Прочностная надежность и долговечность деталей машин и конструкций

А. Б. Колобов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ПРОЧНОСТНАЯ НАДЕЖНОСТЬ 
И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ 
ДЕТАЛЕЙ МАШИН И КОНСТРУКЦИЙ 
 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2020 

УДК 621.0 
ББК 34.41 
       К61 
 
 
Р е ц е н з е н т: 
д-р техн. наук С. Ф. Смирнов (ФГБОУ ВО «Ивановский государственный 
политехнический университет») 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Колобов, А. Б. 
K61  
Прочностная надежность и долговечность деталей машин и конструкций : учебное пособие / А. Б. Колобов. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2020. - 192 с.: ил. табл. 
 
ISBN 978-5-9729-0388-7 
 
Приведены общие детерминированные модели оценки прочности и ресурса из курса классического сопротивления материалов, дано подробное 
описание вероятностных методов расчета прочностной надежности и долговечности при статической и переменной нагруженности деталей и конструкций.  
Предложены примеры решения задач с использованием вероятностностатистических расчетных моделей. 
Для студентов, обучающихся по механико-математическим и машиностроительным направлениям подготовки, аспирантов и инженерно-технических работников. Может быть использовано для выполнения студентами расчетно-графических, курсовых и выпускных квалификационных работ. 
 
УДК 621.0 
ББК 34.41 


ISBN 978-5-9729-0388-7 
” Колобов А. Б., 2020 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2020 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2020
 
2

 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ 
..................................................................................................... 
5 
 
1. ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ И РЕСУРСА  ................................. 
6 
1.1. Фундаментальные критерии обеспечения  
работоспособности  ............................................................................ 
6 
1.2. Анализ напряженных и деформированных состояний ............. 
9 
1.3. Теории прочности 
....................................................................... 
12 
1.4. Выбор критериев прочности и обоснование запасов  
............. 
16 
1.5. Оценка долговечности при циклическом нагружении  ............ 
19 
Вопросы для самопроверки.  
............................................................ 
22 
 
2. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ  
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ 
......................................................... 
24 
2.1. Постановка задачи  .................................................................... 
24 
2.2. Исходные допущения и обозначения  ...................................... 
25 
2.3. Общая модель оценки прочностной надежности  ................... 
30 
2.4. Оценка прочности при произвольных законах  
распределения напряжений  ............................................................ 
30 
2.5. Оценка прочности при нормальном распределении  
напряжений  
....................................................................................... 
34 
2.6. Оценки числовых характеристик распределений 
напряжений при малых выборках  ................................................... 
43 
2.7. Задачи оптимизации надежности при проектировании  ......... 
47 
Вопросы для самопроверки 
.............................................................. 
52 
 
3. ОСНОВЫ УСТАЛОСТИ И МЕХАНИЧЕСКИЕ 
ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ  ......................................................... 
54 
3.1. Основные понятия и физические основы усталости  
.............. 
54 
3.2. Циклы напряжений и характеристики циклов .......................... 
58 
3.3. Технология и результаты испытаний на усталость 
................. 
59 
3.4. Факторы, влияющие на усталостную  
прочность деталей  ........................................................................... 
68 
3.5. Детерминированные расчеты на прочность  
при регулярном циклическом нагружении  
...................................... 
75 
Вопросы для самопроверки  
............................................................. 
80 
 
4. СТАТИСТИКО-ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА  
УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ И ДОЛГОВЕЧНОСТИ  
............................. 
82 
4.1. Постановка задачи, исходные данные и допущения  ............. 
82 
4.2. Вероятностная оценка усталостной прочности  
при регулярном нагружении  ............................................................ 
87 
3

4.3. Расчет на долговечность и прочность  
при нерегулярном нагружении ......................................................... 
99 
4.3.1. Исходные допущения и постановка задачи .......................... 
99 
4.3.2. Методы схематизации случайных 
процессов нагружения .................................................................... 
103 
4.3.3. Ступенчатая аппроксимация функции распределения  
напряжений 
...................................................................................... 
119 
4.3.4. Линейная гипотеза суммирования усталостных  
повреждений  
................................................................................... 
126 
4.3.5. Модели расчета на долговечность и прочность  
при различных исходных данных 
................................................... 
132 
Вопросы для самопроверки 
............................................................ 
149 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК  ........................................................ 
151 
 
