Математика в школе, 2020, № 2

МАТЕМАТИКА
в школе

2/2020

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 8 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Якубов А.В.
ЕГЭ по математике: может, всё-таки обойтись одним экзаменом по предмету?

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

10 
«Что важнее: учить или оценивать?» (обзор интернет-ресурсов)

ОЛИМПИАДЫ

14 
Асташова И.В., Будак Б.А., Горяшин Д.В., Зеленский А.С., Козко А.И., 

Панфёров В.С., Сергеев И.Н., Шейпак И.А., Юмашев М.В.
Олимпиада «Ломоносов – 2018–2019» по математике для 10–11 классов

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

26 
Далингер В.А., Атаев Б.К.
Умелая работа с чертежом – основа успешного решения геометрических задач

34 
Астапов И.С., Астапов Н.С.
Теорема косинусов для четырёхугольника и её следствия

37 
Егупова М.В., Мошура Ю.В.
Задачи на практические приложения геометрии как средство достижения 
метапредметных образовательных результатов

43 
Кузьмичев А.И., Сосновский Ю.В.
Натуральные числа в школьном курсе математики (часть 2)

КОНСУЛЬТАЦИЯ

54 
Смирнов В.А., Смирнова И.М.
Задачи на комбинации многогранников

62 
Фирстова Н.И.
Иррациональные уравнения: основные методы и приёмы решения

69 
Малышев И.Г.
Межпредметность в одной задаче

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3411. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2020, № 2

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова

Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»

Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

73 
Хэкало С.П.
Об одной псевдозадаче про последовательность

МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ

76 
Куланин Е.Д., Нуркаева И.М.
Ещё раз о задаче Мавло

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

80 
Карпушина Н.М.
Сквозь куб: задача принца Руперта

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Из всех предметов, по которым сдаются ЕГЭ, наиболее проблемной дисциплиной 
была и остаётся математика, хотя представляется, что та же участь должна была по 
стигнуть и другие фундаментальные дисциплины. На наш взгляд, не всегда действия 
организаторов/разработчиков ЕГЭ по математике характеризуются логичностью. Безусловно, систематическая работа по совершенствованию ЕГЭ должна быть неотъемлемой компонентой, как и в любом деле, особенно в современном мире высоких технологий, с их безгранично разрастающимися возможностями, когда самым постоянным 
фактором являются перемены.
Значимое изменение в ЕГЭ по математике, внедрённое в 2015 году, касалось организации для учащихся двух экзаменов по одному предмету разных уровней сложности. 
Это решение Рособрнадзора подвергалось обструкции в целом ряде статей на федеральном и региональном уровнях. О целесообразности проведения одного экзамена 
написан ряд статей, в том числе и автором [6].
Другое важное новшество касается формы сдачи ЕГЭ, применённое в 2019 году: 
теперь выпускники могут сдавать только один из двух экзаменов.
Такое решение Рособрнадзора принято, скорее всего, из-за того, что проведение двух 
экзаменов по одной дисциплине это, с одной стороны, полный абсурд, с другой стороны 
– подбор заданий для этих экзаменов, форма проведения, оценка результатов имеют 
много спорных позиций.
Недостатки наличия двух экзаменов по одному предмету стали очевидны в первый 
же год, что показали результаты экзамена 2015 года. Только в одном регионе – Чеченской Республике – были сотни выпускников, не сдавших ЕГЭ базового уровня, в 
результате они были лишены возможности не только поступить в вуз, но даже получить аттестат. Но среди них были и такие, кто правильно решил по 6 заданий полных аналогов заданий профильного уровня. Выполнение такого количества заданий 
на профильном уровне дает возможность не только получить аттестат, но и право 
поступить на технические специальности в вузы. В последующие годы эта ситуация 
сохранилась. 
Автором настоящей статьи, как только появились первые итоги двух экзаменов и 
был проведён их анализ, была подана заявка на патент в Федеральный институт 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ: МОЖЕТ, ВСЁ-ТАКИ 
ОБОЙТИСЬ ОДНИМ ЭКЗАМЕНОМ ПО ПРЕДМЕТУ? 

В статье предпринята попытка проанализировать недавнее решение Рособрнадзора о сдаче выпускниками школ только одного из двух экзаменов 
по математике: профильного или базового уровня. Приводятся аргументы 
о необоснованности данного решения и предлагается вариант решения 
проблемы – один экзамен, включающий в себя задачи обоих уровней.

