Математика в школе, 2019, № 1

МАТЕМАТИКА
в школе

1/2019

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Недосекина И.С., Ким-Тян Л.Р.
У подножия «Математической вертикали»

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 6 
«В ожидании очередной напасти» (новая инициатива чиновников 
продолжает будоражить учителей) и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

10 
Бурлакова Т.В., Румянцева И.Б.
О профессиональной направленности преподавания курса 
«История математики» в педагогическом вузе

КОНСУЛЬТАЦИЯ

18 
Кузьмичев А.И., Кузьмичёва Т.Н.
Применение симметрических многочленов в школьном курсе математики

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

26 
Седова Е.А., Пчелинцев С.В., Удовенко Л.Н.
Комплексные числа в школьном математическом образовании: 
геометрия комплексных чисел (базовый уровень)

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

41 
Дацюк Т.Н.
К вопросу о проблеме подготовки педагогических кадров

ОТКРЫТЫЙ УРОК

44 
Шашкина М.Б., Багачук А.В.
Игровые технологии в обучении математике учащихся специализированных классов

У НАС В ГОСТЯХ

52 
Алания Л.А.
О вступительных экзаменах по математике в высшие учебные заведения Грузии

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3280. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2019, № 1

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, 
В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, 
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.В. Дворянинов, С.И. Калинин, 
Н.М. Карпушина, Б.Н. Кукушкин, 
И.С. Недосекина, В.П. Норин
Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова
Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

58 
Саввина О.А., Мельников Р.А., Тарасова О.В.
Академик, гражданин, автор учебников-долгожителей 
(к 100-летию со дня рождения Алексея Васильевича Погорелова) 

БИБЛИОТЕКА

69 
Карп А.П. 
Российская национальная подкомиссия Международной комиссии 
по математическому образованию и её отчёты

ЗАДАЧИ

77 
Кукушкин Б.Н.
Задачи простые, но…

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

80 
Карпушина Н.М.
Абель и лемниската

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

В ноябре 2017 года на сайте мэра Москвы появилась информация о том, что в 
2018 году в московских школах будет запущен проект с интригующим названием 
«Математическая вертикаль». Куратором 
«Математической вертикали» был объявлен Центр педагогического мастерства1. 
Позднее его директор И.В. Ященко представил общую концепцию проекта, которая, по мнению его разработчиков, 
построена в соответствии с Концепцией 
развития математического образования 
Российской Федерации2. В презентации, 

представленной И.В. Ященко, неоднократно отмечалось, что в Москве в скором 
времени (через 7–8 лет) хорошая математическая подготовка будет требоваться 
для большей части перспективных профессий. Согласно проекту к осени 2018 года в московских школах, принимающих в 
нём участие, предполагалось открыть 300 
специальных седьмых классов, учащиеся 
которых в течение трёх лет будут углублённо изучать математику и различные есте- 
ственно-научные дисциплины, в зависимости от профиля школы. Как было озвучено 
И.В. Ященко, «обучение будет вестись 
по самым современным, специально разработанным учебно-методическим посо
АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

У ПОДНОЖИЯ «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ВЕРТИКАЛИ»

О начальном этапе работы над проектом «Математическая вертикаль», запущенным по инициативе Департамента образования Москвы для учащихся 
7−9-х классов московских школ рассказывают доценты кафедры математики 
Национального исследовательского технологического университета «МИСиС», 
выбранного в качестве одного из ресурсных центров проекта.

1 https://cpm.dogm.mos.ru/.
2 https://минобрнауки.рф/документы/3894.

