Начальный курс функционального анализа

Ю.Н. Смолин

НАЧАЛЬНЫЙ КУРС 
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО 
АНАЛИЗА

Учебное пособие

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2017

УДК 517(075.8)
ББК  22.16я73
         С51

Смолин Ю.Н.
С51       Начальный курс функционального анализа
[Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ю.Н. Смолин. —
М. : ФЛИНТА, 2017. — 379 с.

ISBN 978-5-9765-2381-4 

Пособие содержит изложение основных вопросов теории 
метрических пространств и действующих в них линейных 
операторов. Предназначено для первоначального знакомства с 
функциональным анализом; однако, думается, будет интересным и искушенным читателям.
Пособие может быть использовано при чтении спецкурсов 
и ведении спецсеминаров для студентов математических специальностей университетов.
УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73

ISBN 978-5-9765-2381-4                         © Смолин Ю.Н., 2017

           © Издательство «ФЛИНТА», 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

К читателю
5

Г л а в а 1. Метрические пространства
7
§ 1.1. Понятие метрического пространства
7
§ 1.2. Полные метрические пространства
21
§ 1.3. Принцип сжимающих отображений
34
§ 1.4. Пополнение метрических пространств
44
§ 1.5. Линейные пространства
58
§ 1.6. Линейные нормированные пространства
73
§ 1.7. Евклидовы пространства
90
§ 1.8. Гильбертовы пространства
126
§ 1.9. Комплексные гильбертовы пространства
145

Г л а в а 2. Линейные операторы
151
§ 2.1. Операторы в метрических пространствах
152
§ 2.2. Операторы в линейных метрических
пространствах
162
§ 2.3. Операторы в линейных нормированных
пространствах
167
§ 2.4. Обратные операторы
189
§ 2.5. Основные принципы функционального
анализа
210
§ 2.6. Общий вид некоторых функционалов
234
§ 2.7. Сопряженные операторы к ограниченным 247

§ 2.8. Вполне непрерывные операторы
268
§ 2.9. Замкнутые операторы
289
§ 2.10. Плотно определенные операторы
298
§ 2.11. Спектр линейного оператора
325
§ 2.12. Спектр самосопряженного оператора
в гильбертовом пространстве
356

Список литературы
371
Предметный указатель
375

0.1
К читателю

Подобно большой реке, функциональный анализ возник
от слияния трех основных притоков: алгебры, геометрии
и математического анализа. Произошло это в начале 20-го
века, и в настоящее время он представляет собой поистине
всеобъемлющую дисциплину, пронизавшую насквозь всю
современную математику и ее приложения. Не обходятся
без него ни ”чистые” математики, ни прикладники, благодаря которым, кстати, и сам функциональный анализ
получил дальнейшее развитие.
У истоков функционального анализа стояли, поистине,
великаны: С. Банах, Н. Данфорд, Ф. Рисс, Б. С¨екефальвиНадь, Р. Филлипс, Э. Хилле, Дж. Т. Шварц, Р. Эдвардс.
Не остались в стороне и российские ученые: Н. И. Ахиезер,
Б. З. Вулих, Л. В. Канторович, А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев и многие другие, усилиями которых функциональный анализ стал одной из математических дисциплин, без
знания хотя бы основ которой невозможно представить себе нынешнего выпускника университета.
Функциональный анализ, как и всякий здоровый организм, постоянно развивается. Происходит это настолько быстро, что учебная литература не успевает за ним
угнаться, и наше пособие призвано в какой-то мере устранить образовавшийся разрыв. Мы пытались также излагаемый материал сделать доступным возможно более ши

К читателю

рокой аудитории.
При чтении ”Начального курса функционального анализа” полезно иметь под рукой пособия по теории множеств и теории функций (например, [34]) и по мере надобности заглядывать в них.
Пособие состоит из двух глав. В первой из них, написанной при участии доцента А. И. Седова, мы ограничились описанием наиболее популярных метрических пространств. Во второй рассматриваются действующие в этих
пространствах линейные операторы.
Надеемся, что данное пособие поможет приобрести некоторый опыт, который пригодится при изучении более
серьезных книг, а также журнальных статей по функциональному анализу и другим математическим дисциплинам. Желаем успеха.
Автор

Глава 1

Метрические
пространства

В этой главе изложены основы теории метрических пространств, без знания которых невозможно изучение практически ни одного раздела современной математики.

1.1
Понятие метрического
пространства

Важнейшей операцией математического анализа является
предельный переход, в основе которого лежит понятие
расстояния между точками числовой прямой. Обобщая
его, приходим к одному из главных действующих лиц
функционального анализа — метрическому пространству.

Понятие метрического пространства

Определение 1.1. Метрическим пространством называется непустое множество X с заданной функцией ρ, ставящей в соответствие каждой паре элементов x, y ∈ X
единственное неотрицательное число ρ(x, y) и удовлетворяющей следующим условиям (аксиомам):
1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) ρ(x, y) = ρ(y, x),
3) (∀ x, y, z ∈ X) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Функция ρ, фигурирующая в данном определении, называется метрикой, ее значение ρ(x, y) — расстоянием между элементами x и y, условия 1 – 3 — аксиомами тождества,
симметрии и неравенством треугольника соответственно.
Перечисленные аксиомы полностью согласуются с нашими представлениями о расстоянии: оно всегда неотрицательно; точки, между которыми определяется расстояние,
совершенно равноправны; длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин других его сторон.
Метрические пространства будем обозначать символами вида ⟨X, ρ⟩ или одной прописной рукописной буквой X,
если ясно, о какой метрике идет речь. Элементы множества X будем называть элементами или точками метрического пространства X.
Обратим внимание на то, что метрическое пространство — это пара, состоящая из множества X (называемого
базой метрического пространства X ) и метрики ρ, и потому говорить ”множество является метрическим пространством” не совсем корректно. Лучше употреблять выражения типа ”множество образует метрическое пространство”;

