Скольжение вдоль временных рядов

Светлой памяти Юлии

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

201СКОЛЬЖЕНИЕ 

ВДОЛЬ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Н АУ Ч Н А Я  К Н И ГА
Н АУ Ч Н А Я  К Н И ГА

Монография

Ю.Я. АГРАНОВИЧ,   Н.В. КОНЦЕВАЯ

Финансовый университет 

при Правительстве Российской Федерации

Воронежский государственный технический университет

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 

в соответствии с п.1 ч.2 ст.1

УДК  002.6(075.4)
ББК  32

А25

Агранович Ю.Я., Концевая Н.В.
Скольжение вдоль временных рядов: монография / Ю.Я. Агранович, 

Н.В. Концевая. — М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2019. — 90 с. — 
(Научная книга).

ISBN 978-5-9558-0483-5 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-011634-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103991-5 (ИНФРА-М, online)

Монография посвящена изучению некоторых специальных свойств 

метода скользящего суммирования. Здесь неожиданно и причудливо 
переплетаются числа Фибоначчи и многоугольные числа, формула 
Эйлера — Маклорена и кубические кривые, комплексный и вещественный анализ. Основные результаты публиковались авторами в центральной печати, а также в сборниках конференций. В некоторых главах 
есть учебные задачи, решение которых доставит удовольствие вдумчивому читателю. Кроме того, текст содержит задачи, которые могут 
служить основой для самостоятельных исследований. Некоторые темы 
могут быть использованы для работы небольшого научного семинара.

Книга будет полезной для аспирантов и научных работников, спе
циализирующихся в области эконометрики и математических методов 
обработки информации.

А25

© Вузовский учебник, 2015

ISBN 978-5-9558-0483-5 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-011634-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103991-5 (ИНФРА-М, online)

УДК  002.6(075.4)
ББК 32

А в т о р ы :
Ю.Я. Агранович, д-р физ.-мат. наук, проф., профессор кафедры авто
матизированных и вычислительных систем Воронежского государственного технического университета;

Н.В. Концевая, канд. экон. наук, доц., доцент кафедры системного ана
лиза и моделирования экономических процессов Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

Р е ц е н з е н т ы :
В.В. Угрозов, д-р физ.-мат. наук, проф., профессор кафедры приклад
ной математики Финансового университета при Прави тельстве РФ;

И.Н. Щепина, д-р экон. наук, доцент кафедры информационных тех
нологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета

ВВедение

Информатика первоначально появилась как раздел теории связи. 
Однако статистический анализ погрешности передачи сообщений 
сравнительно быстро уступил место теоретико-числовому подходу. 
Основы такого понимания были заложены К. Шенноном и Н. Винером. По-видимому, в целом это привело к актуализации дискретной 
математики, и в настоящее время теоретическую информатику можно 
считать частью прикладной теории чисел. Одним из основных объектов исследования теоретической информатики являются временные 
ряды. Наша небольшая книжка почти полностью посвящена изучению задач, связанных с процессами «скольжения» вдоль временного 
ряда. Такие процессы появились более 100 лет назад и служили чуть 
ли ни единственным способом сгладить или выровнять многочисленные однотипные эмпирические данные. 
Теперь о том, про что эта книга. Вообще необходимо отметить, что 
изустная форма передачи знания была и, рискнем сказать, остается наиболее плодотворной. Немедленная обратная связь позволяла развиваться учителю и ученикам, делая их соавторами и союзниками, определяющими облик научной школы. По видимому, такая форма обучения была присуща Древнему Египту. Более позднее греческое знание 
уже в значительной мере тяготело к тексту, к письменной форме передачи информации. Хотя вот интересный парадокс: именно хранитель Александрийской библиотеки Эратосфен (276–196 гг. до Р.Х.), 
известный как автор «решета Эратосфена», наверное одного из самых перспективных способов изучения свойств целых чисел, мог позволить себе столь свободное, по существу лекционное, отношение к 
письменному тексту. Возможно, именно как хранитель библиотеки 
он, как никто другой, ощущал присутствие египетской формы знания? Лекционная форма передачи знания с многочисленными поясняющими рисунками, терминами, ссылками на различные литературные источники, наиболее важными кусками формулировок — и всё это 
постоянно варьируется на доске. Как можно совместить такое свободное отношение к тексту, то и дело возникающему на доске, с внутренним смыслом лекций, с их семантикой (теоретическая информатика),  
т.е. с изучением способов передачи и хранения информации? Да, так 
вот о книге. Книга всего лишь о наблюдениях за последовательностями чисел в окно заданной ширины. Здесь можно представить себе чи

