Элементы математики и физической химии для биологов

Н.Н. Мушкамбаров





                ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ ДЛЯ БИОЛОГОВ





Учебное пособие



3-е издание, стереотипное










Москва Издательство «ФЛИНТА» 2020

УДК 510+541.1+577.1
ББК 28.072
    М93











    Мушкамбаров Н.Н.
М93   Элементы математики и физической химии для биологов [Электрон    ный ресурс] : учеб. пособие / Н.Н. Мушкамбаров. — 3-е изд., стер.
   — М. : ФЛИНТА, 2020. — 439 с. — Т. 3. — 499 с.

   ISBN 978-5-9765-2294-7

        Учебное пособие дает связное и последовательное изложение многих разделов математики и физической химии. Оно поможет биологам и медикам быстро вспомнить соответствующие сведения, необходимые при анализе научных проблем.
        Для студентов, преподавателей и научных сотрудников многих специальностей биологического и медицинского профилей.

УДК 577.01
ББК 28.072







ISBN 978-5-9765-2294-7

       © Мушкамбаров Н.Н., 2015
© Издательство «ФЛИНТА», 2015

-3ПОСВЯЩАЮ Игорю Ивановичу ВОТРИНУ (1938-1997) -
Учителю и старшему другу.
Он, биохимик, был первый (и единственный'.), кто обратил моё внимание на значение для медиков и биологов физической химии и математики.

-4Предисловие
         Основной костяк этой книги был написан в процессе работы над другой книгой - “Аналитическая биохимия” (изданной в 1996 г. в трёх томах). В последней обширный спектр биохимических вопросов рассматривался мною с количественной стороны, т. е. с активным привлечением математики и физической химии. Чтобы этот анализ оказался доступным и для тех, кто подзабыл данные дисциплины (или, как медики моего поколения, не изучал их вообще), я и решил подготовить отдельный том, посвящённый указанным дисциплинам.
         Разумеется, материал, включаемый в этот том, не претендовал на полное изложение математики и физической химии: каждая из этих наук неизмеримо больше и глубже. Например, “за кадром” остались такие разделы физической химии, как фазовые равновесия, поверхностные явления, отдельные моменты коллоидной химии.
         И всё-таки та посылка оказалась верной: её подтвердила сама жизнь. Мне не удалось издать данную книгу одновременно с “Аналитической биохимией”. И практика показала, насколько трудно медикам и биологам воспринимать даже те относительно несложные расчёты, которые лежат в основе проводимого там анализа.
         Причём, было ясно, что речь идёт не просто о восприятии одной отдельно взятой “заумной” книги, а о самом стиле мышления, основанном на точном количественном расчёте.
         Вот почему на протяжении всех последних лет я не оставлял попыток издать ту книгу, которую вы держите сейчас в руках. И если это, в конце концов, удалось, то лишь благодаря терпеливым усилиям руководства Московской медицинской академии - в первую очередь, проректора по научной работе, академика РАЕН, профессора С.В. ГРАЧЕВА. Выражаю ему искреннюю признательность.
         Благодарю также за помощь на разных этапах издания книги ректора ММА, академика РАН и РАМН, профессора М.А. ПАЛЬЦЕВА и Учёного секретаря ММА, академика РАЕН, профессора С Л. КУЗНЕЦОВА.
         Хотел бы выразить благодарность и В.Н. ТВЕРИТИНО-ВУ, с которым в годы нашей с ним работы на кафедре физической и коллоидной химии мы обсуждали многие рассматриваемые здесь вопросы.

                                   Автор, январь 2001 года.

Раздел I.


МАТЕМАТИКА





Глава 1. Элементарная алгебра


1.1. Последовательности и прогресии


   а) А. Последовательность (б математическом смысле) - это совокупность (конечная или бесконечная) пронумерованных чисел:


Qj, аг, а₃,... ап                           (1.1).


      Б. Последовательность имеет предел (сходится к некоторому числу а)., если для любого сколь угодно малого числа е находится W такое, что разность между а и любым членом последовательности, начиная с aN, меньше е:

a = lim Од, если la,, ⁿ ~»oo

a| < E для всех и > W

(1-2).

