректировка плана сопряжена 
у специалистов сельского хозяйства, использующих обычные методы планирования, с большими затратами времени, а результаты 
расчетов по этим планам могут быть, как правило, значительно 
улучшены.
Модель оптимальной структуры и сочетания производства предприятия или региона стоит на верхнем уровне иерархии сельскохозяйственных моделей и объединяет их в своей структуре.
Применение математических методов и прикладных программных продуктов для решения данной проблемы значительно 
повышает эффективность планово-экономической работы, оно 
дает возможность не только значительно сократить время вычислений, но и обеспечить получение оптимальных результатов. 
Под оптимальной производственной структурой сельскохозяйственного предприятия следует понимать такие количественные 
соотношения между отдельными отраслями, которые, обеспечивая 
выполнение планов и договоров по продаже продукции, позволяют 
наиболее полно и эффективно использовать наличные и дополнительно вовлекаемые производственные ресурсы и получить наивысший экономический эффект.
К системообразующим в системе моделей агропромышленного 
производства наряду с моделью оптимизации производственной 

1 
Коломейченко А.С. Экономико-математическая модель структуры сельскохозяйственных угодий с учетом экологической составляющей // Актуальные 
проблемы гуманитарных и естественных наук. 2014. № 2–1. С. 157–161.

структуры можно отнести и модели оптимизации территориального размещения по предприятиям и линейно-динамическую оптимизацию темпов и пропорций производства по периодам.
Модель оптимизации производственной структуры агропромышленного предприятия или организации является составной 
частью модели оптимизации развития и размещения агропромышленного объединения. Кроме этого, в модель могут входить блоки 
промышленной переработки сельскохозяйственной продукции 
и связи между сельскохозяйственным и промышленным производством. К прикладным моделям относятся расчеты прогнозирования 
уровня и темпов роста урожайности сельскохозяйственных культур, 
продуктивности животных, себестоимости продукции, фондоемкости, производительности труда, объемов производственных ресурсов — земельных, трудовых, основных фондов, капитальных 
вложений; условий и каналов реализации готовой продукции. Выходная информация совокупности моделей прикладного комплекса 
является входной для моделей с объектом исследования более высокого уровня.
Математическая модель оптимизации производственной структуры может решать целый ряд различных экономико-математических задач как на уровне сельскохозяйственного предприятия, так 
и на региональном уровне (оптимальной специализации и размещения производства по территории в районе, области, республике). 
Эта модель позволяет также решать ряд других вопросов, которые 
детализируют сельскохозяйственное производство: оптимизацию 
состава машинно-тракторного парка, использование минеральных 
удобрений и др. Модель оптимизации производственной структуры 
включает в себя как составные части более простые модели или их 
отдельные компоненты — оптимизации кормовых рационов, структуры стада, структуры посевных площадей, и в наибольшей степени — оптимизации плана кормопроизводства. На сегодняшний 
день разработано достаточно много экономико-математических 
моделей для сельскохозяйственного производства, которые можно 
брать за основу при решении задач оптимизации на конкретном 
предприятии. К ним относятся:
 
• нахождение оптимальной структуры посевных площадей;
 
• оптимальное распределение удобрений;
 
• оптимизация состава и использования машинно-тракторного 
парка;
 
• моделирование структуры и оборота стада;
 
• оптимальный состав кормовых рационов;
 
• оптимизация производства и распределения кормов;

• оптимальное сочетание отраслей в сельскохозяйственном предприятии;
 
• специализация сельскохозяйственного предприятия по отраслям или в целом по производству;
 
• оптимальное использование трудовых ресурсов;
 
• оптимальное размещение сельскохозяйственных предприятий;
 
• оптимальная структура сельскохозяйственных угодий;
 
• оптимальное производство животноводческой продукции;
 
• планирование оптимальных перевозок и обеспечения ресурсами;
 
• оптимальное размещение водозадерживающих сооружений.
Применение экономико-математических методов и специализированных прикладных программ позволяет получить оптимальный 
план сочетания отраслей агропромышленного предприятия, обеспечивающий наиболее эффективное использование трудовых, материальных и финансовых ресурсов, а также производственных 
мощностей перерабатывающего предприятия (цеха, завода). Критериями оптимальности в данной задаче могут быть: максимум валовой (товарной) продукции; максимум прибыли (чистого дохода); 
минимум материально-денежных затрат (при фиксированных объемах производства продукции).
В процессе решения определяют значения следующих групп 
переменных величин: площади многолетних насаждений и сельскохозяйственных культур; поголовье скота и птицы; объем производства продукции перерабатывающего предприятия; потребность 
в расширении производственных мощностей и емкостей завода; 
объем производства вторичного сырья и продукции его переработки; стоимостные показатели; оптимальный вариант использования сельскохозяйственного сырья и технологий его переработки 
и др.
Наиболее ответственным моментом в математическом моделировании экономических процессов является правильная постановка экономико-математической задачи, подлежащей решению.
Постановка задачи предполагает ее четкую экономическую формулировку, включающую цель решения, установление планового 
периода, выяснение известных параметров объекта и тех, количественное значение которых нужно определить, их производственно-экономических связей, а также множества факторов и условий, 
отражающих моделируемый процесс.
Цель решения экономико-математической задачи выражается 
количественно определенным показателем, называемым критерием 
оптимальности. 

