От абака до кубита

Санкт-Петербург.2019

Автор идеи  
и научный редактор серии 
СЕРГЕЙ ДЕМЕНОК

Александр Альбов

3-е издание

УДК 001, 501, 510
ББК 22.1 
А 56

ISBN 978-5-907127-19-7

 
 
 
 
От абака до кубита  / Александр Альбов. — 
3-е изд. — СПб.: Страта, 2019. — 98 с., с илл. — 
(серия «Просто»)

 
ISBN 978-5-907127-19-7

Когда древние люди научились считать и считали 
на пальцах, пришла и необходимость в приспособлениях для облегчения этого труда. Так, от дощечек с зарубками, узелков и счётных палочек, от механических 
счётных машин к электронным, вместе с неотвратимостью автоматизировать гигантские объёмы вычислений 
и виртуальной свободой человечество добралось до сетевых технологий.
Кто помнит сейчас о первопроходцах, проложивших 
человечеству путь в современное цифровое настоящее? 
Автор книги совершает экскурс в историю и популярно 
рассказывает об этапах развития идеи инструментального счета от античности до наших дней, описывает логику 
развития вычислений и приходит к выводу: с появлением 
квантовых компьютеров круг завершится…

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может 
быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, 
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, 
sold or transmited by any means without permission of the publisher.

А 56

УДК 001, 501, 510
ББК 22.1

© Деменок С. Л, 2018, текст
© Альбов А. С, 2018, текст
© ООО «Страта», 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ

Люди считают на пальцах столько, сколько помнят себя. 
Именно потому, что на пальцах обеих рук у человека десять 
пальцев, господствующая ныне система счисления — десятичная. Если бы природа наградила человека не пятью, а четырьмя 
пальцами на одной руке, мы считали бы сейчас в восьмеричной 
системе и очень удивлялись бы, зачем нужны «ещё две цифры».
Шло время, и для записи действий помимо цифр понадобились знаки и символы. Так зародилась Математика. Математический язык оперирует буквами и знаками, не похожими на обычные, используемые в повседневной жизни. Математические 
сочинения полны формул, занимающих порой целые страницы.
Знак и символ представляют собой соглашение (явное 
или неявное) о приписывании чему-либо какого-либо определенного смысла. Слова «знак» и «символ» на практике часто 
используются как синонимы, но в действительности понятие 
«символ» много шире, чем «знак».
Каждому известно со школьной скамьи, что пи — это число, равное отношению длины окружности к её диаметру. Это 
обозначение происходит от начальной буквы греческого слова περιφέρεια — окружность, периферия. Обратим внимание 
на то, что оно вездесуще, а потому относится к числу нескольких мировых констант. Если бы «Оскара» присуждали числам, то, вне сомнений, больше всего Оскаров было бы собрано 
числом пи.
Однако сейчас мало кто вспомнит, что впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский 
математик Уильям Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Предисловие

У разных народов могут быть различные особенности, 
а вот математика — одна на всех! И все это за счёт универсального языка математических символов. В этом плане математический символ напоминает иероглиф. Математические знаки 
вполне интернациональны и практически не зависят от языка, 
используемого в той или иной стране. Математический язык — 
общий для всех народов.
Математика, равно как и искусство, участвует в формировании духовного мира человека. Поэтому каждому полезно знать 
основные фрагменты истории этой науки, имена её творцов.
Мы все говорим на одном языке — языке математики.

По мере усложнения математических расчётов появилась необходимость механизировать их. Первым появился 
абак — разлинованная дощечка, на которой в определённом 
порядке выкладываются камешки. Русские счёты — тот же 
абак, но с одним отличием: в них применена десятичная система счисления.
Характерной чертой развития математики в XVII веке стала 
устойчивая тяга к механизации вычислений. XVII столетие — 
век стремительного расширения знаний, предвестник Промышленной революции, когда точные и быстрые вычисления 
превратились в насущную потребность. В этом направлении 
был пройден путь от суммирующей машины Паскаля до механического компьютера Бэббиджа и арифмометра. И счёты, 
и арифмометр служили людям верой и правдой до середины 
ХХ века, когда появились калькуляторы, а затем и компьютеры. 
А закончился этот процесс нынешним бурным развитием сетевых технологий. Но опять-таки, кто помнит сейчас об известных, а подчас и малоизвестных первопроходцах, проложивших 
для нас путь в современное цифровое настоящее?

