Математика в школе, 2019, № 4

МАТЕМАТИКА
в школе

4/2019

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Седова Е.А.
О тестах PISA, метапредметных результатах и Л. Пизанском

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 7 
«Репетиторство в законе» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ОЛИМПИАДЫ

11 
Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Рубанов И.С.
Региональные этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике 
и олимпиады им. Л. Эйлера 2018/2019 учебного года. Первый день
22 
Норин В.П., Федин С.Н.
Поглощая натуральный ряд…

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

32 
Певный А.Б.,  Юркина М.Н.
Метод касательных при нахождении максимума
35 
Куланин Е.Д., Нуркаева И.М.
О двух геометрических задачах на экстремум

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

41 
Карпушина Н.М.
Во славу Архимеда

ОТКРЫТЫЙ УРОК

47 
Журавлева Н.А., Попова Е.А.
Апория Зенона «Ахиллес и черепаха» на уроках математики

ВНЕ УРОКА

55 
Калинин С.И.
Теорема Помпейю

ЭКСПЕРИМЕНТ

61 
Завьялова Т.В., Плужникова Е.Л.
По следам «Математической вертикали»

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

70 
Босова Л.Л., Гостевич Т.В., Лещенко Л.В., Старовойтов Л.Е.
Учёный, педагог, мудрый наставник (к 100-летию со дня рождения А.А. Столяра)

ХРОНИКИ

78 
Егупова М.В.
Популярная наука: преподаватели и студенты МПГУ – школьникам

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3322. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2019, № 4

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова

Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»

Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЖУРНАЛУ

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

Виситаева М.Б.
Задачи с параметром в IX классе
Корчажкина О.М.
Верификация гипотезы при решении задачи о трисекции угла

ВНЕ УРОКА

Волотов Н.Н.
О представлении золотого числа сложным кубическим радикалом
Павлова О.А.
Проектируем тематику учебно-поисковой деятельности вместе с учащимися: 
принцип «домино»

ЗАДАЧИ

Артыгалина Р.Д.
О заданиях на тему «Поворот пространственной фигуры» для учащихся V–VI классов 

ХРОНИКИ

Журналу «Математика в школе» 85 лет!

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

О ТЕСТАХ PISA, 
МЕТАПРЕДМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ 
И Л. ПИЗАНСКОМ

Если хочешь разбираться в драгоценностях, стань ювелиром.

Введение
В решении задачи войти в десятку лучших мировых систем образования одним 
из наиболее проблемных мест для нашей 
страны представляется рейтинг PISA 
(Programme for International Student 
Assessment), поскольку по данным 2015 г. 
результаты российских пятнадцатилетних учащихся по математической грамотности, статистически не отличаясь от результатов одиннадцати стран, оказались 
ниже, чем результаты девятнадцати, хотя 
и выше, чем результаты тридцати девяти 
стран, участвовавших в исследовании.
Несмотря на то, что участие в тестировании платное, эта программа в настоящее время расценивается как одно из 
самых авторитетных исследований качества образования, так что многие страны 
стремятся попасть в первые строки этого 
рейтинга, реформируя свои системы образования и согласуя их с концепцией PISA. 
Таким образом, в коммерческой части 
этот проект вполне успешен. Но по каким 
критериям определяется математическая 
грамотность наших детей?

Что говорят учёные
Россия принимает участие в тестировании PISA с 2000-го года, и всё это время 
не прекращаются споры о его математической составляющей. В то время как 
сторонники PISA убеждены в том, что эти 