   б) Некоторые пределы.
      А. Число е: е = 1гт
                          Х-чо

X
1 +1

« 2,72

(1.3,а).

Б. Отношение (sin х)/х при уменьшении х
                   1гт sin А = 1       
                   х-0   X             

(1.3,6).

   в)  Арифметическая прогрессия (АП).
      А. АП - это последовательность (ряд) чисел, где каждый последующий член получается путем сложения предыдущего члена с некоторым постоянным числом d (т.н. разностью прогрессии):


   а₁, аг= aj+d, а₃ = a₁+2d................. = а{+ (n-l)-d        ⁽¹-⁴а) .

-6      Б. Сумма первых п членов АП рассчитывается по формуле:


   Sₙ = flj + аг + ... + dn, откуда Sₐ = (aₜ + a^n/S



(1.4.
б».

   г) Геометрическая прогрессия (ГП).
      А.        ГП - это последовательность (ряд) чисел, где каждый последующий член получается путём умножения предыдущего члена на некоторое постоянное число q (т.н. знаменатель прогрессии):


   aₗᵣ а₂= cij-q, a₃=a₁-q²..... aₙ=aᵣqⁿ'¹             ⁽¹-⁵а) .
     Б. Сумма первых п членов ГП (если q * 1):


сц • (qⁿ-l)




q - 1

      В.        Если q < 1, то прогрессия - убывающая. Из предыдущей формулы следует, что в этом случае при п -> <» сумма членов прогрессии стремится к следующей величине:


s п

(1.5,
В ) .



1.2.  Степени, логарифмы и факториалы


1.2.1. Степени
   а)     А. В выражении а¹¹ величина а - основание, ап- показатель степени.
      Б. Нижеследующие формулы определяют степени с различными показателями: натуральным, нулевым -

an = а ■ а •... • а     ,         а° = 1      (1.6,
                                            а- б) .
п                                                  
отрицательным целым -                              
                  a‘n = 1/аа             (1 .6.в) ,
дробным положительным -                            
1 / п       п           m / n     п __        (1.6.
a = уа ,                a = W"               д- г )

-7   6)    Операции со степенями производятся так:

(1.7.
     (а-б)п = ап-бп ; ат-ап = ат⁺п ; (ап)т = ап,т а_в₎

Как видно, речь идёт о возведении в степень умножении степеней с и возведении степени

произведения чисел, одинаковыми основаниями в степень.

   в)     Некоторые соотношения:
      А.  квадрат суммы (разности) двух величин -(1.8.
                     (а ± б)² = а² ± 2аЪ + б²                      а₎

      Б. разность квадратов двух величин -(1.8.
                     а² - б² = (а - б) ■ (а + б)                   б₎,

      В. куб суммы (разности) двух величин -(1.8.
(а ± б)³ = а³ ± 3-аг-Ъ + 3-а-б² ± б³                 в₎.

      Г. разность кубов двух величин -
                                                                 (1.8.
а³ - б³ = (а - Ь) ■ (аг + аЬ + Ъг)                   г₎.


   г)     Бином Ньютона. А. Энная степень суммы двух величин рассчитывается по формуле:


n n к п-к к (а + Ь) = 2 Сп-а -б к = о

к п/
, где Сп ----------- ⁽¹ -⁹(п-к)!-к!        а’б⁾        к

Здесь Сп - т.н. биномиальные коэффициенты, которые, как видно, находятся через факториалы (см. пункт 1.2.3). Б. В частности, при п=3 таких коэффициентов - четыре:
О        12           з
сз e 1, С₃ = С₃ = 3, С₃ = 1 (с учётом того, что 0! = 1) ⁽¹¹°-а- б) .

И формула бинома Ньютона приводит к выражению для куба суммы двух

-8величин (1.8,в).
     В. Между соседними биномиальными коэффициентами, как нетрудно убедиться, имеется связь:

                       к       к+1
Сп = сп х K-I-J-                         <110.
п - к                          в ) .
   д)   ПередоЭ к степеням числа 10.
      А. При расчётах удобно от степеней с произвольным основанием переходить к степеням числа 10; это делается по формуле:

n      n-lg а (1.11
а = 10         а) .

