Математика в школе, 2019, № 2

МАТЕМАТИКА
в школе

2/2019

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Малышев И.Г.
Оторвавшиеся

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 7 
«Жёсткий выбор (к чему приведёт очередной запрет Рособрнадзора?)» 
и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

11 
Смирнов В.А., Смирнова И.М.
Задачи на распознавание сечений многогранников

ОЛИМПИАДЫ

18 
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.
Муниципальный этап XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике 
в Московской области

КОНСУЛЬТАЦИЯ

29 
Калинин С.И.
Формула Лагранжа и средние величины

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

35 
Дворянинов С.В.
От условия текстовой задачи – к уравнению

ВНЕ УРОКА

38 
Троицкий Е.В.
Орбиты, циклы и алгоритм Капрекара

БИБЛИОТЕКА

43 
Савватеев А.В.
Математика для гуманитариев. Живые лекции

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3296. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2019, № 2

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, 
В.И. Рыжик, О.А. Саввина,  Г.И. Саранцев , 
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина, 
Б.Н. Кукушкин, И.С. Недосекина, 
В.П. Норин, С.Н. Федин
Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова
Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ХРОНИКИ

54 
Боженкова Л.И., Егупова М.В.
О IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы 
обучения математике и информатике в школе и вузе»
58 
Дворянинов С.В.
Всероссийский съезд преподавателей и учителей математики 6–7 декабря 2018 года в МГУ

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

61 
Рыжик В.И.
Школьная математика как введение в науку

ЗАДАЧИ

68 
Кукушкин Б.Н.
Задачи простые, но…
71 
Эвнин А.Ю.
Задачи о фокусниках и теоремы Холла и Шпернера

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

78 
Акулич И.Ф.
 
Рыбаки и грибники

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

ОТОРВАВШИЕСЯ

Мы все вроде бы живём в одно время и 
в одном пространстве. Но иногда возникает ощущение, что кто-то живёт вне этого 
времени и пространства, а кто-то ещё и 
на другой планете. И это мы наблюдаем 
не только в политике и экономике, но и в 
образовании.
Когда-то информатика (или компьютерная наука в англоязычных странах) 
была разделом математики. Это привело 
к тому, что в недрах Министерства просвещения придумали предметную область 
«Математика и информатика». В педвузах 
даже появилась специальность «учитель 
математики и информатики». Прошёл не 
один десяток лет, и информатика окрепла, вместо промышленных вычислительных машин типа БЭСМ-6 появились компьютеры, которых в школах уже десятки. 
Информатика стала самостоятельным 
предметом со своими учебными часами, 
учебниками и учителями. Заметим, что 
это учителя, которым данный предмет и 
всё, что с ним связано, интересны.
И вот сейчас, когда стало понятно, что 
компьютерные науки отпочковались от 
математики, как когда-то это произошло 
с физикой (ещё во времена Эйлера математиков называли геометрами, и они не 
разделяли математику с физикой, тем 
более с механикой), пора вернуться к вопросу о несуразности такой предметной 
области, как «Математика и информатика». Предметная область «Математика» 
должна включать арифметику, алгебру, 
геометрию и начала анализа, а предметная область «Информатика» состоять из 
одного предмета – информатики. Как в 

системе аксиом Гильберта: пятая группа 
аксиом состоит из одной аксиомы. Но что 
мы наблюдаем?
В связи с модным трендом, связанным 
с идеей цифровой экономики, заговорили 
о формировании у школьников ключевых 
навыков, необходимых в цифровом мире, 
об обновлении учебных программ и пр. 
Почему-то решили, как в своё время с финансовой грамотностью, что просвещать 
детей в новой области должны учителя 
математики – везде же фигурируют цифры! Логика железная, как и в следующем 
мнении, высказанном недавно министром 
просвещения Ольгой Васильевой в интервью ТАСС: «С чтением в началке у нас 
порядок. Но уже в пятом-шестом классах 
происходит обвал, и к концу школы ученики приходят нечитающими. Ситуацию 
надо исправлять. Внедряемая модель аттестации учителей – в помощь. В 2020 году она станет обязательной для всех»1.
От повышения квалификации учителей ученики не станут читающими, тем 
более что в стране уже давно нет культа 
образования. Когда-то в нашем регионе 
экзамен по математике был одним из направлений в аттестации наравне с портфолио и презентацией раздела программы. 
Сейчас экзамен (по решению местного министерства) стал необязательной десятой 
долей портфолио. Но теперь появилось 
новое веяние: согласно одной из моделей, 
не будет никакого портфолио, сбора грамот, благодарностей, подтверждающих, 
что педагог хорошо учит детей. Значит, 

1 См. https://tass.ru/top-officials/5496975.

