Математика
Математика для студентов СПО: Обзор учебного пособия
Введение в математический мир
Представленное учебное пособие, предназначенное для студентов второго курса среднего профессионального образования, охватывает широкий спектр математических дисциплин, включая дифференциальные уравнения, комбинаторику, теорию вероятностей, математическую статистику и прикладную геометрию. Авторы стремятся изложить материал доступным языком, избегая излишнего формализма, и уделяют особое внимание развитию самостоятельности студентов. Пособие соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего поколения.
Повторение и углубление: производная, интеграл и дифференциальные уравнения
Первая глава посвящена повторению материала по темам "Производная", "Дифференциал" и "Неопределенный и определенный интеграл". Здесь представлены основные формулы дифференцирования и интегрирования, а также примеры решения задач.
Вторая глава посвящена дифференциальным уравнениям. Она начинается с исторической справки и включает основные понятия, определения, способы решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения высших порядков и однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Приведен алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, который иллюстрируется на конкретных примерах, в том числе задачах на определение прогиба балки.
Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика: от теории к практике
Третья глава посвящена элементам комбинаторики, включая перестановки, размещения и сочетания. Теория изложена в виде блоков-таблиц, что облегчает восприятие материала.
Четвертая глава охватывает теорию вероятностей. После краткой исторической справки представлены основные определения, правила сложения и умножения вероятностей, а также простейшие задачи. Рассмотрены формулы полной вероятности, Байеса и Бернулли. Включены примеры игр с игральной костью для наглядного представления математического ожидания и закона больших чисел.
Пятая глава посвящена математической статистике. Рассмотрены основные понятия, виды выборок, характеристики выборок (относительная частота, мода, медиана, среднее значение), законы распределения случайной величины, включая нормальное распределение. Включено практическое занятие по нахождению центральных характеристик, а также задачи на биномиальный закон распределения.
Прикладная геометрия и современная математика
Шестая глава посвящена практической геометрии, с акцентом на задачи, связанные со строительством. Рассмотрены задачи на многогранники, круглые тела, их поверхности и объемы.
Заключительная глава посвящена развитию современной математики, в частности, теории фракталов.
Заключение
Пособие содержит перечень слов-дескрипторов, подробный список литературы и предназначено для студентов, преподавателей и всех, кто стремится расширить свои знания в области математики.
Текст подготовлен языковой моделью и может содержать неточности.
- Среднее профессиональное образование
- 07.02.01: Архитектура
- 08.02.01: Строительство и эксплуатация зданий и сооружений
- 08.02.03: Производство неметаллических строительных изделий и конструкций
- 08.02.12: Строительство и эксплуатация автомобильных дорог, аэродромов и городских путей сообщения
- 35.02.12: Садово-парковое и ландшафтное строительство
Допущено Региональным научно-методическим центром при Совете директоров средних специальных заведений Санкт-Петербурга и Ленинградской области в качестве учебного пособия для студентов второго курса среднего профессионального образования, обучающихся по специальностям: 08.02.01, 07.02.01, 08.02.03, 08.02.06, 35.02.12 МАТЕМАТИКА Л.И. ШИПОВА А.Е. ШИПОВ Москва ИНФРА-М 2020 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ УДК 51(075.32) ББК 22.1я723 Ш63 Шипова Л.