Численные методы

Е.В. Карманова 

ЧИСЛЕННЫЕ 
МЕТОДЫ

Учебное пособие

3-е издание стереотипное 

«Рекомендовано УМО по специальности педагогического 
образования в качестве учебного по собия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по  специальности 050201.65 - 
математика» 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 681.142.2(075.8)
ББК 30.12я73
        К24

Р е ц е н з е н т ы: 

ректор НОУ «Челябинский институт экономики и права», 

д-р физ.-мат. наук, проф. В.Н. Ни;

д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры прикладной информатики и 
вычислительной техники ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный 
университет» С.И. Кадченко 

канд. техн. наук, доцент кафедры вычислительной техники и прикладной 
математики ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический 
университет им. Г.И. Носова» Ю.В. Кочержинская 

Карманова  Е.В.

К24      Численные методы [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.В. Кар
      манова. – 3-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2020. – 172 с. 

        ISBN 978-5-9765-2303-6

Пособие включает теоретический материал, контрольные работы, 
тестовые задания, лабораторные работы по численным методам, направленные на изучение приближенных методов в прикладной математике и 
применение их на практике.
Пособие адресовано студентам очного и заочного отделений высших 
учебных заведений, обучающихся по специальности 050201.65 – 
математика.

УДК 681.142.2(075.8)
ББК 30.12я73

ISBN 978-5-9765-2303-6
© Карманова Е.В., 2015
© Издательство «ФЛИНТА», 2015

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................... 5 

Тема №1. Теория погрешностей ...................................................................... 6 

Причины возникновения и классификация погрешностей (6)  Прямая 

задача погрешностей (9) Обратная задача теории погрешности (11) 

Тема №2. Численные методы решения уравнений с одним неизвестным .. 16 

Постановка задачи (16) Графическое решение уравнений (17) Метод 

половинного деления (дихотомии) (17) Метод простой итерации (18) 

Метод 
хорд 
(21) 
Метод 
Ньютона 
(метод 
касательных) 
(23) 

Комбинированный метод(26) 

Тема №3. Решение систем линейных уравнений .......................................... 32 

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений 

(СЛАУ)(32) Метод Гаусса  решения систем линейных уравнений (34) 

Решение системы линейных уравнений методом квадратного корня (40) 

Итерационные методы (45) Метод простой итерации (45) Метод 

Зейделя(46) 

Тема №4. Приближенное решение систем нелинейных уравнений ............ 52 

Метод Ньютона (52) Метод градиента (метод скорейшего спуска) (56) 

Тема №5. Методы наилучшего приближения ............................................... 60 

Задача наилучшего приближения функции (60) Определение параметров 

функциональной зависимости (61) Метод наименьших квадратов(62) 

Использование 
метода 
наименьших 
квадратов 
для 
решения 

переопределенных систем линейных уравнений (66) 

Тема №6. Интерполирование и приближение функций ............................... 70 

Задача интерполирования (70) Интерполирование алгебраическими 

многочленами (70) Интерполяционная формула Ньютона(71) Сходимость 

интерполяционного 
процесса 
(75) 
Задача 
обратного 

интерполирования(77) Многочлены Чебышева (77) 

Тема №7. Численное интегрирование ............................................................. 83

Постановка задачи. Метод неопределенных коэффициентов (83) Оценки  
погрешности квадратуры (85) Квадратурная формула Ньютона
Котеса (88) Формула прямоугольников (89) Формула трапеций (90) 

Формула Симпсона (91) Квадратурная формула Гаусса (94) Вычисление 
определенных интегралов методами Монте–Карло (97)

(103) 

Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования 

Обусловленность формул численного дифференцирования                (106) 

Тема №9. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

 . .......................................................................................................................... 109 

Постановка задачи (109) Метод Пикара (111) Метод Эйлера (113) Метод 

Рунге-Кутта (115) Оценки погрешности одношаговых методов (118) 

Многошаговые методы (121) Постановка краевой задачи для  

обыкновенных дифференциальных уравнений (126)

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ .......................................................................................... 152 

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ . ............................................. 159 

ГЛОССАРИЙ . .................................................................................................... 167 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. .............................................................................. 170 

