Математика в школе, 2020, № 3

математика
в школе

3/2020

НАУЧНО-ТеОреТиЧеский  
и меТОдиЧеский жУрНАл
В НОМЕРЕ:

министерство

образования и науки

российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 8 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Бунимович Е.А.
Связь поколений

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 4 
«Рост неграмотности и социальной сегрегации школ» (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

 8 
Любимова В.В.
Применение теоремы Менелая к решению планиметрических и стереометрических задач

ОЛИМПИАДЫ

18 
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.
Муниципальный этап XLVI Всероссийской олимпиады школьников по математике 
в Московской области

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

28 
Буфеев С.В., Буфеев В.С.
Метод фазового пространства

КОНСУЛЬТАЦИЯ

36 
Калинин С.И., Суслопарова Ю.А.
Обобщённая теорема Помпейю и среднее степенное двух величин

44 
Эвнин А.Ю.
Девять доказательств одного векторного равенства

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

48 
Хэкало С.П.
Об одной аттестационной задаче по теории вероятностей

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84×108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3423. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2020, № 3

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, 
Т.Н. Сабурова, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

У НАС В ГОСТЯХ

52 
Элсаиди М.С.М, Егупова М.В.
Обучение математике в 7–9 классах в Египте и в России: преимущества и недостатки

ХРОНИКИ

(75-летию Великой Победы посвящается)

66 
Мельников Р.А., Саввина О.А.
Деканы-фронтовики физико-математического факультета Елецкого вуза

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

73 
Мельников Р.А., Саввина О.А.
Василий Ильич Нечаев (к 100-летию со дня рождения)

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АктуАльнАя темА

СВязь ПОкОлЕНИй

75 лет Великой Победы 
каждое поколение воспринимает 
по-своему. 
Время идёт, живых свидетелей всё меньше, приблизить эти события к нашим детям, дать им возможность осознать, почувствовать смысл и масштаб праздника, сделать его для них особенным, 
важным, своим, личным – задача совсем не простая.
Мой отец прошёл всю войну, был на передовой, 
в артиллерийской разведке... Тогда, в июне 41-го 
он только окончил механико-математический факультет МГУ, поступил в аспирантуру. У него была 
бронь, но он ушёл на фронт добровольцем в первые дни войны. Многие его однокурсники, друзья 
полегли под Москвой, в ополчении.
Когда я был студентом всё того же мехмата, мы 
открывали мемориальную доску погибших, собирали документы, и для меня имена золотом по 
мрамору стали тогда не абстракцией, за каждым 
вставали воспоминания отца, мамы, характеры, 
судьбы...
Перед каждым 9-м Мая я чистил папины ордена 
и медали зубным порошком, и мы отправлялись в 
Парк культуры на встречу с однополчанами. В 
парке было весело – встречи, объятия, ветераны. 
После встречи папины однополчане шли к нам 
домой – многие были не из Москвы, специально 
приезжали. Это был редкий случай, когда я мог 
увидеть в нашей довольно чинной профессорской 
квартире совсем других людей – шумных, простецких, сильно пьющих, совсем не похожих на наших 
родственников и друзей семьи. Они хохотали до 
слёз, вспоминали про войну только смешные истории, папа тоже, смеялись, пили, пели, вспоминали 
молодость. Не хотели про страшное.
В отцовских бумагах нашёл листок в клетку – 
похоже на торопливый конспект выступления 
ветерана перед пионерами. Военная хронология, 
послужной список: 
«…июнь 41 – начальник разведки артиллерий
ского дивизиона, отходили, тащили с собой технику, старались не напороться на немцев, тревога 
за Москву, за ополченцев ... весна 42 – командовал 
группой разведчиков, которая была направлена 
для выполнения спецзадания в блокадный Ленинград ...Курская дуга ... 29 сентября 1943 – форсирование Днепра, ночью, на подручных средствах, 
потом удерживали плацдарм ... 27 января 1944 – 
Корсунь-Шевченковская операция, дождь и мокрый 
снег, распутица, прорывались всё время, 8 февраля 
– попытка вырваться, 17 февраля – прорыв...»  
В этих скупых записях – неразрывная связь жизни одного молодого математика с жизнью страны в 
самый трагический момент истории Отечества. 
После победы отец вернулся в аспирантуру. 
Мехмат располагался тогда не на Воробьёвых горах, а в старом здании МГУ, в самом центре Москвы, рядом с Кремлём и Манежем. От самого входа 
вверх ведёт торжественная мраморная лестница, 
вокруг которой и протекала студенческая жизнь. 
Мама, студентка мехмата, только вернувшаяся тогда вместе с университетом из эвакуации, впервые 
увидела отца, когда он поднимался по этой самой 
лестнице, в офицерском кителе, в орденах и медалях. Тогда и там, на мехмате они и познакомились.
…Всей семьёй, с мамой, братом, нашими жёнами и детьми мы всегда сопровождали отца в этот 
день на встречи ветеранов. А совсем недавно, когда уже моя внучка по заданию, данному в школе, 
готовила презентацию о боевом пути прадеда, это 
стало поводом достать и перебрать старые фотографии, документы, медали, рассказать о многом. 
Только так, через личные воспоминания, истории семьи, истории родственников и соседей, 
истории дедов и прадедов, мы можем сделать так, 
чтобы этот великий праздник стал своим, близким, 
личным для наших детей и внуков, для поколения, 
вступающего в жизнь…

