Теоретическая механика

Н. А. Березина

Теоретическая 

механика

Учебное пособие

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2020

2-е издание, стереотипное

УДК 531 (075.8)
ББК  22.3я723

Б48

Б48
        Березина Н.А.
    Теоретическая  механика  [Электронный  ресурс]  :  учеб.         
пособие / Н.А. Березина. – 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2020. 
– 256 с.

ISBN 978-5-9765-1704-2

В пособии изложены основы теоретической механики, 
состоящей из трех разделов: статики, кинематики и динамики, 
и приводятся начальные сведения из теории механизмов и 
машин, которые в ясной и доступной форме ознакомляют 
учащихся с данными дисциплинами и позволяют в дальнейшем 
перейти к более детальному их изучению.

Для студентов технических вузов.

УДК 531 (075.8)
ББК  22.3я723

ISBN 978-5-9765-1704-2           © Березина Н.А., 2015

© Издательство «ФЛИНТА», 2015

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Глава 2. Плоская система сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 3. Трение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Глава 4. Пространственная система сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Глава 5. Центр тяжести. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Часть 2. Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Глава 6. Кинематика точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Глава 7. Простейшие движения твердого тела. Плоскопараллельное движение 
твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Глава 8. Составное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Часть 3. Динамика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Глава 9. Основные понятия динамики и кинетостатики. . . . . . . . . . . . . . . 125
Глава 10. Работа и мощность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Глава 11. Механическая система. Центр масс и моменты инерции. . . . . . 151
Глава 12. Теоремы динамики материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Глава 13. Колебания материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Глава 14. Динамика поступательного и вращательного движений твердого 
тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Глава 15. Удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Часть 5. Детали и механизмы машин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Глава 16. Основы теории механизмом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Глава 17. Детали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Глава 18. Соединения, триботехника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Литература:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Введение

Механика – это наука, изучающая законы простейших форм движения 

– механического движения (изменение положения материального тела во 
времени в пространстве) и взаимодействия (изменения характера движения) материальных тел. Теоретическая механика является разделом механики, который изучает законы и свойства движения материальных тел.

В древности механика являлась не самостоятельной наукой, а одной из 

частей общего естествознания. Выделение механики как отдельной дисциплины началось во времена Аристотеля (384–322 гг. до н.э.), а в работах 
Архимеда (287–212 гг. до н.э.) механика уже выступала самостоятельной 
наукой. В своих работах Архимед рассматривал такие значимые вопросы, 
как задачи о равновесии приложенных к рычагу сил, об определении центра тяжести и др.

Огромный вклад в развитие мtеханики внесли такие ученые, как 

Леонардо да Винчи (1452–1519 гг.), Николай Коперник (1473–1543 гг.), 
Иоганн Кеплер (1571–1630), Галилео Галилей (1564–1642 гг.), Исаак 
Ньютон (1643–1727). Эти всесторонне развитые и талантливые ученые 
оставили после себя огромное научное наследство. Среди их работ наиболее известные следующее: Леонардо да Винчи изучал движение падающих тел, трение скольжения, ввел понятие момента силы; Николай 
Коперник пришел к выводу, что наш мир является гелиоцентрической системой, Иоганн Кеплер сформулировал законы движения планет, а Исаак 
Ньютон – закон всемирного тяготения. Благодаря этим ученым к XVIII
в. была построена общая теоретическая механика. Дальнейшему развитию механики способствовали работы М.В. Ломоносова (1711–1765 гг.), 
Леонардо Эйлера (1707–1783 гг.), Ивана и Даниила Бернулли, Д’Аламбера, 
Ж. Лагранжа, Вариньона, Пуансо, М.В. Остроградского, П.Л. Чебышева, 
Софьи Ковалевской, А.М. Ляпунова, Н.Е. Жуковского (1847–1921 гг.), 
И.В. Мещерского (1859–935 гг.), К.Э. Циолковского (1857–1935 гг.) и др. 
Механика имеет отношение ко всем естественным наукам, ко всем явлениям природы и техническим «созданиям», поскольку все в окружающем 
нас мире связано с движением. Именно благодаря механике запуски искусственных спутников и космические полеты стали реальностью.

В настоящее время теоретическая механика и сопротивление материа
лов позволяют решить многие технические задачи в области машиностроения, строительства и др. Эти дисциплины позволяют конструировать и 
рассчитывать различные детали и соединения машин и механизмов.