Тема №8. Численное дифференцирование...................................................103

Постановка задачи численного дифференцирования 

Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона
(103)

(105) 

Тема №10. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в 

частных производных.........................................................................................134 

Определение дифференциального уравнения в частных производных (134)

Классификаци уравнений в частных производных (135) Постановка задачи 

(136) Метод сеток при решении задач с дифференциальными уравнениями в 

частных производных (137) Метод разделения переменных (метод Фурье) 

(145) 

ВВЕДЕНИЕ

Современное развитие науки
тесно связано с использованием 

электронных вычислительных машин. Вычислительная техника используется 
сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких 
традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, 
психология. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных 
конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному 
математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое 
существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде 
случаев может их заменить. В основе вычислительного эксперимента лежит 
решение уравнений математической модели численными методами.

Численные методы относятся к прикладной математике, которая 

изучает методы позволяющие описать задачу математическим языком так, 
чтобы ее можно было вложить в компьютер, что,
в свою очередь,

подразумевает решение следующих технических задач:

1. Описание - определенную задачу нужно описать математическим 

языком. 

2. Поиск математического решения (взять интеграл, вывести формулу, 

упростить и т.д.) 

3. Сосчитать на компьютере полученные преобразования - найти 

численные методы. Применить методы прикладной математике для поиска 
численного решения. 

4. Разработка 
алгоритма. 
Нужно 
детально 
расположить 

последовательность действий. 

5. Перевод 
алгоритма 
на 
язык. 
Написание 
непосредственно 

программы, кода программы. 

6. Тестирование программы. Пробные расчеты, выявление ошибок. 
7. Получение результатов и их интерпретация. 
Дисциплина «Численные методы», которая развивает идеи численного 

решения задач, возникающих в процессе компьютерного моделирования 
разнообразных объектов, представляет собой важную составную часть 
профессиональной подготовки будущих учителей математики. Ее значение в 
настоящее время определяется не только увеличивающимися возможностями 
применения методов вычислительной математики в различных прикладных 
научных направлениях и, как следствие, в вузовском учебном процессе, но и 
проникновением численных алгоритмов приближенного решения задач в 
среднее образование, т.е. в сферу профессиональной деятельности учителя.

Разработанное 
учебное 
пособие 
является 
дополнительным 

информационным средством при изучении курса «Численные методы» и 
нацелено на оптимизацию изучения этой дисциплины, создание условий для 
достижения 
необходимого 
уровня 
современного 
образования 
и 

разностороннего развития личности обучающихся. 

Тема №1. Теория погрешностей

План

1. Причины возникновения и классификация погрешностей
2. Прямая задача погрешностей
3. Обратная задача погрешностей

Причины возникновения и классификация погрешностей

Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется 

приближенно, с различной точностью. Применительно к персональному 
компьютеру численные методы позволяют решить 3 важные проблемы:

1. Все вычисления на компьютере, все предоставляемые числа и все 

числа, которые в нем хранятся, имеют погрешность. 

2. Все вводимые данные имеют собственную погрешность (измерений 

и ввода в компьютер).

3. Необходимо помнить о том, что компьютер имеет ограниченный 

ресурс - по памяти, по времени выполнения отдельных операций. 

Рассмотрим первую выделенную проблему. Одним из источников 

вычислительных погрешностей является приближенное представление 
вещественных чисел в ЭВМ, обусловленное конечностью разрядной сетки. 
ЭВМ работают, как правило, в двоичной системе счисления, которая, как и 
десятичная система, относится к позиционным системам счисления. В 
позиционной системе с основанием r запись:  

...
,
....
2
1
0
1





a
a
a
a
a
a
n
n
(*)

означает, что 
...)
...
(
2

2

1

1

0

0

1

1



















r
a
r
a
r
a
r
a
r
a
a
n

n

n

n
, где r – целое 

число, большее единицы, 
ia - разряды числа. 

Запись
вещественного числа в виде (*) называется также его 

представлением в форме числа с фиксированной запятой. В ЭВМ чаще всего 
используется представление чисел в форме с плавающей запятой, т.е. в виде

p
Mr
a 
, где М - мантисса числа, r - основание системы счисления, р –

порядок числа а. И в данном случае относительная точность ЭВМ с 
плавающей запятой определяется числом разрядов t, отводимых для записи 
мантиссы.  

