Моделирование систем управления с применением Matlab

МОДЕЛИРОВАНИЕ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
С ПРИМЕНЕНИЕМ 
MATLAB

Москва
ИНФРА-М
2020

А.Н. ТИМОХИН, Ю.Д. РУМЯНЦЕВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под редакцией А.Н. Тимохина

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 
15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 681.5:519.71(075.8)
ББК 32.97я73
       Т41

Отв етс твенный  ре д а к то р: 
кандидат технических наук, доцент А.Н. Тимохин 

Р е ц е н з е н т ы : 
И.Г. Цитович, д-р техн. наук, профессор кафедры технологии трикотажного производства Текстильного института им. А.Н. Косыгина 
Московского государственного университета дизайна и технологии;
Д.В. Масанов, канд. техн. наук, начальник технического отдела 
ООО «Премиум Комфорт»

Тимохин А.Н.
Т41 
  Моделирование систем управления с применением MatLab : учебное 
пособие / А.Н. Тимохин, Ю.Д. Румянцев ; под ред. А.Н. Тимохина. — 
Москва : ИНФРА-М, 2020. — 256 с. + Доп. материалы [Электронный 
ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/14347.

ISBN 978-5-16-010185-9 (print)
ISBN 978-5-16-102042-5 (online)

Рассматриваются вопросы моделирования систем автоматического 
регулирования.
Предназначено для студентов направления подготовки 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств» и других инженернотехнических направлений подготовки, а также магистров и аспирантов 
по специальности 15.04.04 «Автоматизация технологических процессов 
и производств». Также будет полезна студентам, аспирантам, инженерам, 
преподавателям вузов и техникумов, занимающимся автоматизацией систем 
управления с применением программы MatLab.

УДК 681.5:519.71(075.8)
ББК 32.97я73 

  
© Тимохин А.Н., Румянцев Ю.Д., 2015
ISBN 978-5-16-010185-9 (print)
ISBN 978-5-16-102042-5 (online)

Материалы, обозначенные знаком 
,  доступны 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено на основе лекций, читаемых по 

курсу «Моделирование систем управления» на кафедре автоматики 
и промышленной электроники ФГБОУ ВПО «МГУДТ». Базовыми 
дисциплинами курса являются: «Высшая математика», «Основы 
физики» и «Теория автоматического управления». В пособии рассматриваются модели систем управления текстильных производств.
Уделяется внимание принципам получения моделей различными 
способами, параметрической идентификации и исследованию качественных показателей полученных систем управления.

Особое внимание уделено практическому применению полученных знаний. Каждый раздел содержит детально разработанные примеры с программами на языке MatLab, способствующие более легкому усвоению материала. 

Подготовлено к печати на кафедре автоматики и промышленной 

электроники.

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития науки и техники быстрая 

смена номенклатуры выпускаемой продукции приводит к необходимости интенсификации процессов создания приборов новой техники, повышения качества разработок с одновременным снижением 
затрат финансовых, трудовых ресурсов и сроков выполнения. Это 
можно обеспечить только применением новой технологии проектирования, основанной на использовании методов математического 
моделирования и вычислительной техники.

В настоящее время моделирование является основным методом 

исследований во всех областях знаний и научно­обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для 
принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. 
С помощью математических моделей, реализуемых на современных 
ЭВМ, проектируемые системы можно эффективно исследовать, добиваясь получения необходимой информации.

Моделирование представляет собой процесс замещения рассматриваемой технической системы (объекта) его моделью, на которой 
и проводятся исследования с целью получения информации об объекте (лат. objection — предмет).

Модель (от лат. modulus — мера, образец, норма) — это физический 

или абстрактный образ моделируемого объекта, который позволяет 
адекватно (с приемлемой точностью) отображать интересующие исследователя свойства и характеристики объекта. Полученные на модели результаты могут быть затем перенесены на объект.

Модель способствует проведению исследований, характеризующихся различными факторами: уменьшением материальных затрат; 
сокращением времени на исследование; доступностью и легкостью 
получения информации в желаемой форме.

