Дифференциальные уравнения в примерах и задачах

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

ФИНАНСОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Г.С. ЖУКОВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением по образованию 
в области химической технологии и биотехнологии в качестве 
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по химико-технологическим направлениям

и биотехнологии

Э л в к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2021

УДК 517.9(075.8) 
ББК 22.161.6я73 
Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

Гордеев Л.С., доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева, заслуженный деятель науки Российской Федерации;

Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж  86 
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах : учебное пособие /  Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 348 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072182.

ISBN 978-5-16-015971-3 (print)
ISBN 978-5-16-108355-0 (online)
Для овладения навыками решения примеров и задач курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предложен цикл практических 
занятий, охватывающих разделы: дифференциальные уравнения первого, 
второго, и-го порядков; системы линейных дифференциальных уравнений; 
интегрирование начальных и краевых задач; теория устойчивости. Приведено большое число примеров и задач для самостоятельной работы с ответами. Даны образцы контрольных работ с решениями и анализом.

Рекомендуется преподавателям, аспирантам и студентам высших учебных заведений, изучающим дифференциальные уравнения.

УДК 517.9(075.8) 
ББК 22.161.6я73

ISBN 978-5-16-015971-3 (print) 
ISBN 978-5-16-108355-0 (online)
© Жукова Г.С., 2020

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время решение большинства прикладных задач выполняется 
на компьютерах с помощью различных вычислительных алгоритмов с использованием "серьезной" математики. Вторжение математики во все 
области научной и практической деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Несомненно, идет прогрессирующий процесс математизации всех наук.

Для анализа многих задач необходимо, прежде всего, чтобы эти задачи 
были переведены на математический язык, после чего они анализируются и 
решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой цепи является сам "перевод" задачи на математический язык. Это объясняется 
тем, что для правильной математической формулировки даже самой простой проблемы необходимо знание не только той науки, из которой возникла задача, но необходимы также высокая математическая культура и 
большой объем математических знаний.

Требования к математической подготовке современного специалиста 
постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности ему 
необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации 
различных известных методов.

Эти обстоятельства предъявляют к выпускникам высших учебных заведений повышенные требования в их математической подготовке 
знание 
теории и овладение навыками решения задач по основным разделам высшей 
математики, 
умение изложить их основы на четком алгоритмическом 
языке, знание преимуществ и недостатков того или иного метода решения.

3

Настоящее пособие написано на базе лекций и практических занятий по 
курсу обыкновенных дифференциальных уравнений, которые автор на протяжении 
многих 
лет 
читает 
студентам 
Российского 
химикотехнологического университета им. Д.И. Менделеева и Российского государственного социального университета.

В книге предложен цикл практических занятий и контрольных работ для 
овладения навыками решения примеров и задач следующих разделов курса:

• 
дифференциальные уравнения первого порядка',

• 
дифференциальные уравнения второго порядка',

• 
дифференциальные уравнения порядка П;

• 
системы дифференциальных уравнений:

• 
элементы теории устойчивости:

• 
краевые задачи;

• 
приложения.

Схема изложения материала каждого занятия следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для успешного усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. Ответы ко всем задачам.

В каждом параграфе в справочном материале нумерация теорем, замечаний, формул, рисунков и примеров с решениями самостоятельная. Нумерация задач для самостоятельного решения и ответов к ним начинается с 
указания номера параграфа.

Для контроля полученных знаний предлагается выполнить четыре контрольные работы. В книге даны образцы контрольных работ с подробным 
анализом.

Предложен перечень контрольных вопросов по теории.

Книга может быть использована студентами вузов как для работы под 
руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса 
('Обыкновенные дифференциальные уравнения», так как все

4

предложенные в книге задачи даны с ответами, а многие и с решениями. 
Этому же способствуют краткие пояснения теории.

Преподавателям вузов, ведущим практические занятия по курсу 
обыкновенных дифференциальных уравнений, можно было бы посоветовать следующий порядок изложения материала, включенного в книгу:

1.
2.
3.

4.

5.
6.

7.

8.

9.

10. 

11. 

12.

13.
14.
15.

16.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Неопределенный и определенный интеграл (приложение VI). 
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (§ 1). 
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения (§ 2,3). 
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 
(§ 4). 
‘ 
' 
' 
" 
'

Уравнения в полных дифференциалах (§ 5).
Уравнения с интегрирующим множителем (§ 6).

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка (§ 7).
Контрольная работа «Дифференциальные уравнения первого 
порядка» (приложение I).
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго 
порядка с постоянными коэффициентами (§ 8).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (§ 9). 
Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами (§ 11,12).
Контрольная работа 
«Дифференциальные уравнения высших порядков» (приложение II).
Операционный метод (§ 17).
Решение краевых задач (§ 10).
Интегрирование с помощью степенных рядов (§ 13, приложение VII)
Коллоквиум (приложение V, вопросы 1-25).

