Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения

В.В. Дубровский
С.И. Кадченко
В.В. Дубровский


        ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Теория и приложения


Учебное пособие

2-е издание, стереотипное







Москва Издательство «ФЛИНТА» 2020

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73

    Д79


Р е ц е н з е н т ы :
д-р физ.-мат. наук, проф. Челябинского государственного университета В.Е. Федоров;
канд. физ.-мат. наук, проф. Магнитогорского государственного университета Т.К. Плышевская;
доцент Магнитогорского государственного университета Л.Н. Малышева





     Дубровский В.В.
Д79     Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложе     ния [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.В. Дубровский, С.И. Кад-ченко, В.В. Дубровский. - 2-е изд. стер. — М. : ФЛИНТА, 2020. — 180 с.

     ISBN 978-5-9765-2197-1

           Курс обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из важных разделов современной математики и имеет большое значение в современном математическом образовании. Данное учебное пособие посвящено вопросам существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения вида y‘ = f (x, y), зависимости решения от параметров, интегрированию некоторых уравнений первого и n-го порядка в квадратурах. Рассматриваются методы нахождения аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Пособие содержит большое число подробно решенных примеров различного уровня сложности, что способствует глубокому усвоению теории.
           Для студентов университетов математических и физических факультетов.

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73



ISBN 978-5-9765-2197-1

            © Издательство «ФЛИНТА», 2015 © Дубровский В.В., Кадченко С.И., Дубровский В.В., 2015, 2015

      Глава 1. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

      §1.1. Основные понятия: общее решение, частное решение, общий интеграл, особое решение, задача Коши

      Математическая формулировка многих прикладных задач естествознания приводит к уравнениям, где в качестве неизвестных величин выступают функции двух или нескольких переменных. Их называют функциональными уравнениями. К их числу относятся дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные,функционально-дифференциальные урав
       нения.

         В случае, когда неизвестная функция у является функцией одного переменного х, функционально-операторное уравнение можно записать в виде

F(.r,            .,,Т„(Щ))) = О,

(1.1)

где F — известная функция п + 2 аргументов, 7/, - операторы, преобразующие функции у(х) в новые функции Т^(у(х)} (к = 1,п).
   Определение 1. Под решением уравнения (1.1) понимается функция у = у(х), определенная на некотором промежутке I числовой оси, подстановка которой вместо у обращает (1.1) в тождество:


F(x,y(x),Ti(y(x}),.. ,,Тп(у(х))) = 0, Vir G I.


   Вообще говоря, нас не будет интересовать, в какой форме, - в явной, или в неявной, в параметрической и т.п., - записывается решение уравнения (1.1). Однако в некоторых случаях, мы специально будем акцентировать внимание на этом.
   Пример 1. Пусть в (1.1) оператор Д - это оператор D - дифференцирования, 7/,. - k-я степень D. Тогда (1.1) принимает вид:


         F(rr,y,Dy,...,D⁽ⁿ⁾y) =0 или F(x, у, у,..., у⁽п⁾) = 0.      (1.2)


Уравнение (1.2) называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. Порядок уравнения - наивысшая степень оператора D. Операцию отыскания решений дифференциального уравнения в ряде случаев сводят к интегрированию функций, поэтому ее часто называют интегрированием уравнения, а решение дифференциального уравнения - интегральной кривой.
   Пример 2. F(x, у, у¹) = 0 - уравнение первого порядка.
   Пример 3. Дифференциальное уравнение вида

1/ =            У~) ИЛИ + =                      у),

(1-3)

является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
   Пример 4. у^ = f(x, у, у^\ у^²\ • • •, у(п⁻¹)) - обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

3

   Пример 5. М(х, y)dx + N(х, y)dy = 0 - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме. В такой записи переменные х и у мы считаем равноправными.
   Это уравнение можно написать как разрешенное относительно производной.
dy    М(х,у)        dx    N(x,y)
— ⁼----------или — ⁼-------------.
dx    N(x,y)        dy    М(х,у)

   Рассмотрим геометрическую интерпретацию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, записанного в дифференциальной форме:
М(ж, y)dx + N(x, y)dy = 0                (1.4)

