Математика в школе, 2019, № 6

в школе

научно-теоретический и методический журнал

МАТЕМАТИКА

лет!

Журналу

2019

К вопросу о проверке заданий ОГЭ

Теорема Помпейю и задачи о касательных к параболе

О национальном экзамене по математике 
для выпускников средней школы Вьетнама

ISSN 0130-9358

Стойка на голове и карьерные перспективы

Сейчас, когда прошли все 
итоговые государственные 
экзамены, когда можно 
вроде бы расслабиться, поговорить о сущностном — 
о смысле и целях школьного математического образования,  о работе в новых условиях, которые 
диктует уже не абстрактный интернет, а вполне 
конкретные РЭШ, МЭШ — российская и московская электронные школы, множество других популярных интернет-платформ, посвящённых математическому образованию, мы все нет-нет, да 
и возвращаемся к экзаменационным системам. И 
в этом номере — обсуждаем качество измерительных материалов ОГЭ, даем социологические 
материалы о госэкзаменах в разделе «Особые 
точки» и, наконец, представляем национальный 
экзамен для выпускников школ Вьетнама, который, кстати, тоже одновременно является вступительным в университеты (при этом, отметим во вьетнамских материалах обилие задач с 
выбором ответа, которые в нашей стране под- 
верглись однозначной обструкции).  
Такое внимание к госэкзаменам не случайно. Это не только важнейшая часть принятой 
сегодня системы контроля качества образования. Материалы и критерии ГИА диктуют «моду» 
всем и во всём. Существующий госстандарт написан достаточно обобщённо, ФГОС не детализирован, учителя и ученики прежде всего обращаются к итоговым материалам ОГЭ и ЕГЭ. В 
итоге ГИА влияет на ФГОС, а не наоборот, что 
было бы, конечно, логичней.
ГИА в не меньшей мере влияет и на содержание учебников, где задачи в «форме ЕГЭ» предлагаются чуть не с первого класса! Конечно, в 
такой несколько абсурдной, перевёрнутой с ног 
на голову реальности существовать ой как не 
просто, но наши учителя адаптировались. 

В конце концов, даже в этой «стойке на голове» можно найти свои позитивные моменты. Вспомним, например, в каком загоне в последние десятилетия оказалась у нас геометрия, 
геометрические задачи, в итоге к ним обращался очень небольшой процент выпускников, 
а справлялись и того меньше. И теперь, когда было принято решение изменить экзамен 
в девятых классах, и когда в ОГЭ, чтобы получить положительную отметку, школьнику нужно набрать определённое количество баллов за 
геометрию — выпускники успешнее, чем раньше, решают хотя бы несложные геометрические задачи. 
В этом году впервые ребята могли сдать или 
«базу», или «профиль» ЕГЭ, а не все сразу, как 
было раньше. Ещё предстоит оценить, эффективно ли такое изменение. Впрочем, за профильную математику в ближайшие годы беспокоиться не стоит — для нового вполне практичного поколения здесь сыграет свою роль 
не столько влекущая красота и совершенство 
математических формул и законов, сколько 
то, что практически половина всех специальностей в университетах требует сегодня математику именно на уровне «профиля»: тут и 
IT-направления, и инженерные, и естественнонаучные, не говоря уж о непосредственно математических...
Не только наша страна — весь мир сделал 
ставку на цифровую экономику. В России объявлено о перспективе в сто тысяч бюджетных 
мест по IT-специальностям. И куда при этом 
без крепкого знания хотя бы школьной математики? 
Карьерные перспективы — серьёзнейший 
стимул не только для взрослых, но и для наших отроков и отроковиц…  

Евгений Бунимович

МАТЕМАТИКА
в школе

6/2019

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Малышев И.Г.
К вопросу о проверке заданий ОГЭ

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 6 
Карпушина Н.М.
«И никаких иллюзий (две трети россиян по-прежнему голосуют против Единых 
госэкзаменов)» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

10 
Смирнов В.А., Смирнова И.М.
Визуализация задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

ОЛИМПИАДЫ

17 
Агаханов Н.Х., Глухов И.В., Городецкий С.Е., Подлипский О.К.
Онлайн-этап олимпиады «Физтех–2019» по математике

КОНСУЛЬТАЦИЯ

28 
Калинин С.И., Панкратова Л.В.
Теорема Помпейю и задачи о касательных к параболе

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

38 
Малова И.Е., Еловикова Ю.А., Корпачева М.А., Малинникова Н.А., Чиспияков С.В.
Задачи с экономическим содержанием и работа с ними как с текстовыми.  Часть 1