Математика в школе  1 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

биям Московской электронной школы» 
(МЭШ). Цель обучения – предпрофильная подготовка с перспективой для преодолевших «вертикаль» девятиклассников дальнейшего обучения в старших 
классах и поступления в ведущие вузы 
города. Для успешной реализации идеи, 
естественно, требуется хорошая база, 
поэтому ведущим московским вузам и 
физико-математическим школам было 
предложено стать ресурсными центрами проекта, но для этого им надо было 
пройти конкурсный отбор. Среди победителей конкурса оказался и наш НИТУ 
«МИСиС».
В начале 2018 года «процесс пошёл». 
В школах стали готовиться к грядущим 
событиям. Ресурсные центры получили 
полномочия проведения тестирований 
учителей, желающих работать в классах 
проекта, и школьников, которые в них 
будут учиться. Наконец, отбор произошёл, классы сформировались, и в начале 

учебного года преподавателей нашей кафедры математики ждал следующий этап 
работы.
Одной из задач, поставленных перед 
ресурсными центрами, было проведение 
различных мероприятий для школьников в стенах вузов. Таким образом, НИТУ 
«МИСиС» предстояла мало знакомая работа с семиклассниками более двадцати 
школ. Отдавая себе отчёт в том, что дети 
ещё маленькие, нужно было придумать 
доступную им форму подачи материала, 
чтобы вызвать их интерес к предмету, 
поэтому придумали праздник под названием «Математический калейдоскоп». Наши подопечные школы мы разбили на 8 
групп и по очереди стали приглашать их 
к нам в гости, по субботам или во время 
школьных каникул.
В начале встречи гостям праздника предлагалось прослушать лекцию по 
какой-либо увлекательной, по нашему 
мнению, теме.

Но удержать внимание семиклассников во время лекции, даже интересной 
для них, оказалось проблематичным, 
ведь преподаватели вузов не привыкли 
работать с ребятами школьного возраста, 
и неизбежный шум в аудитории вносил 
дискомфорт в процесс обучения. При

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

шлось задуматься над тем, как направить 
энергию детей в нужное русло. С этой целью по ходу лекции им стали предлагать 
задачи и давать несколько минут на размышление. Школьники активно включились в процесс решения, бурно обсуждая 
полученный результат. Шум не утих, но 
структурировался, и дискомфорта поубавилось. Наконец, после обсуждения полученных ответов, на экране появлялось 
верное решение задачи.
Второй этап «Калейдоскопа» заключался в проведении так называемых «математических боёв», в которых участвовал 
каждый школьник. «Бойцам» предлагались задачи, которые нужно было решить 
за отведённое время. Каждая правильно 
решённая задача приносила свой балл в 
общую копилку команды (класса). Дух соревнования и умение (неумение) работать 
вместе в команде вызывало у ребят разные эмоции. Случалось, математический 
бой переходил в рукопашный. Но, в основном, работали дружно и непринуждённо.
На третьем этапе «Калейдоскопа» каждой команде нужно было своими руками 
смастерить из предложенных материалов 
геометрические объекты, придумать им 
название, пофантазировать и задуматься 
об их применении в будущем. И, наконец, 

провести презентацию своего изобретения. 
Удивительно, но этот этап соревнований 
вызвал большой интерес у детей.
Судя по реакции школьников и сопровождавших их учителей, праздник удался. 
Мы рассказали здесь только о небольшой 
части программы, которую предстоит реализовать в рамках проекта «Математическая вертикаль» в нашем вузе3. Но ведь 
это пока всего лишь развлекательные мероприятия, а впереди – три года серьёзной работы! Mы и наши коллеги готовы 
к ней. Все мы очень надеемся, что благодаря этому ли проекту, другим ли проектам, ситуация со школьным математическим образованием, наконец, изменится 
в лучшую сторону. Надеемся, что «лёд 
тронется» и низкий уровень математической подготовки некоторых абитуриентов 
(не умеющих подчас складывать дроби!) 
останется в прошлом, ведь всё это неизбежно сказывается на уровне подготовки 
наших будущих инженеров.