тесты проверяют умение решать жизненные проблемы и работать с информацией, 
ведущие российские учёные не раз высказывали серьёзные опасения по поводу того, что стоит за девизом «математическая 
грамотность». Рассмотрим конкретные 
примеры [1].
Некоторое время назад в своей статье 
«Испытание “П”» в «Независимой газете» 
академик РАН В. А. Васильев выступил 
с критикой тестовых заданий PISA по математике (см. [2]). Так, например, в одном 
из заданий приведён график, на котором 
показан средний рост девушек и юношей 
в Нидерландах в 1998 году: первая линия 
показывает средний рост девушек в возрасте 10, 11, …, 20 лет, вторая – средний 
рост юношей. Обоснованное недоумение 
академика вызвал вопрос к заданию: 
«Объясните, как можно по данному графику определить, что увеличение роста 
девушек в среднем замедляется после 12 
лет». Виктор Анатольевич приводит правильный ответ: «Никак» и делает вывод 
о том, что, по-видимому, авторы перепутали срез данных 1998 года по девушкам 
разных возрастов с графиком роста по годам некоторой абстрактной усреднённой 
девушки, отметив, «ради занудной объективности», что такая подмена всё же иногда используется для приблизительного 
анализа в статичном обществе, то есть 
при условии, что в предыдущие 20 лет не 

Математика в школе  4 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

было военных действий, массовой иммиграции низкорослого населения, демографических скачков и т.п. Его комментарии, 
как обычно, точно и открыто описывают 
суть этой ситуации: «По-моему, если испытуемый в этой задаче не понимает, что это 
не тот график, и решительно пишет некоторый набор слов в обоснование вывода (а 
этого достаточно для получения полного 
балла), то это – чистый минус; если же он 
застыл с раскрытым от изумления ртом, 
то не всё ещё потеряно».
Рассмотрим другой пример. В задании 
приведена столбчатая диаграмма, на которой представлены результаты тестирования по биологии 12 учащихся группы 
«A» и 12 учащихся группы «B»: для каждого из 10 интервалов шкалы успешности 
выполнения теста столбиком изображено 
соответствующее количество учеников. В 
описании диаграммы указано, что средняя оценка группы «A» равна 62,0, группы «B» – 64,5. В условии задачи сообщается, что учительница сделала вывод о том, 
что группа «B» выполнила тест успешнее 
группы «A», и предлагается, используя 
диаграмму, привести «математический 
довод», с помощью которого можно постараться убедить учительницу в том, что 
группа «B» не обязательно выполнила 
тест успешнее. Отметим, что применение 
стандартных методик в описанном случае, например, вычисление стандартного 
отклонения средних баллов двух групп, 
показывает, что в пределах погрешности 
результаты совпадают: средний балл группы «A» равен 62,0 ± 17,0, группы «B» – 64,5 
± 8,4 (см, например, [3]). Однако согласно 
инструкции верным считается ответ, где 
приведён хотя бы один обоснованный аргумент (!). Поэтому, несмотря на то,  что 
сама задача сформулирована корректно, 
максимальную оценку получает тот, кто 
не только не пытается установить исти
ну, но готов использовать математику как 
инструмент манипулирования данными 
и психологического воздействия на учительницу.
Ещё одна задача навевает воспоминания о Старике Хоттабыче: «Антарктида, 
о, высокочтимый мой учитель, находится почти на самом краю земного диска». 
Действительно, на чистом листе изображён контур Антарктиды и приведена масштабная линейка, а в задании требуется 
определить площадь континента. Оказывается, математическая грамотность пятнадцатилетних отроков и отроковиц состоит в том, чтобы оценить площадь контурного изображения и применить масштабирование. Получить высший балл может 
только испытуемый, который не ведает, 
что любое известное отображение рельефа 
нашей шарообразной планеты на плоскости некорректно передаёт его размеры и 
что для оценки размеров объекта учитываются, как минимум, его географические 
координаты, не говоря уже о радиусе кривизны сферической поверхности. 

