Математика в школе, 2020, № 4

МАТЕМАТИКА
в школе

4/2020

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 8 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Малышев И.Г.
Сговор как фрагмент теории заговора

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 7 
«Переоценённые гаджеты (нужна ли школе повальная цифровизация?)» – обзор интернетресурсов

ОЛИМПИАДЫ

11 
Будак Б.А., Горяшин Д.В., Зеленский А.С., Козко А.И., Панфёров В.С.,
 
Сергеев И.Н., Шейпак И.А., Юмашев М.В.
Олимпиада по математике «Покори Воробьёвы Горы!» – 2018–2019
24 
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.
Школьный этап XLVI Всероссийской олимпиады школьников по математике
в Московской области

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

32 
Филиппова Е.В.
Задачи практического характера на уроках математики в 5 классе

КОНСУЛЬТАЦИЯ

36 
Калинин С.И., Панкратова Л.В.
Об интегрируемости выпуклой на отрезке функции

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

46 
Белошистая А.В., Левитес В.В.
Кто, когда и как должен начинать учить школьников доказывать?

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

54 
Одинец В.П.
К 125-летию реформатора математического образования О.А. Вольберга (1895-1942)

ХРОНИКИ  

60 
Донская А.А.
Ростислав Семёнович Черкасов 
66 
Троицкая С.Д.
О заседании семинара «Школьное математическое образование: содержание и аттестация»

БИБЛИОТЕКА

67 
Андреев Н.Н., Коновалов С.П., Панюнин Н.М.
Математическая составляющая: книга для учителя

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

75 
Акулич И.Ф.
Хома Брут и нечистая сила
80 
Карпушина Н.М.
Универсальный гений

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3437. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2020, № 4

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, 
Т.Н. Сабурова, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

КОНСУЛЬТАЦИЯ

 
Курилова О.Л., Степанова Е.А.
Применение среды GeoGebra для решения задач с параметрами
 
Степанова Е.А., Курилова О.Л. 
Компьютерная анимация в среде GeoGebra в параметрических задачах на уроках 
алгебры

ВНЕ УРОКА

 
Киричек К.А., Оленев А.А.
Комбинаторные задачи и система компьютерной алгебры Maple 

ОТКРЫТЫЙ  УРОК

 
Фишман Б.Е., Эйрих Н.В.
Компьютерная игра в практико-ориентированной части исследовательско-учебной 
математической деятельности учащихся

ЭКСПЕРИМЕНТ

 
Очков В.Ф., Чудова Ю.В., Очкова Н.А.
Академическая шапочка математика, или Гибрид символа, числа и графика в задаче 
оптимизации

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

 
Дружинин Б.Л.
Великий русский математик Софья Ковалевская

ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЖУРНАЛУ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

СГОВОР КАК ФРАГМЕНТ ТЕОРИИ ЗАГОВОРА

В связи с «юбилеем ЕГЭ» в 2019 г. имеет 
смысл поговорить об успехах, хотя плюсов 
у итоговой аттестации в такой форме не 
так уж и много. Обычно вся «апологетика» 
организаторов ЕГЭ сводится к известной 
«мантре», что наконец-то абитуриенты из 
глубинки стали поступать в столичные 
вузы. Однако это – весьма спорный тезис, 
если сравнивать с 60-ми – 70-ми годами. 

Рассмотрим нынешнюю ситуацию с 
ЕГЭ в нашем регионе (г. Нижний Новгород). Действительно, результаты этого 
года великолепны. Например, кривая 
распределения «баллы – процент выпускников» в регионе радикально изменилась (см. рис. 1). И хотя число не преодолевших порог в 6 баллов практически 
не изменилось – 5% (5,18% в 2018 г.), зато 

Кадр из фильма «Добро пожаловать,
или Посторонним вход воспрещён», 1964 г.