округления
ь
погрешност
r
E

мантиссы
е
определени
M
r

t












1

0

1
1

Главная задача численных методов – фактическое нахождение

решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью. 

Отклонение истинного решения от приближенного называется 

погрешностью. 
Полная 
погрешность 
вычислений 
состоит 
из 
двух 

составляющих: 1) неустранимая погрешность; 2) устранимая погрешность.

Неустранимая погрешность
обусловлена неточностью исходных 

данных и никаким образом не может быть уменьшена в процессе 
вычислений. 

Устранимая погрешность
состоит из двух составляющих: а) 

погрешность аппроксимации (метода); б) погрешность вычислений. Эти 
составляющие могут быть уменьшены выбором более точных методов и 
увеличением разрядности вычислений. 

Ниже показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.

Как правило, в дальнейшем нас будут интересовать корректно 

поставленные задачи вычисления.

Задача вычисления y = A(x) называется корректно поставленной, если 

для любых входных данных из некоторого класса решение задачи 
существует, единственно и устойчиво по входным данным (т. е. непрерывно 
зависит от входных данных задачи). 

В сформулированном понятии корректности учтены достаточно 

естественные требования, т.к. чтобы численно решать задачу, нужно быть 
уверенным, что ее решение существует. Столь же естественны требования 
единственности и устойчивости решения.

Рассмотрим 
подробнее 
понятие 
устойчивости. 
Обычно 
нас 

интересует решение y, соответствующее входным данным x. Реально мы 
имеем возмущенные входные данные с погрешностью x + δx, и находим 
возмущенное решение y + δy = A(x+δx). Если решение непрерывно зависит 
от входных данных, т.е. всегда 
0

y

при 
0

x

, то задача называется 

устойчивой по входным данным; в противном случае задача неустойчива по 
входным данным. 

Эта 
погрешность 
входных 
данных 
порождает 
неустранимую

погрешность решения:

δy = A(x+δx) - A(x).

Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо 

контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.

Характеристиками точности результата решения задачи являются 

абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % хорошая точность.

Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х* 
приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х* назовем 
величину: 
*
*
x
x
x



, т.е. точное значение числа х заключено в границах 

x
x
x
x
x
*
*
*
*







Неустранимая погрешность

погрешности

исходных
данных

погрешности

математической

модели

Полная погрешность

Неустранимая 
погрешность

Устранимая 
погрешность

Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному 

значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. 

доля истинного значения): x
x
x

*

*

*
|
|

 

, при условии, что x*  0.

Пример. Найти абсолютную и относительную погрешности, если 

х=3.141592, а х*=3.14.

Решение:



x
x
x
*
*
*
.
.
.
;
.

.
.






3141592
314
0 001592
0 001592

314
0 000507


Известно, что  всякое положительное число а можно представить в 

виде конечной или бесконечной дроби:

....
10
...
10
10
1

1

1

1















n
m

n
m

m

m

m

m
a
a
a
a
,

где m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа a), аi –
цифры числа a, причем старшая цифра не равна нулю. На практике 
преимущественно приходится иметь дело с приближенными числами, 
представляющими собой конечные десятичные дроби: 

)
0
(
10
...
10
10
1

1

1

1














m

n
m

n
m

m

m

m

m
b
b
b
b
b

Все сохраняемые десятичные знаки 
)1
,...,
1
,
(




n
m
m
m
i
bi
называются  

значащими цифрами приближенного числа b, причем возможно, что 
некоторые из них равны нулю (за исключением
m
b ).

Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его 

записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример.
У 
чисел 
подчеркнуты 
значащие 
цифры: 
0.01003
и 

0.010030000. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором – 8.

Введем понятие о верных десятичных знаках приближенного числа. 
Определение. Значащую цифру аi числа
a называют верной, если 

абсолютная 
погрешность 
числа 
не 
превосходит 
единицы 
разряда, 

соответствующего этой цифре.