50 
Петерсон Л.Г., Седова Е.А.
Об учебниках математики УМК «Учусь учиться» для 5–6 классов

У НАС В ГОСТЯХ

61 
Данг Чанг, Седова Е.А. 
О национальном экзамене по математике для выпускников средней школы Вьетнама

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3343. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2019, № 6

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова

Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»

Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОО ОБРАЗОВАНИЯ

68 
Элсаиди М.С.М., Егупова М.В.
О  развитии школьного математического образования в Египте (XIX–XXI вв.). Часть 1

ХРОНИКИ

76 
Кузнецова Т.И.
Всероссийский научно-методический семинар «Передовые идеи в преподавании 
математики в России и за рубежом» в 2018/2019 учебном году

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

79 
Карпушина Н.М.
Неуловимая катенария

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

К ВОПРОСУ О ПРОВЕРКЕ ЗАДАНИЙ ОГЭ

В недавней статье [1] был поднят вопрос о качестве проверки экзаменационных 
работ ЕГЭ. Основываясь на «Методических материалах для председателей и членов 
предметных комиссий субъектов РФ по проверке выполнения заданий с развёрнутым 
ответом экзаменационных работ ЕГЭ по математике» (2015–2018 гг.) автор статьи 
рассуждает о том, что методика проверки решения задач, рекомендованная ФИПИ, 
вызывает вопросы и, мягко говоря, спорная. Настоящая статья продолжает тему об 
оценивании работ ФИПИ, только теперь уже на материалах ОГЭ.

В «Методических материалах для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения 
заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ОГЭ 2019 года» приведены 
два решения следующей задачи:

Постройте график функции 
2
9
1

9

x
y
x
x





 

и определите, при каких значениях k 

прямая y = kx имеет с графиком ровно 
одну общую точку.
О т в е т: 81.
Перед вами решение первого ученика 
(рис. 1).
Заметим, что строился график одной 
из трёх известных простых функций 

у = х, у = х2 и 
1 .
y
x

 Кроме того, выко
   Рис. 1

лотую точку, координаты которой экзаменуемый указал, он на 
графике отметить не мог (авторы 
задания не стали утруждать себя 
подбором более подходящих коэффициентов, когда вместо чи- 
сел 2 или 3 указали в выражении для функции цифру 9, и это 
– существенное замечание к измерительным материалам). Стоит ещё отметить, что на графике 
видны восемь точек (по четыре 
на каждой ветви), по которым 
он строился. Более того, выпускник выполнил второй пункт задания.
А вот решение той же задачи 
второго ученика (рис. 2).
В отличие от решения первого 
ученика здесь приведена таблица. Координаты выколотой точки 
не указаны. Более того, какая-то 

Математика в школе  6 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

прямая проходит через выколотую точку, 
которая на рисунке находится между –4 
и –5 по оси ординат. 
Но комментарии к решениям в «Методических материалах» таковы.
Комментарий к первому решению. 
Несмотря на описание, по данному рисунку нельзя судить о верности графика. 
Оценка эксперта: 0 баллов.
Комментарий ко второму решению. График построен верно. Наличие 
некоторой прямой на графике не может 
быть поводом для снижения баллов. 
Оценка эксперта: 1 балл. 
Эти комментарии обескураживают. Такое впечатление, что эксперт решил наказать первого ученика за слишком грамотное решение. При этом отметим, что 
решающим при оценивании второго решения оказалось наличие таблицы (даже 
в абсурдной ситуации построения графика 

известной учащимся функции 
1
y
x

).

Посмотрим, чего нужно придерживать
ся при оценивании этого задания, согласно 
«Методическим материалам», оказывается: 
«Основным условием положительной оценки за решение задания является верное 
построение графика. Верное построение 
графика включает в себя: масштаб, содержательная таблица значений или объяснение построения, выколотая точка обозначена в соответствии с её координатами».
А вот как выглядит «идеальное» решение подобного задания от составителей 
критериев для проверки 2016 г.
Постройте график функции

2
10
25 при
4,
3
при
4.
x
x
x
y
x
x






 




Определите, при каких значениях m 
прямая y = m имеет с графиком ровно 
две общие точки.
Р е ш е н и е.
Построим график функции y = x – 3 
при x < 4 и график функции y = x2 – 10x + 
+ 25 при x ≥ 4 (рис. 3).
Прямая y = m имеет с графиком ровно 