Математика в школе  2 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

промышленной собственности (ФИПС) «Способ проведения единого государственного экзамена по математике» [7]. Правда, официальное описание модели в бюллетене 
ФИПС почему-то отличалось от авторской мысли.
Суть же самой идеи заключалась в градации заданий с дифференцированным подходом к оценке работы и выставлении двух отметок. Представляется, что это более 
логично и перспективно. К сожалению, ФИПС отказал в выдаче патента, ссылаясь 
на то, что речь идёт о формах хозяйственной деятельности. Автором несколько раз 
направлялись претензии с обоснованием позиции, пока безуспешно.
Что выигрывает Рособрнадзор от запрета на сдачу двух экзаменов?
Во-первых, теперь нельзя будет говорить о том, что дети сдают дважды экзамен 
по одному и тому же предмету; во-вторых, какая-никакая экономия бумаги и средств 
на проведение экзамена; в-третьих, некоторое снижение объёма работы комиссий по 
проверке работ, плюс также то, что ЕГЭшная «мафия» лишится части рынка сбыта 
продукции.
Одно из мнений Рособрнадзора по этому вопросу обозначено так:
«Предполагается, что в случае, если выпускник сдал ЕГЭ по математике на неудовлетворительную оценку, он может выбрать другой уровень экзамена и успеть повторно 
принять участие в ЕГЭ в резервные сроки» [2].
Если провалил профильный, то можно сдавать базовый. Это понятно и логично. 
Но интересно было бы знать, какой представляют себе в Рособрнадзоре следующую 
ситуацию: как ученик, не сдавший ЕГЭ по математике базового уровня, примет участие 
в сдаче ЕГЭ профильного уровня? Ведь там уровень сложности ряда заданий явно превышает базовый. Не смог решить задания незначительного уровня сложности – сдавай 
более сложный. Или этот вариант исключён?
В первую очередь представляет интерес соответствие заданий, разработанных для 
экзаменов. Для базового и профильного уровней уже было приведено в [6, c. 5].
Приведём соответствие заданий ОГЭ и ЕГЭ базового уровня.
Но вначале сделаем исторический экскурс к материалам выпускного экзамена за 
8-й класс (нынешний 9-й). 
1985 год. Варианты заданий из [8, с. 10, с. 14, с. 25, с. 38, с. 50].
1. Выполните действия:

65. а) 

1
3
2
3
0
6
0,2
0,2
64
5 : 5
6,5 ;






 б) 

1
2
3
4
2
0
3
0,5 : 0,5
27
4
4
0,2 .







2. Решите графически уравнения:

112. а) 
2
3
(
2)
;
2
x 
 
 б) (x – 2)2 = x.

3. Сравните значения выражений без использования таблиц:

251. а) 
2
7

 и 
5
2;

 б) 
7
5

 и 3
3.


4. Решите уравнение:
а) (lg x + 2)2 – (lg x + 2) – 2 = 0; б) (3 + lg x)2 – (3 + lg x)2 – (3 + lg x) – 6 = 0.
5. Решите задачу:
а) Колхоз собрал с двух полей 720 т картофеля. На следующий год урожай картофеля на первом поле увеличился на 15%, а на втором – на 10%, а потому колхоз собрал 

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

с этих полей на 80 т больше картофеля, чем в предыдущем году. Сколько картофеля 
было собрано с каждого поля в следующем году?
б) Сумма двух чисел равна 400. Если первое число уменьшить на 20%, а второе – на 
15%, то сумма полученных чисел уменьшится на 68. Найдите значения чисел после 
их уменьшения.
На выполнение этих заданий, если мне не изменяет память, отводилось 3 часа.
Эти задания для 8 класса имеют аналоги как в профильном экзамене, так и в базовом. 
Но по уровню сложности, как мне представляется, они не уступают ряду заданий обоих 
уровней ЕГЭ. Отсюда следует вывод, что уровень математической подготовки в школах 
был выше в тот период, хотя должно было быть наоборот.
Другими словами, 5 профессионально подобранных заданий более эффективно решали проблему аттестации школьников, чем нынешние 26. Да, и тогда были учащиеся, не усваивавшие программу, но это был период, когда команда страны ежегодно 
возвращалась с Международной Математической Олимпиады с золотыми медалями. 
Сегодня одна медаль – событие!
Рассмотрим в сравнении и некоторые задачи, показывающие уровень заданий на 
итоговую аттестацию по проверке вычислительной культуры. 
1985 год. Задания на экзамен по математике для 8 класса (нынешний 9-й)

