Как испечь пи...

Автор идеи 
и научный редактор серии
СЕРГЕЙ ДЕМЕНОК

Митчелл Соколин

КАК ИСПЕЧЬ

УДК 51
ББК 22.1
С59

ISBN 978-5-6040743-4-3

© Соколин М., 2018, текст
©  Виролайнен А., 2018, перевод

на русский язык

© ООО «Страта», 2018, оформление

 
Соколин М.

 
 Как испечь Пи… / Митчелл Соколин. —                                
Пер. с английского Алёны Виролайнен.— СПб.: 
Страта, 2018. — 84 с., илл. — (серия «Просто»)

 
ISBN 978-5-6040743-4-3

Сила и красота математики заключается в том, каки
ми путями ищет ответы на вопросы эта наука, какими 
путями действует и как проливает свет на многие непонятные вещи. Именно этот свет позволяет ясно видеть 
и мыслить, а также является первым шагом к пониманию 
окружающего мира. Чтобы понять математику, необходимо обратить внимание на то, каким образом она изучает 
предметы и процессы. Зачастую в математике «процесс 
приготовления» гораздо важнее самих «ингредиентов». 
Автор книги приводит аналогии с самыми разными вещами, чтобы читателям было проще и интереснее понять, 
как работает математика, и доказывает, что одна из главных целей этой науки — упростить сложное.

Не менее содержательна и гастрономическая состав
ляющая. Автор сравнивает математические процессы 
с приготовлением блюд и дарит самые настоящие рецепты аппетитных десертов, достойных стать финалом стола, накрытого по случаю празднования даты, почитаемой 
всеми любителями математики: книга приурочена к Дню 
числа Пи — одной из главных математических констант, 
своеобразного символа этой науки.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть 

воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы 
то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая 
фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение 
в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

С59

УДК 51

ББК 22.1

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Что такое математика?   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Математическая абстракция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Генерализация, или обобщение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Мотивация: внутренняя или внешняя? . . . . . . . . . . . . . . 36
Аксиоматический метод в математике . . . . . . . . . . . . . . . 42
Логично/нелогично . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Что такое теория категорий? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Контекст  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Взаимоотношения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Сходство  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Универсальные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Подводя итоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Каждый год 14 марта любители математики 
празднуют День числа π, одного из самых популярных математических понятий.

Кто и когда впервые открыл число π, до сих пор загадка, 

однако известно, что в древнем Вавилоне этой константой уже 
пользовались строители.

Число π — математическая константа, которая равна от
ношению длины окружности к длине диаметра, равна она 
3,1415926535… вплоть до бесконечности.

Число π входит во многие математические, физические 

и технические формулы, в том числе не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности, через число π могут быть выражены разные математические величины, оно используется в теории хаоса и теории 
вероятностей, в комбинаторике, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии 
областях математики.

Помимо традиционного понимания π, есть масса других 

значений этого числа.

Так, при измерении размеров Великой пирамиды в Гизе 

оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к её длине, 
то есть ½ π.

Если рассчитать длину экватора Земли с использованием 

числа π с точностью до девятого знака, ошибка составит всего 
около 6 мм. Тридцати девяти знаков после запятой в числе π достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей 
известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью, не превышающей радиус атома водорода!

Вот такое универсальное число π! А все, что универсально, 

полезно для абстрактных идей, которыми с легкостью манипулирует математика. Этой науке и посвящена настоящая книга.

ВВЕДЕНИЕ

Шоколадное суфле

Масло сливочное 40
шоколад 40
яйца 40
сахар 50
мука 40

Масло и шоколад растопить на пару, остудить. Яйца с сахаром взбить 
миксером, добавить шоколад и муку, перемешать и выложить смесь 
в форму. Запекать в духовке 10 минут при 200 оС. *

М

атематика — это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций 

подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математика — великая и сложная наука, в связи с чем она окружена большим количеством мифов. Вот лишь некоторые из них.
Математика изучает только цифры

