Классическая электродинамика

В. А. Яцкевич 
КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 
Учебное пособие 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2020 
1 

УДК 537.8(075) 
ББК 22.313я73 
Я93 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
начальник группы обеспечения использования радиочастотного ресурса 
Управления по Вологодской области филиала ФГУП «ГРЧЦ» в СЗФО 
А. И. Климин; 
 
заведующий кафедрой физики ВоГУ кандидат физико-математических наук, 
доцент С. Э. Погожев 
 
 
 
Яцкевич, В. А. 
Я93          Классическая электродинамика : учебное пособие / В. А. Яцкевич. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2020. – 140 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-0477-8 
 
В пособии изложены традиционные вопросы теории электростатики, магнитостатики, электромагнитных волн. В качестве исходных положений приняты уравнения Максвелла, из которых последовательно 
выводятся основные законы электромагнетизма. Приведено большое 
количество примеров применения теории к практическим задачам.  
Для студентов физико-математических специальностей. Может 
быть использовано студентами других направлений подготовки в рамках изучения курса физики. 
 
УДК 537.8(075) 
ББК 22.313я73 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-0477-8 
© В. А. Яцкевич, 2020 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2020 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2020 
2 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Электродинамика изучает электромагнитные явления и связанные с ними взаимодействия тел. Такие явления были известны человеку еще с античных времен, а с конца XVIII века началось их научное изучение. Благодаря 
трудам таких ученых, как Л. Гальвани, А. Вольта, В.В. Петров, Б. Франклин, 
Ш.О. Кулон, Г. Ом, Х.К. Эрстед, А. Ампер, Э.Х. Ленц, П.Н. Лебедев, Г.А. Лоренц и многих других, были открыты основные законы электромагнетизма. 
Важная роль в этой области науки принадлежит М. Фарадею, который ввел 
понятие поля, а также Д.К. Максвеллу, создавшему единую теорию электромагнитного поля, и Г. Герцу, открывшему подвижное состояние поля – электромагнитные волны.  
В последующем электродинамика послужила основой для принципиально новой теории, применимой к объектам микромира – атомам и элементарным частицам. Новое направление назвали  квантовой  электродинамикой, 
а базовую теорию, применимую к макрообъектам, называют классической 
электродинамикой.  
Электромагнитные явления играют важнейшую роль в природе. Например, химические реакции – это взаимодействие электронов на внешних оболочках атомов. Механическое взаимодействие тел, например удар или трение, 
объясняется электрическим отталкиванием атомов. Да и сами атомы существуют благодаря электромагнитному взаимодействию между атомным ядром 
и электронами.  
Применение  электромагнитных явлений в технике и в быту столь значительны, что без них невозможно представить себе нашу цивилизацию. Действительно, открытие электрического тока и последующие изобретения электрогенераторов и электродвигателей дали нам освещение, электротранспорт, 
промышленные станки и электромеханизмы, а также бытовую технику: телефоны, холодильники, микроволновые печи и прочие полезные устройства. 
В медицине нашли применение аппараты для лечебного воздействия электромагнитных полей на организм человека, а также для диагностики заболеваний. 
Открытие электромагнитных волн и развитие математического аппарата 
электродинамики привело к возникновению таких технических направлений, 
как радиотехника и электроника. В результате появились радиовещание, телевидение, радиосвязь, в том числе сотовая. Дальнейшее развитие электроники в 
союзе с математикой привело к появлению компьютеров, что сильно повлияло на нашу жизнь.  
Отметим также такие детища радиотехники и электроники, как радары и 
спутниковые навигаторы, которые, помимо традиционного применения в военном деле, в последнее время все шире входят в наш быт.  
В настоящее время электродинамика, как область научного знания, служит теоретической основой для новых направлений в науке и технике, цель 
которых – изучение законов природы и создание устройств, полезных для человека.     
3 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИНЦИПЫ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 
1.1. Электрические заряды и токи 
Элементарные частицы, из которых состоит вещество, обладают такими 
важными параметрами, как электрический заряд и магнитный момент. Эти 
параметры определяют электромагнитное взаимодействие частиц. У тел в 
обычном состоянии число частиц с положительным зарядом (протонов) и 
число частиц с отрицательным зарядом (электронов) примерно одинаково, поэтому такие тела электрически нейтральны. В некоторых случаях этот баланс 
может быть нарушен, тогда тело становится электрически заряженным. Ясно, 
что электрический заряд тела кратен величине элементарного заряда, который 
равен 1,6ā10-19 Кл, поэтому распределение заряда в веществе имеет дискретный характер. 
Объектами классической электродинамики являются тела, размеры которых много больше, чем расстояния между атомами, поэтому дискретностью 
заряда можно пренебречь и считать, что электрический заряд в любом теле 
распределен непрерывно.       
Рассмотрим некоторое заряженное тело и выделим в нем элементарный 
объем dV . Заряд в этом объеме равен: ݀ݍ= ߩ ܸ݀, где функцию ȡ(x,y,z) называют объемной плотностью заряда. Ее размерность Кл/м3. Заряд всего тела равен интегралу по объему тела: 
ݍ= මߩ(ݔ, ݕ, ݖ) ܸ݀
௏
. 
 (1.1) 
Если плотность заряда ȡ = const, то выражение (1.1) дает: ݍ= ߩܸ, где 
V – объем тела. 
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Рассмотрим поверхность, ортогонально которой движутся заряженные частицы.  Количество заряда, прошедшего через поверхность за секунду, называют силой тока. 
Пусть через элемент поверхности, площадь которого dS, проходит ток 
dI. Величину ݆= ݀ܫ/݀ܵ называют плотностью электрического тока (размерность А/м2). Очевидно, что суммарный ток через поверхность равен интегралу:  
ܫ= ඵ݆ ݀ܵ
ௌ
. 
 (1.2) 
Если плотность тока j=const, то из выражения (1.2) получим I=j S, 
где S – площадь поверхности. 
4 

