Начертательная геометрия

С.А. Фролов

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК

Москва
ИНФРА-М
2020

Допущено Министерством образования 
Российской Федерации для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки дипломированных 
специалистов в области техники и технологии

3-е издание, переработанное и дополненное

УДК 514(075.8)
ББК 22.151.3я73
 
Ф91

Рецензенты:

А.В. Верховский — доктор технических наук, профессор, зав. ка
федрой Московского государственного института электроники 
и математики (технического университета);

В.И. Лобачов — кандидат технических наук, доцент, зав. кафе
дрой Московского государственного технического университета им. 
Н.Э. Баумана

ISBN 978-5-16-010480-5 (print)
ISBN 978-5-16-102275-7 (online) 
© Фролов С.А., 1978, 1983, 2007

Фролов С.А.

Ф91 
    Начертательная геометрия : учебник / С.А. Фролов. — 3-е изд., перераб. 
и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 285 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010480-5 (print)
ISBN 978-5-16-102275-7 (online)

Подчеркнута роль инвариантных свойств ортогонального проецирова
ния в создании теоретической базы курса. Особое внимание уделено способам образования поверхностей, их заданию на эпюре Монжа.

Учебник соответствует примерной программе по начертательной гео
метрии для вузов технических направлений. 

Для студентов технических вузов.

УДК 514(075.8)

ББК 22.151.3я73

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 02.06.2020. 

Формат 70100/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Печать цифровая. Усл. печ. л. 23,16.
Доп. тираж 100 экз. Заказ № 00000

ТК  77700-1120362-270706

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                 http://www.infra-m.ru

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник предназначен для студентов технических вузов (кроме архи
тектурных и строительных специальностей).

Содержание учебника полностью соответствует новой программе по 

начертательной геометрии.

Второе издание подверглось значительной переработке. При подготов
ке рукописи к изданию были учтены отзывы и предложения, полученные 
автором от читателей и относящиеся как к содержанию, так и объему некоторых разделов учебника, в частности: внесены изменения в систему 
обозначений проекций геометрических фигур; строже изложен вопрос, 
касающийся инвариантных свойств ортогонального проецирования, и более четко подчеркнута их роль в создании теоретической базы курса начертательной геометрии; подробнее изложен материал, связанный с определителем поверхностей, и уточнена построенная на его базе систематизация наиболее распространенных видов поверхностей; внесены 
уточнения в классификацию позиционных и метрических задач; включен 
новый материал, связанный с построением плоскости, касательной к поверхности; изложение способов преобразования ортогональных проекций 
дано в главе I непосредственно за методом Монжа. Более раннее знакомство со способами преобразования ортогональных проекций позволяет 
использовать эти способы на всех этапах изложения курса. 

В третьем издании полностью сохранен дидактический принцип изло
жения материала – от общего к частному, а не наоборот, как это имеет 
место в большинстве курсов начертательной геометрии.

Для облегчения чтения чертежей они выполнены линиями двух цветов. 

Кроме того, чтобы легче представить «игру» геометрических образов в 
пространстве, многие чертежи, построенные по правилам ортогонального 
проецирования, иллюстрируются наглядными изображениями.

Глава IX написана А.А. Чекмаревым. Им же чертежи переведены в 

двухцветное изображение: реальные объекты даны черным, аппарат проецирования и вспомогательные построения, в основном, – зеленым цветом. 

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, 

в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучаются по их проекционным изображениям на плоскости (или какой-либо другой поверхности).

Основными задачами начертательной геометрии являются: а) создание 

метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности), 
б) разработка способов решения позиционных и метрических задач, связанных с этими фигурами, при помощи их изображений на плоскости 
(поверхности).

Начертательная геометрия по своему содержанию занимает особое по
ложение среди других наук: она является лучшим средством развития у 
человека пространственного воображения, без которого немыслимо никакое инженерное творчество.

Начертательная геометрия является теоретической базой для составле
ния чертежа – гениального изобретения человеческой мысли.

Чертеж – это своеобразный язык, с помощью которого, используя все
го лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков, букв 
и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности, в частности на плоскости, геометрические фигуры или их сочетания (машины, 
приборы, инженерные сооружения и т.д.). Причем этот графический язык 
является интернациональным, он понятен любому технически грамотному человеку независимо от того, на каком языке он говорит.

Решение задач способами начертательной геометрии осуществляется 

графическим путем. Простейшей геометрической операцией, которую 
приходится выполнять в процессе решения, является определение точки 
пересечения двух линий. Вследствие того, что все геометрические построения осуществляются с помощью только линейки и циркуля, линиями, точку пересечения которых следует определять, являются прямые и 
окружности. Иными словами, путем проведения отрезков прямых и дуг 
окружностей (в редких случаях участков лекальных кривых) в определенной последовательности, устанавливаемой теоремами и правилами начертательной геометрии, можно решать сложные задачи из различных 
областей науки и техники.