Математика в школе  2 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

возвращаемся к тестированию, результат которого опять станет определяющим 
(о важности знания своего предмета я неоднократно писал ранее).
И вот теперь каждый институт в структуре министерства предлагает собственные тесты. Это и Центр педагогического 
мастерства с тестами 2016 года (итоги 
были подведены в октябре того же года 
на конференции), и Московский государственный психолого-педагогический университет со своими кейсами и видеоуроками помимо глобального тестирования, 
и Академия просвещения с собственным 
вариантом теста. В нашем регионе первая модель аттестации, от МГППУ, затронула несколько школ, причём в июне (!) 
2018 года, а вот второе тестирование было более масштабным и затронуло уже 
100 школ. На сайте Академии просвещения можно посмотреть демоверсию теста. 
Из неё следует, что составители тестов 
живут представлениями 1960-х годов: 
учитель математики должен быть также 
учителем информатики и никак иначе. 
Ведь в документах прописана именно 
эта предметная область. По моим представлениям физика гораздо ближе к математике.
Если предыдущие тестирования были 
хоть как-то связаны с заданиями ЕГЭ, то 
здесь мы видим странную смесь, в которой 
геометрия представлена двумя простейшими задачами, зато задания по логике 
и информатике гораздо серьёзнее. В итоге 
учителя математики вряд ли смогли выполнить и половину тестов. Теперь чиновники будут трясти результатами проверки и объяснять, почему нужно выделить 
большие средства на переобучение когонибудь на что-нибудь, но обязательно 
«в формате новых тестов»! 
 А как же, ведь «за шесть лет мы должны войти в десятку стран-лидеров по ка
честву общего образования»2. Хотя, по 
данным международных исследований, 
мы уже находимся в десятке. Более того, 
в ТIMSS мы на 6–7 местах по математике 
и естествознанию в четвёртом и восьмом 
классах, а в профильном одиннадцатом 
классе на первом и втором месте по математике и физике. И если у нас сейчас низкий уровень математического образования, то можно себе представить, каков он 
в странах, находящихся на 30–40 местах. 
Почему нужно ориентироваться на исследования PISA? Проблемы в образовании 
большие, но их причины ищут не там, где 
нужно. Середина 1950-х годов – вот когда 
у нас были наивысшие достижения и в 
школьной математике, и в образовании 
в целом. Это во времена использования 
таблиц Брадиса и логарифмической линейки, так что дело не в компьютерах. 
Уже сегодня в обычной школе у многих 
учащихся цифровая зависимость, а что 
будет в цифровой школе?
Интересно, а в министерстве не задумывались над тем, почему в элитных 
школах Силиконовой долины, где учатся дети мировой компьютерной элиты, 
компьютеры в школах запрещены? 
Компьютеры подавляют творческое мышление, подвижность, человеческие взаимоотношения, внимательность3. Может, 
там хорошо понимают, что в школах дети 
должны уметь делать что-то руками, а на 
уроках математики заниматься математикой, что построение графика функции 
на миллиметровке полезнее построения 
этого же графика в программе GeoGebra. 
Может, там ориентируются на положения, 
которые были прописаны ещё в 1930-е годы: «Ни в одной учебной дисциплине си
2 См. https://tass.ru/obschestvo/5182103.
3 См. http://www.aif.ru/society/education/ayfony_
pod_zapretom_gde_uchatsya_deti_samyh_umnyh_
lyudey.