Памяти первых и посвящена данная книга.

• 
начальный счёт
• 
Абак
• 
русские счёты
• 
Логарифмическая 
линейка

гЛАвА 1. 
от АбАкА 
до ЛогАрифмической 
Линейки

нАчАЛьный счёт

В арифметике принято символы, участвующие в записи 
числа, называть цифрами. Но что же люди понимали под словом 
«число» в глубокой древности? Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало. Число было «привязано» к тем 
предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие числа появилось лишь с развитием письменности.
Первое научное определение числа дал древнегреческий 
математик Евклид в своих «Началах» (ок. 300 до н. э.); он, вероятно, унаследовал его от своего соотечественника Евдокса 
Книдского:

«Единица есть то, в соответствии с чем каждая 
из существующих вещей называется одной. Число 
есть множество, сложенное из единиц».

Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватало того, что он придумал числа 
«один» и «два». Остальные количества оставались неопределёнными и объединялись в понятие «много». С течением 
времени триады «один-два-много» стало не хватать, и придумали новые цифры: «три», «четыре», «пять», «шесть», 
«семь»… но ещё долго не было системы записи чисел. Эту 
систему, систему нумерации, называют на современный лад 
системами счисления.
В процессе совершенствования способов представления 
чисел появилась современная десятичная позиционная система счисления, возникновение которой связано со счётом 

Начальный счёт

на пальцах. В средневековой Европе она появилась через 
арабских купцов, в свою очередь, заимствовавших её у индийцев.
Мнение большинства специалистов — систематическое 
использование чисел 5 и 10 как основы счёта идет от «пальцевого» счёта как простейшего и древнейшего способа. 
И это естественно, поскольку первоначальный счёт в пределах нескольких предметов у народов всего мира опирается 
на двигательные и осязательные ассоциации, прибавляющие 
единицы к первоначальной сумме или отнимающие их, прежде всего на пальцах рук. Нужно подчеркнуть, что обращение 
для целей счёта именно к пальцам вызвано не только тем, что 
их постоянное и расчленимое множество чаще любого другого постоянного множества присутствовало перед глазами человека, но прежде всего тем, что рука была первым орудием 
труда, самым прочным связующим звеном между объектом 
труда и мыслью, первым инструментом для количественного 
членения предметов материального мира.

Это способы представления чисел в таком виде, 
который удобен для выполнения 
всевозможных 
математических операций.
Системы 
счисления 
делятся на непозиционные 
и позиционные. В непозиционной системе значение цифры постоянно 
и не зависит от её места 
в записи числа. При этом 
система может накладывать ограничения на положение цифр, например, 
чтобы они были расположены в порядке убывания. 

В позиционных системах 
счисления одна и та же 
цифра в записи числа 
имеет различные значения в зависимости от того 
места (разряда), где она 
расположена. Вторая величина, 
которая 
характеризует 
позиционную 
систему счисления,  — основание системы. Это, как 
правило, 
целое 
число, 
выражающее количество 
цифр в данной системе. 
Изобретение 
позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается 
шумерам и вавилонянам.

СИСТЕМЫ  
СЧИСЛЕНИЯ

Глава 1.  От абака  до логарифмической линейки

В этой связи замечательно высказывание математика Николая Николаевича Лузина (1883—1950), создателя Московской 
математической школы, академика АН СССР:

«Преимущества десятичной системы счисления 
не математические, а зоологические. Если бы у нас 
на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой 
счисления».