С праздником Победы!

Евгений Бунимович

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОсОбые тОчки

Барометр ЕГЭ
«НЕ НаДО ОбМаНыВать...»
(очередной миф о возрождении нашего образования)
В недавнем интервью изданию Газета.ru – «Не надо обманывать себя и государство»: что происходит с ЕГЭ – И.Я. Ященко на вопрос о динамике результатов по геометрии ответил так: 
«Геометрия начала возрождаться. Несколько лет назад в ОГЭ, в 9 классе, мы отдельно выделили блок геометрии и отдельно ввели правило – чтобы сдать ОГЭ и пройти аттестационный 
порог в 9 классе, ты должен набрать минимум 2 балла по геометрии. И через два года после 
того, как мы ввели это правило, начал резко расти процент выполнения результатов на ЕГЭ». 
Хотите конкретный пример? Пожалуйста: в 2014 году только половина выпускников справились с задачей на определение средней линии трапеции, изображённой на клетчатой бумаге 
с размером клетки 1 × 1, а сегодня её решают уже более 90% (это задание 3 из демоверсии 
профильного ЕГЭ-2020 по математике). Кто бы сомневался. Как справедливо заметил, комментируя это интервью, известный педагог А.В. Шевкин: «С таким возрождением геометрии нам не 
страшна и её гибель!» Наш коллега решил поискать и другие признаки возрождения школьной 
геометрии, на сей раз в подоспевшем отчёте ФИПИ по итогам прошлогоднего Единого госэкзамена (см. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа 
типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике). Проанализировав характерные 
высказывания его авторов, в том числе в адрес учителей математики, он заключил: «Общее 
впечатление об отчёте – это явка с повинной. Люди, объединившие геометрию с алгеброй в 
одном экзамене, не внявшие предупреждениям о предстоящей катастрофе – результате этого 
решения, прикрывают провал своей работы рассказами о том, как сильно возрождается геометрия и все показатели растут».
Подробности: shevkin.ru/novosti/pohorony-shkol-noj-geometrii/,
www.gazeta.ru/science/2020/01/11_a_12905282.shtml.