Приведем сначала определение области в Rⁿ (п > 1).
   Определение 2. Областью G называется непустое множество точек (xi,x₂,.. ■, хп) с двумя свойствами:
   1)    каждая точка (яд,..., хп) входит в G вместе со своей окрестностью, т.е. существует шар Og((xi,..., жп))                         =
= {(У₁,...,уп) | ^Д₁-у₁)² + . + Дп-уп)² < 6, 6 > 0}, целиком содержащийся в G. Множество G в этом случае называется открытым

множеством.
   2)   G - линейно связное множество, т.е. любые две его различные точки можно соединить конечной ломаной, целиком лежащей в G.
   Пусть дано уравнение (1.4), где М(х,у) и N(x,y) определены в любой точке (ж, у) области G Е R². Если |Л1(ж, у)| + |JV(rr, у)| прямую, проходящую через точку (ж, у) Е G с угловым


7= 0, рассмотрим

М(х,у)                    N(x,y)
к⁽х-у} = ~мЕМ ™ kl{x'v⁾ = ~мМбу

В случае, если для некоторой точки (ж₀, Уо) € G lim к(х,у) = сю или
                                                  X XQ
                                                  У УО
lim ki(x,y) = сю, прямая будет параллельна оси OY или ОХ соответ
У УО
ственно. Понятно, что она являюется касательной к интегральной кривой дифференциального уравнения (1.4) в точке (ж, у) G G. Значит, в каждой точке (ж,у), где | Mix. у) | + |JV(rr,y)| 0 уравнение (1.4) задает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через рассматриваемую точку (ж, у) G G. Поэтому, заданием уравнения (1.4) в любой точке (ж, у) множества G вводится направление касательной к некоторой, проходящей через эту точку, интегральной кривой. В этом смысле, часто говорят, что задание уравнения (1.4) определяет некоторое поле направлений. Задача нахождения всех решений дифференциального уравнения (1.4) сводится к задаче нахождения всех интегральных кривых поля направлений, заданного уравнением (1.4).
   Определение 3. Функция у = <р(х, С±,..., Сп) называется общим решением уравнения (1.2), где п раз непрерывно дифференцируема по х, если при фиксированных произвольных С±, ..., Сп получаем любые частные решения уравнения (1.2).
   Для нахождения частного решения из общего требуются дополнительные условия. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или

4

в нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи подразделяют на одноточечные (задачи с начальными условиями или задачи Коши) и многоточечные. Среди многоточечных задач наиболее распространенными являются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия задаются на концах рассматриваемого отрезка.
   Для уравнения (1.2) задача Коши состоит в следующем. Необходимо найти решение уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям


у(хо)=Уо, у'(х₀)=у₁, ..., у⁽п ¹}(ж₀) = y„-i.


   Пример 6. Задача нахождения решения дифференциального уравнения у” — Ъу' + бу = 0, удовлетворяющего условиям у(0) = 1, у(1) = О,является граничной задачей. Общее решение этого уравнения записывается в виде
у = С₁е²х + С₂е³х,


а частное

„2х+3  „Зх+2
е — е
У ⁼ ---3---2---■
еа — е

   Определение 4. Если можно указать такую окрестность OS(P) точки Р, что через каждую точку этой окрестности проходит одна, и только одна интегральная линия дифференциального уравнения (1.2),то точка, Р называется обыкновенной точкой этого уравнения.
   Определение 5. Если точка, Р не является обыкновенной, то она, называется особой точкой дифференциального уравнения.
   Определение 6. Кривой называется множество точек {(ж, у)\ х = x(t), у = y(t), а < t < Ь}, где x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы и |жЛ(£)| + |y'(t) | ф 0 для любого t Е [а, Ь].
   Определение 7. Множество особых точек уравнения (1.2) задает кривую на плоскости, которую называют особой кривой. Если особая кривая является в то же время решением уравнения (1.2), то ее называют особым решением этого уравнения.
   Все эти определения будут рассматриваться применительно к конкретным примерам в последующих параграфах.


§1.2 . Распространение теплоты в стержне


Рассмотрим круглый стержень полубесконечной длины, на левом конце которого поддерживается постоянная температура Oq > 0. Пусть стержень



окружает воздух с нулевой температурой.