Рис. 1

0
0
1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13
%

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Математика в школе  4 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

число «высокобалльников» увеличилось в 
2,5 раза (с 3,96% до 9,98%). Можно только 
порадоваться за выпускников этого года. 
Но каким же образом это было достигнуто? То, что выпускники этого года будут 
сдавать экзамен по новым правилам, т.е. 
только один выбранный экзамен вместо 
возможности сдавать два экзамена – базовый и профильный, стало известно ко 
второй четверти. У организаторов был 
огромный риск, ведь почти половина выпускников уже несколько лет сдавали оба 
экзамена. Нужно было срочно исключить 
возможные плохие результаты. Шкалу 
перевода первичных баллов в тестовые 
деформировать больше некуда (см. рис. 2). 
И так она отличается от шкал других 
предметов и представлений начальства. 
Выделенный фрагмент взят из презентации директора ФИПИ на конференции 
«Использование оценочных процедур в 
целях построения национальной системы учительского роста», прошедшей 28 
октября 2016 года в ФИПИ (подробнее 
см. в [1]). Остаётся «последний клапан» 
– упростить содержание заданий. Что и 
было сделано. 
В таблице 1 приведены результаты 
выполнения некоторых заданий в процентах и сами задания в 2018 и в 2019 гг. 
Эта таблица показывает, что задания в 
2018 г. были существенно сложнее, чем 
задания в 2019 г. (Отметим здесь, что, 
по-видимому, процент выполнения этих 
заданий в 2018 г. был бы ниже, если принять во внимание возможную утечку заданий первой части экзамена, о которой 
писали тогда многие СМИ. На то, что это 
было возможным, указывают статистические данные прошлого года [2]). Рассмотрим, к примеру, задание № 10. В 2018 г. 
нужно было не только решить квадратное уравнение, но и отобрать один корень, исходя из физического смысла за
Рис. 2

20

15
ПБ1

TБ1

TБ2

TБ1

TБ1

100

ПБ2
max

6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Первичные баллы

Тестовые баллы

Математика

Информатика

30 32 34

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

дачи. А в 2019 г. экзаменуемому нужно 
было просто подставить два числа в хорошо известное соотношение, связывающее 
три величины. 
Далее, задание № 12 в 2018 г. предполагало знание выпускником свойств, 
области определения и производной логарифма. Не всякий выпускник способен 
догадаться вынести степень из логарифма перед дифференцированием, и уж 
тем более не всякий выпускник способен 
решить задание 2018 г. устно (даже если 
сообщаешь об этом учащимся, они быстро 
забывают, все настроены действовать по 
стандартному алгоритму). А в 2019 г. соответствующее задание потребовало от 
выпускника лишь знания производной 
степенной функции, да ещё в готовом для 
дифференцирования виде.
А вот первая часть задания № 13. Если 
в 2018 г., прежде чем решать квадратное 
уравнение, нужно было ещё выполнить 
преобразования по формуле сложения и 

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Таблица 1

№ 
2018
2019

10

Автомобиль, движущийся со 
скоростью 
0
24 м/с
v 
, начал 
торможение с постоянным 

ускорением 
2
3 м/с
а 
. За t секунд 
после начала торможения он 

прошёл путь 

2

0
(м).
2
at
S
v t



Определите время, прошедшее с 
момента начала торможения, если 
известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ 
дайте в секундах. 

59,5%

Сила тока I (в А) в электросети 

вычисляется по закону Ома: 
,
U
I
R

    

где U – напряжение электросети (в В),  
R – сопротивление подключаемого 
электроприбора (в Ом). Электросеть 
прекращает работать, если сила тока 
превышает 40 А. Определите, какое 
наименьшее сопротивление может быть 
у электроприбора, подключаемого к 
электросети с напряжением 220 В, 
чтобы электросеть продолжала работать. 
Ответ дайте в омах.
93,8%

12

Найдите наибольшее значение 
функции y = ln(x + 9) – 5x
на отрезке [–8,5; 0]. 
50,8%

Найдите точку максимума функции 

3
2
6
15
2
у
х
х



. 
69,6%

13

Решите уравнение 

sin
2sin 2
3 sin2
1
6
х
x
x












38,9% (32,8%)

Решите уравнение 

2
8sin
2 3 cos
9
0
2
х
x












54,3% (46,2%)

формуле двойного аргумента, то в 2019 г. 
достаточно лишь было знать простейшую 
формулу приведения. В скобках указан 
процент полностью решивших это задание. Поскольку выпускник получал один 
балл только за полностью решённый первый пункт задания, то первая цифра в соответствующей строке таблицы 1 указывает на выпускников, полностью выполнивших первый пункт задания. 
Эта разница в сторону упрощения в 
сложности заданий ЕГЭ прошлого и этого года прослеживается практически в 
каждом из 19-ти заданий. Особенно было заметно на заданиях № 17–19. Процент выполнения заданий только подтверждает это.