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

стема не играет такой большой роли, как 
в арифметике и геометрии. Здесь каждая новая ступень может быть понята и 
усвоена только в том случае, если хорошо 
проработана и усвоена предшествующая 
ступень. Здесь каждый новый навык вырастает из предшествующих навыков. 
Поэтому в математике каждый, даже малейший пробел в основах затрудняет всю 
дальнейшую работу… знания и навыки 
по математике, сообщаемые учащимся, 
должны располагаться в определённой 
системе и строгой последовательности; 
основные сведения по математике должны прорабатываться особенно тщательно; 
переход от одной ступени к другой может 
совершаться лишь тогда, когда хорошо 
усвоена предыдущая ступень» (из «Введения» к новой программе по математике 
1931 года).
А может, там следили за разработкой 
Концепции развития математического 
образования в Российской Федерации, 
утверждённой в 2013 году? В проекте этой 
концепции отмечалось: «Принципиальной 
особенностью школьной математики (и в 
большой степени дальнейшего математического образования) является необходимость всего предшествующего материала 
для освоения последующего...»; «важной 
чертой отечественного математического 
образования является центральная роль 
самостоятельного решения задач…». Всё 
это улетучилось в окончательной редакции документа.
Зачем напоминать о необходимости 
самостоятельного решения задач, если 
учитель – уже главный виновник плохих 
результатов по математике? А кто тогда 
будет располагать в определённой системе и строгой последовательности основные сведения по математике и тщательно 
прорабатывать их? Это тяжелейшая работа учителя, особенно в нынешнее время. 

Вот, например, в 2014 году провели исследования НИКО в 5–7 классах по математике. Обнаружили – это надо же! – что 
«от 5 к 7 классу влияние дополнительных 
часов математики на результат заметно 
возрастает, что свидетельствует об общем 
увеличении объёма изучаемого нового 
материала в 6 и 7 классах и появлении 
сложностей в его освоении за небольшое 
количество уроков в неделю. Можно говорить об определённой перегруженности 
курса математики содержанием, не соответствующим психо-физиологическим 
возможностям обучающихся, что снижает мотивацию школьников к изучению 
математики»4.
А где же управленческие решения? 
В советское время во всех классах было 
6 часов математики в неделю. Объём содержания по математике был меньше, 
чем сейчас. И вот сегодня, когда и объём 
материала больше, и учебники не менялись за последние 10–20 лет, и программа 
осталась прежней, правда, «в ней умышленно “телега поставлена впереди лошади” – развитие, “освоение мира личности” 
и всякие УУД поставлены над знаниями, 
умениями и навыками»5, во всех классах 
из недельной учебной нагрузки убрали 
по часу, а то и по два часа математики. 
После этого все в ожидании – вдруг успеваемость по математике улучшится. Это 
называется нате вам три рубля и ни в чём 
себе не отказывайте.
Так как ожидания ничего не приносят 
(а кто бы сомневался?), то учитель что-то 
недорабатывает: не осуществляет индивидуальный подход к учащимся в классе 

4 См. http://www.ivege.ru/uploads/files/ocenka/
niko2014/1a0110_b828d7bead934d7e97d934fe12e
03e1f.pdf.
5 Шевкин А.В. Программа по математике 2015 
года, или Торжество непрофессионализма // Математика в школе. – 2015. – № 8. – С. 3–11.

Математика в школе  2 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

из 30 человек, в рабочей программе метапредметность с УУД перепутал (просто ужас!), с родителями не нашёл общего языка и пр. А родители в это время 
обсуждают работу школы и учителя по 
Вайберу, как только дети ушли в школу. 
Есть уже такой контингент родителей, 
которым делать нечего, как только судачить про школу. Кстати, по федеральному проекту «Учитель будущего» теперь 
учителям настоятельно будут рекомендовать вступать в профессиональные сообщества в интернете. Так как учителям 
тоже нечем заняться, то садитесь-ка все 
на лавочки и общайтесь. Родители же 
лучше знают, как учить и оценивать знания ребёнка, а школа не нашла к нему 
подход, не смогла рассмотреть и развить 
его талант. В 1990-е годы одним из мероприятий в рамках аттестации учителя 
был опрос родителей. Большего неуважения к учителю трудно себе представить. 
Интересно, а сами родители соответствуют уровню требований на своём рабочем 
месте? И адекватны ли они?
Если раньше я неоднократно отвечал 
на обращения некоторых граждан, присланных на имя регионального или федерального министра образования, то недавно мой статус повысился. Год назад 
мне пришлось исполнять обязанности 
Президента – после обращения одной из 
мам на его имя:
«Здравствуйте,
Владимир Владимирович.
…Я была в шоке, когда ему [моему ребёнку] задали по математике рассчитать 
стоимость ремонта квартиры. Мой сын 
учится в 4 классе, неужели он может это 