В данном пособии изложены основы теоретической механики, состо
ящей из трех разделов: статики, кинематики и динамики, и приводятся 
начальные сведения из теории механизмов и машин, которые в ясной и 
доступной форме ознакомляют учащихся с данными дисциплинами и позволяют в дальнейшем перейти к более детальному их изучению.

Глава 1. Статика

§ 1.1. Основные понятия статики

Любая наука начинается с определения основных понятий, с которыми 

впоследствии приходится постоянно сталкиваться при ее изучении и решении задач.

Статика – раздел механики, который изучает условия нахождения тела 

в равновесном состоянии (в равновесии). Статика изучает методы преобразования систем сил в эквивалентные системы, устанавливает условия 
равновесия внешних сил, приложенных к твердому телу.

Равновесие – такое состояние тела, при котором оно находится в поло
жении покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Механическое движение – изменение в пространстве с течением вре
мени взаимного положения материальных тел или частей данного тела. 
Состояние покоя можно рассматривать как частный случай механического движения. В общем случае движение и покой – понятия относительные, поскольку одно и то же тело одновременно может находиться в состоянии покоя и при этом двигаться. Все зависит от того, относительно 
какой точки рассматривается данное тело. Например, пассажир движущегося автомобиля находится в состоянии покоя относительно автомобиля, 
но относительно дороги он движется.

Абсолютно твердое тело (абсолютно жесткое тело) – тело, у которо
го расстояние между двумя его любыми точками не изменяется при действии на него других тел. На самом деле абсолютно твердых тел нет, т. к. 
при взаимодействии тел обязательно возникают какие-либо деформации 
(изменения формы или размеров). Но зачастую эти деформации так малы, 
что они ни на что не влияют и ими можно пренебречь. Т. е., деформации 
абсолютно твердого тела не учитываются.

Материальная точка – простейшая модель материального тела, раз
мерами которого в рассматриваемых условиях можно пренебречь; она 
обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. 
Абсолютно твердое тело является неизменяемой системой материальных 
точек.

В зависимости от условий задачи одно и то же тело можно рассматри
вать либо как точку (не имеющую размеров), либо как тело (имеющее и 
массу и размеры). Например, Солнце, как и любая другая звезда, хоть и 
обладает большими размерами, но в задачах астрономии рассматривается 

как точка, т. к. его размеры значительно меньше расстояний до других 
звезд.

Механическая система – совокупность материальных точек, в которой 

положение и движение каждой точки зависят от положения и движения 
остальных точек системы.

Свободное твердое тело – тело, на перемещение которого не наложено 

никаких ограничений, т. е. никакие другие тела не препятствуют его перемещению. Свободным телом, например, является летящий воздушный 
шар. Если же перемещению тела что-либо мешает, то такое тело называется несвободным (связанным). В природе большинство тел являются 
несвободными.

Связь – это ограничение, налагаемое на движение твердого тела (точ
ки) в результате действия на него со стороны других тел. Тело, ограниченное связями, является несвободным.

Сила – мера механического взаимодействия тел, определяющая интен
сивность и направление этого взаимодействия. Сила является векторной 
величиной, т. е. характеризуется не только величиной, но и направлением 
и точкой приложения. Единица измерения силы в системе СИ – ньютон 
(Н).

Ньютон – сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 в на
правлении действия этой силы.

Числовое значение силы называется ее модулем, а направление, которое 

получила бы покоящаяся свободная материальная точка под действием 
этой силы, называется ее направлением. Линия действия силы – это прямая, по которой направлен вектор силы. На графиках сила изображается 
отрезком прямой со стрелкой, длина которого в установленном масштабе 
равна модулю силы. Носик стрелки обычно направлен в точку приложения силы. Сила, как величина векторная, обычно обозначается либо жирной прописной латинской буквой F, либо буквой со стрелкой или чертой 
сверху 
F
F,

, а модуль силы – той же буквой, но светлой и без стрелки или 

черты сверху F (применяется так же обозначение силы строчными латинскими буквами).

Система сил – совокупность нескольких сил.
Система тел – совокупность тел или материальных точек, каким-либо 

образом связанных между собой.

Силы разделяются на внешние и внутренние.
Внешняя сила – сила, действующая на материальную точку (тело) си
стемы тел со стороны точек, не принадлежащих данной системе.

Внутренняя сила – сила, действующая на материальную точку (тело) 

системы тел со стороны точек, принадлежащих данной системе.

Силы, действующие на несвободное тело, разделяются на активные 

силы и реакции связей.