Рис. 2

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

две общие точки, если она проходит через 
вершину параболы или через точку (4; 1). 
Получаем, что m = 0 или m = 1.
О т в е т: 0; 1.
Как видим, это «идеальное» решение 
противоречит только что процитированным условиям выставления положительной оценки. Так и хочется сказать: «Несмотря на описание, по данному рисунку 
нельзя судить о верности графика». Добросовестное построение графиков предполагает на осях координат оцифровывать все 
метки. Точек на рисунке не видно, таблицы значений нет. Если имеем параболу, 
то, по крайней мере, следует записать её 
в формате у = (х – 5)2 с указанием координат вершины параболы. Итак, график не 
может считаться верным. А если график 
не считается верным, то и второй пункт 
не считается. Таким образом получается, 
что за такое «идеальное» решение следует 
ставить 0 баллов.  Мне скажут, что критерии написаны для проверяющих экзамен 
учителей. Но для учителей и это избыточно. Для проверки достаточно решения подобного задания, представленного одним 
учеником (рис. 4).
Чем оно хуже эталонного решения?
А ведь эти же критерии могут всплыть 
на апелляции. И тогда просто невозможно 
будет объяснить первому ученику, почему 
он получил 0 вместо 2 баллов.
В заключение отмечу, что в «Методических рекомендациях по формированию и 
организации работы предметных комис
Рис. 3

Рис. 4

сий субъекта Российской Федерации при 
проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам 
среднего общего образования в 2019 году» 
указано, что доля заданий/критериев оценивания, по которым оценки эксперта не 
совпали с оценками, выработанными при 
согласовании подходов к оцениванию развёрнутых ответов, для ведущего эксперта по математике допустима в пределах 
одного процента (для остальных предметов, между прочим, это от пяти до десяти 
процентов). Причём это было установлено только в 2019 году. В прошлые годы 
это отличие должно было составлять ноль 
процентов (ноль на самом деле)! В РФ около 170 председателей комиссий ЕГЭ и их 
заместителей и, соответственно, столько 
же ведущих экспертов. И вот представьте, 
170 ведущих экспертов должны мыслить 
абсолютно одинаково при проверке таких 
заданий, и никаких сомнений в адекватности рекомендаций у них быть не должно – таково требование.

Литература

1. Буфеев С.В. Об оценивании работ ЕГЭ // 
Математика в школе. – 2018. – № 7. – С. 3–9.

И.Г. Малышев,
ГБОУ ДПО НИРО (г. Нижний Новгород)

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Барометр ЕГЭ
И НИКАКИХ ИЛЛЮЗИЙ
(две трети россиян по-прежнему голосуют против Единых госэкзаменов)
Последний опрос фонда «Общественное мнение» (проводился 25–26 мая 2019 года в 104 
населённых пунктах, 53 субъектах России при участии 1,5 тысячи респондентов) показал: 
больше половины людей, а именно 64%, по-прежнему не одобряют формат ЕГЭ, из них 15% 
считают, что экзамен ориентирует на получение поверхностных знаний, 13% уверены, что 
его результаты недостаточно отражают знания. 71% опрошенных назвали ЕГЭ менее объективным, чем прежняя система вступительных экзаменов в вузах, и лишь 15% заявили 
о его объективности. 56% респондентов полагают, что за последние 3–5 лет отношение 
к Единому госэкзамену не изменилось, ещё 27% сочли, что оно ухудшилось. По мнению 
опрошенных, с введением ЕГЭ уровень коррупции в сфере образования повысился или 
не изменился – по 32%, затруднились ответить 27%, и только каждый десятый человек 
заявил, что введение ЕГЭ привело к снижению уровня коррупции.
Подробности: http://na.ria.ru/20190531/1555151538.html.

СТУКАЧА ВЫЗЫВАЛИ?
(российских студентов наняли для слежки за школьниками на ЕГЭ)
В начале июня директор образовательного центра по подготовке к ЕГЭ Александр Скаковский 
рассказал о том, что студентов-первокурсников 
педагогических вузов стали привлекать под видом общественных наблюдателей на ЕГЭ для 
слежки за выпускниками. Студентам МПГУ, 
например, присутствовать на госэкзаменах 
изначально предлагают вместо педпрактики 
в летних лагерях, и многие охотно соглашаются. По словам школьников, эти волонтёры ЕГЭ, 
прикидываясь их ровесниками, до или во время экзамена, когда кто-то выходил в туалет, 
просили «помочь» им и выясняли, у кого с собой есть шпаргалки. Тех, кто поддавался на 
провокацию, сдавали организаторам экзамена, школьников удаляли с экзамена, а их работы аннулировали. Оказалось, что в некоторых регионах, в частности во Владимирской 
области, такое практикуется с 2016 года. В этом году всплеск активности «добровольцев» 
был отмечен в Приморском крае и в Волгоградской области. Новость облетела социальные 
сети и СМИ, активно обсуждалась в сообществах репетиторов и учителей. Сопредседатель 
профсоюза работников образования «Учитель» Леонид Перлов отметил, что «ставить молодых ребят в положение доносчиков аморально и безнравственно», а на вопрос, кому 
это может быть выгодно, прямо ответил: «Рособрнадзору как очередное мероприятие по 
повышению безопасности, информационной защищённости при сдаче экзамена».
Подробности: http://www.bfm.ru/news/415786