Что происходит в системе 
образования
Так какие цели преследует исследование PISA, к чему должны быть готовы 
пятнадцатилетние граждане? В нашей 
стране проводится экспертиза школьных 
учебников, почему бы не провести и экспертизу тестов, по которым мы должны 
войти в десятку лучших? Однако вместо 
этого идёт подготовка к следующим турам, издаются специальные пособия для 
подготовки к этому тестированию, учителя вынуждены использовать «стандартизированные измерительные материалы», 
созданные «в ответ на очередной провал 
российских школьников – выпускников 
основной школы – в исследовании PISA» 
(см, например, [4]). Рассмотрим особенно

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

сти оценки метапредметных результатов 
«на материале» математики.  
В одном из заданий предлагается прочитать фрагмент текста, в котором речь 
идёт о «задаче о весах» из сборника Баше 
де Мизирака «Приятные и занимательные 
задачи». Из текста можно узнать, что если 
гири разрешается класть только на одну 
чашу весов, то для взвешивания любого 
предмета, масса которого равна целому 
числу фунтов от 1 до 40, достаточно запастись шестью разновесами (1, 2, 4, 8, 16 и 
32 фунта), и что того же набора гирь хватит для взвешивания предметов массой 
до 63 фунтов. В этом задании требуется 
дать ответ, можно ли описанным образом 
(с помощью рычажных весов и указанного 
набора разновесов) взвесить груз массой 
51 фунт и в случае положительного ответа записать равенство. 
В качестве проверяемого умения указано умение «обобщать способ действий, 
представленный в тексте, применять описанный способ», но на деле, как следует 
из рекомендаций учителю, достаточно 
сделать вывод с опорой на предложение 
в тексте, в котором сообщается о существовании решения задачи для предметов, масса которых не превышает 63 
фунтов, и указав, что 51 < 63. Во второй 
части задания достаточно «показать способ действия» – то есть записать равенство 
51 = 32 + 16 + 2 + 1. Принцип взвешивания 
сведён к алгоритму выкладывания гирь 
наибольшей массы с заменой, при необходимости, на следующую по убыванию.
Таким образом, от математической задачи, в которой в занимательной форме 
излагается принцип двоичной системы 
счисления, не осталось и следа. Набор 
слов об обобщении способов действий 
вуалирует замену математического доказательства на слепую веру в истинность сказанного и умение выводить 

следствия из непроверенных фактов. 
Впрочем, здесь можно было бы найти оправдание выбранному и описанному подходу к составлению заданий для 
школьников, так как всё-таки эти материалы предназначены для оценки сформированности метапредметных умений в 
области читательской грамотности, если 
бы не… Л. Пизанский ([4], с. 84). Это, судя по контексту, псевдоним Фибоначчи, 
или Леонардо Пизанского. Видимо, читательская грамотность, математическая 
грамотность и прочее, и прочее – все эти 
нововведения вытесняют просто грамотность. Возникает серьёзное опасение, что 
если эта тенденция сохранится, то очень 
скоро дети из Р. Великого или П. Залесского будут читать сказки о В. Премудрой 
и К. Бессмертном, а в школе выполнять 
метапредметные задания, складывая и 
вычитая годы жизни И. Грозного, П. Великого, Ф. Милетского, П. Самосского…

Выводы
Думается, что приведённых примеров 
должно быть достаточно для того, чтобы 
серьёзно и на всех уровнях обсуждать вопросы: надо ли нашей стране с её математическими традициями слепо следовать 
целям, заданным коммерческим проектом 
PISA; почему метапредметные результаты пытаются занять место предметных, а 
не после них и не на их прочной базе; почему задания, которые предлагаются нашим детям, не проходят экспертизу, как 
задания во всех школьных учебниках.

Заключение
В одной известной притче говорится, 
что к мудрецу как-то раз пришёл юноша 
и заявил, что все суфии – мошенники. Мудрец снял со своего пальца кольцо и протянул его юноше: «Отнеси это кольцо на 
базар и продай его за одну золотую моне

Математика в школе  4 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ту». Услышав цену, назначенную юношей, 
люди на базаре рассмеялись и прогнали 
его прочь. Юноша вернулся обиженным: 
«Это негодный товар, он ничего не стоит». Тогда мудрец попросил его: «Отнеси 
перстень к ювелиру. Посмотри, во что он 
оценит его». Когда ювелир предложил за 
кольцо тысячу золотых монет, юноша был 
потрясён. А мудрец сказал: «Твоё знание 
о суфиях столь же велико, как и знание 
базарных торговцев о драгоценных камнях. Если хочешь разбираться в драгоценностях, стань ювелиром».
Может быть, пора привлечь математиков к решению вопросов математического 
образования наших детей?