а) 
1
1
2
2
(1,25
1,64 : 0,8);
6
12



 б) 
5
1
(3,05
2,125 3,2) :
1
6
6



 (с. 5)

    

3
2
1
0
2
3
4
5 : 5
( 3)
4
4
27






 (с. 10).
ОГЭ–2019 1-е и 4-е задания 10-го варианта

1) 5
1
1
24;
6
10









 2) 

3
5 4

9 3
(5
5 ) .
(5 5 )





ЕГЭ–2019 Базовый уровень [1]

1) 
3
1
( 8,68) : 3
;
5
2









 2) 

2
5
4
4
4
.
4





Видим, что задания этого типа за 8 класс 1985 года сложнее заданий и ОГЭ–2019, 
и ЕГЭ–2019 база.
Далее, рассмотрим некоторые задания из [4, 5].
а) На клетчатой бумаге изображены две окружности с общим центром. Площадь 
внутреннего круга равна 12 (рис. слева). Найдите площадь закрашенного кольца (вариант 7, № 19, ОГЭ–2019, [5], с. 48).

б) На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 
46 (рис. справа). Найдите площадь заштрихованной фигуры. 

Математика в школе  2 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

По сути одно и то же условие. Но второе – задание профильного уровня, вариант 2, 
задание 3, ЕГЭ-2019 [4, c. 163].
Хотелось бы знать, в чём разница в решениях этих задач? В задании на ОГЭ отношение чисел более сложное (2 : 3), чем при профильном (1 : 4). Или такая задача:

Это задание 10 профильного ЕГЭ [4,c.18].  Но оно дословно соответствует заданию 
13, ОГЭ [2, c. 13]. То есть авторы не удосужились изменить даже значения. 
Как известно, задания ЕГЭ профильного уровня состоят из трёх частей: с 1 по 8 
соответствуют базовому, 9–12 – повышенному уровню сложности. То есть в 9-м классе 
для подготовки к ОГЭ предлагается задание, которое в 11-м классе, через два года 
изучения математики, соответствует повышенному уровню сложности. 
Ниже приводим соответствие между базовым ЕГЭ и ОГЭ.

ЕГЭ Б
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ОГЭ
4
1
7
13
9
1
6
15 10,
14
5
10,
14
17,
18
–
–

Если в ЕГЭ базового уровня всего 20 заданий, то в ОГЭ – 26 заданий из которых 
15 имеют аналоги в ЕГЭ. Про задания 18–20 базового уровня ЕГЭ сказано, что они 
сложнее, чем задания профильного уровня с вводом ответа.
В один первичный балл оцениваются задания по теории вероятностей (ТВ), но я 
убеждён, что в ОГЭ [1] некоторые задания сложнее, чем в ЕГЭ профильного уровня 
[2]. В открытом банке заданий сайта Федерального института педагогических измерений (http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge, 3 декабря 2018 г.) я не нашёл 
аналогов некоторых заданий по ТВ. Например, к заданию 9, вариант 17 [3, с. 106]. И 
это не единственный случай. Каков принцип подбора заданий для подготовки как к 
ОГЭ, так и к ЕГЭ у разработчиков (они же авторы этих книг), остаётся неясным. 
Также непонятно, на что ориентироваться выпускнику. Если в материалах для 
подготовки к экзамену [3–5] одни задания, а в банке заданий для части из них соответствующих нет. Как быть учителю, который, по логике, должен следовать своим 
календарно-тематическим планам, а каждое решение Рособрнадзора, в т.ч. и по ЕГЭ, 
ставит его в совершенно непредсказуемую ситуацию?

Можно привести сравнение и других заданий из ОГЭ и ЕГЭ профильного и базового 
уровней и получить достаточно много соответствий.