Возможность расчленения процесса решения задач на выполнение эле
ментарных, однотипных операций позволяет получить итерационные способы решения задач, которые легко и естественно могут быть автоматизированы с помощью вычислительной техники.

Использование начертательной геометрии является рациональным при 

конструировании сложных поверхностей технических форм с наперед заданными параметрами, применяемых в авиационной и автомобильной 

промышленности, при создании корпусов судов и судовых движителей и 
во многих других областях техники.

Достижения многомерной начертательной геометрии находят приме
нение при исследовании диаграмм состояния многокомпонентных систем 
и сплавов в тех случаях, когда другие способы исследования оказываются 
чрезвычайно сложными и не обеспечивают требуемой точности.

Известна роль начертательной геометрии в архитектуре, строительстве, 

изобразительном искусстве. Проекционные способы, разработанные в начертательной геометрии, дают возможность получать наглядные изображения проектируемых объектов и целых комплексов.

Благодаря начертательной геометрии появилась возможность изобра
жать на плоскости рельеф земной поверхности и решать простыми графическими способами задачи, связанные с проектированием дорог, каналов, 
тоннелей, а также определять объемы выполняемых при этом земляных 
работ.

Естественные науки достигают еще большего расцвета в тех случаях, 

когда изучаемые свойства сопровождаются доступными для человеческого 
восприятия наглядными геометрическими моделями.

Способы начертательной геометрии, позволяющие решать математи
ческие задачи в их графической интерпретации, находят широкое применение в физике, химии, механике, кристаллографии и многих других науках. Как и другие отрасли математики, начертательная геометрия развивает логическое мышление.

Приведенный далеко не полный перечень вопросов, которые составля
ют предмет исследования в начертательной геометрии, не оставляет сомнения, что начертательная геометрия входит в число фундаментальных 
дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображе
ния отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в 
курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и 
символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними 

могут быть подразделены на две группы:

группа I – обозначения геометрических фигур и отношений между ними;
группа II – обозначения логических операций, составляющие синтаксиче
скую основу геометрического языка.

Обозначения и символика

Ниже приводится полный список математических символов, использу
емых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые 
применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

ГРУППА I
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ 
И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается – Φ.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или 

арабскими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1, 2, 3, 4, ..., 12, 13, 14, ...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям 

проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

a, b, c, d, ..., l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фpoнтaль.
Для прямых используются также следующие обозначения:
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В;
[АВ) – луч с началом в точке А;
[АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ, ..., ζ, η, ν, ... 

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать 

геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α (a || b) – плоскость α определяется параллельными прямыми a и b;
β (d1d2gα) – поверхность β определяется направляющими d1 и d2, об
разующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:
∠ABC – угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ..., ∠ϕ°, ...

6. Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком , который 

ставится над углом:

ABC
– величина угла АВС,
ϕ°
– величина угла ϕ.
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри 
.

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя 

вертикальными отрезками – | |.

Обозначения и символика

Например:

|АВ| – расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);
|Аа| – расстояние от точки А до линии а;
|Aα| – расстояние от точки А до поверхности α;
|ab| – расстояние между линиями а и b;
|αβ| – расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, 
где π1 – горизонтальная плоскость проекций;
 
π2 – фронтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей по
следние обозначают π3, π4 и т.д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х – ось абсцисс; у – ось ор
динат; z – ось аппликат.

Постоянную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фи
гуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, 
с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, 
на которой они получены:

A′, B′, C′, D′, ..., L′, M′, N′, ... – горизонтальные проекции точек;
A′′, B′′, C′′, D′′, ..., L′′, M′′, N′′, ... – фронтальные проекции точек;
a′, b′, c′, d′, ..., l′, m′, n′, ... – горизонтальные проекции линий;
a′′, b′′, c′′, d′′, ..., l′′, m′′, n′′, ... – фронтальные проекции линий;
α′, β′, γ′, δ′, ..., ζ′, η′, ν′, ... – горизонтальные проекции поверхностей;
α′′, β′′, γ′′, δ′′, ..., ζ′′, η′′, ν′′, ... – фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, 

что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α, 
подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h0α – горизонтальный след плоскости (поверхности) α;
 
f0α – фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с кото
рых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: Ha – горизонтальный след прямой (линии) а;
 
Fa – фронтальный след прямой (линии) а.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается под
строчными индексами 1, 2, 3, …, n:

A1, A2, А3, ... , An;

Обозначения и символика

а1, a2, a3, ... , an;

α1, α2, α3, ... , αn;

Φ1, Φ2, Φ3, ... , Φn и т.п.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразо
вания для получения действительной величины геометрической фигуры, 
обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A0, В0, C0, D0, ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозна
чаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

A0, B 0, C 0, D 0, …

10, 20, 30, 40, ...

a0, b0, c0, d 0, ...