Литература

1. Take the Test: Sample Questions from 
OECD’s PISA Assessments //  Интернет-сайт 

OECD: https://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/
Take%20the%20test%20e%20book.pdf. Дата обращения 09.04.2019.
2. Виктор Васильев. Испытание «П» // 
Интернет-сайт «Независимой газеты»: http://
www.ng.ru/science/2005-06-08/14_ispytanie.
html. Дата обращения 09.04.2019. 
3. Гущин Д.Д., Юрченко А.А. PISA: Разбор заданий международного исследования 
// Интернет-сайт элементарной математики Дмитрия Гущина: http://www.mathnet.
spb.ru/texts/pisa/pisa.htm. Дата обращения 
09.04.2019.
4. Метапредметные результаты. Стандартизированные материалы для промежуточной 
аттестации: 5 класс: Пособие для учителя. М.; 
СПб.: Просвещение, 2014. 160 с.

Е.А. Седова,
МПГУ, Москва

ЭТО ИНТЕРЕСНО

Закон первой цифры

Множество данных, взятых из реальной жизни (результаты спортивных соревнований, численность населения и др.) подчиняются определённому закону: 
числа с цифрой 1 в начале встречаются чаще всего, затем следуют числа, первая 
цифра которых 2, потом 3 и так далее до цифры 9. Эту тенденцию впервые заметил 
астроном Саймон Ньюком в 1881 году, обратив внимание на книги с логарифмическими таблицами: их первые страницы (с таблицами логарифмов для чисел, 
начинающихся с 1) всегда были более истрёпаны, чем последние (с таблицами 
для чисел, начинающихся с 9). Дело в том, что исследователи чаще всего сталкивались в работе с числами, начинающимися с единицы. Ньюком утверждал, 
что вероятность появления цифры d в начале числа определяется по формуле 
P(d) = lg(d + 1) – lgd. В частности, числа, начинающиеся с 1, встречаются в 1,7 
раза чаще чисел, начинающихся с 2, и в 4,6 раза чаще чисел, у которых первая 
цифра 9. В 1938 году физик Фрэнк Бенфорд заново открыл этот феномен и назвал 
его «законом аномальных чисел». Ныне его называют законом Бенфорда, или законом первой цифры, и применяют для выявления манипуляций с данными, в том 
числе для проверки фальсификаций на выборах. В математике тому же закону 
подчиняются числа, образующие различные последовательности, в частности последовательность Фибоначчи (если рассмотреть достаточно много её членов).

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Баба-ЕГЭ. Хроники

НАДЕЕМСЯ, ВАМ ОТМЕНЯТ ЕГЭ!
(о чём мечтают и чего желают потомкам сегодняшние школьники)
27 октября 2018 года, в преддверии столетия комсомола, учащиеся школы № 20 города 
Волгограда оставили послание будущему поколению школьников. Ребята решили продолжить традицию с закладкой капсулы времени, начатую местными комсомольцами полвека 
назад. Послание 1968 года извлекли и огласили на торжественной линейке. Оно заканчивалось призывом: «Любите свою школу, ведь именно с любви к родной школе начинается 
любовь к Родине». Обращение нынешних учеников должны вскрыть в год столетия школы, 
в 2051 году. Его тоже зачитали вслух. Само по себе событие ничем не примечательное, 
если бы не одна показательная деталь. Послание школьников 2018 года заканчивалось 
пожеланием: «Надеемся, что ЕГЭ отменят», которое сорвало бурные аплодисменты присутствующих.
Подробности: https://rossaprimavera.ru/news/7a04d9d5.