B

H
d
D
H

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны 
её размеры. Например, 265/60R18. Первое число означает ширину шины В 
в миллиметрах (см. рис.). Второе число означает отношение высоты профиля 
шины Н к ширине шины в процентах. Буква означает конструкцию шины 
(R – радиальный тип), а последнее число означает диаметр обода колеса d 
в дюймах.
На автомобиль «Лада-Калина» завод устанавливает шины с маркировкой 185/60R14. Найдите диаметр колеса D этого автомобиля. В одном дюйме 
25,4 мм. Ответ дайте в сантиметрах с округлением до целого.
О т в е т: _____________________ 

Актуальная тема
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Конечно, нельзя по нескольким задачам говорить о полном соответствии уровня заданий базового и профильного ЕГЭ с ОГЭ. Но если рассмотреть соответствие заданий 
двух уровней ЕГЭ и ОГЭ, с заданиями примерных контрольных работ по темам при 
изучении курса математики к окончанию основной школы, то совпадение тематики 
заданий по количеству и уровню сложности, возможно, превысит 80%. 
Тогда  с высокой степенью объективности можно сказать что большей частью экзамен базового уровня уже сдавался один раз и уровень знаний выпускников 
оценивался как на ОГЭ, так и на плановых контрольных работах.
Является ли решением проблемы нынешняя мера Рособрнадзора? Что это даёт ученику? Каковы результаты этого решение по итогам ЕГЭ-2019 в Чечне?
В Минобрнауки ЧР, на основе анализа итогов сдачи ЕГЭ в предыдущие годы для 
школ ьыл сделан ориентир – базовый. При этом, как известно, более 90% сдававших 
профильный экзамен сдавали и базовый. В одном случае подстраховываясь от неудачи 
при сдаче другого. 
Результаты профильного экзамена по математике в Чеченской Республике в 2019 
году приведены в таблице:

Год
Сдавали
Сдали
Не сдали
Результаты в баллах

27–40
41–50
50–62
63–70
> 70

2018
3848
2784
347
2023
531
157
44
29

2019
2825
2573
252
1073
832
477
110
81

Если рассмотреть результаты столбца «63 балла и более», то они улучшились почти 
в три раза. Но вот количество сдававших снизилось более чем на 1000. При этом рост 
положительных результатов не следствие совершенствования учебно-воспитательного 
процесса в школе, а работа репетиторов. Сегодня репетиторство принимает форму системы не только в Чеченской Республике, но и по всей стране, что унижает государственную систему образования.
Результаты базового экзамена ЕГЭ по математике в Чеченской Республике:

Сдавали
Сдали
Не сдали
«2»
«3»
«4»
«5»

2018
5902
5704
198
198
2863
2120
721

2019
4115
3835
278
278
1698
1762
375

Снизились показатели в почти всех позициях в частности, количество сдававших 
уменьшилось почти на 2000, а сдавших экзамен на «5» – в два раза. Причина – отсутствие тех, кто раньше сдавал профильный уровень ЕГЭ. 
Анализ данных по ЧР показал, что 19 человек получили 6 первичных баллов, решив 
задания базового уровня, соответствующие профильному уровню, и… не получили аттестаты. Реши они столько заданий на профильном уровне, то получили бы не только 
аттестаты, но и возможность поступать в вузы на технические специальности. Причём 
у десятерых из них решены отдельные задания из 17–20. То есть, решены задания, 
превышающие по уровню сложности задания с вводом ответа даже профильного экзамена.