сделать?! Пожалуйста, разберитесь, почему ученик 4 класса обязан знать вещи, 
которые ему знать ещё рано!!!
Из обращения в адрес Президента РФ».
Выяснилось, что в школе дети решали 
задачу по теме «Периметр» из стандартного учебника и нужно было рассчитать количество закупаемого для ремонта плинтуса. В эту историю оказались вовлечены 
десятки людей, учитель доведён до слёз, а 
недовольному родителю со всеми реверансами была направлена объяснительная.
Необходимость постоянно оправдываться и заполнять ненужные никому бумаги 
приводит к эмоциональному выгоранию 
учителей. Уже сегодня отмечается нехватка учителей математики. А в случае 
реализации федеральных проектов «Современный родитель», «Учитель будущего», «Цифровая школа» и пр., пугающих 
своей глобальностью, желанием всё и 
вся проконтролировать, написать новые 
программы, всех аттестовать, ситуация 
выйдет из под контроля – учителя просто 
будут разбегаться из школ.
И вот как вишенка на торте из федеральных проектов – свежее предложение чиновников ликвидировать физикоматематические школы как пережиток 
прошлого. Сегодня, между прочим, это 
единственные островки в образовании, 
где дети заинтересованы в знаниях и умениях, а не в пресловутых УУД. А давайте 
распустим эти школы и сразу попадём на 
первое место в мире… по степени глупости.
И.Г. Малышев,
ГБОУ ДПО НИРО
(Нижний Новгород)

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Баба-ЕГЭ. Хроники

ЖЁСТКИЙ ВЫБОР
(к чему приведёт очередной запрет Рособрнадзора?)
В декабре стало известно о грядущих 
изменениях в проведении государственной итоговой аттестации, которые 
затронут подавляющее большинство 
школьников. Главное нововведение – 
выпускники 2019 года не смогут сдавать сразу и базовый, и профильный 
экзамены по математике, как это было раньше. Придётся выбрать что-то 
одно. Переоценившие свои силы на 
профильном экзамене смогут изменить 
выбранный ранее уровень ЕГЭ при повторной сдаче в резервные сроки. До 
этого многие ребята, которые сомневались в своих силах, но хотели попытать счастья и 
получить шанс поступить в вузы на профильные специальности, сдавали оба экзамена 
(в 2018 году только «базу» сдавали 40% выпускников, 50% всех выпускников сдавали и 
«базу», и «профиль», остальные 10% целенаправленно шли только на профильный ЕГЭ по 
математике). Отныне чиновники лишили их этого права. Отныне «двойка» по профильному 
ЕГЭ станет исключительно проблемой учеников. Процессы сегрегации и деградации в 
математическом образовании только ускорятся. По мнению экспертов, нововведение может сильно повлиять также на вузы. Резко сократится число выпускников, не желающих 
рисковать и выбирающих базовый экзамен, ребята откажутся от потенциальной возможности получать образование по техническим и инженерным специальностям. Это приведёт к сокращению количества абитуриентов на 15–20% и закрытию многих инженерных 
специальностей (прежде всего в региональных университетах, где и так наблюдается 
большой недобор), при этом будут уничтожены научно-педагогические школы, которые 
создавались на протяжении многих десятилетий.
Подробности: https://postupi.online/journal/novosti-ege/vypuskniki-oficialno-lishilis-prava-sdavatoba-urovnya-ege-po-matematike/.

Портрет педагога

ЖЕРТВЫ СИСТЕМЫ
(что говорят российские учителя о своей работе в школе)
Учителя из разных уголков страны согласились анонимно рассказать, что представляет 
собой нынешняя система образования. Среди них оказалась и учительница математики 
из Санкт-Петербурга с 20-летним стажем работы. Ей есть что вспомнить и с чем сравнить 