Хроники

КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ШКОЛЬНИК НЕ УСВАИВАЕТ ПРОГРАММУ ПО МАТЕМАТИКЕ
(результаты независимого мониторинга знаний)
Эксперты электронной школы «Знаника» (Znanika.ru) 
обнародовали свежие результаты мониторинга 
знаний учащихся по математике. Исследование 
длилось неделю, в нём добровольно приняли участие 12 900 школ (всего в России 46 794 школы) 
из 62 регионов. Было проанализировано 286 000 
работ учеников 5–9 классов. Оказалось, что в заданиях по ключевым темам каждого класса почти 
половина ребят делают ошибки, а по некоторым 
темам и того больше. Например, 65% пятиклассников не могут выполнить основные арифметические действия, а 75% девятиклассников не 
справляются с решением системы двух уравнений. Основные причины плохого усвоения 
школьной программы эксперты видят в невнимательном отношение родителей к обучению 
своих детей на ранних этапах и в системе УМК, из-за которой важные и сложные темы 
разбираются в неподходящее время. Эксперты также отмечают, что независимые исследования отражают ситуацию с освоением школьной программы полнее, чем государственные экзамены – ОГЭ и ЕГЭ, которые преследуют другие цели, поэтому по их результатам 
судить о качестве образования в России мы не можем. А стоит ли доверять Всероссийским 
проверочным работам (ВПР)? В прошлом году, по данным Рособрнадзора, необъективные 
(завышенные) результаты показали свыше 3000 школ из 40,5 тыс., где проводились ВПР. 
Почти 850 школ показывали необъективные результаты ВПР два года подряд.
Подробности: https://www.kommersant.ru/doc/3924933?query=математика.

Математика в школе  4 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Перспективы далёкие и близкие

О БЕДНОМ РЕБЁНКЕ ЗАМОЛВИТЕ СЛОВО
(эксперты обеспокоены ростом учебной нагрузки)
Общероссийский народный фронт (ОНФ) предложит Роспотребнадзору разработать максимальную суточную норму учебной нагрузки на школьника и попросит РАН и РАО оценить, 
способен ли ребёнок справиться с нынешними образовательными программами в отведённые на это сроки. Во ФГОСах есть разделение на обязательную часть программы и ту, 
что формирует сама школа. Их соотношение должно составлять в начальных классах 80% и 
20% соответственно, а в средних – 70% и 30%. Но на практике эти соотношения мало кто 
соблюдает, зачастую обязательная часть программы изучается на дополнительных занятиях, и ученику приходится их посещать. То есть внеурочная часть обучения превращается 
в продолжение уроков и в обязаловку. А ведь ещё есть дополнительное образование в 
виде кружков и секций. По подсчётам экспертов ОНФ, рабочее время ученика начальной 
школы сегодня составляет 47 часов в неделю – больше, чем максимальная продолжительность рабочей недели для взрослых (40 часов). Такая нагрузка сказывается на здоровье 
детей. Кроме того, предлагаемая редакция стандарта увеличивает объём обязательной 
части основных образовательных программ, и на их успешное освоение придётся добавить 
ещё один год обучения, двенадцатый. Проведённый ранее ОНФ и фондом «Национальные 
ресурсы образования» опрос 2 500 подростков 13–18 лет показал: доля детей, которым 
нравится учиться в школе, за год снизилась с 35% до 28%, а доля тех, кому не хватает 
времени на выполнение домашнего задания, возросла с 58% до 65%.
Подробности: https://onf.ru/2019/04/08/onf-obratitsya-v-rospotrebnadzor-s-prosboy-razrabotatmaksimalnuyu-sutochnuyu-normu/.