тателя, который едет в поезде и смотрит в окно на кем-то написанные 
в ряд числа. Это наш воображаемый читатель. Понятно, что он отличается от реального читателя, т.е. от того, который сейчас читает этот 
текст. Нам интересны оба этих читателя. Воображаемый, перед тем как 
сесть в поезд, видел удивительный сон. Ему приснилось, что старый 
волшебник или маг (он точно не понял, кто это был) сообщил ему новый, неизвестный ранее закон природы — закон, который совсем скоро вступит в силу. Известно, что население Земли растет и в тот момент, когда количество живых сравняется с количеством умерших ранее людей, произойдет инверсия — что-то вроде квантового перехода: 
все живые умрут, а все мертвые воскреснут и займут места живых. Причем, для того чтобы эта инверсия сработала, достаточно, чтобы равенство продержалось хотя бы пять секунд. Понятно, какими страшными 
бедами это грозит для человечества. За пультом управления атомной 
электростанции окажется человек, рожденный много веков назад, и 
пока он будет глазеть на мигающие лампочки, может произойти разрушительный взрыв. Поезда начнут сталкиваться и сходить с рельсов, 
самолеты — падать, ну и так далее. Последствия нетрудно представить, 
и единственным спасением для всех оказывается неравенство числа 
рожденных и умерших за каждые пять последовательных секунд. Это 
и есть принцип скользящего окна постоянной ширины.
Реальный читатель, которому такой сон еще не снился, может, конечно, засомневаться: может ли быть интересным простое слежение за 
рядом чисел? Другое дело — раскладывать числа на сомножители, складывать, делить или еще что-то с ними делать. Тут и можно наткнуться на интересные задачи. И он прав. Мы действительно не предлагаем ему просто так следить за числами в окошко. Мы предлагаем нечто 
совсем другое. Уже в первой главе мы проведем небольшой эксперимент с числами Фибоначчи только для того, чтобы почувствовать, что 
из этого может получиться.
Таким образом, вниманию читателя предлагается книжка, занимающая промежуточное положение между монографией и авторским 
учебным пособием. Ее содержание заполняет зазор между стандартными учебными руководствами и журнальной литературой. Список 
оригинальных журнальных статей приведен в конце книги. Некоторые из приведенных нами задач направлены на продолжение и углубление исследований, представленных в указанных статьях.
Авторы благодарны заведующему кафедрой математики и информатики Воронежского государственного университета профессору Владимиру Львовичу Хацкевичу, с которым постоянно обсуждались полученные результаты; студентам бакалавриата, магистратуры и аспирантуры Воронежского государственного технического университета 
и Воронежского филиала Российской академии народного хозяйства и 
Государственной службы при Президенте РФ, которые в разное время 

принимали участие в обсуждениях, численных экспериментах, переводах на английский язык и компьютерных наборах в различных редакторах текстов, включенных в данную книгу. Это прежде всего А.С. Демёхина, Ф.Г. Логинов, Н.О. Мыскова, А.В. Ляшенко, И.Н. Стариков, 
М.В. Фёдорова, А.С. Чернова, А.Н. Шелудяков, а также все участники субботнего семинара кафедры автоматизированных и вычислительных систем ВГТУ. 
Наша особая благодарность заведующему кафедрой профессору 
Семену Леонидовичу Подвальному, без пристального внимания которого и постоянной поддержки наших исследований данная работа 
не могла бы состояться. 
Авторы благодарны ректору Воронежского государственного технического университета профессору Владимиру Романовичу Петренко, плодотворное взаимодействие с которым позволяет проводить настоящие исследования.
Авторы благодарны фонду РФФИ за финансовую поддержку настоящих исследований. Грант № 14-01-00253а.