На российском рынке компьютерных технологий есть продукт, 

позволяющий весьма эффективно решать указанные проблемы, — 
пакет MatLab различных версий, которые постоянно совершенствуются. Этот пакет содержит в своем составе инструмент визуального 
моделирования Simulink, который сокращает время моделирования 
и позволяет достичь ожидаемого эффекта с меньшими затратами сил.

Если библиотека Simulink не позволяет получить приемлемую 

модель реального объекта, то имеется широкая возможность разработки программы моделирования непосредственно в среде MatLab. 
Примеры применения среды моделирования в Simulink и MatLab
приводятся в этой книге.

1
ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

При разработке технических систем на начальном этапе применяют физическое или математическое моделирование.

1.1.
ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

При создании сложных технических систем до недавнего времени широко применялось физическое моделирование. Сначала изготавливался макетный, или опытный, образец технической системы,
на котором проводились испытания, определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения заданных технических требований. Если 
вариант технической системы оказывался неудачным, все повторялось 
сначала, т.е. осуществлялось повторное проектирование, изготовление 
опытного образца, испытания и т.д. Для удешевления процесса макетирования образец часто изготавливался значительно меньших размеров. Например, модель исследовательского генератора в лаборатории, служащая, для построения затем генератора ГЭС. 

При физическом моделировании процессы, протекающие в модели и оригинале, имеют одинаковую физическую сущность.

В процессе физического моделирования исследование проводится на образцах, установках и макетах, имеющих в той или иной 
степени одинаковую физическую природу с моделируемыми процессами, но имеющих значительно меньшие размеры. Основой для построения физических моделей является теория подобия и размерностей, которая позволяет полученные на модели результаты и выводы 
переносить на моделируемую систему. То есть при физическом моделировании необходимы критерии подобия.

Критерий подобия — безразмерная величина, составленная из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое 
физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия 
для двух физических явлений и систем — необходимое и достаточное 
условие физического подобия этих систем.

Пример

Существуют два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока 
происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа). 

Рис. 1.1. Профили скорости при ламинарном и турбулентном течении

Ламинарное
Турбулентное

vmax = 2(v)
vmax = 1,23(v)

Ламинарное течение жидкости, как правило, наблюдается при 

небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из­за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. 
Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние 
до поверхности трубы; при этом наибольшей скоростью обладает 
слой, который движется вдоль оси трубы. 

При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, которые перпендикулярны течению, и они 
могут двигаться из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости 
быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем 
изменяется незначительно. Так как частицы жидкости могут перейти 
из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из­за большого градиента скоростей у поверхности трубы 
обычно происходит образование вихрей. 

Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис. 1.1) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы 
и меньшей кривизной в центральной части течения. 

Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой 

числом Рейнольдса (О. Рейнольдс (1842–1912) — английский ученый): 

Re
( ) ,
=
=
ρ( )
v
v d
d

η
ν

где n = h / r — кинематическая вязкость; r — плотность жидкости; (n) — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, 
например диаметр трубы; h — динамическая вязкость. 

При малых значениях числа Рейнольдса (Re ≤ 1000) наблюдается 

ламинарное течение, область перехода от ламинарного течения 
к турбулентному происходит при 1000 ≤ Re ≤ 2000, а при Re = 2300 
(для гладких труб) течение — турбулентное. Если число Рейнольдса 
одинаково, то режим течения различных рассматриваемых жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков. 

Статическое подобие применил при разработке проекта арочного 

моста пролетом 300 м И.П. Кулибин. Исследования он проводил на 
деревянных моделях в 1 / 10 натуральной величины. В них было впервые учтено, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собственный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов — 
в k2 раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния 
собственного веса в модели возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Предложенный метод моделирования собственного 
веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» 
моделей в центрифугах.

Примером удачного использования методов моделирования является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы и все раскосы 
и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. 
Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической 
проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука 
определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления 
моста.