При этом понятие «критерий оптимальности» не следует отождествлять с понятием «цель системы». Цель — это некоторое желаемое состояние производственно-экономической системы и поэтому в содержательном отношении существенно шире понятия 
критерия оптимальности1. Критерий должен соответствовать экономической сущности решаемой задачи. При этом необходимы 
всесторонний и глубокий качественный анализ существа решаемой задачи и точная формулировка цели ее решения, поскольку 
при изменении критерия оптимальности, как правило, значительно 
изменяется как сам оптимальный план, так и его характеристики. 
Выбор критерия оптимальности должен быть грамотным с теоретических позиций, соответствовать народнохозяйственным интересам, удовлетворять потребности практического планирования 
и отвечать требованиям математического метода решения задачи.
Аналитическим выражением критерия оптимальности в формализованной математической оптимизационной модели является 
целевая функция, а количественным выражением — показатели 
эффективности.
В качестве предпочтительных критериев оптимальности, отвечающих целям развития сельскохозяйственных предприятий, могут 
выступать следующие показатели:
 
• максимум прибыли, определяемый как разность между суммой 
реализованной продукции и ее полной себестоимостью;
 
• максимум чистого дохода, определяемый как разность между 
стоимостью валовой продукции и суммой всех производственных затрат;
 
• максимум товарной или валовой продукции в стоимостном 
выражении; минимум производственных затрат; минимум 
приведенных затрат и др. В наибольшей степени требованию 
максимального производства продукции при минимуме затрат соответствуют первые два критерия — максимум прибыли 
и максимум чистого дохода.
При решении отдельных экономико-математических задач часто 
используются наряду со стоимостными и другие разнообразные 
критерии оптимальности, например, минимум затрат пашни, минимум затрат трудовых ресурсов, максимум производства зерна 
и др.
Важным этапом при решении экономико-математических задач 
является определение перечня переменных и ограничений. В по
1 
Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов 
в сельском хозяйстве. М.: Колос, 1978. 

становке задачи должен содержаться ясный ответ на вопрос, что 
в ней является неизвестным, иначе говоря, какие переменные величины и их численные значения необходимо найти в результате 
ее решения.
Во-первых, перечень переменных величин всегда должен отражать характер, основное содержание моделируемого экономического процесса. Например, при моделировании рационов кормления в качестве переменных будут выступать виды кормов и кормовых добавок, из которых составляется рацион для конкретного 
животного. Решив такую задачу на ЭВМ, определяют, какое количество каждого вида кормов, входящих в перечень переменных, 
должно быть в оптимальном рационе.
Аналогично при моделировании производственной структуры 
сельскохозяйственного предприятия в качестве переменных величин могут выступать площади сельскохозяйственных культур 
и кормовых угодий, объемы валовой и товарной продукции по отраслям, количество кормов, производственные затраты, объемы 
ресурсов, количество поголовья животных, количество единиц техники, количество удобрений и т.д. В результате решения на ЭВМ 
будут получены их необходимые величины — какое поголовье 
скота в разрезе видов и половозрастных групп необходимо содержать в данном хозяйстве, сколько гектаров и каких сельскохозяйственных культур посеять и т.д. Точно так же в экономико-математической модели оптимизации состава и структуры машиннотракторного парка переменными величинами являются количество 
видов агрегатов и марок тракторов и сельскохозяйственных машин, 
покупаемых или списываемых в хозяйстве.
Во-вторых, помимо характера моделируемого процесса, количество и состав переменных в каждой экономико-математической 
модели определяется вычислительными возможностями ЭВМ и ее 
программ, на которой предполагается осуществить решение конкретной задачи. Чем больше мощность ЭВМ, тем большее количество переменных и ограничений можно включить в задачу. 
В-третьих, количество переменных зависит от выбора планового периода процесса (долгосрочный, среднесрочный, текущий), 
который оказывает существенное влияние на степень детализации 
состава переменных. Чем меньше период, на который составляется 
экономико-математическая модель, тем больше детализация переменных. При планировании на более отдаленную перспективу (пятилетний план, план организационно-хозяйственного устройства) 
необходимости в столь подробной детализации переменных нет, 
и поэтому сельскохозяйственные культуры вводятся в разрезе