Метрические пространства
9

”пара, состоящая из множества и метрики, является метрическим пространством” и аналогичные им.
Возникает вопрос: всякое ли непустое множество можно снабдить метрикой и тем самым образовать метрическое пространство? Положительный ответ на него дает

Пример 1. Пусть X — произвольное непустое множество. Зададим функцию ρ, положив

(∀ x, y ∈ X)
ρ(x, y) =
0,
если x = y;
1,
если x ̸= y.

Аксиомы метрики здесь очевидны, и, следовательно,
пара ⟨X, ρ⟩ является метрическим пространством.

Приведем примеры метрических пространств, часто
используемых как в самой математике, так и в ее приложениях. Читателю, нуждающемуся лишь в иллюстрации
понятия метрики, можно ограничиться примерами 2 и 6.

Примеры. 2. Пусть R — множество действительных
чисел, ρ — функция, определенная правилом

(∀ x, y ∈ R)
ρ(x, y) = |x − y|.

Легко проверить, что аксиомы метрики выполняются,
и потому множество R относительно функции ρ образует
метрическое пространство. Его обозначают буквой R.

3. Рассмотрим множество Rn, состоящее из всевозможных упорядоченных наборов n действительных чисел вида

x = (α1, α2, . . . , αn), y = (β1, β2, . . . , βn), . . .

Понятие метрического пространства

Функцию ρ определим следующим образом:

(∀ x, y ∈ Rn)
ρ(x, y) = max
1≤k≤n |βk − αk|.

Проверка аксиом метрики трудностей не вызывает, и
имеем метрическое пространство ⟨Rn, ρ⟩ или, короче, Rn.

На одном и том же множестве метрика может быть
задана различными способами, и можно выбирать ту из
них, которая наиболее целесообразна в том или ином случае. Чтобы конкретизировать эту сентенцию, установим
два часто применяемых неравенства: Г¨ельдера

n
k=1
|ξkηk| ≤
n
k=1
|ξk|p1/pn
k=1
|ηk|q1/q
,
(3)

где ξk, ηk — произвольные действительные числа, а числа
p > 1 и q > 1 связаны соотношением

1
p + 1

q = 1,
(4)

и Минковского

n
k=1
|ξk + ηk|p1/p
≤
n
k=1
|ξk|p1/p
+
n
k=1
|ηk|p1/p
(5)

при тех же, что и в (3), числах ξ, η и p ≥ 1.1

1Курт Г¨ельдер (1906 – 1978) — австрийский математик.
Герман Минковский (1864 – 1909)— немецкий математик и физик.

Метрические пространства
11

Для доказательства неравенства Г¨ельдера прежде всего заметим его однородность, т.е. если неравенство (3) верно для каких-либо наборов действительных чисел

x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn),
y = (η1, η2, . . . , ηn),
(6)

то оно будет верным и при замене их на λx и μy соответственно, где λ и μ — произвольные действительные числа.
Это позволяет при заданных x, y и p подобрать λ и μ так,
чтобы имели место равенства

n
k=1
|λξk|p =

n
k=1
|μηk|q = 1.

Поэтому неравенство (3) достаточно доказать при

n
k=1
|ξk|p =

n
k=1
|ηk|q = 1,
(7)

что и будем считать выполненным. Покажем, что тогда

n
k=1
|ξkηk| ≤ 1,
(8)

после чего неравенство (3) доказывается элементарно.

На плоскости x0y построим кривую, заданную уравне

Понятие метрического пространства

нием y = xp−1 (x ≥ 0), или, что то же, уравнением x = yq−1.
Видим, что при любом выборе положительных чисел x0 и
y0 будет x0y0 ≤ S1 + S2. Вычислим площади S1 и S2 :

S1 =
x0

0
xp−1d x = xp
0
p ,
S2 =
y0

0
yq−1d y = yq
0
q .

Тогда последнее неравенство запишется в виде

x0y0 ≤ xp
0
p + yq
0
q .
(9)

Положим здесь x0 = |ξk|, y0 = |ηk| (k = 1, 2, . . . , n) и просуммируем образованное таким образом неравенство по k
от 1 до n. Получим

n
k=1
|ξkηk| ≤

n
k=1

|ξk|p

p
+

n
k=1

|ηk|q

q
.

Отсюда, ввиду (4) и (7), приходим к (8), откуда, как было
замечено, неравенство Г¨ельдера следует с очевидностью.
Перейдем к неравенству Минковского. И поскольку при
p = 1 оно тривиально, будем доказывать его при p > 1.
Воспользуемся легко проверяемым тождеством

(|α| + |β|)p = (|α| + |β|)p−1|α| + (|α| + |β|)p−1|β|,

где α и β — произвольные действительные числа. Положим здесь α = ξk, β = ηk (k = 1, 2, . . . , n) и просуммируем
полученное равенство по k от 1 до n. Будем иметь

n
k=1
(|ξk|+|ηk|)p =

n
k=1
(|ξk|+|ηk|)p−1|ξk|+

n
k=1
(|ξk|+|ηk|)p−1|ηk|.