ПРИЛОЖЕНИЯ 
........................................................................................... 
153 
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ ПО РАЗДЕЛАМ 
ДИСЦИПЛИНЫ  ...................................................................................... 
153 
П1.1. Прочностная надежность при статическом 
нагружении  
...................................................................................... 
153 
П1.2. Детерминированный расчет усталостной  
прочности при регулярном нагружении  
........................................ 
162 
П1.3. Статистико-вероятностный расчет прочности 
при регулярном нагружении  .......................................................... 
167 
П1.4. Прочностная надежность и долговечность  
при нерегулярном нагружении  ...................................................... 
173 
 
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ........................................ 
184 
 
 
 
 
4

 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Вопрос о том, насколько гарантируется прочность машин и конструкций при их эксплуатации, по существу является риторическим. Однозначного ответа на него нет, поэтому единственное, что можно сделать, -  
это спроектировать конструкцию с заданной надежностью, которая минимизирует риск отказов и вероятность их возникновения.   
При современной тенденции увеличения мощностей, производительности, грузоподъемности и других рабочих параметров машин и конструкций и связанного с этим роста напряженности в деталях и узлах, использование традиционных методов сопротивления материалов не отвечает требованиям обеспечения техногенной безопасности и функциональной эффективности. 
Возросшие требования по обеспечению надежности диктуют переход 
от традиционного проектного запаса прочности к показателям надежности, 
например вероятности безотказной работы. Вероятностные методы позволяют количественно оценивать возможность возникновения отказов  
и основываются, с одной стороны, на вероятностной оценке разброса предельных характеристик материала и действующей нагрузки, а с другой -  
на классических уравнениях сопротивления материалов, описывающих 
условия функционирования конструкций, при этом в параметры этих уравнений закладывается иной, уже вероятностный смысл.  
В сегодняшних условиях процесс проектирования - это решение 
двух альтернативных и конфликтующих задач - увеличения надежности 
и минимизации массовых и габаритных характеристик. Связать эти две 
противоположности только классическими методами невозможно ввиду 
большой степени неопределенности, а вероятностные методы позволяют 
оптимизировать эту проблему. 
В пособии приведены общие детерминированные модели оценки 
прочности и ресурса из классического сопротивления материалов, а также 
подробное описание вероятностных моделей расчета прочностной надежности и долговечности при статической и переменной, в том числе нерегулярной, нагруженности деталей машин и конструкций. Приведены примеры 
решений задач по всем разделам учебного материала с использованием 
вероятностно-статистических расчетных моделей, что повышает эффективность самостоятельного обучения. 
Пособие рассчитано на учебную программу магистратуры и аспирантуры, но в ряде случаев некоторые разделы рекомендованы для учебных 
программ отдельных направлений бакалавриата. Пособие может быть полезным в практической инженерной работе. 
 
5

 
 
1. ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ И РЕСУРСА 
 
На протяжении всей истории создания инженерных конструкций, которые становятся все более сложными, фундаментальными проблемами 
были и остаются проблемы обоснования и обеспечения прочности, ресурса и безопасности.  
К инженерным конструкциям можно отнести все объекты техносферы, 
созданные человеком, - от первых каменных зданий и мостов до современных авиационных, космических, атомных, термоядерных агрегатов, производственных установок и комплексов, в дальнейшем называемых механическими системами. Причем, если на первых этапах создания конструкций 
в качестве основной решалась задача прочности - не допустить их разрушения, то в настоящее время круг задач расширился - конструкции должны 
не давать недопустимых пластических деформаций, не доводить стадии 
развития дефектов и трещин до критических, не создавать угрозы крупных 
техногенных катастроф и неприемлемых рисков как для самих объектов 
техносферы, так и для людей и окружающей среды. 
Какие нагрузки на конструкцию следует принять в качестве максимальных, каковы должны быть ее размеры и из какого материала она 
должна быть изготовлена, чтобы никогда не потеряла работоспособность" Это, безусловно, риторический вопрос, поскольку никто не может 
гарантировать, что конструкция когда-либо не откажет. Единственное, что 
можно сделать, это создать конструкцию как можно более надежную с малой вероятностью отказа. 
Именно в такой постановке задачи и будут представлены вероятностные модели оценки прочностной надежности и ресурса. Однако вероятностные модели основаны на расчетных классических моделях сопротивления 
материалов, оперирующих детерминированными (неслучайными) характеристиками, параметрами и критериями, которые в обобщенном виде рассмотрены ниже. 
 