Математика в школе  2 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Более 30 человек имеют 7 первичных баллов, причём у некоторых решены по три 
задания 17–20. Но они получили «3» без права поступать в вузы на технические специальности. Недостатки очевидны.
Подводя итоги, сделаем вывод, что экзамен должен быть, естественно, один. И он должен в себе сочетать возможности обоих ныне проводимых экзаменов. Для этого должна 
быть не просто усовершенствована, но и полностью переработана  система оценки работ.
Те, кто решают задания только базового уровня 1–8 (в некоторых случаях и задание 
9 в материалах для подготовки к ЕГЭ профильного уровня от самих разработчиков, 
почему-то соответствует заданиям ЕГЭ базового уровня), естественно не должны иметь 
права поступать в вузы на специальности, требующие повышенного уровня знаний по 
математике. 
Моё личное мнение, что в  случаях, когда выпускник на ЕГЭ решил некоторое 
количество заданий базового уровня и добрал количество баллов за счёт выполнения 
заданий второй группы (задания 9–12), или третьей части, ему должно быть предоставлено право поступать в вузы и на технические специальности.
Если же проходные баллы набраны отдельно за счёт заданий третьей части (13–19), 
то однозначно необходимо дать такому выпускнику право и возможность поступать в 
вузы на любые специальности. 
Практические примеры сдачи ЕГЭ показывают, что есть лица, не сдавшие базовый 
экзамен, но сдавшие профильный, и обратная ситуация тривиальна.
Если раньше я считал (и остаюсь при этом мнении), что вполне возможно объединение профильного и базового экзаменов с выставлением двух оценок, то сейчас могу 
констатировать, что при нынешней форме сдачи ЕГЭ-база, не вижу никакого негатива 
в полной отмене базового экзамена с выставлением в аттестат годовой оценки. 
Если ученик сдал ОГЭ и доказал, что способен продолжать обучение в 10–11 классах, ещё два года изучал математику и дошёл до ЕГЭ, то ту категорию выпускников, 
которая не планирует поступать на технические специальности можно отпустить, 
как говорят, с миром. Зачем их нужно заставлять сдавать экзамен, результаты которого им не нужны, если они получили положительные отметки в школе? Исключение должно быть лишь для тех «гуманитариев», которые претендуют на медали. 
Они должны или могут показать свои знания на экзамене по заранее определённой 
планке.
Если разработчикам очень хочется заставить всех сдавать экзамен, то можно обойтись элементарно одним экзаменом: например, получил больше 15 баллов (показал 
какой-то уровень) в аттестат «3» и добро пожаловать дальше, 20–30 – аттестат с годовой 
оценкой имеешь право поступать на гуманитарные специальности (показал определённый уровень математической подготовки, необходимый для высшего образования), 
если больше – право поступления в вузы на технические специальности. Возможны  и 
другие предложения.
В Чечне, как, наверное, и в других регионах, имеет место практика выдавливания 
из школ выпускников 9-х классов, потенциальных претендентов на провал при сдаче 
ЕГЭ. Пример: В Урус-Мартановском МБОУ СОШ №7 в 2019 году ОГЭ по математике 
сдавали выпускники пяти 9-х классов, из них в начале сентября было организовано 
два 10-х класса, а с 1 октября 2019 года их объединили в один 10-й класс. Из пяти 9-х 

Актуальная тема
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

классов получился или сделали один 10-й (!). Шансов поступить в вуз больше у тех, 
кто «ушёл» из школы.
В условиях нехватки абитуриентов, вузы нашли «выход» через лазейку, оставленную 
Рособрнадзором, то есть стали принимать, путем организации внутренних экзаменов, 
выпускников техникумов и колледжей, в своё время выдавленных из школ, как неспособных к обучению. В педвуз Грозного в 2019 году по направлению подготовки 
«44.03.05 Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)», «Физика и 
экономическое образование» на 25 мест зачислено 25 лиц с дипломами СПО. Можно 
ли их обучить?
Есть и другая сторона медали: нынешнее разделение в экзаменах унижает школьников. Если говорить утрированно: «умные» сдают профиль, «тупые» – базу.
Возникает ещё один вопрос: почему ЕГЭ по русскому языку для всех категорий учащихся один и позволяет при одном результате получить аттестат, но для поступления 
в вуз необходим другой? По логике этот экзамен должен был бы быть поделённым на 
два, хотя бы по причине наличия национальных школ, где уровень владения языком 
требует отдельного подхода, и учащиеся здесь имеют более высокую по учебному плану 
нагрузку, поскольку основные предметы изучают на неродном для себя языке. То есть 
они должны  иметь какие-то преференции...
При переводе баллов в отметки не должно быть такой ситуации, когда, скажем, в 
базовом уровне «5» ставится за один результат, а в профильном – за другой. Отметка 
должна выставляться за определённый уровень знаний, в соответствии с критериями. 
Один экзамен снимает эту проблему.
Экзамен должен быть направлен на расширение возможностей выпускников, а не 
на их свертывание. Вариант Рособрнадзора как раз суживает их возможности. 