И. Ш63 Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). ISBN 978-5-16-014561-7 (print) ISBN 978-5-16-107059-8 (online) Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по темам: дифференциальные уравнения, комбинаторика, теория вероятности и математическая статистика, прикладная геометрия и краткий обзор современной математики на примере теории фракталов. В пособие включен материал по повторению тем «Дифференцирование» и «Интегрирование», материал по геометрии. К каждой теме предлагается достаточное количество практических заданий, а часть задач носит прикладной характер. Включены ученические страницы для самостоятельной работы, практические занятия со строительным уклоном с учетом требований нового федерального государственного образовательного стандарта, ключевые слова — дескрипторы и подробная библиография. Авторы стремились сделать изложение материала доступным, избегая математического формализма. Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего поколения. Предназначено для студентов колледжей, преподавателей и всех тех, кто стремится расширить математический кругозор. УДК 51(075.32) ББК 22.1я723 Р е ц е н з е н т ы: Андреева И.А. — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого; Степанова Л.Д. — заместитель директора по качеству образовательного процесса Академии управления городской средой, градостроительства и печати; Богомолов Н.В. — математик, заслуженный учитель России ISBN 978-5-16-014561-7 (print) ISBN 978-5-16-107059-8 (online) © Шипова Л.И., Шипов А.Е., 2019
ОТ АВТОРОВ Кто пренебрегает достижениями математики, тот приносит вред всей науке, так как тот, кто не знает математики, не может изучить другие точные науки и не может познать мир. Роджер Бекон «В каждом познании столько науки – сколько есть в нем математики», – сказал Иммануил Кант. Эти слова подчеркивают необходимость серьезных занятий математикой, т.к. математика – это язык для общетехнических и специальных дисциплин. Задача преподавателя показать, что без математических знаний просто невозможно обойтись при решении тех или иных практических задач. В современных программах, прежде всего, необходимо обратить внимание на развитие самостоятельности студентов и увеличение процента практических работ, что мы постарались учесть при написании данного пособия по математике. Л.И. Шипова, А.Е. Шипов 3
ВВЕДЕНИЕ Оно включает в себя теоретический материал по темам, практические задачи и упражнения, задачи, связанные со специальностями, ученические страницы, дана информация к размышлению, к каждой теме дана историческая справка с портретами выдающихся ученых, подробный список литературы для тем: «Комбинаторика», «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» и список учебников. К каждой теме приведены вопросы к зачету. В первой главе дан материал для повторения тем «Производная», «Дифференциал», «Неопределенный и определенный интеграл», приведены таблицы интегрирования и дифференцирования, разобраны примеры в ученической странице. Глава, посвященная дифференциальным уравнениям, начинается с исторической справки, включает в себя основные понятия и определения по данной теме, задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, рассмотрены способы решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения высших порядков и однородные дифференциальные уравнения второго порядка. В этой главе приведен алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений. По этому алгоритму разобраны несколько задач, в том числе задачи на определение прогиба в любой точке балки. В третьей главе теория изложена в виде блоков-таблиц. Разобраны три различные комбинаторные комбинации: перестановки, размещения, сочетания, даны свойства числа сочетаний, указаны основные правила комбинаторики. Здесь же представлена Предлагаемое учебное пособие состоит из тех разделов математики (дифференциальные уравнения, комбинаторика, теория вероятностей, математическая статистика и практической геометрии), которые изучаются в соответствии с новыми федеральными государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования, утвержденными приказом от 11.08.2018 № 2 по специальности 08.02.01, приказом от 28.07.2014 № 850 по специальности 07.02.01, приказом от 28.07.2014 № 800 по специальности 08.02.03, приказом № 802 по специальности 08.02.06, приказом от 07.05.2014 № 461 по специальности 35.02.12, на втором курсе. Завершается пособие лекцией о развитии современной математики, где подробно останавливаемся на теории фракталов. 4
