Обработка результатов механических испытаний материалов методом линейного регрессионного анализа

Ж.Г. Калеева
Е.В. Пояркова
С.Н. Горелов 

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 

МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ 
МАТЕРИАЛОВ МЕТОДОМ 
ЛИНЕЙНОГО РЕГРЕССИОННОГО 
АНАЛИЗА  

Методические указания 

3-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 620.10
ББК  30.121 

  К75 

Р е ц е н з е н т : 

Припадчев А.Д.,  доцент, доктор технических наук 

Калеева, Ж. Г. 

Обработка результатов механических испытаний материалов 
методом 
линейного 
регрессионного 
анализа 
[Электронный 
ресурс]: метод. указания / Ж.Г. Калеева, Е.В. Пояркова, С.Н. Горелов. – 
3-е изд., стер. – М.: ФЛИНТА, 2020. – 46 c. 

ISBN 978-5-9765-2482-8

В представленных методических указаниях дается подробное 
описание использования метода линейного регрессионного анализа 
результатов 
механических 
испытаний 
материалов; 
приводятся 
пошаговые 
инструкции 
по 
алгоритмизированному 
практикуму 
применения для этой цели лицензионного табличного процессора 
Microsoft Excel.  

Материалы методических указаний способствуют формированию 
профессиональной компетентности будущих магистров в процессе 
применения базовых физических знаний, могут быть использованы в 
качестве основных требований к выполнению лабораторных работ по 
дисциплине «Прочностная надежность» и в системе итоговой 
аттестации магистрантов по направлению 160400 Ракетные комплексы 
и космонавтика.  

УДК 620.10
ББК 30.121 

ISBN 978-5-9765-2482-8
© Калеева Ж. Г., 2015 
© Пояркова Е. В., 2015 
© Горелов С. Н. , 2015 
© Издательство «ФЛИНТА», 2015 

К75 

2 

Содержание  

Введение…………………………………………………………………………...4 
1 Основная концепция линейного регрессионного анализа…………………...7 
1.1  Понятие теоретической линии регрессии  
и скедастической зависимости………………………………………………...9 
1.2  Эмпирическая линия регрессии и ее уравнение………………………..11 
1.3  Использование выборочной дисперсии………………………………...14 
1.4  Построение доверительного интервала  
теоретической линии регрессии……………………….………………….….15 
1.5 Оценка гипотезы о существовании соответствия  
между опытными данными и наличием функции определенного вида…..19 
1.6 Вопросы для самоконтроля по усвоению теоретических основ 
метода линейного регрессионного анализа………………….……………...21 
2 Компьютерный практикум реализации метода линейного  
регрессионного анализа результатов механических испытаний  
металла в Microsoft Excel………………………………………………………..23 
2.1 Общая постановка задачи, определение исходных данных  
для проведения линейного регрессионного анализа……………….……….23  
2.2 Расчет значений статистических параметров  
и построение по ним эмпирической линии регрессии……………………...29 
2.3 Вычисление значений статистических параметров  
и построение по ним границ доверительного интервала…………………..34 
2.4 Проверка гипотезы о существовании соответствия  
между опытными данными и наличием функции определённого вида…..37 
2.5 Контрольные вопросы по оценке освоения алгоритма 
выполнения линейного регрессионного анализа  
экспериментальных данных в Microsoft Excel…………………………...…39 
2.6 Учебно-лабораторные задания в Microsoft Excel  
по применению линейного регрессионного анализа  
к оценке результатов механических испытаний материалов……………....40 
Заключение……………………………………………………………………….42 
Список использованных источников………………………...…………………44 

3 
 

Введение 

 

Как известно, в современных производственных условиях создания 

летательных аппаратов и ракетных комплексов возрастают сложность 

различных 
проектируемых 
технических 
объектов, 
величина 
их 

нагруженности, 
интенсивность 
эксплуатации 
при 
определенных 

воздействиях внешней среды. При жесткой конкуренции разработчики новых 

высокоточных технических изделий стремятся с максимальной точностью 

прогнозировать их долговечность и ресурс эксплуатации, «закладывая» 

минимальные запасы прочности для обеспечения заданного срока службы. 