Источники

1. https://урок.рф/discussion/460988.
2. http://35media.ru/news/2018/10/04/
poryadok-provedeniya-ege-po-matematikeizmenitsya-v-2019-godu.
3. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. 
И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2019. – 240 с.
4. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: 
типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2019. 
– 256 с.
5. ЕГЭ. Математика базовый уровень: ти
повые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство 
«Национальное образование», 2019. – 192 с.
6. Якубов А.В. Нужен ли такой ЕГЭ базового уровня? Математика в школе. – № 4, 2016. 
– С. 4–7.
7. Федеральный институт по интеллектуальной собственности – ФИПС, заявка на изобретение №2016 101209 от 11.01.2016. 17.07.2017. 
Заявитель А.В. Якубов. Бюл. № 20.
8. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в восьмых 
классах общеобразовательных школ РСФСР. 
– М.: Просвещение, 1985. – 64 с.

Якубов А.В.,
к. пед. н., доцент Комплексного научно-исследовательского
института им. Х.И. Ибрагимова РАН (г. Грозный)

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Хроники
СПАД ГРАМОТНОСТИ ПО ВСЕМ НАПРАВЛЕНИЯМ
(обнародованы результаты последнего исследования PISA)
В декабре Федеральный институт оценки качества образования опубликовал 
отчёт о результатах PISA-2018 (см. на 
сайте ФИОКО). В нём приняли участие 
около 600 тыс. 15-летних учащихся из 
79 стран мира, в том числе 7608 российских школьников. Лучшими по качеству 
школьного образования предсказуемо 
стали Китай и Сингапур. По сравнению 
с предыдущим исследованием Россия 
по читательской грамотности спустилась с 26-й строчки на 31-ю (средний 
балл 479 против 495 в 2015 году), по 
математической – с 23-й на 30-ю (478 баллов против 487), по естественно-научной – 
с 32-й позиции на 33-ю (488 баллов против 494). Отдельное исследование PISA-2018 проводилось в школах Москвы, столичные школьники улучшили свои показатели по всем трём 
направлениям. Несмотря на ухудшение ситуации в целом, эксперты PISA отнесли Россию к 
успешной группе стран (18 из 79), в которой произошли позитивные изменения не менее 
чем в двух образовательных областях.
Подробности: kommersant.ru/doc/4180047.

Перспективы далёкие и близкие
ЧТО ВАЖНЕЕ: УЧИТЬ ИЛИ ОЦЕНИВАТЬ?
(исследование по стандартам PISA станет в школах регулярным)
В октябре 2019 года глава Рособрнадзора заявил о планах проведения ежегодного тестирования по методике PISA, до 2024 года в нём примут участи все регионы России. На 
проект «Современная школа», который займётся этим, планируется выделить 295,1 млрд 
рублей (часть их, уверяют чиновники, пойдёт на оснащение  школ в малых городах и сёлах). 
Директор ФИОКО утверждает, что регулярное тестирование «позволит оценить текущее состояние, выявить достоинства и недостатки по различным направлениям работы». Почему 
ВПР, НИКО, ОГЭ, ЕГЭ вкупе с регулярными международным исследованиями PISA, TIMSS и 
PIRLS не позволяют сделать это, и получить реальную картину российского образования, он 
не сообщил. Откуда вообще появилась эта затея и принесёт ли она свои результаты? Есть 
ли логика в действиях Рособрнадзора? Почему, если была поставлена задача повышения 
качества образования, чиновники активно борются за частоту и качество его оценивания? 
Что важнее: учить или оценивать? И если учить, то на кого рассчитывать? Над этими и 

Особые точки
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

другими злободневными вопросами размышляет обозреватель образовательного портала 
ActivityEdu Сергей Блинов. И его выводы неутешительны.
Подробности: activityedu.ru/Blogs/analytics/vsem-budet-pisa-chto-vazhnee-uchit-ili-ocenivat/.