1.1. Фундаментальные критерии обеспечения 
работоспособности 
 
Работоспособность структурно сложных механических систем определяется работоспособностью отдельных деталей, узлов и агрегатов систем. Основным критерием работоспособности был и остается критерий 
прочностной надежности. 
Решение проблемы прочности на протяжении столетий достигалось 
двумя основными методами: 
6

x проб и ошибок, когда необеспеченность прочности завершалась 
разрушениями, учитываемыми или не всегда учитываемыми  
в практике создания последующих конструкций; 
x предварительным расчетом и экспериментированием для оценки 
прочности, предельных состояний и характеристик разрушения 
материалов и типовых элементов конструкций. 
Существо таких методов оценки прочности выражалось простейшим 
соотношением (критерием несущей способности) 
 
к
F < F , 
(1.1) 
где  
F - обобщенная внешняя фактически действующая нагрузка (в общем случае сила или момент);  
к
F  - критическая или предельная разрушающая нагрузка (сила  
или момент), которую способна выдержать деталь или узел. 
В какой-то мере прикладная сторона условия прочности (1.1) как доминанты в оценке работоспособности сохранилась и сейчас. Однако многофакторная зависимость нагрузок F  и 
к
F  от вида нагружения, формы  
и размеров нагружаемых деталей и узлов требовала более универсальной записи условия прочности, что и было сделано путем перехода  
к относительным нагрузкам, приходящимся на заданную единицу поперечного сечения: 
F
ı
A
 
, 
 
где  
ı  - фактическое механическое напряжение в детали или узле, создаваемое обобщенной внешней нагрузкой;  
A  - площадь поперечного сечения рассчитываемой детали (узла). 
Поэтому условие прочности стало записываться следующим образом: 
> @
d
ı
ı , 
(1.2) 
 
где  
> @
ı  - допустимое напряжение материала, из которого изготовлены 
детали или узлы. 
Условие прочности по (1.2) приобрело универсальный вид и позволило оценивать прочность по нормативному (задаваемому техническими 
условиями, регламентами или отраслевыми нормативами) запасу прочности > @
n : 
пр
ı
ı
ı
n
d
 
, 
(1.3) 
 
> @
> @
 
где  
пр
ı
 - предел прочности, характеризующий сопротивление разрушению материала рассчитываемой детали или узла, определяемый по результатам испытаний образцов материала. 
7

С учетом (1.3) условие прочности в практическом приложении 
можно представить в виде 
 
> @
 
t
пр
ı
n
n
ı
, 
(1.4) 
где  
n  – фактический (расчетный) запас прочности. 
В современных конструкциях наряду с применением однородных 
материалов с различной анизотропией прочности (например, хрупкие материалы при растяжении и сжатии) также широко используются армированные материалы (биметаллы, стеклоуглепластики, композиты и т.п.)  
с широкой анизотропией механических характеристик. При этом, как показывает опыт >18, 19@, пределы прочности материалов за последнее столетие выросли в 10–20 раз, а нормативы запасов прочности для конструкций массового производства были снижены от 5–10 до 1,5–2,5. 
Большая величина деформаций может также нарушить жесткость 
конструкций. Известно, что в начальной (упругой) и относительно неопасной стадии нагружения возникают деформации (удлинения, укорочения, 
прогиб и т.п.) детали, которые пропорциональны действующим нагрузкам: 
 
ǻl
kF
 
, 
(1.5) 
где  
ǻl  - обобщенная величина абсолютной, например, линейной деформации;  
k  - коэффициент пропорциональности, зависящий от материала, 
вида нагружения, формы и размеров нагружаемой детали. 
При переходе к напряжениям в форме (1.2) получается линейная зависимость (например, для случая центрального растяжения) между относительными деформациями 
 
