Математика для психологов

А.Н. Кричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков



МАтЕМАтиКА
Для психолоГоВ

Учебник

7-е издание, стереотипоное


Рекомендовано Редакционно-издательским Советом Российской академии образования к использованию в качестве учебного пособия

москва издательство «ФлиНТА» 2020

    Удк 22.1(075.8)
    ббк 51-7я73
       к82

        Библиотека студента

г л а в н ы й р е д а к т о р:
д-р психол. наук, проф., акад. Рао Д.И. Фельдштейн
з а м. г л а в н о г о р е д а к т о р а: д-р психол. наук, проф., акад. Рао С.К. Бондырева
Ч л е н ы р е д а к ц и о н н о й к о л л е г и и:
       Ш.А. Амонашвили, В.А. Болотов, А.А. Деркач, А.И. Донцов, И.В. Дубровина,
В.П. Зинченко, В.Г. Костомаров, Н.Н. Малофеев, В.Л. Матросов, Н.Д. Никандров, В.В. Рубцов, М.В. Рыжаков, Э.В. Сайко







          Кричевец А.Н.
к82 математика для психологов [Электронный ресурс] : учебник / а.н. кричевец, е.в. Шикин, а.Г. Дьячков; под ред. а.Н. Кричевца. - 7-е изд., стер. - М. : ФЛИНТа, 2020. - 372 с.

              ISBN 978-5-9765-2066-0

               цель учебника - разъяснение основных математических понятий, необходимых в работе психолога. книга состоит их четырех разделов: линейная алгебра и аналитическая геометрия; математический анализ; теория вероятностей; основы математической статистики. изложение материала ориентировано на последующие приложения в психологии и сопровождается примерами из современной психологической литературы.
              Для студентов психологических факультетов вузов.
УДк 22.1(075.8)
ббк 51-7я73







ISBN 978-5-9765-2066-0

                        © Издатеёьство «ФёИНТА», 2015

Оглавление

            Предисловие ................................................ 9

          Часть I. Линейная алгебра                                     11
          Глава 1. Линейные уравнения (идеи и примеры)................. 12
            1.1. Метод Гаусса.......................................... 13
            1.2. Однородные системы линейных уравнений................. 17
            1.3. Определители ..........................................19
             1.4. Определитель системы линейных уравнений ступенчатого вида ................................................24
            1.5. Матрицы и векторы..................................... 25
            1.6. Собственные векторы................................... 27
          Глава 2. Линейные уравнения (общий случай)....................30
            2.1. Метод Гаусса...........................................31
            2.2. Однородные системы линейных уравнений..................35
            2.3. Определители ..........................................36
             2.4. Определитель системы линейных уравнений ступенчатого вида ................................................44
            2.5. Матрицы и векторы......................................45
            2.6. Собственные векторы....................................46
          Глава 3. Векторы и матрицы (аналитическая геометрия) ... 51
            3.1. Векторы в двумерном пространстве.......................52
            3.2. Линейные преобразования ...............................53
            3.3. Связь преобразования, базиса и матрицы.................54
            3.4. Замена базиса..........................................57
            3.5. Произведение матриц. Единичная матрица.................59
            3.6. Обратная матрица.................................•  . 60
            3.7. Матрица линейного преобразования в новом базисе ....   61
            3.8. Матрица преобразования в базисе из собственных веторов 64
          Глава 4. Линейные пространства, базисы, линейные преобразования ...................................................68
            4.1. Линейные пространства..................................68
             4.2. Линейные преобразования. Связь преобразования, базиса и матрицы                                       72
            4.3. Замена базиса. Матрица перехода........................74
            4.4. Произведение матриц. Единичная матрица.................75

Оглавление

      4.5. Обратная матрица....................................77
      4.6. Матрицы линейного преобразования в новом базисе ... 80
      4.7. Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов..........................................80
   Глава 5. Линейные преобразования в евклидовых пространствах. Идеи и примеры.....................................82
      5.1. Евклидовы пространства .............................82
      5.2. Замена ортонормированного базиса. Ортогональные матрицы .................................................84
      5.3. Самосопряженные линейные преобразования.............86
      5.4. Собственные векторы самосопряженного линейного преобразования ..........................................88
   Глава 6. Линейные преобразования в евклидовых пространствах. Общий случай ......................................92
      6.1. Евклидовы пространства .............................92
      6.2. Замена ортонормированного      базиса. Ортогональные матрицы                                                94
      6.3. Самосопряженные линейные   преобразования...........95
      6.4. Собственные векторы самосопряженного линейного преобразования ..........................................98
   Глава 7. Линейная алгебра в факторном анализе ............101
      7.1. Метод главных компонент ..........................101
      7.2. Суммарная дисперсия. Доля        фактора в суммарной   дисперсии                                              109
   Глава 8. Метод главных компонент в общем случае............112
      8.1. Элементы алгебры матриц                            112
      8.2. Билинейные формы ..................................116
      8.3. Матрица билинейной формы...........................116
      8.4. Главные оси билинейной формы.......................118
      8.5. Матрица выборочной ковариации......................118
      8.6. Матрица корреляции ................................124
      8.7. Углы между исходными переменными и факторами. Факторные нагрузки......................................127