¹----1     ~~1-г
О х          х+ах



   Обозначим через х координату произвольной точки стержня.Через 0(х) будем обозначать температуру тела в точке с координатой х. Если Дж считать малым расстоянием, то во всем элементе [х,х + Дж] будет почти одна и та же температура в(х).


5

   Известно, что количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за время At (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры и промежутку времени


, ᵣ,dt) .
-kS—At, dx


где к- коэффициент теплопроводности, S - площадь поперечного сечения.

Тпгпя ХТРПАЧ кч-.Kiii КПТТОТТ ЦПРМРИта ЧЯ ВПРМЯ Л/ ПППТРКЯРТ О -   М
Югда через левый конец элемента за время At протекает = —ко —-—At, dx
                      , ,.,d()(.r + Аж)                „         .
а через правый сд = — кЬ----------At количества тепла. За время At че                            dx
рез боковую поверхность этот элемент потеряет количество тепла, равное Q = cAA0(x)At, где с - коэффициент пропорциональности, зависящий от процесса теплообмена между стержнем и окружающим его воздухом, АЛ - площадь боковой поверхности элемента. Допустим, что температура стержня не изменяется со временем, тогда полученное элементом [ж, ж+Дж] количество теплоты Qi должно равняться количеству потерянной Q + Q₂. Отсюда

          .      .d0(x + Дж) 00(ж).    
   сАА0(х dx         dx ’              
но                                     
       00 00      020                  
          ; + Дж) ------ (ж) ~ ----гДж.
   dx     0Ж      0Ж2                  

Тогда

                                       л2д
<ало = к.ч—Ах.
dx²
Так как
ДЛ = 2пгоАх и S = тг/'о'².

где Го ~ радиус стержня, то окончательно получим


            0²0  2/1  2 ²с Л /        / 2с
            —         р² = — > 0 (р=Д—>0).            (1.4)
            dx²           KTq         у KTq

  Для того, чтобы найти распределение температуры в стержне, нам необходимо решить следующую двухточечную граничную задачу

lim
х—>+оо

d²0

dx²

р²0(х), х Е [0, +сю],

@0,
0.

(1-5)

(1-6)

(1-7)


   Общее решение дифференциального уравнения (1.5) можно записать в виде
0(х) = С₁ерх + С₂е~рх.                    (1.8)
   Найдем постоянные С± и С₂ из условий (1.6), (1.7). Так как lim ерх =
                                                            х—>+оо
+сю, следовательно, чтобы выполнялось условие (1.7), необходимо принять Ci = 0. Значит, 0(х) = С₂е~рх. Используя условие (1.6), найдем 0(0) = С₂ =
0О. Отсюда 0(ж) = 9ое~рх.

6

§1.3 . Кривая постоянной кривизны
Рассмотрим геометрическую задачу нахождения уравнения кривой, кривизна которой

к ⁼ (1 + (у')* ²)³/²
постоянна. Уравнение (1.9) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Его можно разрешить относительно старшей производной

Это уравнение не зависит от у. Понизим порядок уравнения, вводя новую функцию z = у', z' = у".Тогда


С = к(1 + г²)³/²                     (1.10)

   Представляя z¹ как частное от деления двух дифференциалов dz и dx
dx, умножая затем обе части уравнения (1.10) на dx, запишем его в виде:

⁼ kdx- ⁽L¹¹⁾

   В уравнении (1.11) правая его часть зависит от dx, а левая - от z и dz, то есть, как говорят, переменные разделены. Найдя первообразные функций , ¹
к И (1 ₊ г²)³/²’ получим

/   . Z- _ г _ у'
кх + Си — —,    = — —.        .
                              д/1 + ^²  у/1 + (у')²


   Возводя в квадрат левую и правую части полученного уравнения и выражая у¹, найдем
,   . Ci + кх
У = ±        _      . ■
у/1 - (Ci + М²

   Рассмотрим два случая.
   1) к = 0. Тогда уравнение (1.12) примет вид у'




        =dx. Интегрируя, находим у =        -.х + С^.
\/1 _ Cl                              1 — cl
                                                       С | кх

   2) к ф 0. Запишем уравнение (1.12) в форме dy = ±—              dx.
                                                   у 1 — (Ci + кх)²
                                । ______________
Интегрируя, получим у + с₂ = ±-У1ЧсГ+ кх)².
                                к
   Возводя в квадрат левую и правую часть полученного уравнения, после

элементарных преобразований, находим (у + С2)²

₂ ₌ 1 к²'

   Итак, кривая, кривизна которой постоянная, есть прямая линия или окружность.