Экспериментально установлен закон сохранения электрического заряда: 
- суммарный электрический заряд в любой системе остается неизменным, если через границы этой системы не проходят заряженные частицы; 
- если через границы системы проходят заряженные частицы, то есть
течет электрический ток, то сила этого тока равна скорости изменения заряда в объеме. 
Математически закон сохранения электрического заряда записывают в 
виде: 
ܫ= െ߲ݍ
߲ݐ , 
 (1.3) 
где q – суммарный заряд в системе; I – сила тока, текущего через границы системы. Здесь положительным считается ток, вытекающий из системы. 
Введем вектор ଔ 
ሬ
ሬԦ(ݔ, ݕ, ݖ), который показывает направление движения зарядов в точке с координатами x,y,z, а по модулю равен плотности тока. В любой точке, принадлежащей некоторой гладкой поверхности, этот вектор можно разложить на две взаимно ортогональные составляющие: ଔ
Ԧ = ݊
ሬ
Ԧ ݆௡+ ߬
Ԧ ݆ఛ , 
где ݊
ሬ
Ԧ  и ߬
Ԧ – единичные векторы, направленные, соответственно, по нормали и 
по касательной к поверхности. Ясно, что перенос заряда через поверхность 
определяется составляющей  ݆௡, поэтому выражение (1.2) для тока, текущего 
через поверхность, следует записать в виде ܫ= ׭
݆௡ ݀ܵ
ௌ
. Учитывая также 
(1.1), запишем (1.3) в виде: 
ම߲ߩ
߲ݐܸ݀= െඵ݆௡݀ܵ
ௌ
௏
. 
Правую часть этого выражения преобразуем по теореме Остроград- 
ского – Гаусса, тогда получим: 
ම߲ߩ
߲ݐܸ݀= െම݀݅ݒ ଔ
Ԧ
௏
௏
 ܸ݀. 
Последнее равенство справедливо для любого объема V, поэтому из него следует равенство подынтегральных выражений: 
߲ߩ
߲ݐ+ ݀݅ݒ ଔ
Ԧ = 0.
 (1.4) 
Формулу (1.4) называют уравнением непрерывности электрического заряда. 
5 

