Математика в школе, 2020, № 1
научно-теоретический и методический журнал
Покупка
Тематика:
Педагогика общего среднего образования
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика в школе
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 80
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МАТЕМАТИКА в школе 1/2020 НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ В НОМЕРЕ: Министерство образования и науки Российской Федерации ООО «Школьная Пресса» Издаётся с мая 1934 г. Периодичность – 8 номеров в год АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА 3 Журавлева Н.А., Шашкина М.Б. Стереометрия в школе: пора бить тревогу? (По результатам профильного ЕГЭ 2015–2019 гг.) ОСОБЫЕ ТОЧКИ 13 «Российское образование в цифрах и фактах» и другие новости (обзор интернет-ресурсов) ЭКЗАМЕН 17 Прокофьев А.А. Задачи с параметром на ЕГЭ–2019 ОЛИМПИАДЫ 31 Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Глухов И.В., Головко А.Ю., Городецкий С.Е., Дубинская В.Ю., Кузьменко Ю.В., Подлипский О.К., Терёшин Д.А. Заключительный этап олимпиады «Физтех–2019» по математике. Часть 2 МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР 43 Астапов И.С., Астапов Н.С. Решение геометрических задач векторным методом 50 Кузьмичев А.И., Сосновский Ю.В. Натуральные числа в школьном курсе математики. Часть 1 ТОЧКА ЗРЕНИЯ 57 Буфеев С.В. Всегда ли 1 процент равен 0,01?
Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук. Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования. Распространяется в печатном и электронном виде. Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы. Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается. Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов. Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77–33044 от 04 сентября 2008 г. Формат 84108 /16 Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3395. Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © ООО «Школьная Пресса» © «Математика в школе», 2020, № 1 В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info) Главный редактор Е.А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакционная коллегия: Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Е.А. Седова, А.Л. Семенов Редакторы: С.И. Калинин, Н.М. Карпушина, И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка В.Н. Бармин ООО «Школьная Пресса» Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62 Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80 E-mail: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф ОТКРЫТЫЙ УРОК 61 Борисова А.М. Задания на формирование читательской грамотности на уроках математики ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА 71 Утеева Р.А. Геометрия – наука, методика и искусство преподавания (к 80-летию со дня рождения Евгения Викторовича Потоскуева) СЕТЕМАТИКА 77 Карпушина Н.М. Плоды просвещения
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА СТЕРЕОМЕТРИЯ В ШКОЛЕ: ПОРА БИТЬ ТРЕВОГУ? (По результатам профильного ЕГЭ 2015–2019 гг.) Геометрия – уникальная наука и учебная дисциплина, в процессе изучения которой развиваются логическое мышление, интуиция, культура аргументации и доказательных рассуждений. Решение геометрических задач позволяет выстраивать причинно-следственные связи между фактами, проводить аналитикосинтетические рассуждения, строить индуктивные и дедуктивные конструкции. Всё это необходимо любому культурному и образованному человеку в современном информационном обществе, даже если он не будет профессионально заниматься математикой. Судьба школьной геометрии, в особенности стереометрии, в последние годы складывалась весьма непросто. Анализ результатов профильного ЕГЭ 2015–2019 годов заставляет задуматься: а не пора ли бить тревогу? В 1993 году снизилась учебная нагрузка по математике в основной школе с 6 до 5 часов в неделю, а в старшей – с 6 до 3–4 часов (в зависимости от профиля). В некоторых школах дополняли и продолжают дополнять недостающие часы за счёт школьного (регионального) компонента. В большинстве школ перешли на новый формат, в результате чего в 5–9 классах «потерялось» 35 часов математики в год, а в 10–11 классах – 70. Пострадала от этого прежде всего геометрия. Некоторые учителя стали проводить обучение «блоками»: сначала изучается раздел курса алгебры, а затем геометрии. Такой формат, возможно, более удобен учителю, но вряд ли идёт на пользу ученикам. Увлечение заданиями в форме тестов, появление рабочих тетрадей по предмету, введение новых форм итоговой аттестации (ОГЭ, ЕГЭ) и ряд других причин внесли существенные коррективы в процесс геометрической подготовки обучающихся. Прежде всего, школьники перестали осваивать теорию и самостоятельно доказывать геометрические факты. Если раньше в процессе изучения геометрии систематически проводились устные зачёты, экзамены, то теперь такое можно встретить достаточно редко. Лишь немногие учителя находят возможность тратить на это учебное время. Обучение в 9 классе сосредоточено на подготовке к предстоящему ОГЭ, в 11 – к ЕГЭ, а в остальных классах – к ВПР. Изменение требований к результатам математической подготовки обучающихся на государственном уровне привело к существенному снижению качества знаний и умений в области геометрии. С планиметрией дела обстоят не так катастрофически, как со стереометрией, но тоже объективно оставляют желать лучшего. Естественно, при 4 часах в неделю в старшей школе практически нереально пройти учебную программу по алгебре и началам анализа и стереометрии и при этом качественно подготовить обучающихся к ЕГЭ, пусть даже базового уровня. Между тем некоторые старшеклассники, изучающие математику на базовом уровне, выбирают для сдачи профильный ЕГЭ по математике.