Л.Р. Ким-Тян, И.С. Недосекина,
НИТУ «МИСиС» (Москва)

3 http://misis.ru/applicants/school-leavers/preuniversity-training/matematicheskayavertikal_/
novostiproekta/

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Баба-ЕГЭ. Хроники

НЕ ПОЙМАН – НЕ ВИНОВАТ
(ЕГЭ за выпускников до сих пор сдают другие люди)
В 2009 году в России случился первый громкий скандал, связанный с подставными лицами 
на ЕГЭ. Дело было в Ростовской области. Тогда за троих выпускников экзамен сдавали 
учителя математики, а ещё за пятерых – девятиклассники! Вместо паспортов  некоторые 
сдававшие предъявили копии, что само по себе является грубым нарушением. В 2011 году 
в ППЭ на северо-востоке Москвы вместо нескольких школьников явились студенты. В итоге 
они отделались административными наказаниями. В 2016 году в Нижнем Новгороде суд 
вынес приговор студенту, который пришёл сдавать ЕГЭ по математике с поддельным паспортом, признав его виновным в подделке документов. Несмотря на ужесточение контроля за проведением госэкзаменов, подложные сдачи происходят до сих пор, и выпускники 
продолжают придумывать схемы обмана. О новых случаях поведал недавно «Коммерсантъ» 
в статье «Подставной балл».
Герой одной из историй – студент третьего курса крупного московского университета. Летом 2018 года он по предложению однокурсника отправился из Москвы в Ингушетию, 
чтобы по поддельному паспорту сдать ЕГЭ за местного выпускника. За два экзамена – по 
истории и профильной математике – молодой человек получил 50 тыс. рублей. По его словам, в ППЭ подлога не заметили. Выпускник имел имя и фамилию, которые встречаются 
и в Ингушетии, и в Москве, так что внешность явившегося на экзамены не вызвала подозрений. Позже в разговоре с корреспондентом «Ъ» несколько жителей Ингушетии заявили, 
что не слышали о сдаче экзамена за других людей, и трое собеседников независимо друг 
от друга рассказали: «купить» ЕГЭ в республике стоит 800 тыс. рублей – за такую сумму 
могут «дать бумажку с ответами на твой вариант теста». В Рособрнадзоре отрицают массовость сдачи ЕГЭ по поддельным паспортам.  Между тем, по данным ведомства, во время 
экзаменационной кампании 2018 года «аннулированы результаты около 50 участников 
экзаменов: были установлены факты сдачи ЕГЭ по чужому паспорту, в работе фиксировался 
чужой почерк».
Подробности: https://www.kommersant.ru/doc/3786908.

Перспективы далёкие и близкие

МАТЕМАТИКА «ПО СКАЙПУ»
(что ждёт систему аккредитации вузов и как будут учить студентов?)
В октябре ректор ВШЭ г-н Кузьминов объявил о грядущем переводе обучения в вузах в 
дистанционный формат. Тогда активно обсуждался вопрос об изменении государственной аккредитации высших учебных заведений. Планируется, что вскоре каждое из них 
получит один из статусов: базовый, продвинутый или ведущий вуз. Всякий базовый вуз 
должен будет значительную часть обучения, до 70%, реализовать в сетевой форме – традиционные лекции заменят онлайн-курсами, разработанными ведущими вузами. Мнения 

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ректоров разделились. Если одни считают нововведение оправданным, то другие видят в 
нём посягательство на автономию университетов, опасаются укрепления позиции ведущих 
вузов за счёт вытеснения базовых. Нетрудно догадаться, куда ведут «благие намерения» 
реформаторов-либералов и какая судьба уготована многим вузам.
Профессионалы не сомневаются, что 
видеолекции от ведущих вузов для базовых вузов бессмысленны. Да что там 
базовые вузы! В этом учебном году первокурсникам Инженерной школы ДВФУ 
(Дальневосточный федеральный университет) основной предмет, высшую 
математику, стал преподавать лектор 
из МГУ. Формат видеолекций руководство вуза выбрало «ради повышения 
качества образования и усиления подготовки студентов». Эксперимент с треском провалился. Оказалось, что «оцифрованный» зубодробительный курс предназначался студентам-математикам, а вовсе не 
будущим инженерам. Для последних решение задач на единственном часе «практики» в 
неделю на деле превратилось в разбор теории «местным» преподавателем, а без сдачи 
«практики» о допуске к экзаменам нечего и думать. Нововведение не понравилось ни 
преподавателям, ни студентам (некоторые даже готовы перейти из-за него в другой вуз). 
Студенты стали жаловаться на «заочное» обучение и подписывать петицию к ректору с 
просьбой убрать видеокурс или сделать его дополнительным. Но кого волнует их мнение? 
За всё это им стоит благодарить «высокий статус университета ДВФУ». Дальнейшая либерализация образовательного процесса приведёт к потере львиной доли студентов, особенно 
на последних курсах, подытожила заведующая одной из кафедр университета.
Подробности: https://www.kommersant.ru/doc/3760230,
https://www.nakanune.ru/articles/114512/.