формула Бинома Ньютона, и продемонстрировано применение этой формулы. В ученической странице разобраны с пояснениями различные комбинаторные задачи, а проработав приведенные тренировочные задачи, студент сможет подготовиться к зачетному занятию по данной теме. Главу, посвященную теории вероятностей, предваряют эпиграфы великих математиков Лапласа, Джеймс Клерка Максвелла и М.В. Остроградского, раскрывающих суть этой науки. После краткой исторической справки, приведены основные определения, подразделения случайных событий, указаны правила сложения и умножения вероятностей, разобраны простейшие задачи этого раздела математики, а для закрепления полученных знаний предлагаются тренировочные задачи. После введения формул полной вероятности, формул Байеса, формул Я. Бернулли на повторение испытаний. Схемы Бернулли на независимые испытания, дан закон распределения случайной величины и приведены некоторые характеристики случайной величины, такие как математическое ожидание и дисперсия. Для большей ясности понятий математического ожидания и закона больших чисел предложено провести две игры с игральной костью, которые описаны в пособии. Данный труд содержит большое количество тренировочных задач и задач, разобранных в ученической странице с подробными пояснениями, опираясь на схемы-графы, с помощью которых составить формулу для вычисления вероятностей автору видится гораздо проще, чем без них. Тему завершают вопросы к зачету. Главу, посвященную математической статистике, открывают некоторые классические высказывания о случае, случайности, закономерности и об «эффекте случайности», которому так же присуща закономерность «скрытой предопределенности», о новом разделе математики – стохастики, который вобрал в себя элементы теории вероятностей и математической статистики. После определения математической статистики, дана краткая историческая справка. На задачах математической статистики, на значении ошибки в мире науки с анализом ошибок случавшихся в строительстве в древнем мире, так и в наши дни авторы сочли нужным становиться более подробно. В качестве примера обратились к трудам крупного русского ученого А.Л. Чижевского, который анализировал исторические процессы, открыл зависимость между этими, не связанными между собой процессами, и периодами солнечной активности. 5
Остановившись на основных понятиях математической статистики, введя определения таким понятиям как генеральная совокупность, выборка, объем выборки, виды выборок, авторы подчеркивают, что нарушение принципов случайного выбора может привести к серьезным ошибкам. Это продемонстрировано на примере выборов в США, когда кандидатами были Рузвельт и Ландон. В выборочных рядах распределения и их геометрических изображениях представлены различные круговые и столбчатые диаграммы на примерах теплоизоляционных материалов, расхода холодной и горячей воды. Подробно разбираются такие характеристики выборок, как относительная частота значений, мода, медиана, среднее значение, а так как выборки, записанные в возрастающем порядке, представляют собой вариационный ряд, то даются определения медианы, среднего значения и размаха вариационного ряда. В работе указано различие между эмпирической и теоретической функцией распределения, как между вероятностью и частотой, и большое внимание уделено графическому изображению выборочного ряда распределения в виде диаграмм, полигонов, гистограмм, кумулят. В этом разделе введена ученическая страница. Рассмотрены различные законы распределения случайной величины с указанием спектра использования этих законов. Особое внимание обращено на нормальное распределение случайной величины (закон Гаусса), т.к. именно это распределение играет важную роль в строительстве (различные нагрузки на отдельные элементы здания – природного характера, характера изменения геологических параметров зданий и сооружений). В качестве иллюстрации в пособии приведены графики распределения различных нагрузок, распределение прочностных характеристик. В ученической странице разобрана задача на биномиальный закон распределения, дан набор тренировочных задач, кратко написано о возможностях математической статистики и приведены вопросы к зачету по данной теме. Включено практическое занятие по нахождению центральных характеристик из теории вероятности и математической статистики для вариантов раскладки междуэтажных плит перекрытия, их графических изображений (полигон частот, кумуляты и функции распределения). Приведена подборка задач по многогранникам, круглым телам, их поверхностям и объемам со строительным уклоном. Подробно разобраны проведение практических занятий по темам: 6
