Математика

Допущено
Региональным научно-методическим центром
при Совете директоров средних специальных заведений
Санкт-Петербурга и Ленинградской области
в качестве учебного пособия для студентов
второго курса среднего профессионального образования,
обучающихся по специальностям:
08.02.01, 07.02.01, 08.02.03, 08.02.06, 35.02.12

МАТЕМАТИКА

Л.И. ШИПОВА
А.Е. ШИПОВ

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
 
Ш63

Шипова Л.И.
Ш63  
Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — 
Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-16-014561-7 (print)
ISBN 978-5-16-107059-8 (online)
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал 
по темам: дифференциальные уравнения, комбинаторика, теория вероятности и математическая статистика, прикладная геометрия и краткий 
обзор современной математики на примере теории фракталов. В пособие 
включен материал по повторению тем «Дифференцирование» и «Интегрирование», материал по геометрии. К каждой теме предлагается достаточное 
количество практических заданий, а часть задач носит прикладной характер. Включены ученические страницы для самостоятельной работы, практические занятия со строительным уклоном с учетом требований нового 
федерального государственного образовательного стандарта, ключевые 
слова — дескрипторы и подробная библиография. Авторы стремились 
сделать изложение материала доступным, избегая математического формализма.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего 
поколения.
Предназначено для студентов колледжей, преподавателей и всех тех, 
кто стремится расширить математический кругозор.

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723

Р е ц е н з е н т ы:
Андреева И.А. — кандидат физико-математических наук, доцент 
кафедры «Высшая математика» Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого;
Степанова Л.Д. — заместитель директора по качеству образовательного процесса Академии управления городской средой, градостроительства и печати;
Богомолов Н.В. — математик, заслуженный учитель России

ISBN 978-5-16-014561-7 (print)
ISBN 978-5-16-107059-8 (online)
© Шипова Л.И., Шипов А.Е., 
2019

ОТ АВТОРОВ

Кто пренебрегает достижениями математики,
тот приносит вред всей науке, так как тот, кто
не знает математики, не может изучить другие
точные науки и не может познать мир.
Роджер Бекон

«В каждом познании столько науки – сколько есть в нем математики», – сказал Иммануил Кант. Эти слова подчеркивают 
необходимость серьезных занятий математикой, т.к. математика – это язык для общетехнических и специальных дисциплин. 
Задача преподавателя показать, что без математических знаний 
просто невозможно обойтись при решении тех или иных практических задач.
В современных программах, прежде всего, необходимо обратить внимание на развитие самостоятельности студентов 
и увеличение процента практических работ, что мы постарались учесть при написании данного пособия по математике.

Л.И. Шипова,
А.Е. Шипов

3

ВВЕДЕНИЕ

Оно включает в себя теоретический материал по темам, практические задачи и упражнения, задачи, связанные со специальностями, ученические страницы, дана информация к размышлению, к каждой теме дана историческая справка с портретами 
выдающихся ученых, подробный список литературы для тем: 
«Комбинаторика», «Теория вероятностей» и «Математическая 
статистика» и список учебников. К каждой теме приведены вопросы к зачету.
В первой главе дан материал для повторения тем «Производная», «Дифференциал», «Неопределенный и определенный интеграл», приведены таблицы интегрирования и дифференцирования, разобраны примеры в ученической странице.
Глава, посвященная дифференциальным уравнениям, начинается с исторической справки, включает в себя основные 
понятия и определения по данной теме, задачи, приводящие 
к дифференциальным уравнениям, рассмотрены способы решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения высших 
порядков и однородные дифференциальные уравнения второго 
порядка. В этой главе приведен алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений. По этому алгоритму 
разобраны несколько задач, в том числе задачи на определение 
прогиба в любой точке балки.
В третьей главе теория изложена в виде блоков-таблиц. Разобраны три различные комбинаторные комбинации: перестановки, размещения, сочетания, даны свойства числа сочетаний, указаны основные правила комбинаторики. Здесь же представлена 

Предлагаемое учебное пособие состоит из тех разделов математики (дифференциальные уравнения, комбинаторика, теория 
вероятностей, математическая статистика и практической геометрии), которые изучаются в соответствии с новыми федеральными 
государственными образовательными стандартами среднего 
профессионального образования, утвержденными приказом от 
11.08.2018 № 2 по специальности 08.02.01, приказом от 28.07.2014 
№ 850 по специальности 07.02.01, приказом от 28.07.2014 № 800 
по специальности 08.02.03, приказом № 802 по специальности 
08.02.06, приказом от 07.05.2014 № 461 по специальности 35.02.12, 
на втором курсе. Завершается пособие лекцией о развитии современной математики, где подробно останавливаемся на теории 
фракталов.