А как у других?
ЛУЧШЕ НЕ СТАНЕТ!
(как программа PISA чиновников взбудоражила и что из этого вышло)
На Украине 2020 год объявлен Годом математики. Причиной этому стали результаты PISA2018. Два года назад страна впервые присоединилась к этой программе. Уровень знаний 
украинских школьников по всем трём направлениям исследования оказался ниже среднего. 36% подростков не достигли базового уровня математической грамотности, а если 
сравнивать в баллах, результат Украины – 453 балла – почти такой же, как у Турции – 454, 
Греции и Кипра – 451, и он обеспечил место только в начале пятого десятка списка из 79 
стран-участниц. Кроме того, с 2021 года для выпускников украинских школ Внешнее независимое оценивание по математике, или ВНО (экзамен при поступлении в высшие учебные 
заведения), станет обязательным и будет двухуровневым. Причина та же: серьёзные проблемы с математическими знаниями у учащихся, и принятое решение – реакция на итоги 
PISA. К слову, в 2019 году ВНО по математике провалили 18,17% выбравших его выпускников (таких школьников было почти 40%). Министр образования и науки поспешила заверить, что тест базового уровня будет совсем простым, а для поступления на гуманитарные 
факультеты его результаты не потребуются. Опрос одного из интернет-изданий показал, что 
против этой идеи высказались 45% респондентов. Более определённо высказались на сей 
счёт педагоги. Низкий уровень знаний по математике у украинских подростков не является 
неожиданностью, сообщил один из учителей математики и верно заметил, что введение 
обязательного теста не решит проблему: большинство выпускников просто продемонстрируют на экзамене низкий уровень знаний, тогда министерство начнёт упрощать задания, 
что повлечёт за собой общее существенное ухудшение знаний по математике. По мнению 
бывшего главы Украинского центра оценивания качества образования, «если, вводя обязательное ВНО, ставится цель добиться решительного улучшения математических знаний 
у выпускников школ, то это равносильно цели построения коммунизма». У подавляющего 
большинства школьников, добавил он, отсутствует мотивация изучать математику, мотивировать может только учитель, но такие педагоги «исчезают, как мамонты». А ещё в планах 
чиновников перевести и адаптировать зарубежные учебники математики и пересмотреть 
нынешнюю учебную программу по математике в школах с целью уменьшить нагрузку на 
школьников. Какова причина? Да всё та же: PISA окаянная.
Подробности: tsn.ua, liga.net, 24tv.ua, obozrevatel.com.

Из жизни учёных
SCINET VS КОПЕРНИК
(нейросеть повторила открытия астрономов и физиков прошлого)
В далёком 1943 году американские учёные – математик Уолтер Питтс и нейропсихолог 
Уоррен Мак-Каллок – впервые описали искусственную нейронную сеть. В их модели 
роль нейронов играли устройства, способные оперировать двоичными числами. Благо

Математика в школе  2 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

даря развитию математики и росту вычислительной мощности компьютеров 
учёные научились создавать сложные 
нейросети, работающие подобно человеческому мозгу. В частности, они могут решать нестандартные задачи, анализировать результаты экспериментов 
и выявлять закономерности. Однако 
принципы взаимодействия искусственных нейтронов пока остаются загадкой. 
Недавно швейцарские физики создали простую нейросеть SciNet, которую 
успешно протестировали на астрономических объектах, более того – проследили ход её 
«рассуждений». Обработав данные о положении Солнца и Марса на небе при наблюдениях 
с Земли и проверив выдвинутые на их основе гипотезы, она смогла объяснить, почему 
Марс иногда пятится по орбите (над этой загадкой астрономы бились не одно столетие), и 
построила гелиоцентрическую модель Солнечной системы, тем самым повторив достижения Николая Коперника. С помощью SciNet исследователям также удалось повторить ряд 
открытий, сделанных учёными прошлых эпох. Например, вывести набор уравнений, описывающих движение маятника и результаты столкновения двух частиц.  Создатели SciNet 
рассчитывают, что в будущем их разработка поможет совершить настоящее открытие и 
выяснить истинную природу квантовой механики.
Подробности: tass.ru/nauka/7094735.

ДЕТИ И МАТЕМАТИКА 
(правда ли, что девочки менее способны к точным наукам, чем мальчики?)
Американские учёные провели нейровизуальное исследование и не выявили 
гендерных различий в математических 
способностях. С помощью функциональной МРТ была исследована активность мозга у 104 маленьких детей 
(в возрасте от 3 до 10 лет) во время 
просмотра ими обучающего видео, 
которое знакомило с элементарными 
математическими понятиями и операциями вроде счёта и сложения. Затем с 
помощью статистических методов сравнили результаты «сканирования» мальчиков и девочек. Оказалось, что мозг и тех и других 
обрабатывал математическую информацию одинаково. Тем самым учёные опровергли расхожее суждение, будто девочки менее способны к математике и другим точным наукам. 
Также исследователи сравнили результаты теста на ранние математические способности 
у другой выборки из 97 детей и не обнаружили различий в этих способностях и в зрелости мозга между мальчиками и девочками. Менее значительные успехи девочек в точных