Математика в школе  2 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

нынешнюю ситуацию. У многих детей, говорит педагог, пропали интерес и мотивация к 
учёбе. «А зачем учиться? Я блогером буду. А блогерам не нужно ничего знать. Буду рассказывать, как в игры играть, и зарабатывать деньги». Сегодня в каждом классе по 2–3 
человека – это будущие блогеры. Количество часов на математику сократили, программу 
сжали. Приходится скакать галопом по Европам, дети не успевают усваивать материал; 
если в пятом классе ситуация более-менее, то уже в шестом классе заметно возрастает 
число «двоичников». Проблему усугубляют всевозможные ДКР, РДР, ВПР... Постоянно приходится что-то доказывать ученикам, когда слышишь: «Я не буду это делать. Зачем мне 
это надо?» Учителя не хотят просить, а ученики не желают выполнять свои обязанности. 
Родители взяли за правило, не разобравшись, жаловаться администрации и воспитывать 
педагогов, а администрация – давить на учителей. Инклюзивное образование вообще не 
работает: дети, требующие особого внимания, попав в обычный класс, просто тупеют, становятся неуспешными, ломается их психика. В профильном ЕГЭ по математике 4 из 19 
заданий олимпиадного уровня. Учителя признаются: мы сами не можем решить эти четыре 
задания, поэтому не объясняем их детям. Тогда зачем в экзамен включать задания, которые в школе из 11 педагогов только двое сами решают? Учителя говорят, придёт время, 
отменят ОГЭ и ЕГЭ. Все понимают: это не произойдёт скоро, ведь речь идёт об отмывании 
немалых бюджетных денег. Сегодня школами руководят менеджеры, а не педагоги. Их волнует проверка качества образования и как бы поменьше заплатить учителям. Жалуется 
и сама администрация – на то, что приходится писать липовые отчёты и рапортовать об 
успехах, что сверху от них требуют невозможного, что родители бесконечно качают права 
и пр. Работать приходится в постоянном страхе: «Мы же такая организация, которую легче 
всего проверить всем, начиная от пожарных и заканчивая прокуратурой и Роспотребнадзором. Поэтому мы боимся всех, стараемся лишних шагов не делать и со всеми ласково 
разговаривать. У нас нет других вариантов...»
Подробности: https://www.pravmir.ru/myi-vsego-boimsya-rossiyskie-uchitelya-o-svoey-rabote-vshkole/.

А как у других?

ШКОЛЬНИКИ НЕ ЗНАЮТ ИСТОРИЮ РОДНОЙ СТРАНЫ
(что не так и каковы причины этого: мнения экспертов)
Проанализировав результаты ЕГЭ по истории, в ФИПИ заключили: выпускники путаются 
в событиях России XX века, исторических деятелях, не разбираются в истории культуры, 
теряются при оценке событий, не умеют анализировать документы и даже испытывают 
трудности при работе с картами, схемами и иллюстрациями. Самым сложным для них стало 
задание с развёрнутым ответом, где требуется аргументировать предложенную точку зрения с опорой на исторические факты. В сущности, кроме знания хронологии и единичных 
исторических фактов предъявить школьникам нечего. Разработчики ЕГЭ порекомендовали 
им повторить информацию об исторических деятелях и потренироваться в характеристике 
значения важнейших событий российской истории. Всего-то! Историки и педагоги, опрошенные изданием «Накануне.RU», считают: всё не так просто, и одной «зубрёжки» дат и фамилий недостаточно. Причины неутешительных результатов в скудных знаниях, неинтересных и оторванных от реальности учебниках, «заточенности» уроков истории под ВПР и ЕГЭ, 
в неготовности школ учить детей размышлять и анализировать и в системе образования 

Особые точки
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

в целом. Нынешние реалии – следствие событий 25-летней давности. «То, что сегодня российские школьники не ориентируются в истории своей Родины, было ожидаемо ещё 20 лет 
назад, – отметил президент Всероссийского фонда образования, доктор педагогических 
наук Сергей Комков, – когда в начале 1990-х к разработке образовательных стандартов 
подключились консультанты американского миллиардера Джорджа Сороса». Тогда с их подачи начался процесс «деидеологизации российской школы» – пересмотр преподавания 
гуманитарных дисциплин. Первым делом эти «специалисты» взялись за переработку программ по истории советского периода. Одной из задач было принизить роль нашей страны 
во Второй мировой войне и изъять упоминания о многих общественных, государственных 
и политических деятелях СССР. «Дав возможность западным “советникам” вмешаться в 
процесс преподавания нашей отечественной истории в 1990-е годы, мы не только резко снизили уровень знаний наших выпускников по истории России, но и подвергли нашу 
страну страшной социальной опасности! И эту ситуацию необходимо в срочном порядке 
изменять. В ином случае Россию ожидает настоящая гуманитарная и социальная трагедия!» – заключил эксперт.
Подробности: https://www.nakanune.ru/articles/114491/.