Хроники
РОСт НЕгРаМОтНОСтИ И СОцИальНОй СЕгРЕгацИИ шкОл
(эксперты обсудили насущные проблемы образования)
В конце декабря 2019 года в Институте образования НИУ ВШЭ прошёл семинар «PISA-2018: 
проблемы и вызовы российского образования». На нём, помимо спада функциональной грамотности (читательской, математической и естественно-научной) наших 15-летних школьников, обсуждались и другие негативные тенденции. В стране растёт доля неграмотных. Число 
учащихся, не достигших порогового уровня по всем трём видам грамотности, увеличилось с 
8,3% в 2015 году до 12,5% в 2018, а хотя бы по одному из видов грамотности – с 24,6 до 28,4%. 
Этот показатель растёт среди учеников из самых разных семей, независимо от их статуса и образования родителей, пусть и разными темпами. Увеличивается социальная сегрегация школ. 
Об этом свидетельствует рост так называемого индекса Дункана (показывает, какую долю детей надо перераспределить, чтобы не было школ, где у всех родителей учеников только выс

Особые точки
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

шее либо только неоконченное среднее 
образование). Ещё в начале 2000-х годов 
в России наблюдалось его критическое 
значение – 0,3, которое со временем 
увеличивалось. В 2018 году этот индекс 
вырос до 0,37. Исследование PISA-2018 
показало также существенный разрыв в 
уровнях функциональной грамотности 
между учащимися из деревень и из мегаполисов. Так, по математической грамотности 15-летние школьники из сельской 
местности отстают от жителей крупных 
российских городов в среднем на 64 балла. На семинаре обсуждалось, что предстоит сделать для повышения качества школьного образования и обеспечения равенства в 
нём и то, чего делать нельзя, например «натаскивать на PISA» в преддверии его нового цикла 
(уже появились задания, пособия и даже курсы по подготовке к этому исследованию!). Этот 
путь ведёт в тупик. Выбирая его, настраивая всю систему школьного образования на решение 
одной-единственной задачи, Россия по итогам PISA-2021 будет по-прежнему располагаться в 
конце третьего десятка стран.
Подробности: activityedu.ru/Blogs/analytics/faktory-effektivnoy-rossiyskoy-shkoly-resursy-uchitelyaklimat/.

Перспективы далёкие и близкие
НЕДОСтИжИМая заДача
(что делать, когда не знаешь, что нужно сделать?)
В январе Счётная палата обнародовала промежуточные результаты анализа реализации нацпроекта «Образование» по состоянию на ноябрь 2019 года. Одна из задач этого проекта – 
вхождение нашей страны в 2024 году в топ-10 стран по уровню функциональной грамотности 
по результатам международного исследования PISA. Задача недостижимая: по итогам двух 
последних исследований Россия занимает место в конце третьего десятка среди всех странучастниц и за три года сдала позиции по всем предметным областям (см. № 2, 2020). Однако 
Минпросвещения и Рособрнадзор не растерялись и быстро нашли «стратегическое решение»: 
предложили поднять рейтинг страны до нужной отметки за счёт высоких мест, занятых нашими 
школьниками в исследованиях PIRLS и TIMSS. Так появился новый универсальный показатель 
средневзвешенный результат России в группе международных исследований. Его стали рассчитывать по итогам PISA, PIRLS и TIMSS. Но даже это не помогло: средневзвешенное место 
России к концу 2019 года имело значение 16,1 вместо запланированного 12,5. То есть мы не 
приблизились к цели – топ-10 стран, а напротив, отдалились от неё. Манипуляцию чиновников 
в Счётной плате не одобрили и сочли целесообразным «рассматривать результаты каждого 
исследования отдельно, как это принято в мировой практике». Эксперты также указали на отсутствие в нацпроекте задач по сокращению неравенства между школами и между группами 
учащихся (о разрыве в качестве образования свидетельствует, например, такой факт: в 2018 
году аттестат об основном либо о среднем образовании не получили 2,9% выпускников, про

Математика в школе  3 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

живающих в городах, а для сельских жителей этот показатель вдвое больше – 6,6%). Кроме 
того, никак не отражены мероприятия по преодолению кадрового дефицита (по официальным 
данным, уже в 2018/19 учебном году в школах не хватало 20,9 тыс. педагогических работников, 
в том числе 10,4 тыс. учителей). Наконец, в отчёте отмечается, что расход бюджета на образование в размере 3,6% ВВП недостаточен для того, чтобы обеспечить России конкуренцию 
со странами-лидерами в области инноваций и технологий (их траты на образование на 1–2% 
больше).
Подробности: activityedu.ru/Blogs/analytics/schetnaya-palata-rashodov-byudzheta-36-vvp-naobrazovanie-nedostatochno/.