1.2. Электромагнитное поле 
Известны два вида материи: вещество и поле. К веществу относят элементарные частицы, а также образованные из них атомы и все, что состоит из 
атомов. Поле – это переносчик взаимодействия между частицами вещества. 
В природе существует четыре вида взаимодействия, которое мы перечислим в 
порядке убывания их интенсивности: сильное, электромагнитное, слабое, гравитационное. Каждому из этих взаимодействий соответствует свой вид поля. 
Сильное взаимодействие проявляется лишь в ядрах атомов и в ядерных реакциях, слабое – при распадах элементарных частиц. Гравитационное поле, несмотря на то, что оно самое слабое, постоянно присутствует в нашей жизни, 
поскольку мы живем на планете, имеющей огромную массу. Здесь мы будем 
рассматривать только электромагнитное поле, имеющее большое значение 
в природе и в технике. 
 Электромагнитное поле – это физический объект, который определяется по действию на заряженные тела. Оно имеет две составляющих: электрическое поле и магнитное поле.  
Если в пространстве существует только электрическое поле, то на частицу с зарядом q действует сила:  
ܨ
Ԧ = ݍܧ
ሬ
Ԧ, 
 (1.5) 
где ܧ
ሬ
Ԧ – вектор напряженности электрического поля (В/м), характеризующий 
интенсивность  и направленность поля. 
Если в пространстве существует только магнитное поле, то на частицу с 
зарядом q действует сила: 
ܨ
Ԧ = ݍ ൣߴ
Ԧ ܤ
ሬԦ൧ , 
 (1.6) 
где ܤ
ሬԦ – вектор магнитной индукции (Тл), характеризующий интенсивность 
и направленность поля; ߴ
Ԧ – вектор скорости частицы.  
Здесь и далее под частицей мы понимаем объект, размерами которого 
можно пренебречь. 
Таким образом, электрическое и магнитное поля определяются по своему действию на заряженные частицы, причем первое действует как на неподвижные, так и на движущиеся частицы, а второе только на движущиеся частицы. Если в пространстве существуют оба вида поля, то сила, действующая 
на частицу, равна сумме (1.5) и (1.6) и называется силой Лоренца: 
ܨ
Ԧ = ݍܧ
ሬ
Ԧ + ݍ ൣߴ
Ԧ ܤ
ሬԦ൧ . 
 (1.͸˃) 
Именно действие электромагнитного поля на заряженные частицы объясняет его важное значение в нашей жизни. Например, свет воспринимается 
органами зрения благодаря тому, что световая волна вызывает колебания заряженных частиц, содержащихся в чувствительных элементах глаза. 
6 

Рассмотрим случай, когда заряженная частица движется в однородном 
магнитном поле так, что вектор скорости ортогонален линиям поля. Согласно 
формуле (1.6), на частицу действует сила, ортогональная скорости частицы, 
поэтому модуль скорости при движении остается неизменным. В то же время 
сила, ортогональная скорости, является центростремительной силой, которая 
заставляет частицу двигаться по окружности. Пусть ݍ – заряд частицы, 
݉ – масса, ߴ – скорость, B – магнитная индукция поля. Определим параметры 
траектории частицы.  
Из курса механики известно, что центростремительное ускорение равно 
ߴଶ/ܴ, где R – радиус окружности. Из формулы (1.6) найдем модуль силы, действующей на частицу: ܨ= |ݍ|ߴܤ. Тогда второй закон Ньютона имеет вид: 
݉ߴଶ/ܴ= |ݍ|ߴܤ, откуда получим радиус окружности: ܴ= ݉ߴ/|ݍ|ܤ и период 
вращения частицы ܶ= 2ߨܴ/ߴ= 2ߨ݉/|ݍ|ܤ. Как видно, последний не зависит 
от скорости. Частота вращения ߱= 2ߨ/ܶ= |ݍ|ܤ/݉ называется циклотронной 
частотой.  
Рассмотрим теперь случай, когда частица влетает в область магнитного 
поля под некоторым углом к линиям поля. Скорость можно разложить на две 
составляющие: параллельную линиям поля и ортогональную им.  На параллельную составляющую сила Лоренца (1.6) не действует, а на ортогональную 
действует так же, как в предыдущем случае. Происходит два независимых 
движения: одно – равномерное движение вдоль линий поля, другое – движение по окружности в ортогональной плоскости. Сложение обоих движений 
дает движение по спирали. 
Обратимся к природному явлению. На Землю непрерывно идет поток 
заряженных частиц (в основном, протонов), испускаемых Солнцем. Попадая в 
область земного магнитного поля, частицы движутся по спирали вдоль линий 
поля в сторону полюсов – северного или южного (в зависимости от угла 
наклона земной оси к Солнцу). Вблизи полюсов, в верхних слоях атмосферы, 
частицы теряют свою энергию, взаимодействуя с молекулами воздуха: происходит явление люминесценции, которое порождает полярное сияние. Таким 
образом, земное магнитное поле имеет важное значение для жизни на нашей 
планете: оно существенно уменьшает поток солнечной радиации, губительный для живых организмов.        
1.3. Силовое действие магнитного поля 
В качестве примера применения изложенных выше законов электромагнетизма найдем силу, действующую на провод с током в магнитном поле. 
Рассмотрим прямолинейный отрезок провода, длиной l, по которому течет 
ток I. Провод находится в однородном магнитном поле, линии которого составляют угол Į с проводом (рис. 1.1).  
Сила, действующая на отрезок провода, складывается из сил, действующих на электроны, двигающиеся вдоль провода. Учтем, что на каждый элек7 