Из жизни учёных

КИЛОГРАММ УЖЕ НЕ ТОТ
(эталон массы заменили квантовой константой)
До недавнего времени килограмм оставался одной из немногих фундаментальных единиц системы СИ, определённой 
не через физические константы вроде 
скорости света или заряда электрона, 
а через реальный физический эталон – 
платиново-иридиевый цилиндр высотой 
и диаметром 39 мм (предыдущий мировой эталон килограмма, кубический дециметр дистиллированной воды, был, 
конечно, куда менее удобным и надёжным). Артефакт изготовили ещё в 1889 
году, и все 130 лет он хранился в Международном бюро мер и весов в Севре, предместье Парижа. При сличении главного эталона 
с национальными копиями (на фото российский образец килограмма – гиря из Института 
метрологии в Санкт-Петербурге) обнаружилось, что масса последних со временем изменялась, иной раз разница достигла 50 мкг (а проверить, как изменялась масса исходного 
эталона, вообще невозможно – его сравнить не с чем). Для современных высокоточных 
научных измерений такое отклонение критично, поскольку может привести к недостоверным результатам. В 2011 году учёные решили выбрать новый эталон массы и привязать 
его к постоянной Планка. Ещё в 1983 году подобным образом поступили с метром, увязав 
эту меру длины со скоростью света. Был проведён ряд экспериментов по оценке значения  
постоянной Планка, пока наконец не удалось добиться требуемой точности. Официально 
изменения вступят в силу 20 мая 2019 года, во Всемирный день метрологии, и эталон 

Математика в школе  2 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

килограмма из Бюро мер и весов навсегда отправится в какой-нибудь музей. На жизни 
обывателей новое определение килограмма никак не отразится – весы будут взвешивать 
с такой же точностью, что и раньше.
Подробности: https://ria.ru/20181116/1532969157.html?relap=1,
https://www.ural.kp.ru/daily/26672/3694362/.

Пополняем ресурсы

ЛЮБИТЕ МАТЕМАТИКУ? ТОГДА ЭТА КНИГА ДЛЯ ВАС!
(знакомимся с новым автором научпопа)
Бытует мнение, что математика – наука абсолютно точная и совершенно скучная. Эдвард Шейнерман, американский математик, 
профессор прикладной математики и статистики, готов доказать обратное. Вы, например, знаете, сколько измерений у фрактала? Почему большая часть окружающих нас 
чисел начинается с 1, а тех, что начинаются с 
9, совсем мало? Как проверить, не сфабрикована ли налоговая отчётность, всего лишь 
проанализировав первые цифры денежной 
суммы? Как понять, насколько можно доверять даже самому высокоточному медицинскому тесту? И может ли математика пролить свет на вопрос о свободе воли? Ответы 
на все эти и многие другие вопросы даются 
в новой научно-популярной книге автора 
«Путеводитель для влюблённых в математику» (М., Альпина-нон-фикшн, 2018). Профессор Эдвард Шейнерман приглашает вас 
испытать силы в решении математических 
головоломок и станет вашим гидом в захватывающем путешествии по миру чисел, 
геометрических фигур и теории вероятностей. Кстати, на один из вопросов можно 
получить ответ прямо сейчас.
Подробности: http://elementy.ru/bookclub/chapters/434328/Putevoditel_dlya_vlyublyonnykh_v_
matematiku_Glava_iz_knigi (глава из книги).

Нетривиальные суждения

Как солнце затемняет звёзды своим сиянием, так и человек образованный может затмить славу других в обществе, если он будет предлагать 
математические задачи, а ещё более, если он и будет решать их.

Брахмагупта, индийский математик и астроном

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Как правило, при преподавании темы 
«Сечения многогранников» рассматривается вопрос о построении сечений [1, 2]. 
Построению сечений посвящены пособия 
[3, 4]. 
В то же время большое значение для 
развития пространственных представлений учащихся имеют задачи на распознавание вида многоугольников, которые могут быть сечениями многогранника 
плоскостью; выяснение возможности или 
невозможности того или иного вида сечения. 
Здесь мы рассмотрим задачи на распознавание вида многоугольников, которые могут получаться в сечениях куба, 
тетраэдра и четырёхугольной пирамиды 
плоскостью. Задачи со звёздочкой (*) имеют повышенный уровень сложности.