Отметим, что Рособрнадзор был озабочен несоответствием результатов ЕГЭ и 
ОГЭ в регионах ещё в 2016 г. С тех пор 
прошло три года, но так ничего не изменилось, и сомнения в объективности и 
беспристрастности остались. В этом году 
с целью получения объективных данных 
по экзамену в 9-м классе региональное 
министерство решилось на серьёзные изменения в организации ОГЭ. С большими 
издержками, но провести экзамен и проверить результаты удалось. Региональные результаты изменились радикально. 
По крайней мере, число выпускников, 
получивших «неудовлетворительно» на 
экзамене, стало 10,83%. Обычно это было 
меньше 0,5% на 25000 человек.

Математика в школе  4 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Таблица 2

Район
ОГЭ %
ЕГЭ %

1
0,65
4,17

2
6,11
3,71

3
8,53
6,18

4
14,36
7,95

Но сомнение в объективности возникают не на пустом месте. И не только наверху есть желающие хорошо выглядеть перед вышестоящими структурами, но и на 
других уровнях та же картина. В таблице 
2 представлены данные по числу не сдавших экзамены ОГЭ и ЕГЭ четырёх соседних районов города Нижнего Новгорода.
Из таблицы следует, что управление 
образования первого района предприняли 
организационные шаги по сокрытию объективных данных ОГЭ в 2019 г. Учителя 
самостоятельно этого сделать бы не смогли, а проверка работ исключала какую
либо возможность повлиять на результат. 
В теориях заговора рядовые граждане могут только что-то предполагать и толковать события с некой долей достоверности. 
Может, автор не прав, и сговора нигде не 
было? Вот и товарищ Дынин в исполнении нашего земляка Е.А. Евстигнеева в 
классическом кинофильме, обнаружив 
под трибуной сотрудников пионерлагеря, 
поверил, что они там «закусывали». Но 
сговор же был? 

Литература

1. Малышев И.Г. Про бочки, мёд и дёготь // 
Математика в школе.– 2017. – № 7. – С. 6–9.
2. Малышев И.Г. Три пишем, а два ли в 
уме? // Математика в школе. – 2018. – № 8. 
– С. 3–6.
И.Г. Малышев,
ГБОУ ДПО НИРО
(г. Нижний Новгород),
e-mail: migniro@mail.ru

Российские школьники завоевали пять золотых медалей на 12-ой Международной олимпиаде по математике Romanian Master of Mathematics (RMM 2020), проходившей в Румынии 
с 26 февраля по 2 марта, и стали первыми в командном зачёте. Победителем же в индивидуальном зачёте стала представительница Сербии.
Олимпиада RMM проводится ежегодно в Бухаресте (Румыния), начиная с 2008 г. В олимпиаде принимают участие юные математики со всего мира. На RMM 2020 Россию представляли 
пять старшеклассников из Москвы, Санкт-Петербурга, Казани, Челябинска и Сочи. 
Школьники выполняют индивидуальные задания в течение двух дней. В каждом из туров 
необходимо за 4,5 часа решить три задания. Олимпиадные задачи не похожи на школьные 
и требуют творческого подхода. Организаторы отдельно отмечают самые оригинальные решения. По уровню сложности и тематике задания близки к задачам Международной математической олимпиады. Результаты подводятся в личном и командном зачётах. Официальный 
язык соревнований – английский, но задания участники получают на своём родном языке.
Для российских школьников Romanian Master of Mathematics – один из этапов отбора в 
сборную команду на Международную математическую олимпиаду.
Источники: 
http://rmms.lbi.ro/rmm2020/index.php?id=home
https://ria.ru/20200302/1566852526.html