Портрет педагога

В ОЖИДАНИИ ОЧЕРЕДНОЙ НАПАСТИ 
(новая инициатива чиновников продолжает будоражить учителей)
Этот бред окончательно убьёт школу и образование как таковое, а вместе с ними уничтожит 
учителей как класс. Так отзываются педагоги о ЕФОМ (единых федеральных оценочных 
материалах) – новой системе аттестации, которая уже через два года станет обязательной 
для 1,5 млн российских учителей. Сторонники введения ЕФОМ утверждают: в новой аттестации главное – не наказание, а повышение качества преподавания в школах. Педагоги 
единодушны и категоричны как в оценке компетентности чиновников, так и в неприятии 
их затеи. Нет сомнений: она будет осуществлена, и вконец униженному учителю придётся 
доказывать, что он учитель. ЕФОМ, в частности, обязывают педагогов пройти письменные 
тесты типа ЕГЭ по своему предмету и решить «педагогические кейсы» (см. teacherslevel.
herzen.edu.ru). Пробные работы уже провели на «добровольной» основе: в октябре 18 тыс. 
учителей из 45 регионов прошли диагностику и поделились впечатлениями с коллегами. 

Математика в школе  1 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Их негативная реакция показательна и вполне предсказуема, а может, и просчитана заранее, ибо на руку чиновникам – так создаётся видимость «общественного обсуждения», 
на которое можно будет многое списать.
Среди высказанных претензий – сомнительное качество заданий и их необоснованный 
отбор. Так, учитель информатики недоумевал, почему из 15 вопросов только 3 были по его 
предмету, а остальные по математике. Почему правильный ответ на задание был отмечен 
словом «верно»? Оказалось, что два задания не имели решения, в одном был пропущен 
знак «минус», а к другому были предложены на выбор только неверные ответы. Или вот 
мнение опытного учителя математики: «Вряд ли я выдержал бы такой натиск диагностических щупалец Рособрнадзора. Я до сих пор не могу продолжить ряд 2, 3, 4, 11, 16... Делать 
первым заданием в тесте такую головоломку – вопиющее нарушение структуры диагностики. В задании на соответствие нужно было искать функцию, которой просто нет в ответах. 
А вот задача с параметром заставила меня почувствовать себя полным кретином, так как 
построить график функции я смог через 40 минут исследования, но правильного ответа 
среди предложенных так и не нашёл. Одним словом, семь раз составь, один раз проведи!» – подытожил он. См. также рубрику «Хроники».
Подробности: https://pedagog-prof.org/stati/etot-bred-okonchatelno-ubet-shkolu-pedagogi-o-efom, 
http://www.ug.ru/archive/76353.