Поэтому актуальной проблемой современности является обеспечение 

прочностной 
надежности 
проектируемого 
объекта, 
сохранение 
его 

работоспособности в устанавливаемые сроки эксплуатации.  

В настоящее время интенсивно используются различные расчетные 

методы, позволяющие: 

- оценить нормативный ресурс эксплуатации и долговечность будущего 

изделия еще на этапе проектирования; 

- установить численные характеристики вероятности безотказной 

работы конструкций; 

- определять функции надежности конструкций при различных видах 

отказов и повреждений; 

- прогнозировать остаточный ресурс конструкций по результатам 

технического диагностирования повреждений и трещин; 

- использовать нормальный закон распределения вероятностей при 

оценке прочности и надежности конструкций; 

- оценивать состояния объектов (элементов конструкций) при анализе 

их 
механического 
поведения 
(результатов 
механических 
испытаний 

аппаратными средствами неразрушающих методов контроля). 

При этом возрастают требования к математическому аппарату 

прогнозирования, физическим и математическим моделям, описывающим 

4 
 

повреждение материала в различных условиях внешнего воздействия, 

статистической обработке полученных данных. 

Современный 
этап 
различных 
теоретических 
(модельных) 
и 

экспериментальных исследований в области прочностной надежности 

элементов конструкций ракетных комплексов характеризуется тем, что 

основные 
теоретические 
разработки 
нашли 
свое 
воплощение 
в 

универсальных программных средствах, включающих в себя не только 

реализацию созданных во второй половине прошлого века моделей и 

методов, но и унифицированные процедуры обработки и расчета исходных 

данных.  

Как правило, универсальное программное обеспечение анализа 

надежности и безопасности, включает в себя: 

- блоки логико-вероятностного и статистического анализа; 

- 
стандартизованные 
расчетные 
соотношения 
для 
вычисления 

интенсивностей отказов элементной базы, средних времен восстановления; 

- модули поддержки качественных процедур выявления видов и 

последствий отказов.  

Структура, особенности функционирования отказов и восстановления 

реальных технических систем столь разнообразны, специфичны и сложны, 

что моделирование и анализ их “надежностного поведения” возможны лишь 

с применением определенного программного обеспечения. 

Владение 
навыками 
работы 
с 
современными 
прикладными 

компьютерными 
программами 
является 
необходимой 
составляющей 

профессиональной 
компетентности 
магистрантов 
любых 
инженерно
технических 
направлений 
подготовки. 
Компьютерный 
«практикум», 

представленный в настоящих методических указаниях, позволяет студентам 

научиться самостоятельно обрабатывать полученные экспериментальные 

данные с использованием метода линейного регрессионного анализа, не имея 

специальной подготовки в области статистической оценки данных. Для 

работы с наиболее простым, распространенным и лицензионным пакетом 

5 
 

анализа Microsoft Excel достаточно быть уверенным пользователем 

персонального компьютера, без глубоких знаний основ программирования. 

Приведенное учебно-методическое описание реализации аналитического 

алгоритма выполнения линейного регрессионного анализа, а так же описание 

теоретического основания для составления этого алгоритма могут быть 

вполне достаточными для освоения такого перспективного и современного 

метода статистического анализа.  

В 
настоящих 
методических 
указаниях 
представлено 
общее 

теоретическое обоснование метода линейного регрессионного анализа, 

приведены подробные практические указания к его выполнению с помощью 

средств Microsoft Excel на примере обработки данных механических 

испытаний материала элемента конструкции. Подробно описывается 

алгоритм использования табличного процессора Microsoft Excel для 

компьютеризированной 
обработки 
данных 
методом 
линейного 

регрессионного анализа, а так же сформулированы и представлены 

специальные вопросы и задания для самопроверки и самостоятельной работы 

магистрантов по статистической обработке результатов механических 

испытаний материала элементов конструкций. Пошаговое воспроизведение 

приведенных 
в 
методических 
указаниях 
действий 
пользователя 

персонального компьютера позволяет освоить применение метода линейного 

регрессионного анализа и глубоко понять его теоретическое содержание на 

примере оценки экспериментальных данных.  