Математика в школе 1 / 2020 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Практическая ценность и значимость учебного материала зачастую оцениваются обучающимися и их родителями одним фактором: нужно ли это для сдачи ЕГЭ. Отметим ещё одно обстоятельство, негативно влияющее на качество подготовки по стереометрии: изучение материала в формате «натаскивания», когда разбираются только те задания, что встречаются на экзамене, без выстраивания системообразующих связей, без обобщения и поэтапной отработки необходимых умений, навыков и способов деятельности. В последние годы для решения заданий по стереометрии повышенного уровня сложности некоторые обучающиеся благодаря репетиторам стали осваивать алгоритмы из курса аналитической геометрии, которых нет в школьной программе. Это, по нашему глубокому убеждению, тоже наносит вред качеству геометрической подготовки школьников. Обратимся к результатам выполнения заданий по стереометрии на ЕГЭ по математике профильного уровня в Красноярском крае (см. таблицу), изложенным в ежегодных отчётах [1, 4–7]. С 2016 года знание этого раздела школьного курса геометрии проверяется с помощью двух заданий второй части КИМ. Это задания 8 (с кратким ответом) и 14 (с развёрнутым ответом). Ранее, в 2010– 2015 годах, таких заданий было три: 9, 12 (с кратким ответом) и 16 (с развёрнутым ответом). Видим, что верный ответ в задании с кратким ответом дают чуть больше половины экзаменуемых. Что касается заданий с развёрнутым ответом, то результативность их выполнения в разные годы колеблется от 1,07 до 14,13%. Эти колебания, на наш взгляд, во многом зависят от содержания конкретных заданий. Дают задание чуть легче – и повышается про цент их выполнения. Общая тенденция, отражённая в статистике, вряд ли даёт основания делать выводы о повышении качества геометрической подготовки старшеклассников. Попробуем проанализировать, какие цели преследуют разработчики ЕГЭ в области проверки знаний и умений обучающихся по стереометрии. Согласно спецификации КИМ ЕГЭ 2010–2019 годов, в заданиях по стереометрии проверяется «умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами». В 2010–2014 годах задание 16 с развёрнутым ответом (в нынешней версии это задание 14) было рассчитано на 40 (25) минут для обучающихся на базовом и на профильном уровнях соответственно. В 2015 году произошло разделение на базовый и профильный уровни самого экзамена, и это задание стало рассчитываться на 30 (20) минут, с 2016 года – на 40 (20) минут. Коренным образом ситуация с содержанием заданий в экзаменационной работе поменялась вместе с командой разработчиков и концепцией экзамена в 2010 году. В учебно-методических материалах для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2010 года отмечалось, что «положение дел, сложившееся с преподаванием геометрии в российских школах крайне тяжёлое, а положение стереометрии, мягко говоря, катастрофическое. Среди множества причин выделим отсутствие на протяжении многих лет геометрической (стереометрической) составляющей в получении выпускниками аттестационной оценки за курс математики средней школы. Формат КИМ ЕГЭ предыдущих лет, когда аттестационная оценка выставлялась только
Актуальная тема 5 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Статистика выполнения заданий по стереометрии на ЕГЭ профильного уровня в Красноярском крае Год Номер задания Проверяемые элементы содержания Результаты выполнения (в % от общего числа экзаменуемых) Набрали максимальный балл Набрали балл меньше максимального 2015 9 Пирамида. Правильная пирамида. Высота пирамиды 55,41 – 12 Цилиндр. Объём цилиндра 24,59 – 16 Прямые и плоскости в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью 4,18 9,95 2016 8 Пирамида. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Объём пирамиды 67,72 – 14 Прямые и плоскости в пространстве. Призма. Правильная призма. Сечения призмы. Объём пирамиды 0,39 6,97 2017 8 Цилиндр. Объём цилиндра 54,47 – 14 Прямые и плоскости в пространстве. Теорема о трёх перпендикулярах. Многогранники. Расстояние между скрещивающимися прямыми 0,98 4,6 2018 8 Призма. Треугольная призма. Боковая поверхность призмы 57,72 – 14 Прямые и плоскости в пространстве. Теорема о трёх перпендикулярах. Цилиндр 3,29 5,72 2019 8 Цилиндр. Объём цилиндра 57,07 – 14 Пирамида. Правильная пирамида. Сечение пирамиды. Высота пирамиды. Объём пирамиды 1,07 Нет данных по разделу “Алгебра и начала математического анализа”, закрепил дополнительную, определённую необязательность изучения стереометрии в старшей школе. Во многих выпускных классах различных регионов в последние несколько лет учащиеся фактически перестали изучать сте реометрию, особенно во втором полугодии 11 класса» [8]. С 2010 года стереометрическая задача позиционировалась разработчиками как задача «для большинства нормально успевающих учеников, а не только для избранных», «с минимальными техниче
Математика в школе 1 / 2020 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. скими вычислениями» [8]. Чтобы получить максимальные 2 балла, в решении достаточно было верно описать ситуацию и сделать чертёж, указать положение искомого объекта, а также верно провести необходимые вычисления. Отсутствие в «тексте работы неверных утверждений о свойствах и расположении тех или иных геометрических объектов» являлось необходимым условием для выставления положительной оценки [9]. Заметим, что первые пару лет разработчики КИМ придерживались заявленных положений, и задания по стереометрии повышенного уровня сложности действительно были адекватны и решаемы по сравнению со стереометрической задачей С4 предыдущей версии (до 2010 года). С 2015 года структура задания изменилась: оно было разделено на пункты а) доказательство некоторого факта и б) вычисление некоторой величины. Для получения максимальных 2-х баллов должны быть правильно и обоснованно выполнены оба пункта, а для получения 1 балла достаточно справиться хотя бы с одним из них [3]. Это нововведение сделало проверку задания более корректным для экспертов, в то время как содержание задания, особенно необходимость проводить серьёзные доказательные рассуждения, сделала его гораздо более сложным для экзаменуемых. И тезис о доступности и посильности задания стал весьма сомнительным. Приведём решения заданий по стереометрии с развёрнутым ответом из КИМ ЕГЭ разных лет. Задача 1 (2015 год). В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = a, BC = b. Длины боковых рёбер пирамиды SA = c, 2 2 , SB a c 2 2. SD b c а) Докажите, что SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB. Р е ш е н и е. а) В треугольнике SAB выполняется равенство AB2 + SA2 = a2 + c2 = = SB2, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол SAB – прямой. В треугольнике SAD выполняется равенство AD2 + SA2 = b2 + c2 = SD2, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол SAD – прямой. Получается, что SA AB и SA AD, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Значит, отрезок SA – высота пирамиды. Рис. 1 б) Прямая SA перпендикулярна плоскости ABD, следовательно, SA CB, и CB AB (ABCD – прямоугольник), значит, прямая СВ перпендикулярна плоскости SAB. Тогда SB является проекцией SC на плоскость SAB, а угол между прямой SC и плоскостью ASB – это угол CSB (см. рисунок 1). В треугольнике SCB угол SBC – прямой и tg BC CSB SB 2 2 . b a c О т в е т: 2 2 arctg . b a c Задача 2 (2016 год). В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 A S C D B