4

формула Бинома Ньютона, и продемонстрировано применение 
этой формулы.
В ученической странице разобраны с пояснениями различные комбинаторные задачи, а проработав приведенные тренировочные задачи, студент сможет подготовиться к зачетному занятию по данной теме.
Главу, посвященную теории вероятностей, предваряют эпиграфы великих математиков Лапласа, Джеймс Клерка Максвелла 
и М.В. Остроградского, раскрывающих суть этой науки. После 
краткой исторической справки, приведены основные определения, подразделения случайных событий, указаны правила сложения и умножения вероятностей, разобраны простейшие задачи этого раздела математики, а для закрепления полученных 
знаний предлагаются тренировочные задачи.
После введения формул полной вероятности, формул Байеса, 
формул Я. Бернулли на повторение испытаний. Схемы Бернулли 
на независимые испытания, дан закон распределения случайной 
величины и приведены некоторые характеристики случайной 
величины, такие как математическое ожидание и дисперсия.
Для большей ясности понятий математического ожидания 
и закона больших чисел предложено провести две игры с игральной костью, которые описаны в пособии. Данный труд содержит 
большое количество тренировочных задач и задач, разобранных 
в ученической странице с подробными пояснениями, опираясь 
на схемы-графы, с помощью которых составить формулу для вычисления вероятностей автору видится гораздо проще, чем без 
них. Тему завершают вопросы к зачету.
Главу, посвященную математической статистике, открывают 
некоторые классические высказывания о случае, случайности, 
закономерности и об «эффекте случайности», которому так же 
присуща закономерность «скрытой предопределенности», о новом разделе математики – стохастики, который вобрал в себя 
элементы теории вероятностей и математической статистики.
После определения математической статистики, дана краткая 
историческая справка. На задачах математической статистики, 
на значении ошибки в мире науки с анализом ошибок случавшихся в строительстве в древнем мире, так и в наши дни авторы 
сочли нужным становиться более подробно. В качестве примера 
обратились к трудам крупного русского ученого А.Л. Чижевского, который анализировал исторические процессы, открыл зависимость между этими, не связанными между собой процессами, 
и периодами солнечной активности.

5

Остановившись на основных понятиях математической статистики, введя определения таким понятиям как генеральная 
совокупность, выборка, объем выборки, виды выборок, авторы 
подчеркивают, что нарушение принципов случайного выбора 
может привести к серьезным ошибкам. Это продемонстрировано 
на примере выборов в США, когда кандидатами были Рузвельт 
и Ландон. В выборочных рядах распределения и их геометрических изображениях представлены различные круговые и столбчатые диаграммы на примерах теплоизоляционных материалов, 
расхода холодной и горячей воды.
Подробно разбираются такие характеристики выборок, как 
относительная частота значений, мода, медиана, среднее значение, а так как выборки, записанные в возрастающем порядке, 
представляют собой вариационный ряд, то даются определения 
медианы, среднего значения и размаха вариационного ряда. 
В работе указано различие между эмпирической и теоретической функцией распределения, как между вероятностью 
и частотой, и большое внимание уделено графическому изображению выборочного ряда распределения в виде диаграмм, 
полигонов, гистограмм, кумулят. В этом разделе введена ученическая страница.
Рассмотрены различные законы распределения случайной 
величины с указанием спектра использования этих законов. 
Особое внимание обращено на нормальное распределение случайной величины (закон Гаусса), т.к. именно это распределение 
играет важную роль в строительстве (различные нагрузки на отдельные элементы здания – природного характера, характера 
изменения геологических параметров зданий и сооружений). 
В качестве иллюстрации в пособии приведены графики распределения различных нагрузок, распределение прочностных характеристик.
В ученической странице разобрана задача на биномиальный 
закон распределения, дан набор тренировочных задач, кратко 
написано о возможностях математической статистики и приведены вопросы к зачету по данной теме. Включено практическое 
занятие по нахождению центральных характеристик из теории 
вероятности и математической статистики для вариантов раскладки междуэтажных плит перекрытия, их графических изображений (полигон частот, кумуляты и функции распределения).
Приведена подборка задач по многогранникам, круглым телам, их поверхностям и объемам со строительным уклоном. Подробно разобраны проведение практических занятий по темам: 

6

вычисление площадей квартир, определение площади поверхности стен, периметра и объема зданий, определение объема бетона 
фундамента. Определение объема грунта, вынутого из котлована 
и объема обратной засыпки. Представлена ученическая страница 
с разбором специальных строительных задач. Подобран справочный материал по геометрии.
Заключительная глава пособия содержит материал о развитии 
современной математики, где более подробно авторы остановились на одной из разделов современной математики – теории 
фракталов, имеющей прикладной характер.
Пособие снабжено перечнем слов-дескрипторов и выражений, подробным списком литературы.
Пособие рассчитано на студентов техникумов и колледжей, 
может быть полезным – преподавателям средних специальных 
учебных заведений и любителям математики, желающим получить сведения по данным темам.