РЕПЕТИТОРСТВО В ЗАКОНЕ
(чьи интересы отстаивают чиновники и парламентарии от образования?)
В марте Общественный совет при Департаменте образования Белгородской области обсудил проблему массового репетиторства – одного из порождений ЕГЭ. Председатель 
совета (спикер областной Думы) отметил, что это явление уже невозможно исключить – 
оно охватило значительное число школьников. Не имеющим средств нанять репетиторов 
он предложил альтернативу – услуги сервиса «Репетитор-онлайн» (региональный проект 
дистанционного образования) и высказался за проведение анонимного опроса среди 
пользователей с целью оценить эффективность этого проекта. Участники круглого стола 
поддержали председателя. И только настоятель Преображенского кафедрального собора 
протоиерей Олег Кобец предложил провести также другое социологическое исследование, чтобы узнать, сколько детей сегодня могут сдать ЕГЭ, готовясь к  нему самостоятельно, без репетитора. Между тем проблема репетиторства обсуждается на самом высоком 
уровне. В связи с резким ростом армии репетиторов к министру просвещения Ольге 
Васильевой ещё в сентябре 2018 года, аккурат в разгар обсуждения закона о самозанятых гражданах, обратился заместитель председателя Комитета Госдумы по образованию 
и науке Борис Чернышов (депутат от ЛДПР) с предложением создать государственный 
реестр специалистов-репетиторов. Как же так, переживал парламентарий, почти половина российских школьников пользуются услугами репетиторов, при этом родители часто 

Особые точки
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

оплачивают некачественную работу нанятых преподавателей! А может, проще и дешевле 
последовать примеру наших соседей?
Подробности: http://rvs.su/novosti/2019/ege-porodilo-massovoe-repetitorstvo-vyvodyobshchestvennogo-soveta-belgoroda.

А как у других?

ДАВНО ПОРА!
(в Грузии отменили выпускные экзамены в школах)
В Грузии проходит масштабная реформа образования. Она предполагает радикальные 
изменения в системе и рассчитана на четыре года. Среди грядущих изменений – новая 
система оценки уровня знаний и навыков учителей, развитие инфраструктуры в школах 
страны и внедрение инноваций и технологий. Ещё в январе Минобразования Грузии заявило об упразднении выпускных экзаменов в школах в 11 классе с 2019 года, а в 12 классе – с 2020 года (ранее экзамены проходили в два этапа). Давно пора, школа должна 
быть ориентирована на то, чтобы дети получили хорошее образование, а не на подготовку 
к экзаменам, поддержали решение министра эксперты. А как отнеслись к этой новости 
обычные люди? Издание Sputnik Грузия, подробно освещающее реформу образования 
в стране, провело онлайн-опрос на своём сайте. На вопрос «Правильно ли, что в школах 
Грузии намерены отменить выпускные экзамены?» 42,5% читателей ответили: «Да, меньше 
нервотрёпки для детей и родителей». Многие – 37,1% – не приветствовали отмену выпускных экзаменов в школе, поскольку они были репетицией к вступительным экзаменам 
в вузы. Ещё 20,4% опрошенных ответили, что им всё равно – система образования и так 
развалена. Примечательно, что у двенадцатиклассников решение вызвало недовольство, 
и они планировали провести в феврале масштабную акцию с требованием отменить для 
них экзамены уже в 2019 году. Позже премьер-министр страны заявил, что с 2019 года 
экзамены упразднят и в 12 классе. Наконец, 8 апреля парламент Грузии утвердил новый 
закон. Теперь знания грузинских школьников будут оценивать в 6 и 10 классах, а для 
получения аттестата зрелости достаточно, чтобы ученик имел по всем предметам положительные оценки выше 5 баллов по 10-балльной шкале. Что характерно, в тот же день эту 
новость растиражировали информационные агентства и ведущие издания России.
Подробности: https://sputnik-georgia.ru/trend/reforma-sistemy-obrazovaniya-v-gruzii/.

Нетривиальные суждения

Математика неудержимо идёт своим собственным путём не потому, что она не признаёт 
никакого контроля и никаких законов, а именно потому, что она подчиняется свободе, 
вытекающей из природы математики и согласующейся с её сущностью.

Герман Ганкель, немецкий математик

Какая наука может быть более благородна, более восхитительна, 
более полезна для человечества, чем математика?