Из жизни учёных

ПО ПРОЗВИЩУ ПАСКАЛЬ
(к юбилею известного учёного и педагога А.В. Погорелова)
Ровно 100 лет назад родился Алексей Васильевич Погорелов (1919–2002), видный советский математик, педагог, автор университетских учебников геометрии и популярного, знакомого миллионам обычных людей учебника-долгожителя для средней школы: его 
пробный вариант (для учащихся VI–X классов) вышел в свет в далёком 1981 году, и до сих 
пор пособие перерабатывается и переиздаётся. Земляки окрестили учёного Лобачевским 
XX века, а в книге Американского математического 
общества из серии «Великие математики» Погорелов назван величайшим геометром XX столетия. 
Он не только разрешил IV проблему Гильберта, но 
и совершил ряд прорывов в разных областях этой 
науки. С малых лет будущий академик проявлял 
большой интерес к учёбе и целеустремленность. 
Так, ещё в детстве он пообещал себе прочитать всю 
Большую советскую энциклопедию и каждый день 
посвящал этому занятию по несколько часов. Мальчик хорошо рисовал и мог бы стать художником. Но 
в старших классах стали очевидны удивительные математические способности Алексея, 
за которые одноклассники прозвали его Паскалем. «Его целеустремлённый высочайший 
интеллект можно было бы сравнить с отбойным молотком, – писал о возможностях аналитического ума Погорелова один из его биографов. – Или иначе: трудная, десятки лет 
не решаемая задача – словно стена. А Погорелов проламывал её своей мыслительной 
силой. Как танк». Среди увлечений математика были рыбная ловля и фотография. Он да

Особые точки
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

же изобрёл безынерционную спиннинговую катушку и собрал богатую коллекцию фотоаппаратов. Алексей Васильевич запомнился как прекрасный педагог, о нём сохранилось 
немало забавных историй. Однажды он шёл принимать зачёт. Из-под двери аудитории, 
где готовились отвечать студенты, кто-то передал листок с заданием. Желающий помочь 
другу студент подскочил к Погорелову: «Можешь решить?» Тот решил, и юноша передал 
листок с ответом обратно, а невозмутимый профессор Погорелов на глазах у изумлённого 
«помощника» вошёл в аудиторию и стал принимать зачёт. Биографии учёного и истории 
написанного им школьного учебника геометрии посвящена юбилейная статья, которую мы 
публикуем в этом номере.
Подробности: https://info.wikireading.ru/206801.

Пополняем ресурсы

А КАК ЖЕ ГАУСС?
(правдивые истории о «короле математиков»)
По данным интернет-проекта «Математическая генеалогия», сегодня у знаменитого 
Карла Фридриха Гаусса насчитывается 15 
учеников и 89 тыс. академических «потомков». Самые известные ученики Гаусса, чьим 
научным руководителем он был в Гёттингенском университете, – Риман, Дедекинд 
и Листинг, творившие в разных областях 
математики. Бернхард Риман создал неевклидову геометрию, где нет параллельных 
прямых, а сумма углов любого треугольника 
больше 180о. Рихард Дедекинд – один из 
создателей современной теории действительных чисел и теории множеств, разработчик 
первой системы аксиом для натуральных чисел. Иоганн Листинг – автор первого труда 
по топологии. Исследованиями в этой области он занялся под влиянием Гаусса. А с чего 
началась научная карьера самого «короля математиков»? Зачем он «просеял» сотни тысяч 
натуральных чисел и действительно ли пренебрёг великой теоремой Ферма? О каком 
своём удивительном открытии Карл Гаусс умолчал? Какие научные предвидения учёного 
сбылись? И правда ли, что он помышлял о контакте с внеземной цивилизацией и даже 
придумал, как установить его?
Подробности: Наука и жизнь, № 10, 2018.

Нетривиальные суждения

Разве нельзя музыку описать как математику чувства, а математику – как музыку ума? Ведь 
сущность обеих одна и та же! Музыкант чувствует Математику, математик думает Музыкой. 
Музыка – это мечта. Математика – это деятельная жизнь. И каждая достигнет своего 
завершения с помощью другой, когда человеческий интеллект, развитый до совершенства, 
засияет, прославленный, в каком-либо будущем Моцарте-Дирихле или Бетховене-Гауссе...