7

§1.4 . Движение свободно падающего тела в пустоте

Изучим закон движения метеорита, двигающегося по прямой к центру Земли. Обозначим через х координату метеора в момент времени t.
                 Принимая метеорит за материалвную точку, на основании второго закона Нвютона, запишем дифферен
циалвное уравнение его движения

                  (Рх     т₁т2
⁼ dt² х²

или
                  (Рх к
                  dP ⁼

Здесв к = ут₂,

- масса метеорита, т₂ 
масса Земли, у - гравита
ционная постоянная.
   Пуств в началвный момент времени t = 0 известны расстояние метеора до Земли т(0) = т₀ и его скорости = 0 (метеорит находится в покое). Тогда для нахождения закона движения метеора нам необходимо решить следующую задачу Коши

d²x dt²

т(0) = т₀,

(1.13)

   Заметим, что уравнение (1.13) явно не зависит от t. В этом случае порядок его можно понизить, используя следующий прием. Умножим обе

части уравнения (1.13) на —, получим

или

2к dx х² dt

отсюда

dx\² dt /

1
Так как

— + с

X

т(0) = т₀,

G =    .
То

Итак,

   Так как направление движения метеора противоположное направлению оси ОХ, следовательно,

(1-14)

8

   Дифференциальное уравнение (1.14) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя их, найдем

dt.

   Интегрируя, получим

— ж) + х₀ arccos

Постоянную интегрирования определим из условия ж(0) гда

2 = 0. То
t = Xq

+ arccos

   Мы получили решение задачи Коши (1.13) в виде неявно заданной функции.


§1.5 . Изгиб строительных колонн

                                Всякое твердое тело, подверженное силам, действующим параллельно его длине, называется колонной. Если груз, действующий на колонну, находится симметрично относительно оси ее симметрии, то нет никаких причин для изгиба колонны. При таких условиях она остается абсолютно прямой. На практике идеальной симметрии груза относительно оси симметрии колонны нет, поэтому практически нагрузка с одной стороны тяжелее, чем с другой. С точки зрения механики это эквивалентно одной силе, приложенной на некотором расстоянии от оси колонны. Обозначим это расстояние через е. Если мы мысленно разрежем колонну, то на ее верхнее сечение действуют следующие силы: 1) тяжести груза 2) растяжение внешних волокон, 3) сжатие м внутренних волокон, 4) реакции опоры ll/Z. Силы 1) и 4) образуют пару "приложенных сил", а силы 2) и 3) являются силами упругости. Так как колонна находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов этих пар сил равна нулю. Момент приложенной пары сил равен (у + На основании теории изгиба колонн момент пары сил упругости Pi и Р₂ пропорционален кривизне балки в точке Р



(1₊у/2)3/2 (V + £)WS


9

где q - коэффициент пропорциональности. Обычно изгибы малы так, что величиной у' можно пренебречь. Тогда вышезаписанное уравнение примет вид

хх = “(У + ОН'.

(1.15)

Уравнение (1.15) явно не зависит от х. Перейдем к новому аргументу у вместо х

'хх dx^

dx

Тогда


                                                                                     'y-j-— -(у + г)^. у dx

   Интегрируя, найдем


W , о .    „
---(у +2еу) +С. q


   Пусть Ci = -j-pС, из физических соображений перед корнем оставляем знак +.


² — 2еу + С\

   Отсюда общий интеграл уравнения (1.15)


dx.

запишется в виде

q . У + £
                             — arcsin .           „
                             W \/('i + е²


или







х

О

А



                                  евые задачи

                                  Рассмотрим натянутую однородную струну, закрепленную в двух точках О и А с абсциссами 0 и л. Без действия внешних сил струна принимает форму отрезка прямой линии с концами в точках О и А. Если она деформирована, то натяжение действует так, что струна стремится занять первоначальное положение. Пусть в момент времени t ее форма изображается кривой у = f(x,t)- Обозначим натяжение струны через Т. Тогда на элемент ds действуют


10