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Хроники
НОВОСТИ ЕГЭ#1, #2, … , #5
(про скандалы, петиции, нервные срывы и рухнувшие надежды)
Нынешняя ЕГЭ-кампания обрастала новостями не по дням, а по часам. Каждое второе 
просочившееся в прессу известие, как правило, какой-то инцидент, касалось экзамена 
по математике. Вот краткая сводка получивших огласку историй. Первый скандал был 
связан с досрочным ЕГЭ по профильной математике (проводился 29 марта). Выпускник 
из Смоленска Олег Митрофанов за верно решённую задачу № 18 получил 1 первичный 
балл из четырёх, апелляция не помогла, зато показала весь апломб и некомпетентность 
местных экспертов; в Москве работу перепроверили и оценили в 4 балла, однако мнение 
Рособрнадзора региональная комиссия проигнорировала. Желание не признавать свою 
ошибку любой ценой нынче важнее профессионального долга и честности. Это лишь один 
из примеров ущемления прав и интересов учащихся, которое в эпоху ЕГЭ стало нормой и 
для чиновников от образования, и для зависимых рядовых педагогов.
29 мая проводился базовый ЕГЭ по математике. Более 200 выпускников из города Иваново не смогли сдать экзамен «из-за технического сбоя передачи экзаменационных заданий 
по защищённым каналам связи». Выпускник кадетского класса одной из школ Курска, потенциальный медалист, мечтавший поступить в военно-морское училище Санкт-Петербурга, 
честно сдал телефон до начала ЕГЭ, обнаружив его в кармане уже в аудитории, но был отправлен на пересдачу через год и вместо аттестата получит справку об окончании школы. 
В Москве выпускников одной школы вынудили пересдавать базовый ЕГЭ по математике 
из-за бракованных бланков, многие ребята согласились и решали другой вариант до шести 
часов вечера. В тот же день трагедия случилась в Чебоксарах: прямо во время экзамена 
скончалась девушка, страдавшая врождённым пороком сердца.
Во Владикавказе 31 мая «скорая помощь» выезжала к сдающим ЕГЭ по химии и истории 
выпускникам 33 раза. В Симферополе 5 июня перед экзаменом по физике чуть не погиб 
школьник из гимназии для одарённых детей, отличник, претендент на золотую медаль; его 
госпитализировали с высоким давлением, только когда в дело вмешался член комитета по 
здравоохранению Госсовета Крыма. Вообще, ЕГЭ уже подсадил подростков на таблетки. 
По данным опроса популярного проекта «Дети. Mail.ru», 73% родителей выпускников признались: их дети испытывают нервное напряжение в период сдачи госэкзаменов. При этом 
22% школьников принимают препараты для борьбы со стрессом.
11 июня проходил профильный ЕГЭ по математике, и опять не обошлось без скандала. 
Результаты выпускника из Астрахани обнулили из-за чернил, которые не распознал компьютер. Ручка, как и положено, была чёрная и гелиевая. Нет отсканированной работы – нет 
проблемы, решили эксперты и не стали смотреть оригиналы бланков, а просто аннулировали работу. Петицию с просьбой проверить работу ученика подписали более 100 тыс. 
человек, не дожидаясь, пока усовершенствуют технологию проверки или введут «закон о 
чернилах» и, чего доброго, заставят пользоваться дорогими сертифицированными ручками 
для ЕГЭ. «Почему такая жестокость в государстве? Почему взрослые ТАКИЕ ГЛУПЫЕ?» – 
прокомментировал новость один из читателей. В этот раз обошлось: в порядке исключения 
работу астраханца всё же проверили.
Подробности: http://ege.lancmanschool.ru/, http://vk.com/boxdd?w=wall36288_22502