ЭТО ИНТЕРЕСНО

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Перспективы далёкие и близкие
СЛИШКОМ МНОГО ДВОЕЧНИКОВ
(как чиновники будут решать проблему образовательной неуспешности?)
В середине февраля состоялось совместное заседание Экспертного и 
Общественно-делового советов по национальному проекту «Образование». 
На нём, в частности, обсуждался вопрос о поддержке школ с низкими образовательными результатами, а таковых у нас немало. До недавнего времени Минпросвещения и Рособрнадзор, 
оценивая результаты международных и 
внутренних исследований качества образования, демонстрировали оптимизм. 
Но всё чаще от чиновников можно услышать жёсткие и адекватные оценки результатов России. По данным PISA-2018, качество общего образования в нашей стране 
ухудшились (четверть всех школ получили очень низкие баллы, соответствующие местам 
ниже 50-го среди 77 стран-участниц). ВПР-2019 показали: в трети школ России более 30% 
учеников 5–6 классов не осваивают программу по русскому языку и/или математике, а в 
каждой десятой школе таких учеников больше половины. Если оценивать результаты всех 
школ России, показатель неуспешности удручает: каждый пятый ученик 5–7 классов – 
двоечник как минимум по одному из этих предметов. Минпросвещения и Рособрнадзор 
планируют наладить адресную работу со слабыми школами в рамках будущего проекта 
«Школа равных возможностей: важен каждый ученик», в частности, разработать программы помощи для учителей и школьников, включающие методическую поддержку. Предлагается внести изменения в федеральные проекты «Современная школа» – в части разработки модели и программ коррекции трудностей в обучении и «Учитель будущего» – в части 
повышения квалификации и методической поддержки учителей. Инициатива эта важная 
и своевременная. Однако никто не говорит о создании качественных условий жизни и 
работы педагогов (никакие меры не помогут, если учитель будет работать на износ и сил 
на эффективную помощь отстающим ученикам у него не останется). И никто не ведёт речь 
о причинах образовательной неуспешности, а они могут быть связаны не с учебным процессом, а например, с нездоровым климатом в школе или с проблемами в семье ребёнка. 
Поможет ли в этом случае методическая помощь? Для успешной реализации задуманного 
требуется не разработка в кабинетах министерств и ведомств инструкций и наставлений, а 
понимание закономерностей и особенностей функционирования слабых школ. Есть ли оно 

Математика в школе  4 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

у чиновников, привыкших оценивать образовательные организации, педагогов и школьников лишь по накопленным данным всякого рода контроля и проверок?
Подробности: activityedu.ru/Blogs/analytics/slishkom-mnogo-dvoechnikov-chto-delatminprosveshcheniya-i-rosobrnadzoru/.

А как у других?
ПЕРЕОЦЕНЁННЫЕ ГАДЖЕТЫ
(нужна ли школе повальная цифровизация?)
В западном обществе растёт понимание того, что компьютерные технологии в образовании могут быть контрпродуктивными. Споры о необходимости и пользе цифровизации 
обучения в школе не утихают. Большинство исследований свидетельствует о негативном 
влиянии электронных средств обучения, причём на разных его этапах. Так, масштабное 
исследование, в котором участвовали старшеклассники из 36 стран – членов ОЭСР, показало: результаты обучения у тех, кто активно использует компьютеры, как правило, намного 
ниже (даже с учётом демографических факторов и социального происхождения учеников). 
Оказалось также, что внедряемые технологии мало способствуют преодолению разрыва 
между успевающими и отстающими учениками. И если одарённым школьникам с высокой мотивацией интенсивное цифровое обучение пойдёт на благо, то слабым учащимся 
оно может навредить. Почему же гаджеты, призванные облегчить процесс получения и 
передачи информации, зачастую бесполезны на деле? Причин тому немало. При чтении с 
экрана дети усваивают меньший объём материала, чем при чтении с бумажного носителя. 
Занимаясь на планшете, они часто отвлекаются на соцсети, игры. Но есть куда более серьёзные причины: пониженная мотивация к обучению без наставника; получение знаний 
вне социального контекста – совместной деятельности с другими детьми и учителем; ослабление коммуникации, личного общения и обмена идеями; невозможность программного 
обеспечения «приспособиться» к реальному уровню знаний школьника и донести до него сложный материал. Иные технофилы спят и видят, чтобы, сидя за компьютером, ребёнок учился по персональной программе и самостоятельно выбирал предметы и темы для 
изучения, а это грозит привести к серьёзным пробелам в знаниях (которые для понимания важнее навыков, давно доказали учёные). Как заметил по этому поводу один педагог, 
если бы ему в школе позволили сформировать для себя программу обучения, он стал бы 
экспертом по принцессам и собакам. Компьютер и гаджеты играют в учебном процессе 
куда более скромную роль, чем хотелось бы большинству. Возможно, слишком скромную. 
Вопрос, где они могут заменить учителя, некорректен. Думать надо над тем, как цифровые 
инструменты могут облегчить работу педагога и как ему в этом помочь.
Подробности: activityedu.ru/Blogs/international/nuzhna-li-shkole-cifrovizaciya/.