Бенджамин Франклин, американский политик, учёный, изобретатель

Математика в школе  4 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Из жизни учёных

ЗАСЛУЖЕННЫЙ ЛАУРЕАТ ПРЕМИИ АБЕЛЯ
(престижная награда наконец-то досталась женщине-математику)
В 2019 году Норвежская академия наук присудила Абелевскую премию женщине-математику – впервые за 17 лет. 
Награду получила американка Карен Уленбек (род. 1942)
«за пионерские достижения в геометрических дифференциальных уравнениях в частных производных, калибровочной теории поля и интегрируемых системах и за фундаментальное влияние её работ на математический анализ, 
геометрию и математическую физику». Карен Уленбек 
работает в Университете штата Техас в Остине и в Принстонском университете, активно занимается продвижением молодых учёных и выступает за гендерное равенство 
в математике и науке в целом. Уленбек также известна 
тем, что является второй женщиной в истории, которая 
выступала с пленарным докладом на Международном 
конгрессе математиков (проходил в Киото в 1990 году). 
Ранее такое право получила только Эмми Нётер.
Подробности: https://nauka.vesti.ru/article/1196159.

Пополняем ресурсы

НАСЛЕДНИК АРХИМЕДА
(к юбилею одного именитого учёного Нового времени)
В этом году исполняется 390 лет со дня рождения замечательного нидерландского учёного и изобретателя 
Христиана Гюйгенса. Физики славят его как создателя 
волновой теории света, астрономы помнят его как открывателя колец Сатурна. Для математиков Гюйгенс был 
и остаётся одним из блестящих наследников Архимеда. Если бы Христиан мог выбрать себе учителей, одним из них 
стал бы великий сиракузец, его любимый автор и учёный, 
чей интерес к геометрии и механике Гюйгенс разделял с 
малых лет. Отец Христиана, известный дипломат, поэт и 
музыкант, почитатель наук и тоже поклонник Архимеда, 
даже называл сына «мой Архимед». Он разработал для 
мальчика такую обширную образовательную программу, 
что тот справился с ней только благодаря природной одарённости. Одна из первых решённых Гюйгенсом проблем – установление формы нити, 
свободно подвешенной за концы (задача о цепной линии). Своим важнейшим достижением 
сам учёный считал изобретение циклоидального маятника. Чем ещё знаменит Гюйгенсматематик?
Подробности: см. Веселовский И.Н. Христиан Гюйгенс (М.: Учпедгиз, 1959).

Карен Уленбек.
Фото: Andrea Kane

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

На протяжении ряда лет Всероссийская олимпиада школьников (ВсОШ) на 
региональном этапе проводилась для учащихся 8, 9, 10 и 11 классов. Затем, в связи со значительным расширением числа 
предметов, по которым проводится ВсОШ, 
и унификацией её правил, официально 
региональный и заключительный этапы 
ВсОШ стали проводиться только для учащихся 9–11 классов. И в целях сохранения наработанной в нашей стране системы работы с одарёнными школьниками 
для учащихся 8 класса стала проводиться 
олимпиада им. Л. Эйлера. В статье приведены задания первого дня региональ
ных этапов ВсОШ и олимпиады Эйлера 
2018–2019 учебного года.

Условия задач
8 класс
8.1. (Н. Агаханов) Операция удвоения цифры натурального числа состоит 
в умножении этой цифры на 2 (если это 
произведение оказывается двузначным, то 
цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 
9824, 9827, 10617 и 18 817, соответственно. 
Можно ли из числа 22…22 (20 двоек) не
ОЛИМПИАДЫ

РЕГИОНАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ ВСЕРОССИЙСКОЙ 
ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 
И ОЛИМПИАДЫ ИМ. Л. ЭЙЛЕРА 
2018/2019 УЧЕБНОГО ГОДА

Первый день

Н.Х. Агаханов, И.И. Богданов,
П.А. Кожевников, О.К. Подлипский,
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
И.С. Рубанов,
Кировский Центр дополнительного образования 
одарённых школьников

