Надежность технических систем и техногенный риск

НАДЁЖНОСТЬ 
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК

В.В. РЫКОВ
В.Ю. ИТКИН

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации 
по университетскому политехническому образованию 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению подготовки 
15.03.02 «Технологические машины и оборудование»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

Москва
ИНФРА-М
2020

Российский государственный университет нефти и газа 
(национальный исследовательский университет)
имени И.М. Губкина

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 62-192(075.8)
ББК 30.14я73
 
Р94

Рыков В.В.
Р94 
 
Надёжность технических систем и техногенный риск : учебное 
пособие / В.В. Рыков, В.Ю. Иткин. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
192 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-010958-9 (print)
ISBN 978-5-16-102989-3 (online)
Настоящее учебное пособие подготовлено на основе конспекта одноименного курса лекций, читавшихся в течение ряда лет одним из авторов студентам специальности «Безопасность технологических процессов 
и производств» Российского государственного университета нефти и газа 
(национального исследовательского университета) имени И.М. Губкина.
В курсе отражены три основных направления, связанные с техногенной 
безопасностью и технологическими рисками, – элементы теории надёжности, элементы общей теории риска и основы страховой математики.
От читателя требуется подготовка в объёме общего курса математики 
для технического университета. Необходимые дополнительные сведения 
приводятся в пособии. Несмотря на то что основной текст рассчитан на бакалавров специальности, пособие может быть использовано также при 
подготовке магистрантов и аспирантов различных инженерных специальностей, в которых изучаются курсы, связанные с надёжностью и рисками.

УДК 62-192(075.8)
ББК 30.14я73

ISBN 978-5-16-010958-9 (print)
ISBN 978-5-16-102989-3 (online)
© Рыков В.В., Иткин В.Ю., 2016

 

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 10.06.2020. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 12,0.
ППТ30. Заказ № 00000
ТК 360500-1124984-201015

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Введение

Настоящее учебное пособие подготовлено на основе конспекта

лекций одноименного курса, читавшихся одним из авторов студентам специальности 33.05.00 – Безопасность технологических процессов и производствРоссийского государственного университета
нефти и газа имени И.М. Губкина в течение ряда лет, опубликованного университетским издательством [14]. Несмотря на то, что пособие рассчитано в основном на бакалавров указанной специальности,
оно также может быть использовано при подготовке магистрантов и
аспирантов инженерных специальностей, в которых изучаются курсы, связанные с надёжностью и рисками.

В курсе отражены три основных направления, связанных с техно
генной безопасностью и технологическими рисками, – элементы теории надёжности, элементы общей теории риска и основы страховой
математики, составляющие три его части. Несмотря на существующие учебные и научные издания и материалы справочного характера, до настоящего времени не существует пособия, объединяющего
эти три направления.

Поэтому в связи с возрастающим вниманием к проблемам на
дёжности и рисков и обновлением учебных планов издательство
ИНФРА-М предложило переиздать это пособие, приспособив его к
новым потребностям. Материал первоначального издания был значительно обновлён и переработан в соответствии с новыми учебными
программами. Включены новые примеры, упражнения и задачи, отредактирован весь текст, заново оформлены рисунки и таблицы.

Основной единицей курса является параграф, представляющий

фактически материал отдельной лекции. Поэтому нумерация формул, рисунков, таблиц, теорем и т.п. своя внутри каждого параграфа,
при ссылках используется двойная нумерация.

Доказательства некоторых сложных теорем опущены, но интере
сующиеся студенты смогут их найти в специальной литературе, на
которую даются ссылки. Если же теорема доказывается, то доказательство завершается символом ✷.

В обработке первоначального конспекта лекций большое участие

приняли студенты РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина Алексей
Ляпин, Мария Иванова, Максим Мастерских, Владимир Бурулев и
Максим Мухин. Приносим им всем искреннюю благодарность.

Глава 1. Надёжность технических систем

§ 1. Основные понятия и показатели надёжности

1.1. Основные понятия

Приводимые ниже понятия соответствуют принятой в теории на
дёжности терминологии [10] и приводятся с учетом [4] и [7].

Под объектом в теории надёжности понимают элемент, техни
ческое изделие, установку, аппарат и вообще систему или её часть,
рассматриваемую с точки зрения их надёжности.

В дальнейшем при изучении простых объектов мы будем исполь
зовать термин изделие, а при изучении сложных (комплексных) объектов – термин система; термин элемент употребляется для обозначения минимальных составных частей системы.

Эксплуатация объекта (изделия или системы) – это совокупность

всех фаз его существования (транспортировка, хранение, использование, обслуживание и ремонт).

Надёжность объекта – это его комплексное свойство, отражаю
щее его способность выполнять определенные задачи при определенных условиях эксплуатации. Различные характеристики описывают
это свойство.

Под качеством объекта понимают совокупность свойств, опреде
ляющих степень его пригодности для использования по назначению.