7

ГЛАВА 1.     ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА
                         ПО ТЕМАМ: «ПРОИЗВОДНАЯ»,
                         «ДИФФЕРЕНЦИАЛ»,
                         «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
                         И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

1.1. Производная функции

1.1.1. Производная функции, ее определение,
            физический и геометрический смысл.
            Правило нахождения производной функции

1. Предел отношения приращения функции к приращению 
аргумента при x 
 0 или x 
 x0, назовем производной функции 
и обозначим
f (x);  y x;  
.

2. Процесс нахождения производной функции называется 
дифференцированием.
3. Физический смысл производной функции – это скорость изменение функции, второй производной – ускорение изменения 
функции.
4. Геометрический смысл производной функции: производная 
функции в данной точке численно равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в данную точку.

S = v · t
S - S0 = vср(t - t0)

vмгн = S t

y = kx
y - y0 = k(x - x0)
y = kx

Предельное положение
секущей – касательная

f(x) = kx
f(x) - f(x0) = k(x - x0)
f = kx

dy
dx

8

Правило нахождения производной функции
y = f(x), где x (a;b)
1. Найдем наращенное значение функции: f(x + x).
2. Найдем приращение функции: f = f(x + x) - f(x).
3. Найдем отношение приращения функции к приращению 
аргумента: f/x.
4. Найдем производную функции:

.

1.1.2. Таблица основных формул дифференцирования

Функция 
Производная
Функция
Производная

С
0
logax (0 < a  1)
 logae = 

xn
nx n-1
ln x

x
1
lg x
 lg e

sin x
cos x

ax
ax ln a
cos x
-sin x

ex
ex
tg x

arcsin x
arccos x
- 

arctg x
arcctg x
- 

xx
xx (1 + ln x)
ctg x
- 

un
nun-1 · u x
eu
eu · u x

logau
sin u
cos u · u

cos u
-sin u · u x
tg u

ctg u
- 
arcsin u

9

Функция 
Производная
Функция
Производная

arccos u
arctg u

arcctg u
- 
ln u

UV
V + 
U

CX
C
CU
C

Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции которая равна произведению производной функции на приращение или дифференциал аргумента.
Геометрический смысл дифференциала функции с геометрической точки зрения. Дифференциал функции равен приращению 
ординаты точки движущийся по касательной к кривой

dy = y dx.

Например d(sin x) = cos x dx.

1.1.3. Ученическая страница

Задания
Пояснения

1.   y = (7x4 - 2x + 3)5
y = u5, где u = 7x4 - 2x + 3
y u = 5u4u x

y x = y u · u x
y u = 5u4u x
y x = 5(7x4 - 2x + 3)4(7x4 - 2x + 3) x
y x = 5(7x4 - 2x + 3)4(28x3 - 2)

Найти y x при x = 0

y 0 = 5 · 34 · (-2) = -810

2.   y = (8x4 - 5x + 4)7

      y x = 7· (…)6(…) x
     y x = 7· (8x4 - 5x + 4)6(8x4 - 5x + 4) x

Воспользуемся формулой
(un) x = n · un-1 u x,
где n = 7

x

10

Задания
Пояснения

     y x = 7· (8x4 - 5x + 4)6(32x3 - 5)
u = 8x4 - 5x + 4
Берем производную там,
где стоит штрих, а без штриха
просто переписываем
(8x4)  = 8 · 4x3, т.к.
(сxn) x = cnxn-1

(5x) x = 5, т.к. (сx) x = c
(4) x = 0, т.к. (с) x = 0

3.   y = 
 = (x3 + 4)

      y x = (x3 + 4)
 (x3 + 4) x =

      = (x3 + 4)  (3x2 + 0) =

      = 

Та же самая формула
(un) x = n · un-1 u x

a  = 

a-1 = 

4.   y = 

      y x = 
 =

       = 
 =

       = 

1) (
) x = 

      u = arcsin 9x

2) (arcsin u) x = 
 ,

     где u = 9x

3) (сx) x = c

5.   Y = ln2tg5x
       y x = 2 ln tg5x · (ln tg5x)  =

       = 2 ln tg5x · 
 =

       = 2 ln tg5x · 
 =

       = 2 ln tg5x · 
 =

       = 
 =

1) (un) x = n · un-1 u x, где

     n = 2,   u = ln tg 5x

2) (ln u) x = 
, где u = tg 5x

3) (tg u) x = 

4) (cx) x = c

5) tg 5x = 

     cos 5x сократили

11