Из жизни учёных
МаСштабНая ПРОВЕРка
(комиссия РАН добилась отзыва почти 900 научных статей)
В январе комиссия по противодействию фальсификации научных исследований РАН, созданная зимой 2018 года, сообщила от отзыве 869 статей, опубликованных в 263 научных журналах, 
из РИНЦ (Российский индекс научного цитирования – основная национальная библиографическая база; по всем статьям из неё ведётся статистика, которая влияет, в частности, на рейтинг вуза и, как следствие, на его финансирование). Изначально комиссия обратилась в 541 
редакцию журналов и рекомендовала исключить 2528 статей, в которых обнаружили плагиат 
или самоплагиат, либо они оказались напечатаны сразу в нескольких вестниках, причём состав авторов всякий раз варьировался: в соавторы добавлялся местный начальник, ректор 
или декан. По словам Михаила Гельфанда, члена комиссии РАН и сооснователя сообщества 
«Диссернет», расследование уже вызвало недовольство в определённых кругах, «комиссия помешала избранию нескольких десятков человек в академию», «были всякие публичные наезды 
на комиссию и различных её членов». Между тем для международной практики отзыв научных 
статей – нормальная вещь. Обычно к такой мере прибегают, если обнаруживается что-то неэтичное (вроде веерной рассылки статей) или какая-то ошибка. Однако в России до недавнего 
времени это не было принято. На вопрос о будущем защищённых по липовым статьям диссертаций и их авторов Гельфанд ответил: «Я не знаю, что будет, я знаю, что должно было бы быть: 
лишение степени». И добавил, что уже разрабатывается регламент взаимодействия комиссии 
РАН и ВАК. Если его примут, члены комиссии получат право участвовать в рассмотрении дел 
о «диссертациях с фальсификацией данных, со ссылками на подложные публикации».
Подробности: kpfran.ru/2020/01/06/, meduza.io/feature/2020/01/12/v-rossii-na-eto-traditsionnosmotreli-skvoz-paltsy.

Математика и искусство
ИллюзОРНыЕ ПРОСтРаНСтВа кэтИ гИлМОР
(двумерное изображение «шагнуло» в третье измерение)
Молодая художница Кэти Энн Гилмор из Лос-Анджелеса прославилась благодаря своей необычной технике рисования. Она создаёт завораживающие оптические иллюзии, изображая 
на плоских поверхностях динамичные трёхмерные объекты. Последние конструируются из 
различных линий. Каждую линию в композиции Кэти тщательно планирует на эскизе, а затем наносит на реальную поверхность с помощью ручек и маркеров (см. фото). Вдохновение 

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

художница черпает в геометрии и топографии. Неудивительно, что её рисунки органично смотрятся в любом пространстве – и на стене здания, и на фоне 
ландшафта. А любовь к простым линиям 
и формам объясняется просто. Ещё будучи студенткой, Гилмор не только изучала 
визуальное искусство, но и получила степень бакалавра по математике. Теперь девушка успешно сочетает знания из обеих 
областей в своём творчестве, а её работы 
выставляются во многих галереях США.
Подробности: architime.ru/news/katy_ann_gilmore/visual_field.htm#17.jpg.

Пополняем ресурсы
ИзМЕРяя кРуг
(биография задачи, оказавшейся «крепким орешком» не только для учёных)
Преобразование круга в равновеликий ему 
квадрат, или квадратура круга, – самая знаменитая задача на построение из наследия 
древнегреческих математиков. Многих в 
ней привлекала простая и понятная формулировка, невольно порождавшая иллюзию 
элементарности решения. Но кто бы мог подумать, что его поиски продлятся без малого 2500 лет! Непреодолимые трудности, с 
которыми сталкивался каждый, кто брался 
квадрировать круг, только добавляли популярности этой задаче. Свою роль сыграло также честолюбие квадратурщиков, их 
желание войти в историю или хотя бы получить заслуженную награду. Как верно заметил один математик, с веками эту задачу 
окружил особый ореол: её известность росла вместе с увеличением числа неудачных 
попыток отыскать решение.
Подробности: Наука и жизнь, № 10 за 2019 год.