вычисление площадей квартир, определение площади поверхности стен, периметра и объема зданий, определение объема бетона фундамента. Определение объема грунта, вынутого из котлована и объема обратной засыпки. Представлена ученическая страница с разбором специальных строительных задач. Подобран справочный материал по геометрии. Заключительная глава пособия содержит материал о развитии современной математики, где более подробно авторы остановились на одной из разделов современной математики – теории фракталов, имеющей прикладной характер. Пособие снабжено перечнем слов-дескрипторов и выражений, подробным списком литературы. Пособие рассчитано на студентов техникумов и колледжей, может быть полезным – преподавателям средних специальных учебных заведений и любителям математики, желающим получить сведения по данным темам. 7
ГЛАВА 1. ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ТЕМАМ: «ПРОИЗВОДНАЯ», «ДИФФЕРЕНЦИАЛ», «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» 1.1. Производная функции 1.1.1. Производная функции, ее определение, физический и геометрический смысл. Правило нахождения производной функции 1. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при x 0 или x x0, назовем производной функции и обозначим f (x); y x; . 2. Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. 3. Физический смысл производной функции – это скорость изменение функции, второй производной – ускорение изменения функции. 4. Геометрический смысл производной функции: производная функции в данной точке численно равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в данную точку. S = v · t S - S0 = vср(t - t0) vмгн = S t y = kx y - y0 = k(x - x0) y = kx Предельное положение секущей – касательная f(x) = kx f(x) - f(x0) = k(x - x0) f = kx dy dx 8
Правило нахождения производной функции y = f(x), где x (a;b) 1. Найдем наращенное значение функции: f(x + x). 2. Найдем приращение функции: f = f(x + x) - f(x). 3. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: f/x. 4. Найдем производную функции: . 1.1.2. Таблица основных формул дифференцирования Функция Производная Функция Производная С 0 logax (0 < a 1) logae = xn nx n-1 ln x x 1 lg x lg e sin x cos x ax ax ln a cos x -sin x ex ex tg x arcsin x arccos x - arctg x arcctg x - xx xx (1 + ln x) ctg x - un nun-1 · u x eu eu · u x logau sin u cos u · u cos u -sin u · u x tg u ctg u - arcsin u 9
Функция Производная Функция Производная arccos u arctg u arcctg u - ln u UV V + U CX C CU C Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции которая равна произведению производной функции на приращение или дифференциал аргумента. Геометрический смысл дифференциала функции с геометрической точки зрения. Дифференциал функции равен приращению ординаты точки движущийся по касательной к кривой dy = y dx. Например d(sin x) = cos x dx. 1.1.3. Ученическая страница Задания Пояснения 1. y = (7x4 - 2x + 3)5 y = u5, где u = 7x4 - 2x + 3 y u = 5u4u x y x = y u · u x y u = 5u4u x y x = 5(7x4 - 2x + 3)4(7x4 - 2x + 3) x y x = 5(7x4 - 2x + 3)4(28x3 - 2) Найти y x при x = 0 y 0 = 5 · 34 · (-2) = -810 2. y = (8x4 - 5x + 4)7 y x = 7· (…)6(…) x y x = 7· (8x4 - 5x + 4)6(8x4 - 5x + 4) x Воспользуемся формулой (un) x = n · un-1 u x, где n = 7 x 10
Задания Пояснения y x = 7· (8x4 - 5x + 4)6(32x3 - 5) u = 8x4 - 5x + 4 Берем производную там, где стоит штрих, а без штриха просто переписываем (8x4) = 8 · 4x3, т.к. (сxn) x = cnxn-1 (5x) x = 5, т.к. (сx) x = c (4) x = 0, т.к. (с) x = 0 3. y = = (x3 + 4) y x = (x3 + 4) (x3 + 4) x = = (x3 + 4) (3x2 + 0) = = Та же самая формула (un) x = n · un-1 u x a = a-1 = 4. y = y x = = = = = 1) ( ) x = u = arcsin 9x 2) (arcsin u) x = , где u = 9x 3) (сx) x = c 5. Y = ln2tg5x y x = 2 ln tg5x · (ln tg5x) = = 2 ln tg5x · = = 2 ln tg5x · = = 2 ln tg5x · = = = 1) (un) x = n · un-1 u x, где n = 2, u = ln tg 5x 2) (ln u) x = , где u = tg 5x 3) (tg u) x = 4) (cx) x = c 5) tg 5x = cos 5x сократили 11