Дж. Сильвестр, английский математик

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

В настоящее время профессиональная 
подготовка будущего учителя математики 
в педагогическом вузе осуществляется по 
образовательной программе прикладного 
бакалавриата (направление подготовки 
44.03.05 Педагогическое образование, 
профиль – математика). Предполагается, 
что в этих условиях практическая направленность учебных дисциплин преобладает над теоретической, а знания студентов 
характеризуются не только полнотой, 
системностью, обобщённостью и глубиной, но и оперативностью, гибкостью, 
конкретностью. Это требует перестройки 

процесса преподавания учебных дисциплин в педагогическом вузе, усиления их 
профессиональной направленности. Такая задача может быть решена средствами деятельностного подхода в обучении, 
который предусматривает активизацию 
продуктивной деятельности студентов.
В соответствии с ФГОС ВО (направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование) дисциплина – история 
математики способствует подготовке обучающегося к педагогической профессиональной деятельности по объектам профессиональной деятельности: обучение; 

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

О ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ 
ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ» 
В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Т.В. Бурлакова, д-р. пед. наук, доцент, профессор,
Шуйский филиал ФГБОУ ВО «Ивановский государственный университет»;
И.Б. Румянцева, канд. психол. наук, доцент,
Шуйский филиал ФГБОУ ВО «Ивановский государственный университет»;
e-mail: irina.rum2011@yandex.ru

T.V. Burlakova, Dr. Sci. (Pedagogy), Prof.,
Shuya Branch of Ivanovo State University (Shuya);

I.B. Rumyantseva, PhD (Psychology), Associate Prof.,
Shuya Branch of Ivanovo State University (Shuya);
e-mail: irina.rum2011@yandex.ru

Ключевые слова: профессиональная подготовка, методика преподавания истории математики, 
профессиональная направленность, математикометодические задания, проектная деятельность 
студентов.

Keywords: vocational training, the methods of 
teaching the history of mathematics, professional 
orientation, mathematical and methodical tasks, 
project activity of students.

Аннотация: в статье представлен методический материал, позволяющий реализовать идею 
профессиональной направленности подготовки 
студентов в педагогическом вузе при изучении 
дисциплины «История математики», а также приводятся примеры математико-методических заданий и некоторые рекомендации по организации проектной деятельности будущих учителей 
математики. 

Abstract: the article presents some methodological material which promotes the idea of profession-oriented training of students in the course 
the History of Mathematics at the pedagogical 
university. The authors illustrate their ideas with 
some mathematical and methodological tasks and 
give some recommendations on the maintenance 
of the project activity of the prospective teachers 
of Mathematics.

Методический семинар
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

воспитание; развитие; просвещение; образовательные системы. Данная дисциплина участвует в формировании готовности 
к решению следующих профессиональных 
задач в соответствии с видами профессиональной деятельности:
– осуществление обучения и воспитания 
в сфере образования в соответствии с 
требованиями образовательных стандартов;
– использование технологий, соответствующих возрастным особенностям 
обучающихся и отражающих специфику предметной области. 
При этом преподавателям математики 
хорошо известно, что «История математики» является фундаментальной математической дисциплиной, и все разделы математики объединяются в единую 
целостность благодаря ей. Понимание 
математики невозможно без формирования правильного представления о происхождении и становлении математики, 
без анализа развития её основных идей 
и логической структуры современной математики.
Возникает вопрос: как с наибольшей 
эффективностью следует использовать 
специфику дисциплины «История математики» для развития компетентности 
будущего специалиста, воссоздания в образовании предметного и социального 
смысла профессии учителя, приближения обучения к школьной практике без 
утраты при этом полноты теоретического 
знания?
Существуют различные точки зрения 
на организацию преподавания истории 
математики. В частности, М.Ф. Гильмуллин [3] предлагает использовать дидактическую модель процесса обучения истории 
математики, построенную на основе «диалога культур». А.В. Дорофеев [4] ориентирует на формирование у студентов умения 