Нетривиальные суждения

Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика.
Огастес Де Морган, шотландский математик и логик

Рубрику ведёт Н.М. карпушина

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Геометрические задачи традиционно 
считаются едва ли не самыми сложными 
среди заданий, требующих записи полного 
решения на ОГЭ и ЕГЭ. Между тем существуют различные приёмы, позволяющие 
упростить вычисления. Так, во многих задачах на нахождение длин отрезков и их 
отношений удобно пользоваться теоремой 
Менелая.
К сожалению, эту теорему школьники 
часто игнорируют, считая сложной и непонятной. В основной школе с нею знакомятся лишь при углублённом изучении 
математики, а в учебниках геометрии для 
10–11 классов теорема Менелая представ
лена в форме, не очень удобной для решения задач. Вот как теорема Менелая 
сформулирована в наиболее популярных 
учебниках авторов Л.С. Атанасяна и др. 
[2] (рис. 1) и А.В. Погорелова [6] (рис. 2).
Для решения большинства геометрических задач на вычисление такие формулировки не требуются. Переформулируем 
теорему Менелая в более доступной ученикам форме.
Рассмотрим треугольник ABC (рис. 3). 
Пусть прямая, не параллельная стороне 
AC, пересекает стороны AB и BC соответственно в точках C1 и A1, а продолжение 
стороны AC – в точке B1 (можно спросить 

ЭкзАмены

ПРИМЕНЕНИЕ тЕОРЕМы МЕНЕлая 
к РЕшЕНИю ПлаНИМЕтРИчЕСкИх 
И СтЕРЕОМЕтРИчЕСкИх заДач

В.В. любимова,
ГБОУ школа № 454 (С.-Петербург);
e-mail: viklubimova@mail.ru

V.V. Liubimova,
school № 454 (St.-Petersburg);
e-mail: viklubimova@mail.ru

ключевые слова: теорема Менелая, отношение 
отрезков, геометрические задачи
Keywords: Menelaus theorem, the ratio of line 
segments, geometric problems

аннотация: статья посвящена применению теоремы Менелая к упрощению вычислений при 
решении некоторых типов геометрических задач, аналогичных предлагаемым на ОГЭ и ЕГЭ

Abstract: the paper is devoted to the application 
of Menelaus' theorem to simplify calculations for 
solving certain types of geometric problems similar to those proposed in exams

Рис. 1

A

C

B1

A1
C1

B

Теорема
Пусть на сторонах или продолжениях сторон  АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его 
вершинами, причём 
1
1
,
AC
pC B
=



1
1 ,
BA
qA C
=



1
1
.
CB
rB A
=



 Тогда 
если точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой, то pqr = –1; обратно: 
если pqr = –1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.

Экзамены
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Рис. 2

учеников, почему эта прямая пересекает 
именно продолжение стороны AC, а не отрезок AC). 

Рис. 3

По теореме из учебника Л.С. Атанасяна имеем:

1
1
1
1
1
1
,
,
.
AC
pC B
BA
qA C CB
rB A
=
=
=







 
(1)
и так как точки A1, B1 и C1 лежат на одной 
прямой, то
 
pqr = –1.  
(2)

Рассмотрим в равенстве (1) не сами 
векторы, а длины векторов, то есть

1
1
1
1

1
1

|
| |
|, |
| |
|,

|
| |
|.