İ
ǻl l  и напряжениями ı   
 
ı
Eİ

 , 
(1.6) 
где 
l  - начальная длина растягиваемой детали;  
E  - характеристика материала, определяющая сопротивление 
упругим деформациям (в данном примере - модуль продольной 
упругости). 
Условием жесткости является выражение, аналогичное условию 
прочности по (1.2), 
d
 
пр
İ
İ
İ
e , 
(1.7) 
 
> @
> @
где  
> @
e  - устанавливаемый нормативный запас по деформации;  
> @
İ  - допустимая относительная деформация детали. 
В расчетной практике с учетом эффекта нелинейности (появления 
остаточных деформаций) нормативный запас по деформации должен 
быть не менее запаса прочности >25@: 
8

> @
> @
t
e
n . 
Отмеченные выше фундаментальные условия прочности являются 
основой важнейшей технической дисциплины - сопротивления материалов, в которой главная задача обеспечения прочности включает решение 
следующих задач (рис. 1.1): 
I - анализ внешних воздействий F  и напряженно-деформированных состояний ı  и İ ; 
II - выбор и обоснование теорий и критериев прочности 
пр
ı
; 
III - обоснование и назначение запасов прочности > @
n ; 
IV - комплексное определение прочности. 
 
I 
Анализ НДС 
F,ı,İ  
II
III
IV 
> @
d
ı
ı  
Теории 
прочности 
Запасы 
прочности 
пр
экв
ı
,ı
 
ª º
¬ ¼
n  
 
 
 
 
Рис. 1.1. Составные компоненты решения проблемы прочности 
 
1.2. Анализ напряженных и деформированных состояний 
 
Первая составляющая решения задачи прочности предполагает анализ напряженно-деформированного состояния (НДС), который может быть 
произведен аналитическими или численными расчетами, в последнем случае с использованием специализированных программных средств. 
Поскольку курс «Сопротивление материалов» подробно изучался 
ранее и целью данного учебного пособия является изучение вероятностного подхода к оценке прочности, то анализ НДС приведен далее в самом 
общем и преимущественно в смысловом виде. Основные расчетные модели можно найти в многочисленной литературе по сопротивлению материалов, например >3, 7, 21, 22, 25@. 
Для различных видов обобщенных нагрузок F  с помощью метода 
сечений (рис. 1.2, а) рассчитываются внутренние усилия, к которым относятся продольная 
x
N , поперечные (перерезывающие) 
z
Q  и 
y
Q  силы, изгибающие 
y
M , 
z
M  и крутящие 
к
M  моменты.  
9

Устанавливается положение опасного сечения по длине детали, для 
которого с использованием обобщенных характеристик V  поперечных сечений (площади A , осевых 
y
J , 
z
J  и полярных 
0
J  моментов инерции  
и моментов 
y
W , 
z
W , 
0
W  сопротивления, осевых 
y
S , 
z
S  статических мо





















а)
б) 
ментов инерции) рассчитываются соответствующие величины нормальных ı  и касательных IJ  напряжений. Указанные напряжения, в зависимости от условий и характера нагружения детали, являются теми или иными 
напряжениями, возникающими на гранях элементарного куба (рис. 1.2, б), 
выделенного вблизи малой площадки ǻA .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1.2. Внутренние силовые факторы и напряжения при произвольном 
нагружении стержня (модель детали) 
 
Совокупность нормальных и касательных напряжений (рис. 1.2, б), 
возникающих по всем площадкам (представляют грани куба), которые 
можно провести через любую точку в сечении, образует напряженное состояние в точке, которое характеризуется тензором напряжений: 
ı
IJ
IJ
x
xy
xz
 
 . 
 (1.8) 
IJ
ı
IJ
yx
y
yz
IJ
IJ
ı
zx
zy
z
-
½
°
°
°
°
 
¦
®
¾
°
°
°
°
¯
¿
Величина составляющих (1.8) напряжения зависит от места расположения точки в опасном сечении, поэтому исследование напряженного состояния предполагает как получение зависимостей, позволяющих определить напряжения по любой площадке, проходящей через точку, так и расположение точки, при которой в ней возникают наибольшие напряжения. 
При изменении ориентации выделенного вблизи точки элементарного куба действующие на его гранях напряжения будут также изменяться. Когда на гранях куба (площадках) касательные напряжения равны 
10