Можно считать, что предназначение микроволновой печи — 
разогревание пищи. Безусловно, разогревать готовые блюда — 
её прямое назначение, но, тем не менее, этот кухонный прибор 
может быть использован и для ряда других целей, например, 
таких, как приготовление овощей или курицы, топление масла, 
шоколада, размораживание рыбы. Аналогично и в математике — это наука не только о цифрах, но и обо многом другом: 
она изучает объекты, структуры и процессы.
Цель математики — получить правильный ответ

Кулинария — это всего лишь использование и комбинирование 
различных ингредиентов для приготовления вкусного блюда, 
не так ли? Но иногда основное внимание приковано к самому 
процессу приготовления блюда, нежели к составляющим его 

* 
Здесь и далее: вес ингредиентов приведен в граммах, рецептуры блюд 
рассчитаны на 4 порции

Как испечь пи…

ингредиентам, например, как в рецепте приготовления густых 
сливок, который включает в себя всего лишь один ингредиент — сливки, а инструкция представляет собой сам процесс 
их приготовления. Точно так же и математика изучает способы 
объединения одних идей для создания новых.
Математика — точная наука: ответ может быть 
только правильным или неправильным

И снова сравним математику с кулинарией: приготов
ление блюда может пойти не по плану — заварной крем 
свернётся, суфле вместо воздушного получится резиновым, 
а курица не прожарится, что сделает её и вовсе опасной для употребления в пищу. Но, иногда, когда процесс приготовления 
идёт не по плану, вы с удивлением обнаруживаете, что случайно или вынужденно изобрели совершенно новый рецепт. Здесь 
можно провести параллель с математикой: например, если вы 
скажете, что 10+4 = 2, вам ответят, что это неверно, потому что 
в школе учат складывать числа по точным правилам. Но если посмотреть на этот вопрос с другой стороны и при других обстоятельствах, например, когда речь идёт о времени, то ответ будет 
верным: если к 10 часам ночи прибавить 4 часа, то будет 2 часа 
ночи. Поверьте, мир математики гораздо куда более странный 
и интересный, чем вы могли себе представить.
Все математики — невероятно умные люди

Этот популярный миф является доказательством того, что большинство людей в мире считают математику очень сложной наукой. К сожалению, многие не понимают, что в действительности 
математика стремится к упрощению. В этом и заключается суть 
следующего вопроса о математике: получается, что если мы хотим сделать что-то проще, значит, до этого оно было сложным? 
Безусловно, математика — объёмная и непростая наука, но она 
стремится сделать сложные вещи более простыми. Иными словами, математика старается стать проще.

Многих людей математика сбивает с толку, вводит в заблу
ждение, а некоторые её и вовсе боятся, а иногда и то и другое 

Введение

7

случается одновременно. Это часто связано с тем, каким образом был преподнесён учебный материал на школьных уроках. 
Именно так случилось с автором: учителя физкультуры в школе считали, что как спортсмен я никуда не гожусь и что я — 
никчёмный командный игрок, это абсолютно отбило у меня 
интерес к занятиям спортом. Но сейчас я поддерживаю хорошую физическую форму и даже участвовал в беговом марафоне. 
Тем не менее любые командные виды спорта до сих пор вызывают у меня страх, что, весьма вероятно, связано со школьными 
воспоминаниями об уроках физкультуры. Так и в математике: 
очень важно бережно преподносить учебный материал на уроках в школе, чтобы в дальнейшем эта наука не вызывала у бывших учеников замешательства или страха.

Что исследуют математики? Невозможно же просто обна
руживать новые числа? Что же тогда можно изучать? Книга, 
которую вы держите в руках, — ответ на эти вопросы. Конечно же, у этих вопросов нет простого объяснения, они требуют 
времени и внимания к себе. В прошлом считалось, что математика заключается в измерении величин либо чисел. Но спустя 
некоторое время возникло определение математики как учения 
о бесконечных величинах. Чтобы приблизиться к пониманию 
того, что представляет собой математика, необходимо рассмотреть и прояснить некоторые нюансы и недоразумения о ней. 
Математика — наука далеко не только о цифрах, а иногда 
и не о цифрах вовсе. Теория категорий, взаимоотношения, контексты, процессы, принципы, структуры… В книге будут приводиться аналогии с разными вещами для того, чтобы читателям 
было проще и интереснее понять, как на самом деле работает 
и действует математика. Что бы вы ни думали, математика гораздо интереснее, чем можно представить.

