Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства

Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена

Ю. В. Маслова

ОСНОВЫ
МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Часть II. Евклидовы пространства

Учебно-методическое пособие
для студентов педагогических вузов

Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А. И. Герцена
2018

1

ББК 22.151.1
М 31

Маслова Ю. В.
М 31
Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства: учебно-методическое пособие для студентов педагогических
вузов. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. — 57 с.

ISBN 978-5-8064-2529-5

Материал, представленный в учебно-методическом пособии, соответствует действующей учебной программе по геометрии, которая является частью основной образовательной программы подготовки бакалавра
по направлениям «01.03.02 – Прикладная математика и информатика» и
«44.03.01 – Педагогическое образование», профиль «Математическое образование». Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как
предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс
линейной алгебры студентами пройден.

ББК 22.151.1

ISBN 978-5-8064-2529-5
c⃝ Маслова Ю. В., 2018
c⃝ Смилга Л. Б., оформление обложки, 2018
c⃝ Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2018

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.................................................................................................. 5
§ 1. Евклидово векторное пространство........................................................6
1.1. Определение и следствия из аксиом евклидова векторного пространства............. ..........................................................................................6
1.2. Примеры евклидовых векторных пространств..............................7
1.3. Длина вектора и угол между векторами........................................8
1.4. Ортонормированный базис...........................................................12
1.5. Изоморфизм евклидовых векторных пространств......................16
1.6. Ортогональное дополнение...........................................................18
Вопросы и упражнения к § 1.........................................................................19
§ 2. Евклидово точечное пространство.........................................................21
2.1. Определение евклидова точечного пространства.........................21
2.2. Примеры евклидовых точечных пространств..............................21
2.3. Расстояние между точками...........................................................22
Вопросы и упражнения к § 2.........................................................................23
§ 3. Декартовы координаты..........................................................................24
3.1. Декартова система координат.......................................................24
3.2. Переход к новой системе координат..............................................24
Вопросы и упражнения к § 3.........................................................................25
§ 4. Плоскости в евклидовом точечном пространстве..................................27
4.1. Задание плоскости точкой и нормальным подпространством.....27
4.2. Перпендикуляр к плоскости.........................................................28
4.3. Расстояние от точки до гиперплоскости.......................................29
4.4. Ортогональные плоскости............................................................30
Вопросы и упражнения к § 4........................................................................32
§ 5. Преобразования евклидова точечного пространства............................34
5.1. Определение и простейшие свойства движения...........................34
5.2. Теорема подвижности...................................................................34
5.3. Аналитическое задание движения. Род движения.......................35
5.4. Группа движений. Равенство фигур. Инвариантная фигура......35
5.5. Виды движений.............................................................................36
5.5.1. Параллельный перенос.......................................................36
5.5.2. Симметрия относительно k-мерной плоскости..................36
5.5.3. Поворот вокруг (n−2)-мерной плоскости..........................37

3

5.6. Примеры аффинных преобразований евклидовых точечных
пространств................................................................................................39
5.6.1. Гомотетия..........................................................................39
5.6.2. Подобие.............................................................................40
Вопросы и упражнения к § 5......................................................................40
§ 6. Многогранники в евклидовом точечном пространстве.......................42
6.1. Определитель Грама. Объёмы...................................................42
6.2. Определение правильного многогранника.Символ Шлефли....44
6.3. Простейшие примеры правильных многогранников.................46
6.4. Теорема Шлефли о классификации правильных
многогранников..........................................................................................49
Вопросы и упражнения к § 6......................................................................50
§ 7. Групповой подход к геометрии............................................................51
Литература........................................................................................54

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебно-методическое пособие написано в соответствии
с действующей учебной программой по геометрии и предназначено для
студентов факультета математики РГПУ им. А.И. Герцена. Оно состоит из двух книг и посвящено геометрии n-мерных пространств. Первая
книга («Основы многомерной геометрии. Часть I. Аффинные пространства») посвящена n-мерным аффинным пространствам, вторая книга
(«Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства»)
посвящена n-мерным евклидовым точечным пространствам. В пособии
изложены наиболее наглядные вопросы геометрии n-мерных пространств,
относящиеся к k-мерным плоскостям и многогранникам рассматриваемого пространства. Классификация квадрик в аффинном и евклидовом
пространствах в этом пособии не излагаются. Для изучения этих тем
предлагаем читателю обратиться к книгам [7], [9].
Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и
указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс линейной
алгебры ([3], [4]) студентами пройден.
Автор настоящего пособия поставил перед собой ряд задач:
1) познакомить читателя с основными принципами аксиоматического построения математической теории (в частности, геометрии);
2) построить n-мерное евклидово точечное пространство, основываясь
на аксиоматическом методе;
3) изложить наиболее наглядный материал геометрии n-мерных пространств: k-мерные плоскости и многогранники;
4) подобрать набор задач и упражнений, необходимых для лучшего усвоения теоретического материала.
Автор считает своим долгом поблагодарить Т.Г. Ходот за помощь
и поддержку при подготовке данного пособия, а также за полезные комментарии и исправления.

5

§ 1. ЕВКЛИДОВО ВЕКТОРНОЕ
ПРОСТРАНСТВО

1.1. Определение и следствия из аксиом
евклидова векторного пространства

Пусть V – векторное пространство, R – поле действительных чисел.
Определение. Скалярным произведением векторов пространства
V называется отображение V × V → R, которое каждой упорядоченной
паре элементов u и v из V ставит в соответствие число из R, которое
мы будем обозначать (u, v), удовлетворяющее следующим аксиомам.
Аксиома V1. ∀ u , v ∈ V
(u, v) = (v, u).
Аксиома V2. ∀ u , v , w ∈ V
(u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Аксиома V3. ∀ u , v ∈ V
∀ l ∈ R
(l u , v ) = l( u , v ).
Аксиома V4. ∀ u ∈ V
(u ̸= 0 → (u, u) > 0).

Определение. Векторное пространство V , на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым векторным пространством.
Будем обозначать евклидово векторное пространство через E. Если при этом размерность евклидова векторного пространства равна n,
то оно называется n-мерным евклидовым векторным пространством и
обозначается En.
Таким образом, система аксиом n-мерного евклидова векторного
пространства состоит из четырех групп: I и II группы – аксиомы векторного пространства, III группа – аксиомы размерности и V группа –
аксиомы скалярного произведения.

Из аксиом V группы непосредственно вытекают следующие три
свойства евклидового векторного пространства.
Следствие 1. ∀ u , v , w ∈ E
( u , v + w )=( u , v )+( u , w ).
Следствие 2. ∀ u , v ∈ E
∀ l ∈ R
( u , l v )=l( u , v ).
Следствие 3. ∀ u ∈ E
(0, u )=0.
Доказательство. Поскольку 0 = 0 u и (0 u , u )=0( u , u )=0, cледовательно, (0, u ) = (0 u , u )=0.
Следствие 4. u = 0 ⇐⇒ (u, u) = 0.

6