Сечения куба
Задача 1. Может ли сечением куба быть: а) правильный треугольник; 

б) равнобедренный треугольник; в) разносторонний треугольник?
О т в е т. Да. Соответствующие сечения показаны на рисунках 1а, б, в. В 
случае: а) A'B1 = B'B1 = C'B1; б) A'B1 = 
= C'B1 ≠ B'B1; в) A'B1 ≠ B'B1, B'B1 ≠ C'B1, 
A'B1 ≠ C'B1.

Задача 2*. Может ли сечением куба 
быть: а) прямоугольный треугольник; 
б) тупоугольный треугольник?
Р е ш е н и е. Докажем, что в сечении 
куба плоскостью не может получиться 
прямоугольный или тупоугольный треугольники.
Пусть ABCDA1B1C1D1– единичный куб. 
Плоскость пересекает рёбра B1A1, B1B, 
B1C1 соответственно в точках A', B', C', 
(рис. 1в).
Обозначим B1A' = a, B1B' = b, B1C' = c. 
По теореме Пифагора находим
A'B' 
2 = a2 + b2,  A'C' 
2 = a2 + c2,
B'C' 
2 = b2 + c2.

ЭКЗАМЕНЫ

ЗАДАЧИ НА РАСПОЗНАВАНИЕ 
СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ

В.А. Смирнов,
МПГУ (Москва),
e-mail: v-a-smirnov@mail.ru;
И.М. Смирнова,
МПГУ (Москва),
e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru

V.A. Smirnov,
MSPU (Moscow),
e-mail: v-a-smirnov@mail.ru;
I.M. Smirnova,
MSPU (Moscow),
e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru

Ключевые слова: куб, тетраэдр, пирамида, сечение.
Keywords: cube, tetrahedron, pyramid, section.

Аннотация: в статье рассматриваются задачи на 
распознавание многоугольников, которые могут 
быть сечениями куба, тетраэдра и четырёхугольной пирамиды плоскостью.

Abstract: the article deals with the problems of 
recognition of polygons, which can be sections of 
a cube, a tetrahedron or a quadrangular pyramid 
by a plane.

Математика в школе  2 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

                         а)                                     б)                                    в)
Рис. 1

                         а)                                     б)                                    в)

                         г)                                     д)                                    е)
Рис. 2

Таким образом, квадрат каждой стороны треугольника A'B'C' меньше суммы 
квадратов двух других сторон. Из теоремы косинусов отсюда следует, что треугольник A'B'C' – остроугольный.
Значит, прямоугольный или тупоугольный треугольники не могут быть 
сечениями куба.

Задача 3. Может ли сечением куба 
быть: а) квадрат; б) прямоугольник; в) ромб; 

г) параллелограмм; д) равнобедренная трапеция; е) неравнобедренная трапеция?
О т в е т. Да. Соответствующие сечения 
показаны на рисунках 2а, б, в, г, д, е. В 
случае: а) плоскость сечения параллельна грани ABCD (рис. 2а); б) плоскость сечения параллельна ребру AD (рис. 2б); 
в) AA' = CC' ≠ BB' (рис. 2в); г) AA' ≠ BB', 
BB' ≠ CC', AA' ≠ CC' (рис. 2г); д) A'B = 
= BB' ≠ B1C' (рис. 2д); е) A'B ≠ B'B, 
B'B ≠ B1C' (рис. 2е).

A

A1
A´

B

B´

B1

C

C´
C1

D

D1

A1
B1

C1
D1

A1
B1

C1
D1

A

A´

B

B´
C

C´

D

A

A´

B

B´
C

C´

D

A

A1

A´

B

B´

B1

C

C´
D´

C1

D

D1

A1
B1

C1
D1

A1
B1

C1
D1

A1
B1

C1
D1

A1
B1

C1
D1

A1
B1

C1
D1

A

A´

B

B´
C

C´
D´

D

A

A´

B

B´
C

C´

D´

D

A

A´

B

B´
C

C´

D´

D

A
A´
B

B´

C

C´
D´

D

A
A´
B
B´

C

C´
D´

D