применять историко-генетический метод 
(термин С.В. Белобородовой) преподавания математики. Ряд авторов (В.Н. Аниськин, Е.В. Куликова, А.Н. Ярыгин) [1] для 
усвоения студентами-математиками содержания курса «История математики» 
и формирования их готовности к использованию элементов истории на уроках 
рекомендуют интегрировать модульнорейтинговую систему и метод проектов. 
Журнал «Математика в школе», занимающийся важнейшими вопросами 
проектирования моделей и концепций 
обучения математики и их внедрением, 
неоднократно обращался к проблеме изучения истории математики. В частности, 
в 2013 году в № 6 и 7 опубликована статья 
Т.С. Поляковой [5, 6], посвящённая методам и приёмам патриотического воспитания будущих педагогов при изучении 
истории математики.
Наряду с этим, на наш взгляд, недостаточно разработана методическая составляющая организации практических занятий 
и самостоятельной работы студентов. 
В практике нашей работы в Шуйском 
филиале Ивановского государственного университета обновление содержания 
самостоятельной учебной деятельности 
студентов по дисциплине «История математики» обеспечено комплексом учебнометодических материалов. Основу их составляют задания, дающие возможность 
непрерывного «погружения» студентов в 
контекст их будущей профессиональной 
деятельности. 
Приведём некоторые примеры.
Задание 1. Действие умножения проводилось у египтян путём удвоения. Выполните умножение, используя вычислительный приём древних египтян, для 
случаев: 3  7; 4  6; 5  8, 5  9. Дайте математическое обоснование отличия этого 
метода умножения от метода, используе

Математика в школе  1 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

мого в современной школе. При изучении 
какой темы школьного курса математики 
обучающиеся могут сопоставить эти методы умножения в учебно-познавательной 
деятельности?
Задание 2. При изучении какого материала учитель может обратиться к исторической информации о том, что математики Древнего Египта могли разделить 
7 хлебов на 8 человек поровну. Как организовать образовательную деятельность 
школьников по решению этой исторической задачи?
Задание 3. Шестидесятые доли были 
привычны в жизни вавилонян. Поэтому 
они пользовались шестидесятеричными дробями. Это дроби со знаменателями вида 60n, где n – натуральное число 
(60, 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д.). С какой целью можно предложить школьникам выполнить следующие задания:
а) Выразите в шестидесятеричных дробях следующие обыкновенные дроби

2 ;
3

3 ;
5

7 ;
8

б) выразите в обыкновенных дробях 
следующие шестидесятеричные дроби

18 ;
60

3250 ;
3600

148000 .
216000

Задание 4. Древнегреческий математик Фалес (624–547 гг. до н.э.) мог определить расстояния от пункта, находящегося 
на берегу моря, до корабля в море. Для 
этого он использовал геометрический 
метод. 
Как может учитель использовать эту 
информацию для мотивации школьников 
к изучению второго признака равенства 
треугольников? Можно ли предложить 
школьникам решить ту проблему, которую решил Фалес? На каком этапе урока 
открытия нового знания это можно сделать? 

Задание 5. При изучении какого вопроса (темы) можно предложить учащимся обосновать правильность определения 
Фалесом высоты одной из египетских 
пирамид, если известно, что он проводил 
опыт в тот момент, когда лучи солнца падали на землю под углом 45°, а пирамида 
отбрасывала на земле тень?
Задание 6. Какая теорема, входящая 
в программу геометрии VIII класса, принесла Фалесу мировую славу. Приведите 
её формулировку. 
Задание 7. Докажите формулы сокращённого умножения (квадрат суммы, 
квадрат разности двух чисел), используя 
методы геометрической алгебры, применяемые пифагорейцами. Сравните 
методы пифагорейцев с методами доказательств этих тождеств в школьном 
курсе математики. Почему современные 
учебники (программы) предполагают знакомство только с алгебраическим методом 
доказательства тождеств? Какие качества 
личности развиваются у обучающихся в 
процессе овладения разными методами 
решения математической задачи?
Задание 8. В школьном курсе геометрии школьники знакомятся с одной из 
формул площади треугольника

(
)(
)(
),
S
p p
a
p
b
p
c





где p – полупериметр треугольника, а 
a, b, c – длины сторон треугольника. Какое 
название в геометрии имеет эта формула? Что вы можете рассказать учащимся 
о греческом математике, в честь которого 
она получила своё название?
Задание 9. Индийцы для умножения 
многозначных чисел использовали два 
способа, именуемые «умножением в клеточку» и «умножением крестиком» (второй способ самими индийцами назывался 
«молниеносным умножением»). Объясните, в чём суть «умножения в клеточку» и 
«умножения крестиком». Продемонстри