Компьютерная 
реализация 
изучения 
теоретико-эмпирических 

результатов 
с 
помощью 
данного 
статистического 
метода 
анализа 

экспериментальных данных, связанных с оценкой результатов механических 

испытаний, 
является 
необходимым 
инструментом 
профессиональной 

практической деятельности будущих компетентных и конкурентоспособных 

специалистов - выпускников магистратуры по направлению 160400 Ракетные 

комплексы и космонавтика.  

 

6 
 

Основная концепция линейного регрессионного анализа 

 

Математическая интерпретация эмпирических данных старательно 

актуализирует в настоящее время вопросы регрессионного анализа, 

поскольку практически весь собранный статистический материал на поверку 

является единственно объективным и доступным источником информации об 

исследуемых процессах. Тем не менее, в настоящее время достаточное 

значение придаётся также и планированию как частных, так и комплексных 

исследований. Постоянно «прогрессирующая» сложность эксперимента 

вынуждает исследователя с предельным вниманием и сосредоточенностью 

относиться к составлению планов проведения работ. Экспериментальные 

данные 
становятся 
по-настоящему 
«судьбоносными» 
только 
после 

тщательного анализа, позволяющего всесторонне обработать полученную 

информацию и обосновать ее. 

Практически 
каждый 
современный 
эксперимент 
предполагает 

последующую математическую обработку, выполненную статистическими 

методами. Регрессионный анализ, как правило, требует весьма громоздких 

вычислений и в эпоху острой нехватки компьютерной техники (в недавнем 

прошлом) не мог быть выполнен в достаточно полном объёме. Однако на 

современном этапе этот процесс оказывается более оптимистичным: наличие 

огромного количества ЭВМ и различных программных комплексов делает 

для 
всех 
механиков-экспериментаторов 
доступным 
применение 
при 

статистической обработке данных сложных (и корректных) математических 

методов. 

Освоив представленный алгоритм пользовательских операций по 

статистической обработке экспериментальных данных, магистранты могут 

получить необходимый и достаточный объем сведений для выполнения 

линейного регрессионного анализа в процессе создания различных 

летательных аппаратов, ракетостроении и даже космонавтике. Содержание, 

ориентированное 
на 
выполнение 
аналитических 
задач 
прикладного 

характера, четкий и лаконичный стиль изложения настоящих методических 

7 
 

указаний позволяет реализовать аналитическую практику, связанную с 

выполнением 
обработки 
информации 
о 
полученных 
результатах 

механических испытаний материалов различных элементов конструкций 

летательных аппаратов.  

К сведению, регрессионный анализ – это классический метод 

моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные 

состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и 

независимой переменной (объясняющей переменной). 

Регрессионная модель есть функция независимой переменной и 

параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели 

настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает 

данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно 

является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений 

модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной 

в качестве аргумента.  

Регрессионный анализ – раздел математической статистики и 

машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма 

значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера 

распределения этой величины делаются предположения, называемые 

гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой 

гипотезы 
выполняются 
статистические 
тесты, 
называемые 
анализом 

остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не 

содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа 

временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей 

в данных [1]. 

Применение линейного регрессионного анализа эффективно при 

статистической обработке результатов усталостных испытаний в области 

ограниченной выносливости [2]. 

Итак, общую концепцию регрессионного анализа можно представить в 

виде фрагмента (цитаты) из энциклопедического словаря [3]: 

8 
 

Регрессионный анализ (от лат. regressio — движение назад, греч. 

analysis — разложение) - метод математической статистики, позволяющий 

изучать зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от 

вариации одной или нескольких других величин.  

В основных чертах процедура регрессионного анализа сводится к 

следующему: пусть есть основания полагать, что изучаемые случайные 

величины х и у связаны некоторым соотношением, тогда задача его описания 

распадается на установление общего вида зависимости и вычисление оценок 

его параметров.  