Из жизни учёных
ОТ «ФИЛДСА» ДО «АБЕЛЯ»
(престижная награда вновь досталась математику с русскими корнями)
В марте Норвежская академия наук объявила о присуждении Абелевской премии 2020 
года сразу двум математикам: Григорию Маргулису (Йельский университет, США) и Гилелю 
Фюрстенбергу (Еврейский университет в Иерусалиме, Израиль) «за новаторство в использо

Особые точки
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

вании методов теории вероятностей и динамики в теории групп, теории чисел и комбинаторике». Григорий 
Маргулис родился в Москве, в 16 лет стал серебряным 
призёром Международной математической олимпиады. В 1967 году окончил механико-математический 
факультет МГУ. Под руководством Якова Синая (ещё 
один обладатель Абелевской премии), защитил кандидатскую диссертацию. Ранее Маргулис получил несколько наград в области математики, в том числе 
самую престижную – Филдсовскую премию (1978). 
«Несмотря на присуждение Филдсовской медали, 
на лаврах мне не дали почивать, – вспоминал он в 
одном из интервью. – В течение более трёх лет мою 
докторскую диссертацию не пропускали к защите на 
мехмате МГУ, пользуясь различными отговорками. 
Потом в конце концов я защитил докторскую в Белоруссии, в минском Институте математики. Так или 
иначе, на родине моя медаль вызвала резкое неудовольствие среди значительной части математического начальства». С 1991 года Григорий 
Маргулис проживает и работает в США, он также является сотрудником Института проблем 
передачи информации РАН.
Подробности: rg.ru/2020/03/18/abelevskaia-premiia-v-tretij-raz-prisuzhdena-matematiku-srusskimi-korniami.html, kommersant.ru/doc/3131344 (интервью «Огоньку», 2016 год).

ОПТИМАЛЬНЫЙ МАРШРУТ
(как шмель задачу коммивояжёра решал)
Многие насекомые-собиратели стараются оптимизировать пройденный путь 
между гнездом и регулярно посещаемыми местами сбора нектара. Некогда 
эксперимент над пчёлами показал: если 
перед ульем поместить туннель, изогнутый под прямым углом, а на другом конце поставить чашку с сиропом, пчела выберет кратчайший путь от улья до чашки, 
то есть полетит по гипотенузе треугольника, катетами которого служат отрезки 
туннеля. А вот шмели, выяснили учёные, 
могут успешно справляться с задачей 
коммивояжёра: они довольно быстро добиваются оптимизации маршрута методом проб 
и ошибок. Один из экспериментов заключался в следующем. Исследователи расставили в 
поле пять источников нектара (искусственные цветки из пластика) в вершинах правильного 
пятиугольника и наполнили каждый одной пятой частью от того количества жидкости, что 
способен унести шмель за один вылет. Перемещения насекомых отслеживались с помо
Григорий Маргулис (род. 1946)

Математика в школе  4 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

щью прикреплённых к ним миниатюрных радиопередатчиков (см. фото, автор фото Stephan 
Wolf). Затем их траектории оцифровывались и анализировались специальной программой. 
Первые путешествия шмелей носили случайный характер, при этом насекомые исследовали пространство, запоминали расположение цветков и опробовали новые пути. С увеличением числа вылетов траектории их между соседними цветками всё больше спрямлялись 
и становились короче. На поиск оптимального маршрута шмелям хватало в среднем 26 
вылетов. В итоге длина первоначального пути насекомых сокращалась на 80%.
Подробности: elementy.ru/kartinka_dnya/946/Shmeli_i_zadacha_kommivoyazhyora.