Актуальная тема 7 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. сторона АВ основания равна b, а боковое ребро АА1 равно 1 m k b mk (k и m – на туральные числа, 1 < m ≤ k). На рёбрах ВС и C1D1 отмечены точки K и L соответ ственно, причём , b BK k 1 . b C L m Пло скость γ параллельна прямой ВD и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка C, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ. Р е ш е н и е. Плоскость γ параллельна прямой ВD и проходит через точки К и L, значит, KМ и LN параллельны прямой ВD (рис. 2). Сечение KMLN – трапеция. Плоскость γ пересекает плоскость А1С1С по прямой PQ, прямая А1С пересекает PQ, а следовательно, и плоскость γ в точке Н. Рис. 2 а) АС – проекция А1С на плоскость АВС, АС ВD как диагональ квадрата, тогда по теореме о трёх перпендикулярах А1С ВD. Так как МK параллельна ВD, то А1С МK. Покажем, что A1C PQ. В прямоугольнике АА1С1С 2, AC b 1 1 . m k AA b mk Из точки Q к стороне АС проведём перпендикуляр QE (рис. 3). Рис. 3 Найдём длину отрезка PE = CP – C1Q. 1 1 1 1 1 1 2 2 , 2 2 2 C L b b C Q A C b C D bm m ( 1) 2 2 , 2 2 2 b b CK b k k CP AC b BC b k 1 ( 1) 2 2 2 2 2 1 . 2 b k b PE CP C Q k m b m k mk Рассмотрим треугольник CPH. tg tg 1 2 , 2 1 1 2 CPH EPQ m k b mk b m k m k mk mk 1 tg tg 1 1 . 2 2 PCH ACA m k m k b mk mk b Получается, что tgCPH ∙ tgPCH = 1, тогда 1 tg tg CPH PCH = ctgPCH = tg(90° – PCH), откуда CPH = 90° – PCH, CPH + PCH = 90°. Значит, PHC = 90° и А1С PQ. Мы доказали, что A1C MK и A1C PQ, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости A1C γ. A P M N L C D K B B1 C1 D1 A1 Q H A P E C C1 A1 Q H
Математика в школе 1 / 2020 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. б) Искомый объём пирамиды 1 . 3 CKMLN KMLN V CH S Площадь основания пирамиды . 2 KMLN LN MK S PQ 1 2 2 , b LN C L m ( 1) 2 2 . b k MK CK k Найдём PQ. Треугольники PCH и PQE (см. рисунок 3) подобны по двум углам (QPC общий, CHP = QEP = 90°), значит, 2( 1) 2 1 . 2 PC QE b k m k PQ CH k CH mk Тогда искомый объём 2 ( ) 2 3 2 ( 1) 2 1 2 CKMLN CH mk m k b V mk b k m k k CH mk 3 2 ( 1)( ) 1 . 6 b k mk m k m k mk mk О т в е т: 3 2 ( 1)( ) 1 . 6 b k mk m k m k mk mk Задача 3 (2017 год). Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, а боковая грань ACC1A1 является квадратом. а) Докажите, что прямые AB1 и A1C перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AB1 и A1C, если AC = a и BC = b. Р е ш е н и е. а) Прямая B1C1 перпендикулярна плоскости A1CC1 по условию, значит, A1C B1C1 (рис. 4). Кроме того, A1C AC1 (свойство диагоналей квадра та). Тогда прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Отсюда следует, что AB1 A1C. Рис. 4 б) Пусть М – точка пересечения A1C и AC1. Искомое расстояние – длина отрезка MH (расстояние от точки M до прямой AB1), так как прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1 (рис. 4). Этот отрезок равен половине высоты С1H1, проведённой из вершины прямого угла C1 к гипотенузе AB1 треугольника AB1C1. Найдём МН. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 , 2 2 AC C B a b ab C H AB a b a b 2 2 2 . 2 2 ab MH a b О т в е т: 2 2 2 . 2 2 ab a b Задача 4 (2018 год). В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причём ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол АВС1 – прямой. б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1, если AB = a, BB1 = b, B1C1 = c. Р е ш е н и е. а) Построим проекцию точки С1 на плоскость другого основания M C B C1 A A1 H1 B1 H
Актуальная тема 9 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. цилиндра (рис. 5). Поскольку отрезок АС1 пересекает ось цилиндра, то отрезок АС, проекция отрезка АС1 на плоскость АВС, проходит через центр окружности основания цилиндра, значит, АС – диаметр этой окружности. Угол АВС – вписанный, опирающийся на диаметр, следовательно, прямой. Рис. 5 Отрезок ВС – проекция ВС1 на плоскость АВС, АВ ВС, тогда по теореме о трёх перпендикулярах АВ ВС1 и угол АВС1 – прямой. б) Треугольник АВС1 прямоугольный, поэтому расстояние от точки В до прямой АС1 есть длина высоты ВН, проведённой к гипотенузе, 2 2 1 2 2 2 1 . AB BC a b c BH AC a b c О т в е т: 2 2 2 2 2 . a b c a b c Задача 5 (2019 год). В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна n, а боковое ребро SA равно n – 1. На ребрах АВ и SC отмечены точки K и М соответственно, причём АK : KВ = = SM : MC = k : (n – k). Плоскость α содержит прямую KМ и параллельна прямой SA. а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α – прямоугольник. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка А, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α. Р е ш е н и е. а) Построим сечение пирамиды SABC плоскостью α. Плоскость α параллельна прямой SA, тогда α будет пересекать грани SAB и SAC по прямым, параллельным SA. В грани SAB через точку К проведём прямую, параллельную SA и пересекающую ребро SB в точке L. В грани SAС через точку M проведём прямую, параллельную SA и пересекающую ребро AC в точке N. Через точки M и L грани SBC проведём прямую ML, а через точки N и K в грани АВС – прямую NK. Четырёхугольник MNKL – искомое сечение (рис. 6). Рис. 6 Поскольку KL N AS и NM N AS, то LK N NM. Треугольники BKL и BAS, а также треугольники CNM и CAS подобны, коэффи циент подобия равен . n k n Тогда , BL BK n k CN CM BS BA n CA CS следовательно, . SL AK k AN SM BS BA n CA CS Таким образом, треугольники LSM и BSC, a также треугольники KAN и BAC A C B B1 C1 O H A F P S M N C K B L O Q H
Математика в школе 1 / 2020 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. подобны, коэффициент подобия равен . k n Поскольку KN N BC и LM N BC, то KN NLM. Таким образом, LK N NM и KN N LM, тогда MNKL – параллелограмм. Пусть точка F – середина ВС, тогда AF BC (см. рисунок 6). Высота пирамиды OS ABC, тогда АF – проекция AS на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах AS BC. Так как KL N AS и KN N BC, то KL KN и MNKL – прямоугольник. б) Найдём площадь прямоугольника MNKL (основания пирамиды AMNKL): ( 1), n k n k LK AS n n n , k k KN BC n k n n ( )( 1) . MNKL k n k n S n Чтобы найти высоту AH пирамиды AMNKL, рассмотрим сечение АSF (рис. 7). Саму высоту найдём из прямоугольного треугольника AHQ. Рис. 7 Имеем: 3 , 2 AF n 2 3 , 3 3 n AO AF 2 2 2 2 6 3 ( 1) . 3 3 n n n SO n Поскольку HP N AS, то cos QAH = cos (90° – SAO) = 2 2 6 3 sin . 3( 1) SO n n SAO AS n Далее получим: 3 , 2 k k AQ AF n 2 2 6 3 cos . 2( 1) k n n AH AQ QAH n Следовательно, 2 2 1 3 ( – ) 2 – 6 3 . 6 AMNKL MNKL V S AH k n k n n n О т в е т: 2 2 ( ) 2 6 3 . 6 k n k n n n Видим, что уровень сложности большинства приведённых заданий позволяет сомневаться в правомерности двухбалльной оценки. Сравнивая задание 14 с заданиями 13 и 15, в которых требуется решить одно уравнение, пусть даже с отбором корней, и одно неравенство, видим, что в задании 14 фактически решаются две разные стереометрические задачи: на доказательство и на вычисление, причём зачастую независимо друг от друга. Можно указать причины типичных ошибок, допускаемых теми немногими участниками экзамена, кто приступают к выполнению данного задания (подробнее об этом см. в статье [2]). Как правило, это: 1) неверные представления и изображения пространственных объектов; 2) незнание признаков и свойств объектов в пространстве; 3) недостаточный уровень владения A F P S O Q H
Актуальная тема 11 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. основами планиметрии (неумение применять свойства и признаки многоугольников разного вида и т.п.); 4) неумение выстраивать логическую цепочку рассуждений и обосновывать все шаги решения; 5) некорректные вычисления; 6) некорректное использование алгоритмов и формул аналитической геометрии. В заключение выскажем наши соображения по поводу возможностей исправить сложившуюся ситуацию. Если мы хотим сохранить хорошие традиции математического образования и обеспечить хотя бы удовлетворительное качество подготовки по стереометрии, стоит пересмотреть методику изучения геометрии в школе, причём не только в старшей, но и в основной. Необходимо возродить практику отработки доказательств и проведения устных зачётов, нужно обращать внимание на рассуждения, аргументацию, оформление решений. Геометрия должна изучаться не раз в четверть (одним блоком), а каждую неделю. Планиметрия – это основа, которая закладывается в основной школе, и обобщение материала по этому разделу должно проводиться как в конце девятого класса, так и в начале десятого. Возможно использование опорных конспектов, карт с кратким, ёмким и наглядным изложением