α0, β0, γ0, δ0, ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего ин
декса 1:

A10, B 10, C 10, D10, …

110, 210, 310, 410, …

a10, b10, c10, d10, ...

α10, β10, γ10, δ10, ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюст
ративного материала использованы два цвета, каждый из которых имеет 
определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета 
обозначены исходные данные и результаты. Зеленый цвет использован 
для линий вспомогательных графических построений.

Таблица 1

Б. Символы, обозначающие отношения 

между геометрическими фигурами

№
Обозначение
Содержание
Пример символической записи

1
≡
Совпадают
(AB) ≡ (CD) – прямая, проходящая 
через точки А и В, совпадает с 
прямой, проходящей через точки 
С и D

Обозначения и символика

2
Конгруентны
∠ABC ∠MNK – угол АВС конгруентен углу MNK

3
Подобны
ΔABC ΔMNK – треугольники 
АВС и MNK подобны

4
| |
Параллельны
α | | β – плоскость α параллельна 
плоскости β

5
⊥
Перпендикулярны
a ⊥ b – прямые a и b перпендикулярны

6
•—
Скрещиваются
c •— d – прямые с и d скрещиваются

7
∩
—
Касательные
t ∩
— l – прямая t является касатель
ной к линии l
β ∩
— α – плоскость β касательная к 

поверхности α

8
→
Отображаются
Φ1 → Φ2 – фигура Φ1 отображается на фигуру Φ2

9
S
Центр проецирования. Если центр 
проецирования 
несобственная точка, 
то его положение 
обозначается стрелкой, указывающей 
направление проецирования

–

10
s
Направление 
проецирования

–

11
P
Параллельное 
проецирование

P α

s – параллельное проецирование 

на плоскость α в направлении s

Продолжение таблицы 1

В. Обозначения теоретико-множественные

№
Обозна
чение
Содержание
Пример 

символической записи

Пример символической 

записи в геометрии

1
M, N
Множества
–
–

2
А, В, С, ...
Элементы 
множества

–
–

3
{…}
Состоит из ...
Φ{A, B, C, ... }
Φ{А, В, С, ...} – фигура Φ
состоит из точек А, В, С, ...

4
∅
Пустое 
множество

L – ∅ – множество L
пустое (не содержит 
элементов)

–

Обозначения и символика

5
∈
Принадлежит, 
является элементом

2 ∈ N (где N – множество натуральных 
чисел) – число 2 принадлежит множеству N

A ∈ a – точка А принадлежит прямой а (точка А
лежит на прямой а)

6
⊂
Включает, 
содержит

N ⊂ M – множество N
является частью (подмножеством) множества M всех рациональных чисел

a ⊂ α – прямая а принадлежит плоскости α
(понимается в смысле: 
множество точек прямой 
а является подмножеством точек плоскости α)

7
∪
Объединение
C = A ∪ B – множество С есть объединение множеств A и В; 
{1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 
3} ∪ {4, 5}

ABCD = [AB] ∪ [BC] ∪
∪ [CD] – ломаная линия, 
ABCD есть объединение 
отрезков [АВ], [ВС], [CD]

8
∩
Пересечение 
множеств

M = K ∩ L – множество М есть пересечение множеств K
и L (содержит в себе 
элементы, принадлежащие как множеству 
K, так и множеству L). 
M ∩ N = ∅ – пересечение множеств М и 
N есть пустое множество (множества M
и N не имеют общих 
элементов)

a = α ∩ β – прямая a есть 
пересечение плоскостей 
α и β

a ∩ b = ∅ – прямые а и b 
не пересекаются (не имеют общих точек)

Продолжение таблицы 1

ГРУППА II
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№
Обозначение
Содержание
Пример символической записи

1
∧
Конъюнкция предложений; соответствует союзу 
«и». Предложение (p ∧ q) 
истинно тогда и только 
тогда, когда р и q оба 
истинны

α ∩ β = {K : K ∈ α ∧ K ∈ β} 
Пересечение поверхностей α
и β есть множество точек 
(линия), состоящее из всех 
тех и только тех точек K, 
которые принадлежат как 
поверхности α, так и поверхности β

Обозначения и символика