Основы многомерной геометрии. Аффинные пространства. Часть I

Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена

Ю. В. Маслова

ОСНОВЫ
МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Часть I. Аффинные пространства

Учебно-методическое пособие
для студентов педагогических вузов

Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А. И. Герцена
2018

1

ББК 22.151.3
М 31

Маслова Ю. В.
М 31
Основы многомерной геометрии. Часть I. Аффинные пространства: учебно-методическое пособие для студентов педагогических
вузов. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. – 82 с.

ISBN 978-5-8064-2491-5

Материал, представленный в учебно-методическом пособии, соответствует действующей учебной программе по геометрии, которая является частью основной образовательной программы подготовки бакалавра
по направлениям «01.03.02 – Прикладная математика и информатика» и
«44.03.01 – Педагогическое образование», профиль «Математическое образование». Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как
предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс
линейной алгебры студентами пройден.

ББК 22.151.3

ISBN 978-5-8064-2491-5
c⃝ Ю. В. Маслова, 2018
c⃝ Л. Б. Смилга, оформление обложки, 2018
c⃝ Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2018

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие................................................................................................5
Введение......................................................................................................6
§ 1. Векторное пространство......................................................................10
1.1. Определение векторного пространства......................................10
1.2. Следствия из аксиом векторного пространства.........................10
1.3. Примеры векторных пространств..............................................11
1.4. Размерность. Базис. Координаты..............................................12
1.5. Подпространства векторного пространства..............................16
1.6. Изоморфизм векторных пространств........................................17
Вопросы и упражнения к § 1......................................................................18
§ 2. Аффинное пространство.....................................................................22
2.1. Определение аффинного пространства.....................................22
2.2. Следствия из аксиом аффинного пространства........................23
2.3. Примеры аффинных пространств............................................24
2.4. Изоморфизм аффинных пространств......................................26
§ 3. Аффинные координаты.......................................................................28
3.1. Система точек в общем расположении.....................................28
3.2. Аффинная система координат....................................................29
3.3. Переход к новой системе координат...........................................30
Вопросы и упражнения к §§ 2–3................................................................32
§ 4. Плоскости в аффинном пространстве................................................38
4.1. Определение k-мерной плоскости.............................................38
4.2. Плоскость как аффинное пространство.....................................39
4.3. Способы задания k-мерной плоскости.....................................40
4.3.1. Параметрические уравнения плоскости..........................40
4.3.2. Общие уравнения плоскости............................................42
4.3.3. Уравнение плоскости, проходящей через точки в общем
расположении.............................................................................................45
4.4. Взаимное расположение плоскостей...........................................47
4.4.1. Параллельные плоскости..................................................47
4.4.2. Пересекающиеся плоскости..............................................48
4.4.3. Скрещивающиеся плоскости............................................49
4.5. Формула Грассмана....................................................................49
Вопросы и упражнения к § 4......................................................................52

3

§ 5. Преобразования аффинного пространства.........................................67
5.1. Определение и свойства аффинных преобразований................67
5.2. Основная теорема об аффинных преобразованиях...................68
Вопросы и упражнения к § 5......................................................................68
§ 6. Выпуклые многогранники в аффинном пространстве.......................70
6.1. Отрезок. Простое отношение трёх точек....................................70
6.2. Полупространство, полуплоскость, луч.....................................71
6.3. Определение выпуклого многогранника и его границы............74
6.4. Простейшие примеры выпуклых многогранников....................76
6.4.1. Симплекс..........................................................................76
6.4.2. Параллелепипед...............................................................77
6.5. Аффинные задачи, решаемые в аксиоматике Вейля.................78
Вопросы и упражнения к § 6......................................................................79
Литература........................................................................................81