трон действует сила Лоренца (1.6), тогда суммарная сила ܨ
Ԧ = െ ݊݁ൣߴ
Ԧܤ
ሬԦ൧, где 
n – число электронов в данном отрезке провода, e – элементарный заряд, 
ߴ
Ԧ – средняя скорость электронов, направленная вдоль провода. 
Рис. 1.1. К выводу закона Ампера           Рис.1.2. Рамка с током в магнитном поле 
Учтем также, что величина ݈݊݁
Τ  представляет собой заряд на единицу 
длины провода, значит (݈݊݁)ߴ
Τ
  – заряд, переносимый через любое сечение 
провода в секунду, то есть электрический ток в проводе. В векторной форме 
имеем: ܫ
Ԧ = (݈݊݁)ߴ
Ԧ
Τ
 . Тогда получим окончательно выражение для силы, действующей на провод с током в магнитном поле (ее называют силой Ампера): 
ܨ
Ԧ = ൣܫ 
ሬ
ሬԦ ܤ
ሬԦ൧݈ . 
 (1.7) 
Векторное произведение (1.7) указывает, что эта сила ортогональна 
проводу и вектору магнитной индукции. Ее ориентацию удобно определять по 
правилу левой руки. По модулю сила Ампера равна:  
 ܨ= ܫܤ݈ sin ܽ, 
 (1.7a)  
где a – угол между вектором ܤ
ሬԦ и проводом. 
Рассмотрим теперь проволочную рамку прямоугольной формы, по которой течет электрический ток (рис. 1.2). Пусть рамка находится в однородном магнитном поле, причем линии поля ортогональны правому и левому 
проводам рамки. В этом случае сила, действующая на каждый из этих проводов, согласно (1.7а), равна ܨ= ܫܤ݈ଵ, где l1 – длина провода. Направления сил 
показаны стрелками. Найдем суммарный момент этих сил относительно оси, 
параллельной указанным проводам и показанной на рисунке 1.2 пунктиром: 
ܯ= ܨ݈ଶsin ߠ, где l2 – длина проводов, ортогональных указанной оси, ߠ – угол 
между вектором ܤ
ሬԦ и вектором нормали к рамке ݊
ሬ
Ԧ. Окончательно получим выражения для момента сил: 
ܯ= ܫܤܵsin ߠ, 
 (1.8) 
8 

где ܵ= ݈ଵ݈ଶ – площадь рамки. Под действием этого момента сил рамка поворачивается вокруг указанной оси против часовой стрелки.       
На основе этого явления работают приборы для измерения силы тока 
(амперметр) и для измерения магнитной индукции (магнитометр). Это явление положено также в основу работы электродвигателя.  
1.4. Уравнения Максвелла  для  вакуума в интегральной форме 
и их следствия 
В 1873 году британский ученый Джеймс Клерк Максвелл опубликовал 
свой фундаментальный труд под названием «Трактат об электричестве и магнетизме». В этой книге он привел уравнения, связывающие заряды и токи с 
электромагнитными полями, а также связывающие между собой электрическое и магнитное поля. Через несколько лет его соотечественник Оливер 
Хэвисайд применил к этой теории векторный анализ и тем самым придал 
уравнениям Максвелла ту форму, которую мы используем до сих пор. Приведем здесь эти уравнения в современной записи. 
රܧఛ
ௌ
 