   Часть    II. Математический анализ                         129

   Глава 1. Исходные идеи дифференциального исчисления . . . 130

Оглавление

5

            1.1. Историко-философский экскурс.....................130
            1.2. Производная .....................................136
            1.3. Производные от степенных функций ................140
            1.4. Производная функции у = sinх, первый замечательный
предел...........................................141
            1.5. Некоторые утверждения о производных..............144
            1.6. Производная и экстремум функции..................146
         Глава 2. Предел и производная............................148
            2.1. Техника е и <5...................................148
            2.2. Производная......................................155
            2.3. Некоторые теоремы о производной..................156
            2.4. Производная и экстремум функции..................159
         Глава 3. Определенный интеграл (идеи и примеры)..........164
         Глава 4. Определенный интеграл (доказательства)..........171
         Глава 5. Производные и неопределенные интегралы..........174
            5.1. Производные и неопределенные интегралы от элементарных функций.......................................174
            5.2. Дифференцирование сложной функции и замена переменной в неопределенном интеграле....................176
         Глава 6. Производные от некоторых функций................180
            6.1. Производная от сложной функции...................180
            6.2. Использование формулы производной сложной функции в неопределенном интеграле ........................... 184
            6.3. Замена переменной в неопределенном интеграле с использованием знака дифференциала.....................186
            6.4. Интегрирование по частям.........................189
         Глава 7. Функции и интегралы в бесконечных пределах . . . 192
            7.1. Поведение функций на бесконечности...............192
            7.2. Правило Лопиталя.................................195
            7.3. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования . . 196
         Глава 8. Одно приложение идеи дифференциала: закон Вебера—Фехнера...........................................199
            8.1. Дифференциал как приращение......................199
            8.2. Закон Вебера—Фехнера.............................201

Оглавление

   Часть III. Теория вероятностей                          203
   Глава 1. Случайные события и вероятности................ 204
      1.1. Различные подходы к понятию вероятности ........ 204
      1.2. Формулы алгебры событий. Несовместимые и независимые события......................................... 207
      1.3. Вычисление вероятностей..........................211
   Глава 2. Формула полной вероятности и формула Байеса . . 218
      2.1. Формула полной вероятности.......................218
      2.2. Формула Байеса.................................. 220
   Глава 3. Схема испытаний Бернулли........................224
   Глава 4. Комбинаторика. Бином Ньютона....................229
      4.1. Размещения...................................... 229
      4.2. Сочетания........................................231
      4.3. Бином Ньютона .................................. 233
      4.4. Треугольник Паскаля............................. 235
      4.5. Схема испытаний Бернулли с р — q = 1/2           237
      4.6. Схема испытаний Бернулли cp/q................... 238
   Глава 5. Случайные величины ............................ 240
      5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения. Биномиальная случайная величина....................... 240
      5.2. Операции над случайной величиной................ 244
      5.3. Числовые характеристики случайной величины...... 245
      5.4. Сумма случайных величин......................... 250
      5.5. Случайные величины с бесконечным числом значений 253
      5.6. Непрерывные случайные величины                   254
    Глава 6. О формулах для непрерывных и дискретных случайных величин ............................................257
    Глава 7. Случайные величины (продолжение) ..............262
      7.1. Нормальное распределение........................ 262
      7.2. Функция распределения случайной величины........ 269
      7.3. Формула Муавра—Лапласа.......................... 272
   Глава 8. Случайные величины (окончание)................. 276
      8.1. Математическое ожидание и дисперсия биномиальной случайной величины               276
      8.2. Неравенство Чебышева                             277

Оглавление

7

            8.3. Закон больших чисел.............................. 279

         Часть    IV. Математическая статистика                    281
         Глава 1. Первичная обработка и точечные оценки............282
            1.1. Первичная обработка данных....................... 283
            1.2. Точечные оценки.................................. 287
            1.3. Оценки вероятности события....................... 290
          Глава 2. Плотности, гистограммы и выборочные оценки параметров распределения.....................................292
            2.1. Почему непохожие формулы выражают одно и то же . . 292
            2.2. О степенях свободы............................... 296
         Глава 3. Проверка статистических гипотез..................299
            3.1. Типичные ситуации, требующие использования математической статистики.................................. 299
            3.2. Общий подход..................................... 300
            3.3. t-критерий для одной выборки..................... 303
                 3.3.1. Практическая реализация................... 305
            3.4. t-критерий для независимых выборок............... 307
            3.5. Об односторонних и двусторонних критериях         309
            3.6. О построении критериев ...........................310
         Глава 4. Распределения хи-квадрат и Стьюдента.............313
            4.1. Доверительный интервал для среднего     значения..313
            4.2. Критерий согласия у² (хи-квадрат) ................317
            4.3. Проверка соответствия эмпирической функции распределения нормальному закону............................. 320
         Глава 5. Непараметрические аналоги t-критерия.............323
            5.1. Критерий знаков и критерий знаковых рангов Вилкоксона 324
                 5.1.1. Критерий знаковых рангов.................. 325
            5.2. Критерий Манна—Уитни для независимых выборок . . . 328
            5.3. Некоторые замечания о статистической работе...... 330
          Глава 6. Точечные оценки и доверительные интервалы для непараметрических аналогов t-критерия....................332
            6.1. Распределение Вилкоксона......................... 332
                 6.1.1. Точечная оценка математического ожидания . . . 334