      Б. В частности, для степеней с основанием 2 и е получаются выражения:

П      D'lg 2    0.301 *П    п         п • 1 g е 0.435 ’П (1.11
2 = 10        = 10         ; е = 10         ■    * 10      б-в)

1.2.2.  Логарифмы
    а)      Определения. А. Логарифм числа b по основанию а - это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число Ь:
logₐ Ь = с, где ас = b                   (1.12,а).

       Б. Отсюда следуют соотношения:

logₐ а = 1, logₐ 1 = 0                 (1.12,б-в).

       В. В т.н. натуральных логарифмах основанием является число е, а в десятичных - 10 :

In b = logₑ b, lg b — logₗₒ b (1.13,а-б).

       Г. Из этих определений вытекает:
                                        п
tn eⁿ = n, 1g 10 = п                     (1.14,а-б).

    б)     Операции с логарифмами.
       А.         Логарифм к-той степени числа b равен произведению к на логарифм Ь:


logₐ Ьк = к- togₐ Ъ

(1.15.а).

-9   Если к = -1, получаем выражение: logₐ £ . - logₐ b                                       (1.15.6),
                           ь
       Б. Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел, а логарифм частного - разности логарифмов:

logₐ(x-y) = logₐ X + logₐ у, logₐ(x/y) = logₐ x - lOgₐ у ¹¹ *⁶' a-6).

       В.         ПерехоЭ от логарифма с основанием а к логарифму с основанием с совершается по формуле: logc b                                                1
logₐ b = ---------; если с = Ь, то logₐ b --------------- *¹ ■¹¹ •
            logc a                                  logb а а’⁶⁾   Отсюда естественны формулы перехода к натуральным и десятичным логарифмам: In b                                    lg b
log ь = ------- »      ■ —■             (1 .18. а - б).
a       In a        1g а

    в)     Натуральные и десятичные логарифмы.
       А. Полезно знать следующие значения: натуральный логарифм числа 10 и десятичный логарифм числа е -

tn 10 = 2,3 ; lg е = 1/(1п 10) =» 0,435               а-б).

   натуральный и десятичный логарифмы числа 2 -

    In 2 ~ 0,693 ; lg 2 = (tn 2)/(ln 10) = 0,301 иго.a-6).

       Б. Переход от натуральных логарифмов к десятичным производится по формуле:

   In х = (lg x)/(lg е) = (tn 10)■(lg х) ~ 2,3-lg x и 21.a>.

а от десятичных к натуральным - по формуле:

  tg X = (tn х)/(1п 10) = (lg е)■(lg х) * 0,435- tn х ⁽¹²¹-б⁾

-101.2.3. Факториалы
    а) Определения. А. Факториал числа п - это произведение всех натуральных чисел от 1 до п:


п/ = 1-2-3-... ■ (п-1)-п             (1.22,а).

       Б. Факториал нуля принимается равным единице:
О! = 1                          (1.22,6).

    б) Формила Стирлинга. А. Приближённое вычисление факториалов больших чисел производят по формулам:

Б. Менее точен логарифмический вариант этих формул:

(1.23.
а-б).

In (п!) ® tn nⁿ - in eⁿ + In \/2л п « п- (tn п) - п ⁽¹ ²⁴’ а - б ).

Действительно, при переходе к (1.24,6), как видно, пренебрегают одним из членов.


1.3. Алгебраические уравнения


1.3.1.  Системы линейных уравнений
    а)  Система двих уравнений.
       А.         Система двух линейных алгебраических уравнений имеет вид:
                    dj • х + bj • у = Cj 1
>               (1.25, а-б).
                    а₂-х + Ьг> у = с₂ )

       Б. Т.н. главный определитель этой системы рассчитывается через коэффициенты при неизвестных величинах:

Д в

01

Q₂

Ь1

^2

а₂ - bi

(1.26,а).

— Qj ' Ь₂