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?  

Пирожное с кремом тирамису

Крепкий кофе 40
коньяк 10
сыр маскарпоне 60
яйца 80
печенье песочное 25
горький шоколад 25
сахар
соль

Отделить желтки от белков. Взбить белки с щепоткой соли (чтобы 
масса загустела и не вываливалась из миски). Взбить желтки с сахаром, добавить маскарпоне, аккуратно взбить на небольшой скорости. Ввести сырную массу во взбитые белки, медленно перемешать, 
поднимая лопаткой массу снизу вверх. В кофе добавить коньяк, 
печенье опустить в кофе на 1 секунду, выложить им дно приготовленной формы (высота 5–6 см). Сверху на печенье поместить крем, 
заполнив форму целиком. Убрать в холодильник на 6 часов. Готовое 
пирожное посыпать крошкой горького шоколада.

Т

очно так же, как в кулинарных рецептах, в математике 
присутствуют ингредиенты и способы их приготовле
ния. Согласитесь, соблюдение метода приготовления блюда — 
очень важная составляющая процесса, поэтому, чтобы понять 
математику, необходимо обратить внимание именно на то, 
каким образом она изучает предметы и процессы. Зачастую 
в математике «процесс приготовления» гораздо важнее самих 
«ингредиентов». Математика намного сложнее и интереснее 
той, какую преподавали нам на уроках в школе. Так что же такое 
математика?

Давайте сравним математику с…

книгой рецептов: что, если бы рецепты составлялись 
на основании имеющегося под рукой?

Как правило, процесс приготовления какого-либо блюда происходит следующим образом: вы решаете, что хотели бы пригото

Что такое математика? 

9

вить и съесть на ужин, затем идёте в магазин, покупаете все необходимые для его приготовления ингредиенты и отправляетесь 
на кухню. Но иногда может происходить наоборот: вы пошли 
за покупками в магазин или на рынок и внезапно какой-то продукт привлекает ваше внимание; например, сорт рыбы, который 
вы раньше не пробовали. Вы покупаете эту рыбу и только по 
дороге домой придумываете, какое блюдо и каким образом будете готовить.

Или вы покупаете какой-нибудь новый кухонный прибор 

и неожиданно для себя решаете попробовать приготовить с его 
помощью разные блюда. Допустим, вы купили блендер и тут же 
принялись экспериментировать, пытаясь приготовить в нём всё 
подряд: мороженое, картофельное пюре, крем-суп, коктейль 
или смузи.

Таким образом, к процессу приготовления пищи можно под
ходить с разных сторон, одна из которых является гораздо более 
практичной, чем другая. Большинство книг рецептов поделены 
на главы по названию блюд, но не по способам их приготовления: главы идут в порядке приготовления блюд из того или иного 
продукта: например, приготовление блюд из рыбы, затем блюд 
из птицы, затем супы, десерты и так далее. Бывает, что целая часть 
отведена рецептам приготовления блюд из какого-нибудь одного 
продукта, например, из овощей или курицы. Бывают главы, посвящённые приготовлению праздничных блюд. Но вряд ли вы 
найдёте в кулинарной книге главу под названием «Блюда, которые можно приготовить при помощи миксера», или «Рецепты 
блюд, в которых необходимо использовать кухонную лопатку».

Таким же образом происходит и с предметами и объектами, 

которые мы изучаем: мы пытаемся дать им объяснение в соответствии с изучающей их наукой. Что бы то ни было — ботаника, кулинария или парикмахерское искусство, как только мы 
решаем приступить к изучению чего-либо, мы начинаем пользоваться методами и техниками для исследования данного предмета или объекта либо же изобретаем новые.

Однако в математике изучение объектов обусловлено при
менением уже существующих методов и техник. Это похоже