Оглавление

           6.1.2. Непараметрический доверительный интервал математического ожидания                             335
      6.2. Распределение Манна—Уитни........................ 338
           6.2.1. Квантили распределения Манна—Уитни........ 340
           6.2.2. Точечная оценка теоретического сдвига в — b — a . 341
           6.2.3. Доверительный интервал для сдвига средних 342
   Глава 7. Гипотезы о связи случайных величин.............. 343
      7.1. Корреляция случайных величин. Коэффициент Фишера           Пирсона .......................................   343
           7.1.1. Проверка гипотезы о корреляционной зависимости 345
      7.2. Корреляция случайных величин. Коэффициент Спирмена 346
      7.3. Корреляция случайных величин. Таблицы сопряженности 347
      7.4. Линейный регрессионный анализ ................... 349
           7.4.1. Определение регрессионной прямой           349
   Глава 8. Гипотезы о связи случайных величин (окончание) . 352
      8.1. Корреляция между случайными величинами........... 352
      8.2. Преобразование Фишера ........................... 354
      8.3. Линейный регрессионный анализ. Построение регресси           онной прямой методом Гаусса ..................... 357
           8.3.1. Математическая модель..................... 359
           8.3.2. Доверительные интервалы параметров со, ci и a 360
       Послесловие для студентов-гуманитариев и преподавателей математики.................................... 362
       Приложение. Статистические таблицы................... 365

            Предисловие



             Психология — наука многоплановая. Психологами в равной степени мы называем психолога-исследователя, использующего новейший томограф для описания мозговой активности и записывающего и обрабатывающего мегабайты цифровой информации, психолога-психотерапевта, беседующего с лежащим на психоаналитической кушетке клиентом, нейропсихолога, пытающегося найти причины плохого почерка у данного школьника и предложить способы преодоления возникающих в связи с этим трудностей обучения, — и многих других профессионалов, которые не всегда даже понимают друг друга.
             При таком многообразии специальностей трудно надеяться, что единый курс математики может обеспечить нужды всех и каждого, не нагружая при этом учащегося материалом, который никогда не пригодится будущему специалисту. Дело еще более осложняется, если учесть, что курс математики приходится на начальные годы подготовки психолога, когда рядовой студент еще слабо представляет, куда в результате заведет его нелегкое вузовское поприще и какие отрасли математики окажутся необходимы ему уже в ближайшем будущем.
             Именно на эту ситуацию неопределенности в квадрате, как сказал бы математик, и рассчитан данный учебник. Он состоит из двух “слоев”.
             Первый, доступный в полной мере любому выпускнику российской школы, представляет собой почти минимальную базу для усвоения материала всех основных курсов по специальности “психология”. Изложение здесь в основном ведется на примерах, утверждения чаще не доказываются, а объясняются. Материал компонуется таким образом, что читатель получает что-то, даже если читает только первые несколько глав, поскольку многие важные математические идеи формулируются и объясняются почти в самом начале разделов и лишь затем уточняются и вписываются в более широкий математический контекст. Этот материал сосредоточен в главах с нечетными номерами.
             Параллельный “слой” четных глав построен в традиционной манере математических учебников, включает формулы, теоремы и доказательства. Иногда материал нечетной главы повторяется в более строгом

Предисловие

          виде в соответствующей четной, иногда там дается дополнительная информация, иногда — требующие математических выкладок разъяснения.
       Каковы возможные стратегии работы с книгой?
       Безусловно, возможно чтение только нечетных глав, дающее связное представление об основных математических понятиях и формирующее основные умения и навыки. Также, безусловно, возможно чтение книги подряд, не обращая внимания на некоторые повторы. В первых двух частях, посвященных линейной алгебре и математическому анализу, способный читатель может ограничиться только четными главами, но что касается теории вероятностей и математической статистики, то здесь продвинутому читателю рекомендуется чтение всего материала.
       Подразумевается также возможность последующей работы с четными главами на старших курсах, когда сфера интересов студента становится более определенной. В этом случае задача облегчается тем, что продвижение будет вестись в виде систематического уточнения уже усвоенного материала нечетных глав.
       В книге 1-я и 2-я части написаны А.Н. Кричевцом, 3-я часть — Е.В. Шикиным, А.Н. Кричевцом, 4-я часть — А.Г. Дьячковым, А.Н. Кричевцом, Е.В. Шикиным.