Развитие учения о подобии долгое время шло путем определения 

частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. Наконец, в 1909–1914 гг. в результате работ 
Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована 
в первой редакции пи­теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции 
характеристик модели в характеристики оригинала при физическом 
моделировании.

Достоинство

Физическое моделирование, используя критерии подобия, позволяет наиболее полно воспроизводить свойства исследуемого процесса, которые теоретически не могут быть учтены.

Недостатки

1. В случае сложных систем получается большой набор критериев 

подобия, которые часто нельзя реализовать.

2. Модели сложных устройств дороги, трудоемки, вариации параметров на них затруднены.

1.2. 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Математическое моделирование позволяет с помощью математических зависимостей составить описание функционирования
технических систем в окружающей внешней среде, определить интересующие исследователя выходные параметры и характеристики, 
получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании 
в большей части случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить время и материальные ресурсы, 
обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов 
системы проектирования в этом случае становится математическая 
модель.

Математическая модель (ММ) — это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая 
физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве 
математических объектов выступают числа, переменные, множества, 
векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической 
модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели 
в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. 

Выделяют три этапа математического моделирования: построение

ММ (формализация задачи), исследование (анализ модели) и использование (синтез решения). В результате исследования по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Для этапа 
синтеза, наоборот, характерны обратные задачи: определение входов 
системы по заданным (желаемым) значениям ее выходов. Математическую модель можно встраивать также в управляющую систему 
с целью получения недостающей информации об объекте. Так что 
использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.

Математическое моделирование использует принцип математического подобия, который заключается в том, что различные по фи

Рис. 1.2. Схема зарядки конденсатора

Uвых
Uвх
C

I

R

зической и химической природе процессы и явления описываются 
одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим два примера.

1. 
Зарядка конденсатора через сопротивление
от цепи постоянного тока
Определим аналитически уравнение, описывающее этот процесс. Как следует из рис. 1.2, по закону Кирхгофа 

Uвх = UR + UC.
(1.1)

Заменим UR на IR по закону Ома:

Uвх = IR + UC.
(1.2)

Ток, протекающий через конденсатор, равен

I
C dU

dt

C
=
.
(1.3)

Так как в замкнутом контуре он одинаков, то уравнение (1.2) 

можно написать в следующем виде:

U
RC dU

dt
U
C

C
вх =
+
,
(1.4)

откуда

RC dU

dt
U
U
вых

вых
вх
+
=
.
(1.5)

Произведение RC имеет размерность «секунда», поэтому обозначим его постоянной времени Т:

RC b

a

a c

b
T
⋅
⋅
→
[ ];
c

T dU

dt
U
U
вых

вых
вх
+
=
.
(1.6)

Решим это уравнение методом разделения переменных:

T dU

dt
U
U
вых

вх
вых
=
−
;
(1.7)

T
dU

U
U
dt
вых

вх
вых
−
=
.
(1.8)

Обе части уравнения представляют собой табличные интегралы:

−
−
(
) =
+
T
U
U
t
ln
.
вх
вых
const
(1.9)

Определим постоянную составляющую const при t = 0:

(
)
вых
вх
const =
ln
.
C
T
U
U
−
−
(1.10)

Подставим ее значение в (1.9):

вых
вх

вх
вых

ln
.

C
U
U

T
t
U
U

−
=
−
(1.11)

Умножим обе части уравнения на –1, чтобы поменять местами 

числитель и знаменатель:

вых

вх
вых

вх

ln
;

C

U
U
T
t
U
U

−
= −
−
(1.12)

вых

вх
вых

вх

ln
.

C

U
U
t

U
U
T

−
= −
−
(1.13)

Выполним потенцирование:

вых

вх
вых

вх

.

t
T

C

U
U
e
U
U

−
−
=
−
(1.14)

Произведем алгебраические преобразования, чтобы определить 

Uвых:

вых
вх
вых
вх
;

t
t

T
T
C
U
U
U
e
U
e

−
−

−
=
⋅
−
(1.15)