Пополняем ресурсы
МАТЕМАТИКА ПОВСЮДУ
(взгляните на мир глазами математика!)
Гуляя по мосту, архитектор задумывается, почему была выбрана именно такая его форма, инженер отмечает, из каких материалов построен мост, музыкант 
тестирует его акустику, фотограф прикидывает удачные ракурсы для съёмки, художник вычисляет часы, 
когда дневной пейзаж особенно красив, историк рассуждает о роли моста в эпоху, когда он был возведён, 
искусствовед задумывается над стилем декораций. 
Ну а математик? Он размышляет, какая кривая задаёт форму арки моста, изучает декорации и замечает 
банальную или необычную симметрию. Вот с такого 
простого и наглядного примера начинает свою познавательную книгу «Вы сказали “математика”? Из 
дома в город – всюду математика» (М., Техносфера, 
2019) французский популяризатор науки Робин Жаме. Автор предлагает взглянуть на окружающий мир 
глазами математика. А посмотреть всегда есть на что, 
ведь представителей этой науки интересует буквально всё! Как только математик задумывается над привлёкшим его внимание предметом, тот 
немедленно становится объектом его исследования. Если кто-то думает, что математика 
сложна, скучна и бесполезна, то эта небольшая, весёлая и доступно написанная книга поможет преодолеть предубеждение к этой науке и стимулирует любопытство читателя.
Подробности: technosphera.ru/files/book_pdf/0/book_576_776.pdf (отрывок из книги).

Нетривиальные суждения

В математике так же, как и в музыке, живописи или поэзии. Любой может стать 
юристом, врачом или химиком и достичь в избранной отрасли успеха, 
если он сообразителен и трудолюбив; но стать математиком не каждый может: 
обычная сообразительность и трудолюбие сами по себе ничего здесь не означают.

А.Ф. Мёбиус, немецкий математик и астроном

Рубрику ведёт Н.М. Карпушина

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» 
по математике в 2018/2019 учебном году 
состояла из двух этапов: отборочного и 
заключительного. Отборочный этап проводился в ноябре – декабре 2018 года и 
состоял из блиц-тура (5 задач онлайн, 
3 часа на решение) и творческой части 
(5 задач, на решение отводилась неделя). 
Победители и призёры отборочного этапа 
приглашались к участию в заключительном (очном) этапе, который проводился в 
феврале-марте 2019 года в Москве и ряде 
городов России.

Отборочный этап. Блиц-тур
Каждый участник отборочного этапа 
получал свой набор задач, отличающийся от наборов задач других участников. 
Ниже приведён типичный набор из пяти 
задач.

1. Решите неравенство 4
3
1.
3 |
4|
x
x

 



 

В ответе укажите сумму всех целочисленных значений x, удовлетворяющих данному неравенству и не превосходящих по 
абсолютной величине 12. 
2. Решите уравнение

2
14
cos8
(cos2
sin2 )
1.
3
x
x
x




В ответе укажите число, равное сумме 
корней уравнения, принадлежащих от
резку 
11
13
;
,
2
2









 при необходимости 

округлив это число до двух знаков после 
запятой.
3. Найдите сторону BC четырёхугольника ABCD, если

5
arcsin
,
13
BAC


12
arcsin
,
13
ACD



2
BCA
CAD


 

 и AD = 24.

4. Решите систему

2
2
2
2
log
(
2
)
log
(
2
)
4,

log
( 2
3
2 )
log
(2
1
2 )
2,

x a
y c

x a
y c

y
cy
c
x
xa
a

y
c
x
a

























ОЛИМПИАДЫ

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 
«ПОКОРИ ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ!» – 2018–2019

Б.А. Будак, Д.В. Горяшин, А.С. Зеленский,
А.И. Козко, В.С. Панфёров, И.Н. Сергеев,
И.А. Шейпак, М.В. Юмашев,
МГУ имени М.В. Ломоносова (Москва),
e-mail: asz1956@yandex.ru

B.A. Budak, D.V. Goryashin, A.S. Zelenskiy,
A.I. Kozko, V.S. Panfyorov, I.N. Sergeev,
I.A. Sheypak, M.V. Yumashev,
Lomonosov MSU (Moscow),
e-mail: asz1956@yandex.ru

Ключевые слова: олимпиада «Покори Воробьёвы Горы!», МГУ, математика.
Keywords: olympiad «Conquer the Vorobyovy 
Gory!», Lomonosov Moscow State University, 
mathematics.