необходимого теоретического материала. Обучающимся при подготовке к ЕГЭ стоит пойти по пути проработки основных ключевых сюжетов стереометрических задач (определение угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, расстояния от точки до плоскости, угла и расстояния между скрещивающимися прямыми; доказательство параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей и др.). Обобщить всю необхо димую теорию и возможные методы решения в каждом случае. Этот путь более продуктивен, чем прорешивание типовых вариантов. Также хотелось бы прояснить ситуацию с содержанием и уровнем сложности задания 14 на ЕГЭ. Не секрет, что многие обучающиеся и учителя именно успешность сдачи экзамена рассматривают как основной результат школьной подготовки. В настоящее время это задание примерно для 85% выпускников школ является нерешаемым, поэтому вопрос о необходимости качественного изучения стереометрии в старших классах остаётся открытым. Источники 1. Анализ результатов ОГЭ и ЕГЭ по математике в Красноярском крае в 2019 году. См. https://www.youtube.com/watch?time_ continue=2&v=AgGnuLfCiBw. 2. Журавлева Н.А., Шашкина М.Б. ЕГЭ 2017. Геометрические задачи с развёрнутым ответом // Математика в школе. Электронное приложение № 2/2017. 3. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике. См. http://fipi.ru/sites/default/files/ document/1441039556/matematika.pdf. 4. Методический анализ результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2016 году. См. https://coko24.ru/wp-content/uploads/2014/08/ Аналитический-отчёт-по-математике-проф-_ ЕГЭ_24_2016-1.pdf. 5. Методический анализ результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2017 году. См. http://www. kipk.ru//images/docs/Математика_профильного_уровня.pdf. 6. Методический анализ результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2018 году. См. https://coko24.
Математика в школе 1 / 2020 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ru/wp-content/uploads/2018/09/ЕГЭ-2018-АОМА_профильная.pdf. 7. Отчёт о результатах методического анализа результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2015 году. См. http://www.boguo.ru/files/fck/file/ Ot4_t-EGYE_matematika_profilnaja_2015.pdf. 8. Учебно-методические материалы для председателей и членов РПК по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2010 года. См. http:// fipi.ru/sites/default/files/document/1408710050/ matUMM2010.zip. 9. Учебно-методические материалы для председателей и членов РПК по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2012 года. См. http:// fipi.ru/sites/default/files/document/1408709880/ MA_umm_2012.zip. Н.А. Журавлева, М.Б. Шашкина, КГПУ им. В.П. Астафьева (Красноярск) БИБЛИОТЕКА Ю.А. Глазков, М.В. Егупова. Тренажёр по геометрии. – М.: Экзамен, 2019 Данное пособие (в трёх частях) направлено на реализацию одного из главных положений ФГОС ООО – формирование метапредметных умений школьников в практико-ориентированном обучении математике, прежде всего умения моделировать, то есть строить и исследовать математические модели. Тематика задач соответствует курсу планиметрии (учебник авторов Л.В. Атанасяна и др.) Сами задачи касаются различных проблемных ситуаций, их сюжеты носят познавательный и развивающий характер и основаны на реальных событиях и фактах, которые могут иметь место в повседневной жизни учащегося, профессиональной деятельности людей и пр. Решение таких задач требует знания не только математики, но и других школьных предметов. Отдельные задачи предполагают изготовление предметных моделей из подручных материалов и пригодятся для организации проектной деятельности на уроке. Задачи каждого тренажёра объединены геометрическим материалом и сюжетной линией, снабжены пояснениями (указаниями). Пособие содержит также задачи для самостоятельного решения. В конце приведены решения и ответы. Книгу можно использовать при подготовке к ОГЭ (задания 1–5). Подробнее о задачах из «Тренажёра» и методике работы с ними мы расскажем позже.