В десятичной системе значение цифры зависит от позиции 
и при её перемещении на одно место меняется в десять раз. Рассмотрим, например, число 423; в нём четвёрка соответствует четырём сотням, двойка — двум десяткам, а тройка — трём единицам. В случае, например, системы древних вавилонян, тоже 
позиционной, но с основанием 60, а не 10, перемещение на одну 
позицию будет изменять значение цифры в шестьдесят раз. 
В непозиционной системе цифры с единицы до девяти обозначались некими символами, другие символы использовались 
для обозначения узловых чисел, как правило, это десятки, сотни, тысячи и т. д. В записи числа эти знаки повторялись столько раз, сколько в нём было тысяч, сотен и десятков. Например, 
обозначим цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 буквами русского алфавита А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, а числа 10, 100 и 1000 — буквами латинского алфавита X, Y, Z. Тогда число 425 запишется как 
YYYYXXД (четыре сотни, два десятка и пять). Легко заметить, 
что это число можно записать иначе — ДXXYYYY — и от этого его значение и смысл не изменятся. Непозиционные системы 
счисления применялись древними египтянами, греками и римлянами; они неудобны для привычных нам вычислений.
Считать человек начал до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствующих о тех словах, которыми в древности обозначали 
числа. Историки доказали, что и 5 000 лет назад люди могли 
записывать числа и производить над ними простейшие арифметические действия. Но записывали они их совсем не так, как 
мы сегодня. Первоначальными средствами запоминания чисел 
были пальцы рук, зарубки на дереве или кости, узелки на верёвках, связки прутьев, кучки раковин или камней.

Начальный счёт

Позже появились специальные приспособления для долгосрочного хранения численной информации — бирки.
Например, в Англии оборот бирок для учёта уплаты государственных налогов и сборов был узаконен около 1100 года 
при короле Генрихе I. Английские бирки-квитанции имели вид деревянных плашек четырёх 
футов длиной (около 120 сантиметров), на которых 
насечками 
отмечались 
тысячи, 
сотни и десятки фунтов, шиллинги и пенсы. 
При расщеплении «квитанции» пополам вдоль 
одна половина оставалась в казначействе, 
а другую выдавали в качестве расписки тому, кто приносил 
деньги, например, таможенным или акцизным чиновникам. 
В музее Банка Англии имеется экземпляр бирки, денежный эквивалент которой соответствует современным 25 тысячам 
фунтов стерлингов.
Только в 1826 году это положение о бирках было отменено — ибо в то время правительственные клерки уже все были 
обучены грамоте и счёту. В октябре1834 года при «утилизации» устаревших бирок-квитанций, накопленных за семь веков, произошёл пожар, уничтоживший здание Английского 
парламента.
Чарльз Диккенс так описал произошедшее:

«В 1826 году нам сказали, что счётные палочки 
уже не используются. У правительства скопились 
огромные запасы неиспользуемых счётных палочек; 
следовательно возник вопрос — что делать с таким количеством изношенного, гнилого, червивого, 
старого дерева? …Палочки хранились в Вестминстере, и мы — как и любой разумный человек — 
могли бы предположить, что эти палочки раздадут 
живущим в окрестностях беднякам на растопку 
каминов. Но случилось иначе: правительство не 
может позволить себе применить с пользой такое 
количество ресурсов. Поэтому решено было эти нелепые палочки сжечь — конечно, в обстановке строгой секретности. Они и были сожжены — в печи 
Палаты Лордов. От раскалившейся печи загорелась 

Счетные бирки

Глава 1.  От абака  до логарифмической линейки

деревянная обшивка на стенах, от обшивки — вся 
Палата Лордов, а от Палаты Лордов загорелась 
Палата Общин. Два здания сгорели дотла; и сейчас 
мы тратим уже второй миллион фунтов стерлингов на их восстановление…»

Во время пожара Парламента также сгорели эталонные 
меры фунта, фута и ярда — не говоря уж о многих плодах законотворчества британских заседателей.
В Российской империи половинки бирок привязывали, 
в том числе, к кулям с мукой и другими сыпучими грузами перед 
их отправкой покупателю. В этих случаях бирки играли роль 
платёжного требования. Именно из этой сферы использования 
слово «бирка» в дальнейшем перешло на любой ярлык товара. 
О распространении записей при помощи зарубок свидетельствует известное наше «крылатое» выражение «заруби себе 
на носу» — твёрдо запомни.
Название «карбованец», денежной единицы Украинской 
державы в 1918—1920 годах, а также украинское название имперского и советского рублей, по одному из предположений, 
возникло на Украине от слова карбіж — делать зарубки (на дереве) — способа записывать долги и хозяйственные расчёты 
с использованием насечек на палке.