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебно-методическое пособие написано в соответствии
с действующей учебной программой по геометрии и предназначено для
студентов факультета математики РГПУ им. А.И. Герцена. Оно состоит из двух книг и посвящено геометрии n-мерных пространств. Первая
книга («Основы многомерной геометрии. Часть I. Аффинные пространства») посвящена n-мерным аффинным пространствам, вторая книга
(«Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства»)
посвящена n-мерным евклидовым точечным пространствам. В пособии
изложены наиболее наглядные вопросы геометрии n-мерных пространств,
относящиеся к k-мерным плоскостям и многогранникам рассматриваемого пространства. Классификация квадрик в аффинном и евклидовом
пространствах в этом пособии не излагаются. Для изучения этих тем
предлагаем читателю обратиться к книгам [7], [9].
Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и
указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс линейной
алгебры ([3], [4]) студентами пройден.
Автор настоящего пособия поставил перед собой ряд задач:
1). познакомить читателя с основными принципами аксиоматического
построения математической теории (в частности, геометрии;
2). построить n-аффинное пространство, основываясь на аксиоматическом методе;
3). изложить наиболее наглядный материал геометрии n-мерных пространств: k-мерные плоскости и многогранники;
4). подобрать набор задач и упражнений, необходимых для лучшего усвоения теоретического материала.
Автор считает своим долгом поблагодарить Т.Г. Ходот за помощь
и поддержку при подготовке данного пособия, а также за полезные комментарии и исправления.

5

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что на прямой точка задаётся одной координатой, на плоскости – двумя, в трёхмерном пространстве – тремя. Но в
реальной жизни, а также в физике, биологии, информационных технологиях и т.д., большинство происходящих процессов многомерно. Кроме
трёх координат, реальный объект часто имеет и другие характеристики,
например: скорость, давление, температуру, вес и т. д., которые изменяются в зависимости от времени или от местоположения. Все эти характеристики и зависимость их друг от друга невозможно описать, находясь
в рамках трёх измерений, поэтому приходится мыслить четырёхмерно,
пятимерно, . . . , n-мерно – в общем, задавать точку не тремя, а n координатами. И тут как раз и находят широкое применение так называемые
многомерные пространства.
Идея расширения понятия пространства за пределы трёх измерений возникла довольно давно. Появилась она, по-видимому, вместе с высокими степенями, а именно: аналогично «квадрату» для второй степени и «кубу» для третьей – «многомерный куб» для произвольной степени. Диофант (3 в. н. э.) называл 4-ю, 5-ю и 6-ю степени «квадратоквадратом», «квадрато-кубом» и «кубо-кубом». Эта же идея, но уже
более отчётливо, была высказана Михаэлем Штифелем (1487–1567), он
пользовался десятью степенями. В своих трудах он с сожалением говорит, что «если в арифметике мы видим, что нам разрешается сочинять
многие вещи, даже если они совсем не имеют формы, в геометрии не
разрешается предположить телесные линии и поверхности и выйти за
пределы куба, как если бы было больше чем три измерения». Под «телесной линией» Штифель подразумевал результат движения куба («телесной точки») в направлении, перпендикулярном трём измерениям, под
«телесной повержностью» — результат движения «телесной линии» (см.
[14]). Позднее, в 18–19 вв., идея Ж.Л. Даламбера — рассматривать время
как четвёртое измерение, идея Ж.Л. Лагранжа — обобщить координаты
в «Аналитической механике», работа К.Г. Якоби об одновременном приведении к каноническому виду двух квадратичных форм сыграли важную роль в развитии идеи многомерного пространства. В 1843 г. А.Кэли
был введён термин «n-мерная геометрия». В 1844 г. Г.Грассман в «Учении о линейном протяжении» заложил основы теории взаимного расположения плоскостей различных размерностей в n-мерном пространстве.
А в 1852 г. Л.Шлефли в «Теории многократного континуума» решил
следующие задачи: обобщение на многомерные многогранники формулы Эйлера и классификация правильных многомерных многогранников.