Активные силы (задаваемые) – силы, действие которых на несвобод
ное твердое тело со стороны других тел способно вызвать изменение кинематического состояния данного тела.

Реакция связи – сила (система сил), выражающая действие связи на 

тело.

Кинематическое состояние тела – это состояние покоя или какого-ли
бо движения этого тела.

Эквивалентные системы – системы сил, под действием каждой из ко
торых в отдельности при равных условиях твердое тело находится в одинаковом состоянии (получает одинаковое движение).

Равнодействующая сила – сила, эквивалентная некоторой системе 

сил.

Уравновешивающая сила – сила, равная по модулю равнодействую
щей, но имеющая противоположное направление. Иначе говоря, это сила, 
уравновешивающая данную систему сил.

Система взаимно уравновешивающихся сил (эквивалентная нулю) 

– система, действие которой не приводит к изменению состояния тела.

Инерция (инертность) – способность материального тела сохранять 

движение при отсутствии действия на него других сил или постепенное изменение движения, когда на тело начинают действовать силы. Инертность 
является важнейшим свойством материи.

Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
Распределенная сила – сила, действующая на определенную часть по
верхности тела.

Часто в механике используются единицы измерения, полученные при 

умножении или делении основной единицы на степень числа 10 (кратные 
или дольные), например: 

мега (М) – 106,
кило (к) – 103,
гекто (г) – 102,
дека (да) – 10,
деци (д) – 10–1, 
санти (с) – 10–2,
милли (м) – 10–3,

микро (мк) – 10–6.

§ 1.2. Аксиомы и простейшие теоремы статики

Аксиомы статики получены опытным путем (без доказательств) на ос
нове наблюдений окружающего реального мира. В данных аксиомах твердое тело (точка) считается свободным (кроме аксиомы связей). Опираясь 
на данные аксиомы можно вывести условия нахождения тела в равновесии. Основные аксиомы были сформулированы И. Ньютоном.

1. Аксиома инерции (закон инерции Галилея): под действием взаимно 

уравновешивающихся сил материальная точка находится в состоянии 
покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Данная аксиома носит название первого закона Ньютона и может быть 

сформулирована следующим образом: всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока какие-нибудь силы не выведут тело из этого состояния.

2. Аксиомой взаимодействия (третий закон Ньютона или аксиома ра
венства действия и противодействия): силы взаимодействия между собой 
двух тел всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Т. е. всякому действию соответствует равное 
по модулю и противоположно направленное противодействие (действие 
и противодействие приложено к разным телам). Сила действия тела на 
какое-либо другое тело и сила противодействия со стороны этого другого тела не являются системой сил, поскольку прикладываются к разным 
телам.

3. Аксиома равновесия двух сил: для равновесия двух сил, приложен
ных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были 
равны по модулю и действовали вдоль одной прямой, но в противоположных направлениях.

Эта аксиома является необходимым и достаточным условием равно
весия двух тел.

4. Аксиома о добавлении или отбрасывании уравновешивающихся 

сил: действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней добавить или из нее отбросить систему взаимно уравновешивающихся сил.

Следствием из 3-ей и 4-ой аксиом является следующее утверждение: 

механическое состояние твердого тела не изменится при переносе силы 

вдоль линии ее действия. Следует помнить, что данное следствие справедливо лишь для абсолютно твердого тела.

Две силы эквивалентны, если они равны по модулю и действуют по од
ной прямой в одном направлении.

5. Аксиома параллелограмма сил: равнодействующая двух сил, 

действующих на материальное тело, равна по модулю и совпадает 
по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на заданных силах (сложение двух векторов по правилу параллелограмма).
Равнодействующую можно разложить по правилу параллелограмма на 
составляющие.

Равнодействующая двух приложенных в одной точке сил равна их век
торной сумме и приложена в той же точке.

Пусть имеется две силы P и Q, тогда F – их равнодействующая, равная 

F = P+ Q. На рис. 1.1 изображено определение равнодействующей по правилу параллелограмма (рис. 1.1 а) и по правилу треугольника (рис. 1.1 б).

Рис.1.1. Определение равнодействующей по правилу параллелограмма

Направление действия равнодействующей указано на рисунке. Синус 

угла между линиями действия равнодействующей F и одной из заданных 
сил Q определяется по записанной для данного случая теореме синусов

 ,

откуда имеем:

А 

F
P
ϕ
α
sin
sin
=

модуль равнодействующей определяется по записанной для данного 

случая теореме косинусов:

ϕ
ϕ
π
α
sin
)
sin(
sin
F
F
P
=
−
=