Таким образом, надёжность объекта – это одна из составляющих

компонент его качества.

Согласно определению Б.В. Гнеденко [4], теория надёжности –

это научная дисциплина о закономерностях, которых следует придерживаться при проектировании, изготовлении, испытаниях и эксплуатации объекта для получения максимальной эффективности
при его использовании.

Теория надёжности оперирует такими понятиями, как безотказ
ность, отказ, долговечность, ремонт, ремонтопригодность объектов.

Под безотказностью понимается способность объекта сохранять

работоспособность в течение определенного интервала времени при
определенных условиях эксплуатации.

Отказ – это частичная или полная утрата таких свойств объек
та, которые существенно снижают работоспособность или приводят
к полной её потере. В связи с этим различают полные и частичные

Глава 1. Надёжность технических систем

отказы. Кроме того, отказы подразделяются на внезапные, при которых объект внезапно (не контролируемо) утрачивает работоспособность, постепенные, при которых работоспособность утрачивается
постепенно (обычно по мере выхода некоторых физических параметров за допустимые границы), и сбои (временная утрата работоспособности).

Долговечность – это способность объекта к длительной эксплуа
тации при необходимом техническом обслуживании.

Ремонт – это процедура, которая восстанавливает надёжность

объекта.

Ремонтопригодность – приспособленность объекта к предупре
ждению, обнаружению и устранению отказов.

Безопасность – это свойство объекта (системы, изделия) не со
здавать ситуации, опасные для людей и окружающей среды.

Дальнейшие понятия и определения будут вводиться по мере

необходимости.

Поскольку надёжность – это сложное и комплексное свойство

объектов, то оно характеризуется различными показателями (характеристиками). В этом параграфе мы рассмотрим различные показатели надёжности элементов и систем, работающих до первого отказа.

1.2. Надёжность невосстанавливаемых изделий

В этом разделе надёжность объекта изучается независимо от на
дёжности составляющих его частей, т.е. объект рассматривается как
единое целое, в связи с чем вместо термина объектбудем использовать термин изделие. Пусть изделие может находиться в двух
состояниях: работоспособном, которое будем обозначать цифрой 1,
и неработоспособном, или отказовом, которое будем обозначать цифрой 0.

Обозначим через T время безотказной работы1 (в.б.р.) нового из
делия. Заметим, что это случайная величина (с.в.), а её основная характеристика – её функция распределения (ф.р.) – это вероятность

1Наряду с этим термином, используется также термин длительность безот
казной работы. Также в технической литературе применяется термин наработка
– время работы объекта (до отказа, до отключения, до текущего момента времени и т.д.). Поэтому среднее время безотказной работы невосстанавливаемого
объекта называют также средней наработкой до отказа, а восстанавливаемого – средней наработкой на отказ (она показывает, какая наработка в среднем
приходится на один отказ).

§ 1. Основные понятия и показатели надёжности

того, что случайное время до отказа T не превысит фиксированного
времени t:

F(t) = P{T ≤ t}.
(1.1)

Здесь и далее символ P{·} означает вероятность события, заключенного в фигурные скобки. В случае непрерывных во времени наблюдений за работой изделия эта функция является непрерывной, а в случае дискретных наблюдений – ступенчатой неубывающей функцией.
Дополнительную функцию

R(t) = 1 − F(t) = P{T > t},
(1.2)

следуя математической терминологии, будем называть функцией надёжности1. Для непрерывного распределения графики этих функций представлены на рис. 1.1.

← R(t)

← F (t)

t
0
2
4
6
8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Рис. 1.1. Функции распределения длительности безотказной работы и надёжности некоторого изделия

При непрерывных наблюдениях с.в. T также характеризуется

своей плотностью распределения2 (п.р.), f(t) = F ′(t). При этом ф.р.

1Согласно ГОСТ 27.002–89 Надёжность в техникеэта функция называется

вероятностью безотказной работы в интервале времени (0, t), но мы будем
использовать более короткий термин, принятый в математической литературе.

2При малых ∆t величина f(t)∆t представляет собой вероятность отказа изде
лия в интервале (t, t + ∆t). Так как с практической точки зрения вероятность
измеряется частотой, эту величину называют также частотой отказов.

Глава 1. Надёжность технических систем

связана с п.р. соотношением

F(t) =

t0

f(u) du.
(1.3)

В случае когда время измеряется дискретно, вместо плотности используется дискретное распределение с.в.

fk = P{T = k∆},
(1.4)

где ∆ – используемая единица измерения времени (это может быть
минута, час, месяц, год и т.п.).