Таким образом, если для приближенного числа a, заменяющего точное 

число А, известно, что

1
10
2
1







n
m
a
A
а

то, по определению, первые n цифр  
1
1,...,
,



n
m
m
m
a
a
a
этого числа являются 

верными. 

Пример. Для точного числа А=35,97
число а=36,00
является 

приближением с тремя верными знаками, т.к. 
1,0
2
1
03
,0



 a
A
. 

Прямая задача погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: 

известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить 
погрешность функции от этих величин.

Пусть задана дифференцируемая функция 
)
,...,.
,
(
2
1
nx
x
x
f
u 
и пусть 

)
,...,
2,1
(
n
i
xi


- абсолютные погрешности аргументов функции. Тогда 

абсолютная погрешность функции:

)
,...,.
,
(
)
,...,
,
(
2
1
2
2
1
1
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
u









.

Обычно на практике 
ix

малые величины, произведениями, 

квадратами и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому 
можно положить:

i

n

i
i

n

i

i

i

n
x
x
f
x
x
f
x
x
x
df
u















1
1

2
1
)
,...,
,
(

Итак 

i

n

i
i

x
x
f
u







1

(1.1)

Отсюда, обозначая через 
)
,..,
2,1
(
n
i

ix


предельные абсолютные 

погрешности аргументов 
ix и через 
u
 - предельную погрешность функции u, 

для малых 
ix

получим:

ix

n

i
i

u
x
u 






1

Разделив обе части неравенства  (1.1) на u, будем иметь оценку для 

относительной погрешности функции u

















n

i

i
n

i

i

n

i

i
x
x
x
f
x
x
u
x
f

1

1

1

)
,....,
(
ln


Следовательно, за предельную относительную погрешность функции u

можно принять:

ix

n

i
i

u
u
x



 

1

ln

(1.2)

Рассмотрим правила вычисления погрешностей.

Погрешность суммы

Теорема 
1.
Абсолютная
погрешность 
алгебраической 
суммы

нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных 
погрешностей этих чисел.

Доказательство. Пусть 
nx
x
x
,...,
,
2
1
- данные приближенные числа. 

Рассмотрим их алгебраическую сумму

nx
x
x
u





...
2
1
.

Очевидно, что

nx
x
x
u









...
2
1
(1.3)

И, следовательно,

nx
x
x
u









...
2
1
. (1.4)

Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической 

суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей 
слагаемых. 

Теорема 2. Если слагаемые одного и того же знака – то предельная 

относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из 
предельных относительных погрешностей слагаемых. 

Докажите самостоятельно.

Погрешность разности

Рассмотрим разность двух приближенных чисел 
2
1
x
x
u


. 

Из следствия теоремы 1 

2
1
x
x
u





, т.е. предельная абсолютная 

погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей 
уменьшаемого 
и 
вычитаемого. 
Отсюда 
предельная 
относительная 

погрешность разности 
A

x
x

u

2
1





, где А - точное значение абсолютной 

величины разности чисел 
2
1, x
x
.

Погрешность произведения

Теорема 3. Относительная погрешность произведения нескольких 

приближенных 
чисел, 
отличных 
от 
нуля, 
не 
превышает 
суммы 

погрешностей этих чисел.

Доказательство. Пусть 
nx
x
x
u
...
2
1

. Предполагая для простоты, что 

приближенные числа 
nx
x
x
,...,
,
2
1
положительны, будем иметь:

nx
x
x
u
ln
...
ln
ln
ln
2
1




.

Отсюда, используя приближенную формулу
x
x
x
d
x




ln
ln
, находим:

n

n

x
x

x
x

x
x

u
u








...

2

2

1

1
.

Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим:

n

n

x
x

x
x

x
x

u
u








...

2

2

1

1
.

Если 
)
,...,
2,1
(
n
i
Ai

- точные значения сомножителей 
ix и 
ix

, как это 

бывает обычно, малы по сравнению с 
ix , то приближенно можно положить:

i

i

i

i

i

A
x

x
x





и 



u
u
, где  
i - относительные погрешности сомножителей 

ix ,  - относительная погрешность произведения. Следовательно

n








...
2
1
(1.5)