6

Наконец, в 1918 г. немецким математиком Германом Вейлем (1885–1955)
в книге «Пространство, время, материя» была предложена система аксиом, определяющая n-мерное аффинное пространство. Его теория существенно опиралась на понятие вектора, линейной зависимости и линейной независимости векторов и другие понятия и методы линейной
алгебры. Именно система аксиом Вейля взята авторами пособия за основу построения многомерной геометрии.
Аксиоматический метод применяется в современной математике
для построения любой математической теории. Он состоит в следующем. Сначала выделяется ряд понятий данной теории, которые не определяются путём сведения их к другим понятиям и через которые все
остальные понятия этой теории должны быть определены. Эти понятия
называются основными. (Например, «точка», «прямая», «плоскость» —
основные понятия в евклидовой геометрии.) Затем формулируются аксиомы – утверждения, которые принимаются без доказательств и идут
в строгой последовательности. В них содержится информация о свойствах и отношениях между основными понятиями. После чего определяются все понятия, не являющиеся основными. Они определяются через основные и ранее введённые понятия. Любое утверждение, которое
может быть доказано на основании аксиом и определений, называется
теоремой. Они формулируются после аксиом и располагаются в такой
последовательности, чтобы каждую следующую теорему можно было доказать, используя только предыдущие теоремы, аксиомы и определения.
Вообще рассматривают три свойства системы аксиом: непротиворечивость, независимость и полноту.
1. Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё не
следует какое-либо утверждение вместе с его отрицанием.
2. Система аксиом называется независимой, если ни одна из её аксиом не следует из других аксиом этой системы.
3. Система аксиом называется полной, если она не может быть пополнена никакой новой аксиомой (касающейся тех же основных понятий), которая из имеющихся аксиом не следовала бы и им не противоречила.
Непротиворечивость аксиом должна быть выполнена обязательно,
иначе теория не имеет смысла. Независимость аксиом необязательна, но
желательна, чтобы среди них не было лишних. Свойством полноты обладает не каждая математическая теория, полные системы представляют
в математике, скорее, исключение (см. [1]).
Основные понятия и аксиомы, а вместе с ними и саму геометрию,
можно понимать по-разному – на разных уровнях абстракции. Изна
7

чально предмет геометрии, а следом и её аксиоматика, понимались в
наглядно-содержательном смысле. Так, понятие точки возникло в результате абстрагирования от размеров тела, прямой (или отрезка) – как
образа натянутой нити без толщины, плоскости – как образа натянутого
листа бумаги. Так же подходят к аксиомам и в школе – демонстрируют их смысл на чертежах. Но задача аксиоматики состоит в том, чтобы
явно выразить всё, что требуется для изложения теорем геометрии, поэтому приходится отвлечься от наглядных представлений, чтобы получить логически обоснованные выводы. Так возник отвлечённый от всякого содержания формальный, или абстрактный, взгляд на геометрию
и её аксиоматику, в котором основные понятия и аксиомы берутся только как предпосылки логических выводов. «Если спрашивают, что такое
отрезок, то на наглядном уровне можно ответить: образ натянутой нити
без всякой толщины, но ответом на формальном уровне будет: отрезок –
это то, о чём под названием "отрезок"говорят аксиомы» (см. [1]).
Итак, аксиоматический метод построения геометрии носит весьма
абстрактный характер. Основным понятиям не всегда приписывается
конкретный смысл, требуется лишь, чтобы они удовлетворяли системе
аксиом. Так, например, основными понятиями планиметрии являются
точка, прямая, отношение «точка лежит между двумя другими» и расстояние между точками. Эти понятия не определяются. Свойства основных понятий перечисляются в аксиомах. Один из вариантов выбора
системы аксиом планиметрии: I группа — аксиомы принадлежности,
II группа — аксиомы порядка, III группа — аксиомы расстояния, IV группа — аксиома подвижности плоскости, V группа — аксиома параллельности (см. [6]). Выбор основных понятий может быть и другим так же, как
и набор системы аксиом может быть выбран другим. Чтобы построить
геометрию трёхмерного пространства, достаточно прибавить к аксиомам
планиметрии только несколько аксиом. Для пространства размерности
четыре потребуется снова пополнить предыдущий список аксиом. И так
далее для каждой следующей размерности. Этот путь построения многомерной геометрии оказывается неудобным и слишком громоздким.
Мы выберем другой путь построения многомерной геометрии: аксиоматическое построение по Вейлю. Основными (неопределяемыми) понятиями являются векторы (элементы векторного пространства) и числа
(элементы поля вещественных чисел). Система аксиом состоит из пяти
групп: I группа — аксиомы сложения векторов, II группа — аксиомы
умножения вектора на действительное число, III группа — аксиомы размерности, IV группа — аксиомы аффинного пространства, V группа —
аксиомы скалярного произведения. Первая книга («Основы многомерной

8

геометрии. Часть I. Аффинные пространства») посвящена n-мерным аффинным пространствам, в её основе аксиомы I–IV групп, вторая книга
(«Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства»)
посвящена n-мерным евклидовым точечным пространствам, система аксиом которой состоит из I–V групп аксиом.

9