AC
pC B
BA
qA C

CB
rB A

=
=

=









Тогда по свойствам модуля и с учётом 
того, что длина вектора – это длина отрезка, изображающего этот вектор, получим:

1
1
|
| | | |
|,
AC
p
C B
=
⋅



1
1
|
| | | |
|,
BA
q
A C
=
⋅



1
1
|
| | | |
|,
CB
r
B A
=
⋅



 т.е. AC1 = |p| ∙ C1B,
BA1 = |q| ∙ A1C, CB1 = |r| ∙ B1A, 
откуда

 
1

1
| |
,
AC
p
C B
=
1

1
| |
,
BA
q
A C
=
1

1
| |
.
CB
r
B A
=
 (3)

По свойствам модуля из равенства (2) 
имеем:
|pqr| = |–1|,
 
|p| ∙ |q| ∙ |r| = 1. 
(4)
Заменив в (4) все множители соответствующими отношениями длин отрезков 
из равенств (3), получим

A
C
B1

C´
A´ B´

B
l

m

85. Теорема Менелая
Пусть AB  и CD  – коллинеарные векторы. В этом пункте будем считать, что отношение длин отрезков АВ и 
CD является положительным, если векторы AB  и CD  
одинаково направлены, и отрицательным – если они 

противоположно направлены. Так что 
.
AB
BA
CD
CD
=

Теорема (Менелая)
Если прямая, не проходящая через вершины треугольника АВС, пересекает его 
стороны АВ, АС, ВС или их продолжения в точках С ′, В ′ и А′ соответственно, то

1.
AC
BA
CB
C B
A C
B A
′
′
′
⋅
⋅
= −
′
′
′

И обратно: если точки С ′, В′ и А′, не совпадающие с вершинами треугольника 
АВС, лежат на его сторонах АВ, АС, ВС или на их продолжениях и для них выполняется соотношение

1,
AC
BA
CB
C B
A C
B A
′
′
′
⋅
⋅
= −
′
′
′

то точки С ′, В′ и А′ лежат на одной прямой.

A

A1

B1

C1

C

B

Математика в школе  3 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

1
1
1

1
1
1
1.
AC
BA
CB
C B
A C
B A
⋅
⋅
=

Таким образом, для решения задач теорему Менелая удобнее сформулировать в 
следующем виде.
Пусть треугольник ABC пересечён 
прямой, не параллельной стороне AC. 
Эта прямая пересекает стороны AB и BC 
в точках D и E соответственно, а продолжение стороны AC – в точке F (рис. 4), 
тогда

1.
AD BE CF
DB
EC
FA
⋅
⋅
=

Рис. 4

Ученикам кажется, что, раз, на чертеже 
так много разных букв, то в них легко запутаться! На самом деле запомнить принцип составления отношений очень легко. 
Начинаем «обход по кругу» с любой вершины треугольника и проходим через все 
точки пересечения данной прямой (её называют секущей) со сторонами треугольника так, чтобы побывать в каждой такой 
точке и каждой вершине треугольника 
ровно по одному разу, чередуя их.
Например, начинаем обход с вершины А. От точки A двигаемся по стороне 
треугольника до точки D – в числителе 
первой дроби записываем обозначение отрезка AD, далее от точки D к точке B – в 
знаменателе первой дроби записываем 
DB. Затем из точки B переходим в точку 

E – в числителе второй дроби пишем BE, 
а из точки E идём до точки C, записываем 
в знаменателе второй дроби EC.
Дальше у учеников иногда возникает небольшая трудность: они пытаются 
«пройти» сразу в точку A, минуя точку F. 
Избежать этой ошибки несложно, если запомнить: вершины треугольника должны 
чередоваться с точками на секущей. Значит, из вершины C следует перейти в точку F, а уже из неё – в вершину А, поэтому 
в числителе третьей дроби пишем CF, а в 
знаменателе – FA.
Ученики образно назвали этот алгоритм «правилом цветочка», так как мысленно рисуемые дуги обхода напоминают 
лепестки (рис. 5). Проверить правильность составленных отношений можно и 
по-другому: при мысленном «вычеркивании» одинаковых букв в числителях и 
в знаменателях дробей в итоге должны 
быть «вычеркнуты» все буквы.

Рис. 5

теорема Менелая в планиметрии
Рассмотрим задачи, которые встречались среди заданий ОГЭ прошлых лет и 
в пособиях для подготовки к этому экзамену.
Задача 1 ([7], вар. 105, № 26). В тре
A
C
F

E

D

B

A

AD
——
DB

BE
——
EC

CF
——
FA

C
F

E

D

B