Аннотация: приводятся задания, предлагавшиеся учащимся выпускных классов на олимпиаде 
«Покори Воробьёвы Горы!» по математике в 
2018/2019 учебном году, с ответами и решениями.

Abstract: there are tasks offered to students of 
graduating classes on the Olympiad «Conquer the 
Vorobyovy Gory!» in mathematics, organized by 
Lomonosov Moscow State University in 2018/2019 
academic year, with answers and solutions.

Математика в школе  4 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

если a = 8, c = 20. Вычислите значения 
выражения xk· yk для каждого решения 
(xk, yk) системы и найдите среди них минимальное.
5. При сушке абрикосы теряют 10% 
своей массы, а виноград – 30% массы. 
Определите, в какой пропорции необходимо взять абрикосы и виноград, чтобы 
после сушки получилась смесь, содержащая урюка в 2 раза больше, чем изюма. 
В ответе укажите отношение начальной 
массы абрикосов к массе винограда в виде 
десятичной дроби, округлив её при необходимости до двух знаков после запятой.

Отборочный этап.
Творческое задание
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin442(1999x°) =
= sin442(2019x°). Представьте x в виде несократимой дроби и в ответ запишите сумму 
её числителя и знаменателя.
7. Вычислите значение выражения
((…((2018 " 2017) " 2016) " … " 2) " 1),

если 
3(
) .
9
x
y
x
y
xy





8. Для всех a, при которых уравнение 
x3 – x2 – 4x – a = 0 имеет три различных 
действительных корня, обозначим через 
x1 = x1(a), x2 = x2(a), x3 = x3(a) эти корни, 
упорядоченные по убыванию (x1 > x2 > x3). 
При 
каком 
из 
этих 
a 
выражение 

2
2
2
1
2
2
3
3
1
x x
x x
x x


 принимает наибольшее 
возможное значение? Если таких a несколько, в ответе укажите их сумму. Ответ 
при необходимости округлите до двух знаков после запятой. 
9. Десятигранник ABCDPQRSTUVW 
имеет два параллельных друг другу основания: квадрат ABCD и восьмиугольник 
PQRSTUVW, все углы которого равны 
между собой, а также восемь боковых граней: треугольники APQ, BRS, CTU, DVW 
и прямоугольники DAPW, ABRQ, BCTS и 

CDVU. Известно, что площадь сечения 
этого десятигранника плоскостью, прохо
дящей через точки A, S и U, равна 143 ,
20
 

|AB| = 1, |
|
2.
PQ 
 Найдите расстояние 
между основаниями десятигранника. В 
ответ запишите найденное значение, при 
необходимости округлив его до двух десятичных знаков.
10. Найдите непостоянную функцию 
f(x), о которой известно:
1) Для всех значений x, y выполнено 
равенство:
f(f(x)y + g(x)) = g(x) ∙ f(y) + f(x),

где 

если 
[ 18;18];
,
cos(
)
( )
если | | 18
,
x
g x
x
x
x
 







2) уравнение f(t) = –t имеет единственное решение;
3) справедливо неравенство
|f(–1) + 1| < 17.
В ответ запишите значение функции 
f(x) в точке 36,25, при необходимости 
округлив его до двух знаков после запятой. Если такая функция не существует, 
то в ответе запишите 0.

Заключительный этап
Варианты, предлагавшиеся участникам заключительного этапа в разных 
городах России, отличались друг от друга. Здесь приводятся один из вариантов 
полностью и избранные задачи из других 
вариантов.

Вариант 1
11. Стороны прямоугольного треугольника выражаются натуральными числами, при этом гипотенуза на 1 длиннее одного из катетов. Может ли длина 
какого-то катета данного треугольника 
быть равна: а) 2019; б) 2018; в) 2112?
12. Аня выписала одно за другим 2018 

чисел 1 2 ,
2

2 3 ,
2

3 4 ,
2

 …, 2018 2019
2

 и