Глава 1 
ПРедельное ПоВедение коРней 
скользящих лАкунАРных 
мноГочленоВ для дВустоРонней 
ПоследоВАтельности чисел 
ФибонАччи

В этой главе показано, что корни лакунарных многочленов, скользящих 

вдоль последовательности чисел Фибоначчи вправо, стремятся к вершинам правильных многоугольников, вписанных в окружность с радиусом, 
равным «золотому сечению», а при сдвиге влево — к многоугольникам, 
инверсным относительно единичной окружности1.

Процессы скользящего суммирования чрезвычайно часто используются для обработки динамических рядов и давно снискали себе репутацию надежного метода извлечения информации из числовых данных. Некоторые недавние результаты, полученные в области весового 
скользящего сглаживания методом многоугольных чисел2 показывают важность полиномиальных интерполяций при выборе ширины и 
расположения окна сглаживания3. В связи с этим возникает ряд новых 

1 См.: Агранович Ю.Я., Шелудяков А.Н. Предельное поведение корней скользящих 
лакунарных многочленов для двусторонней последовательности чисел Фибоначчи // 
Воронежского государственного технического университета. — 2013. — Т. 9. — № 2. — 
С. 21–23.
2 Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Подвальный С.Л., Хацкевич В.Л. Метод многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов // Системы управления и информационные технологии. — 2009. — № 4(38). — С. 30–34; Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., 
Хацкевич В.Л. Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе многоугольных чисел // Прикладная эконометрика. — 2010. — № 3(19). — С. 3–8; 
Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Хацкевич В.Л. Метод многоугольных чисел в процедуре 
сглаживания временных рядов и приложения к исследованию финансовых рынков // 
Экономика и математические методы. — 2010. — Т. 46. — Вып. 3. — С. 71–81.
3 См.: Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Подвальный С.Л., Хацкевич В.Л. Синтез статистического и детерминистского методов в проблеме сглаживания временных рядов // 
Системы управления и информационные технологии. — 2011. — № 4(46). — С. 4–7; Агранович Ю.Я., Концевая Н.В., Подвальный С.Л., Хацкевич В.Л. Скользящее усреднение на 
основе минимизации невязки в формуле Эйлера — Маклорена // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2011. — Т. 7. — № 12. — С. 4–6; Агранович Ю.Я., Концевая Н.В. Метод определения параметров сглаживания временных рядов на основе минимизации невязки в формуле Эйлера — Маклорена // Современная 
экономика. Проблемы и решения. — 2011. — № 7(18). — С. 131–137; Агранович Ю.Я., 
Концевая Н.В. Формула Эйлера–Маклорена в теории скользящего усреднения // Международный научно-исследовательский журнал. — 2012. — № 5(5) (ч. 1). — Стр. 5, 6; 

неожиданных задач, одна из которых состоит в исследовании предельного поведения корней многочленов с коэффициентами, скользящими вдоль некоторой числовой последовательности, определенной линейным рекуррентным соотношением с постоянными коэффициентами. Решение одной из таких задач представлено ниже.
Рассмотрим двустороннюю последовательность чисел Фибоначчи

Fn, n ∈Z; F0 = 0; F1 = 1, …, Fn+2 = Fn+1 + Fn
…–21, 13, –8, 5, –3, 2, –1, 1, 0 , 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…    (1.1)