Помимо распределения длительности безотказной работы нового

изделия важной характеристикой его надёжности является условное распределение остаточной длительности безотказной работы
изделия, прослужившего время t, которая представляет собой условную вероятность отказа изделия в промежутке времени (t, t + x] при
условии, что до момента t отказа не произошло1,

F(x; t)
=
P{T ≤ t + x|T > t} = P{t < T < t + x}

P{T > t}
=

=
F(t + x) − F(t)

1 − F(t)
= R(t) − R(t + x)

R(t)
.
(1.5)

При малых значениях x имеем

F(x, t) =
f(t)

1 − F(t)x = λ(t)x,

где функция λ(t) представляет собой условную плотность распределения остаточной длительности работы изделия, проработавшего
время t. Более строго эта функция определяется соотношением

λ(t) = lim

∆t→0

1
∆t

F(t + ∆t) − F(t)

1 − F(t)
=
F ′(t)

1 − F(t) =
f(t)

1 − F(t)
(1.6)

и в математической литературе называется опасностью отказа2.

1Эту характеристику называют также вероятностью отказа изделия в про
межутке (t, t + x].

2Согласно ГОСТ 27.002–89 Надёжность в техникеэта функция называет
ся интенсивностью отказов. Однако последний термин используется в качестве одной из характеристик восстанавливаемых изделий, где имеет совершенно
другой смысл. Поэтому во избежание путаницы мы предпочитаем сохранить за
функцией λ(t) термин, обычно используемый в математической литературе.

§ 1. Основные понятия и показатели надёжности

Опасность отказа позволяет оценить вероятность отказа изделия,

проработавшего время t, за малое время ∆t,

P{t < T ≤ t + ∆t |T > t},

площадью под кривой, как показано на графике (рис. 1.2).

t + ∆t
t

λ

t

λ(t)

0

0

Рис. 1.2. Типичная функция опасности отказа

Соотношение (1.6) позволяет выразить ф.р. длительности безот
казной работы и функцию надёжности изделия через его опасность
отказа. Действительно, переписывая его в виде

d ln(1 − F(t)) = −λ(t) dt,

после интегрирования найдём

t0

d ln(1 − F(u)) du = −

t0

λ(u) du,

или с учетом отсутствия мгновенных отказов (т.е. F(+0) = 0), получим

ln(1 − F(t)) = −

t0

λ(u) du,

откуда

1 − F(t) = R(t) = exp




−

t0

λ(u) du




 .
(1.7)

Глава 1. Надёжность технических систем

Аналогично для условной вероятности безотказной работы в ин
тервале (t, t + x] найдём

F(x; t) = P{T ≤ t + x| T > t} = exp




−

t+x
t

λ(u) du




 .
(1.8)

Помимо функциональных характеристик длительность безотказ
ной работы изделий характеризуется соответствующими числовыми
показателями – средним временем безотказной работы, т.е. математическим ожиданием (м.о.) времени безотказной работы

µT = MT =

∞0

t f(t) dt =

∞0

(1 − F(t)) dt =

∞0

R(t) dt
(1.9)

и дисперсией времени безотказной работы

σ2

T = DT = M (T − µT )2 =

∞0

(t − µT )2 f(t) dt,
(1.10)

которая характеризует разброс значений длительности безотказной
работы вокруг её среднего значения.

Здесь и далее M и D – символы математического ожидания и

дисперсии.

1.3. Модели функций надёжности

Одной из важных задач теории надёжности является модели
рование распределений длительностей безотказной работы изделий.
Ниже приводятся некоторые из таких моделей с их характеристическими свойствами и возможными областями применения.

1.3.1. Показательное распределение

Показательное распределение длительности безотказной работы

используется для описания надёжности изделий, подверженных внезапным отказам. Его ф.р. имеет вид

F(t) = 1 − e−λ t
при
t ≥ 0,
(1.11)

§ 1. Основные понятия и показатели надёжности

где λ > 0 – параметр.

Функция надёжности таких изделий равна

R(t) = e−λ t,
(1.12)

а функция опасности отказа постоянна и совпадает с параметром
распределения λ:

λ(t) = f(t)

R(t) = λ.
(1.13)

Именно постоянство опасности отказов и позволяет рассматри
вать это распределение как распределение внезапных отказов. Более
того, постоянство опасности отказов является характеристическим
свойством показательного закона надёжности. Действительно, из
соотношения (1.7) имеем

R(t) = exp




−

t0

λ du




 = e−λ t.
(1.14)

Другим характеристическим свойством показательного распре
деления является отсутствие памяти, которое составляет содержание следующей леммы.

Лемма 1.1. Изделие обладает показательным законом надёжности тогда и только тогда, когда распределение остаточной длительности его безотказной работы не зависит от времени эксплуатации (возраста):

P{T > t + x|T > t} = P{T > x}.
(1.15)

Доказательство. Необходимость. Действительно, используя формулу условных вероятностей для показательного закона надёжности,
имеем

P{T > t + x|T > x}
=
P{T > t + x, T > t}

P{T > t}
= P{t > t + x}

P{T > t}
=

=
e−λ(t+x)

e−λ t
= e−λx = P{T > x}.

Достаточность. Для R(t) = P{T > t} из соотношения (1.15)

имеем уравнение

R(t + x) = R(t)R(x),