N.Kh. Agakhanov, I.I. Bogdanov,
P.A. Kozhevnikov, O.K. Podlipskii,
Moscow Institute of physics and technology
state University),
I.S. Rubanov,
Kirov Centre for Additional Education of Gifted 
Student

Ключевые слова: Всероссийская олимпиада 
школьников по математике, олимпиады им. 
Л. Эйлера, региональный этап, олимпиадная задача

Keywords: All-Russian Olympiad on mathematics for school students, Euler Olympiad, regional 
stage, Olympiad problem

Аннотация: в статье приводятся задания (с 
решениями) первого дня региональных этапов 
Всероссийской олимпиады школьников по математике и олимпиады им. Л. Эйлера 2018/2019 
учебного года

Abstract: problems with solutions of the first day 
of the regional stages of the All-Russian Olympiad on mathematics for school students and 
Euler Olympiad of 2018/2019 academic year are 
provided

Математика в школе  4 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

сколькими такими операциями получить 
число 22…22 (21 двойка)? 
8.2. (О. Подлипский) Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда 
лжёт. Каждый из них задумал какое-то 
натуральное число. Затем первый сказал: 
«Моё число больше 1», второй сказал: «Моё 
число больше 2», ..., десятый сказал: «Моё 
число больше 10». После этого они же, выступая в другом порядке, сказали (каждый по одной фразе): «Моё число меньше 
1», «Моё число меньше 2», ..., «Моё число 
меньше 10». Какое наибольшее число рыцарей могло быть среди этих 10 человек? 
8.3. (Н. Агаханов) По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из 
них разделили с остатком на следующее 
по часовой стрелке. Могло ли получиться 
100 одинаковых ненулевых остатков? 
8.4. (Р. Женодаров, О. Дмитриев) Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. 
Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две 
отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней 
делаются видимыми. Какое наименьшее 
число детекторов Рустем может поместить 
в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было 
определить все отмеченные клетки?
8.5. (А. Кузнецов) Периметр треугольника ABC равен 2. На стороне AC отмечена точка P, а на отрезке CP – точка Q так, 
что 2AP = AB и 2QC = BC. Докажите, что 
периметр треугольника BPQ больше 1. 

9 класс
9.1. (Н. Агаханов) Два приведённых 
квадратных трёхчлена f(x) и g(x) таковы, 
что каждый из них имеет по два корня 
и выполняются равенства f(1) = g(2) и 

g(1) = f(2). Найдите сумму всех четырёх 
корней этих трёхчленов. 
9.2. (О. Подлипский) Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда 
лжёт. Каждый из них задумал какое-то 
целое число. Затем первый сказал: «Моё 
число больше 1», второй сказал: «Моё число больше 2», …, десятый сказал: «Моё 
число больше 10». После этого все десять, 
выступая в некотором порядке, сказали: 
«Моё число меньше 1», «Моё число меньше 2», …, «Моё число меньше 10» (каждый 
сказал ровно одну из этих десяти фраз). 
Какое максимальное число рыцарей могло быть среди этих 10 человек? 
9.3. (Н. Агаханов, С. Берлов) По кругу 
расставлены 100 различных натуральных 
чисел. Вася разделил каждое из них с 
остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое 
из чисел с остатком на следующее против 
часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны. 
9.4. (А. Кузнецов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в 
точке H. На отрезках BH и CH отмечены точки B1 и C1 соответственно так, что 
B1C1 N BC. Оказалось, что центр окружности ω, описанной около треугольника 
B1HC1, лежит на прямой BC. Докажите, 
что окружность Γ, описанная около треугольника ABC, касается окружности ω. 
9.5. (С. Долгих) Каждая грань куба 
1000 × 1000 × 1000 разбита на 10002 квадратных клеток со стороной 1. Какое наибольшее количество этих клеток можно 
закрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не имели общей стороны? 

10 класс
10.1. (О. Подлипский) Каждый из 10