Стандартных методов выбора общего вида прямой (кривой) не 

существует: необходимо сочетать визуальный анализ корреляционного поля 

с качественным анализом природы переменных. Причем последний должен 

иметь немалый удельный вес, так как зачастую получается такое 

распределение экспериментальных точек в корреляционном поле, что оно 

статистически согласуется с несколькими резко отличающимися друг от 

друга кривыми, и только априорные знания материала могут решать, какая из 

них более адекватна. Степень адекватности оценивается обычно методом 

наименьших квадратов. Методы оценок параметров разработаны для 

линейных и параболических зависимостей, поэтому они наиболее часто 

применяются на практике. В случае, когда вид зависимости существенно 

отличается от параболического, удобно перейти к новым координатам, 

преобразующим зависимость к линейному виду. Для этого используются 

специальные формулы для оценки статистической адекватности линейного 

приближения [3]. 

 

1.1 Понятия теоретической линии регрессии и скедастической 

зависимости 

 

Регрессионный 
линейный 
анализ 
– 
это 
статистический 
метод 

исследования зависимости между зависимой переменной y и одной или 

несколькими независимыми переменными x1, x2, ... , xp.  

9 
 

Независимые 
переменные 
иначе 
называют 
регрессорами 
или 

предикторами, а зависимые переменные – критериальными переменными.  

Если существует зависимость между случайными величинами, 

проявляющаяся в том, что изменение закона распределения одной из величин 

происходит под влиянием изменения закона распределения другой 

величины, то эта зависимость называется стохастической.  

В случае если установлено наличие стохастической зависимости между 

исследуемыми случайными величинами, то с изменением одной величины 

будут меняться все статистические параметры и другой случайной величины.   

В частном случае, когда рассматривается зависимость только двух 

параметров x и y, используются следующие равенства (1.1) и (1.2), в которых 

зависимость (1.1) называется уравнением теоретической линии регрессии, а 

выражение (1.2) называется скедастической зависимостью. 

 

)
(
1
/
x
f
a
x
y
=
,                                           (1.1) 

)
(
2
/
x
f
x
y
=
σ
.                                              (1.2) 

 

В выражениях (1.1) и (1.2) указывается зависимость только двух 

переменных x и y, поэтому говорят, что используется регрессия y по x.  

Регрессионный линейный анализ заключается в нахождении формулы 

для выражения функции (1.1), а сама функция должна соответствовать 

условию минимизации расхождения между фактическими данными и 

полученными по формуле. Графическое изображение соединения любых 

экспериментальных точек позволяет получить некую ломаную линию, 

изломы которой указывают на действия случайных факторов. Для того чтобы 

абстрагироваться от влияния случайных факторов используют выравнивание 

ломаной линии по некоторой плавной сглаживающей кривой. Эту 

сглаживающую линию называют теоретической линией регрессии, и эта 

линия отражает теоретическую формулу связи исследуемых величин. 

10 
 

Уравнение, которое описывает теоретическую линию регрессии, называют 

уравнением регрессии. 

В выражении (1.1) f1(x) – неизвестная функция, устанавливающая вид 

однозначной теоретической зависимости между этими величинами, а левая 

сторона выражения ay/x – средняя величина признака, который изменяется.  

Поиск тенденции (теоретической линии регрессии) производится с 

помощью различных алгебраических уравнений, при решении которых 

выявляются значения коэффициентов регрессии. Регрессионный анализ 

отражает движение, изменения, процессы, а регрессионные модели строятся 

с учетом результатов корреляционного анализа. 

Скедастической называется зависимость между двумя переменными, 

если одна из них y, являясь случайной величиной, реагирует на изменение 

другой величины – аргумента (как неслучайной w, так и случайной x) только 

изменением своей дисперсии. В математической статистике и теории 

вероятностей под дисперсией (от лат. dispersio – рассеяние) понимается 

наиболее употребительная мера рассеивания, то есть мера отклонения от 

среднего. 

 

1.2 Эмпирическая линия регрессии и ее уравнение 

 

Эмпирическая 
линия 
регрессии 
отражает 
основную 
тенденцию 

рассматриваемой зависимости: 

- если эмпирическая линия регрессии по своему виду приближается к 

прямой 
линии, 
то 
можно 
предположить 
наличие 
прямолинейной 

корреляционной связи между признаками; 

- если линия связи приближается к кривой, то это может быть связано с 

наличием криволинейной корреляционной связи. 

Графическое построение зависимости переменных y по x обеспечивает 

необходимость с помощью регрессионного анализа найти и оценить 

11