 (1.9) 
௅
݈݀= െ߲
߲ݐ ඵܤ௡ ݀ݏ  ;
 ඾ܤ௡
ௌ
݀ݏ= 0 ; 
 (1.10) 
රܤఛ
ௌ
 
 (1.11) 
௅
݈݀= ߝ଴ ߤ଴
߲
߲ݐඵܧ௡ ݀ݏ+ ߤ଴ ܫ;
. 
 (1.12) 
඾ܧ௡
ௌ
݀ݏ= ݍ
ߝ଴
Здесь присутствуют интегралы по замкнутому контуру и интегралы по поверхности, поэтому эту запись называют уравнениями Максвелла в интегральной форме. Под знаком интеграла стоят компоненты векторов, которые 
являются функциями координат и времени: ܧ
ሬ
Ԧ(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ) и ܤ
ሬԦ(ݔ, ݕ, ݖ, ݐ). В правой 
части уравнений присутствуют источники поля – заряды и токи ݍ(ݐ), ܫ(ݐ). 
Кроме того, присутствуют константы: ߝ଴  – электрическая постоянная и 
ߤ଴ – магнитная постоянная. Эти константы не имеют физического смысла, а 
введены в уравнения с появлением системы единиц СИ в 1970 году. Их численные значения:  
9 

ߝ଴ =
1
36 ߨ10ିଽ (ʣ/ˏ);        ߤ଴= 4ߨ 10ି଻ (ʒː/ˏ).                   (1.13) 
 
Уравнения Максвелла позволяют описать все известные электромагнитные явления, происходящие в свободном пространстве. Разумеется, при этом 
следует привлечь также выражения (1.5) и (1.6), которые фактически являются определениями электромагнитного поля. При наличии вещества к уравнениям следует добавить экспериментальные данные об электромагнитных 
свойствах вещества.  
Ниже будет рассмотрен физический смысл уравнений и примеры их 
применения. 
Четвертое уравнение Максвелла, записанное формулой (1.12), называют также теоремой Гаусса и формулируют следующим образом: 
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую 
поверхность равен суммарному заряду в объеме, ограниченной этой поверхностью, деленному на константу ߝ଴ . 
В левой части уравнения под знаком интеграла стоит ܧ௡ – проекция вектора ܧ
ሬ
Ԧ на направление нормали к поверхности, которую будем называть  нормальной составляющая вектора. Ее можно выразить через скалярное произведение: ܧ௡= ൫ܧ
ሬ
Ԧ݊
ሬ
Ԧ൯, где ݊
ሬ
Ԧ – вектор нормали к поверхности, ориентированный 
наружу из объема. 
Любое векторное поле графически изображают в виде линий, проведенных так, что в каждой точке вектор поля направлен по касательной к линии.  
Густота линий говорит об интенсивности поля, поэтому поток векторного поля через некоторую поверхность можно трактовать как число линий поля, пересекающих данную поверхность.  
Теорему Гаусса используют, когда известна структура линий поля, создаваемого зарядом. Тогда выбирают вспомогательную поверхность, на которой напряженность поля – константа, и применяют к этой поверхности теорему Гаусса.  
Пример. Найдем поле, созданное  равномерно заряженным шаром   
(рис. 1.3).  Из соображений симметрии ясно, что линии  поля направлены радиально, поэтому выберем вспомогательную поверхность S в виде сферы, 
охватывающей заряженный шар и концентрической к нему (показана пунктиром). На этой поверхности вектор ܧ
ሬ
Ԧ ориентирован вдоль вектора нормали, поэтому составляющая ܧ௡= หܧ
ሬ
Ԧห= ܧ= ܿ݋݊ݏݐ.  Тогда теорема Гаусса (1.12) дает: 
ܧܵ= ݍ/ߝ଴ . Обозначим радиус вспомогательной поверхности r, а радиус шара 
R. Учтем, что   ܵ= 4ߨ ݎଶ , тогда получим окончательно в области ݎ൒ܴ:  
 
 
где введена константа, называемая кулоновской постоянной:  
       ܧ= ݇ݍ
ݎଶ ,                                                      (1.14) 
10