5

Системы дифференциальных уравнений

17. 
Метод исключения (§ 14).

18. 
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (§ 15).

19. 
Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (§ 16).

20. 
Контрольная работа «Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами» (приложение 111).

Элементы теории устойчивости

21. 
Устойчивость линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами (§ 18).

22. 
Классификация особых точек (§ 19).

23. 
Исследование на устойчивость по первому приближению
(§20).

24. 
Коллоквиум (приложение V, вопросы 26-40).

25. 
Итоговая контрольная работа (приложение IV).

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим высшую математику

6

Глава I

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

з> 
.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

О п р е д е л е н и е  1. 
Уравнение, в которое неизвестная функция 
входит под знаком производной или дифференциала, называется дисЬфе- 
оенииальным уравнением.

Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то уравнение называется дифсЬеуенииальпым уравнением в частных производных.

Если искомая функция зависит только от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным дисЬсЬеренииальным уравнением.

Далее мы будем иметь дело только с обыкновенными дифференциальными уравнениями и слово «обыкновенное» -  опускать.

О п р е д е л е н и е  2. Ди<Ь(Ьеоенииальным уравнением п-го порядка 
называется уравнение

* 
F(x,y,y',...,y(n)) = 0, 
(1)

связывающее независимую переменную X, искомую функцию у - у ( х )  
и ее производные (или дифференциалы) до порядка п включительно.

О п р е д е л е н и е  3. Если в уравнении удается старшую производную выразить явно, то есть представить в виде

/ " ■ - / ( X J  
>,У 
 
(2)

то уравнение называют дифференииальным уравнением 
п-го порядка, 
разрешенным относительно старшей производной (или записанным в 
нормальной сЬооме).

О п р е д е л е н и е  4. 
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1) называется любая функция у  = у(х), если она п 

раз дифференцируема на некотором промежутке /  и после подстановки в 
(1) обращает это уравнение в тождество на /. (При этом если у {х ) задана

8

явно, то обычно используют термин «решение». В противном случае говорят «интеграл».)

О п р е д е л е н и е  5. 
Обпит решением (или общим интегралом) 
дифференциального уравнения называется множество всех без исключения решений этого уравнения. (При этом термин «общее решение» 
используют обычно, если все решения заданы явно.)

О п р е д е л е н и е  6. График решения называется интегральной

кривой. 
■

О п р е д е л е н и е  7. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дшЬференииального
уравнения.

О п р е д е л е н и е  8. Решение дифференциального уравнения (1), 
удовлетворяющее начальным условиям

.И л ) = >’»> / и Ь - У п  "ч 
(3)

где Vu, У[ 
У„ .] — некоторые числа, называется решением задачи КоШ  ( 1), (3).

О п р е д е л е н и е  9. 
Общим решением (общим интегралом') дифференциального уравнения (1) в области G существования и единственности его решений называется п -  параметрическое семейство функций

(р(х, у, Суу.
= О, 
(4)

зависящих от п произвольных постоянных С,, ...,Сп, удовлетворяющее 

следующим двум условиям:

1) 
при 
любых 
фиксированных 
значениях 
констант 

С, = ‘С111,...,с  —с] соответствующая функция, задаваемая равенством 

(4), есть решение уравнения (1);

2) каковы бы ни были начальные значения (х();У{)\---\упА ) G G,  

найдутся такие числа с, = С10,..., 
Сп = с п0, при которых соответствующая функция из семейства (4) будет решением задачи Коши (1), (3).

9

О п р е д е л е н и е  10. Точка (х{); у {)',...]уп_{ ), в окрестности которой решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (3), 
или не существует, или существует, но не единственно, называется особой тонкой дифференииалыюго уравнения.

О п р е д е л е н и е  11. 
Решение дифференциального уравнения, 
график которого состоит только из особых точек, называется особым решением.

Т е о р е м а  1 (существование и единственность решения). Пусть в 
некоторой области G {п +1) — мерного пространства функция

и ее частные производные первого порядка по у , у\...,у^"~ ^ непрерывны. Тогда при любых начальных значениях (дс0; у {)', 
) е  G

дифференциальное уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (3).

З а м е ч а н и е  1. Особые точки содержатся среди тех, в которых 
нарушены условия теоремы существования и единственности. Однако 
условия этой теоремы только достаточные (а не необходимые), поэтому 
не любая точка, не попавшая в G , является особой.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 
СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства

ф ( х , У , с ......,с„) = 0, 
(5)

надо продифференцировать по X равенство (5) П раз, считая у  функцией от х , а затем из полученных уравнений и уравнения (5) исключить 
произвольные постоянные.

10