и семейство скользящих многочленов степени n с коэффициентами из 
последовательности (1.1):

Pn+m (z) = Fn+mzn + Fn+m+1zn–1 +…+ F2n+m, m ∈Z.               (1.2)

Нас интересует предельное поведение корней многочленов (1.2) 
при m→+∞ m→–∞.
Рассмотрим сначала случай, когда m→+∞. Не ограничивая общ
ности, будем сразу считать, что m ≥ M ≥ –n. Подставляя Fn+m в форме Бинэ

(1.3)

в (1.2), получим следующую цепочку равенств:

(1.4)

Таким образом, корни многочленов семейства (1.2) являются решениями уравнений

(1.5)

Концевая Н.В. Анализ методов заполнения пропусков во временных рядах показателей 
финансовых рынков // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2012. — Т. 8. — № 8. — С. 18–20; Концевая Н.В. Метод рандомизации заполнения пропусков во временных рядах при исследовании рыночных показателей // Системы управления и информационные технологии. — 2012. — Т. 48. — № 2.2. — С. 259–263.

{
}

1
1
1
2
2

1
2
2
1

1
1

1
5
1
5

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)

(
)
(
)
(
)
(

( )
[
(
)
]
[
( )
]
...
[
(
)
]

{
...

[
(
)
(
)(
)
...
(
)
(
)
(
) (
)

n
n m
n m
n
n m
n m
n m
n m
n m

n m
n
n
n
n
n

n
n m
n
n m
n
n m
n
n

P
z
z
z

z
z
z
z

z
z
z

+
+
−
+
+
+
+
+
+
+

+
−
−
−

+
−
+
−
+

=
φ
− −φ
+
φ
− φ
+
+ φ
− −φ
=

=
φ
+
φ +
φ +
+ φ
+ φ −

φ
φ
φ
φ
−
−
+
−φ −
+
+
−φ
−
+ −φ
−
φ
φ
φ
φ












)]}
m
+

5
1
2
−
φ =

5
1
2
,
+
φ =

1
5

(
)
(
)
[
(
)
],
n m
n m
n m
F
+
+
+
=
φ
− −φ

]
)
~
(
)
(
...
)
~
(
)
~
(
[
~
...

)1
(
2
)
2
(
1
)
(

)1
(
2
)
2
(
)1
(

n
n
n
n
n
m
n

n
n
n
n
n

z
z
z
z

z
z
z
z

ϕ
−
+
ϕ
−
+
+
ϕ
−
+
ϕ
−
+
ϕ
ϕ
−
=

=
ϕ
+
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+

−
−
−
+

−
−
−

Так как 
1
5
3
5
1
2
1
5
φ
−
−
−
=
=
<
φ
+



, то коэффициенты при степе
нях z в правой части уравнения (1.5) стремятся к нулю при m→+∞. Отсюда в силу непрерывной зависимости корней многочлена от его коэффициентов, немедленно следует, что корни уравнения (1.5) стремятся к корням многочлена

Fn (z) = zn + z(n–1)ϕ +…+ zϕ(n–1) + ϕn                         (1.6)

и, следовательно, стремятся к корням уравнения 

z(n+1) – ϕ(n+1) = 0, кроме z = ϕ.                               (1.7)

Аналогичные рассуждения для уравнения (1.5), которое при m→–∞ 
удобно представить в виде

1
2
2
1

1
1

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
...
(
)
(
)

(
)
(
)
[
...
],

n
n
n
n
n

n
m
n
n
n
n

z
z
z
z

z
z
z

−
−
−

−
−
−

+
−φ +
−φ
+
+
−φ
+ −φ
=

φ
φ
= −
⋅ −
+
φ +
+ φ
+ φ
φ
φ









      (1.5')

показывают, что при m→–∞ корни многочленов из семейства (1.2) 
стремятся к корням уравнения:

zn+1 – (– φ )(n+1) = 0, кроме z = – φ .                           (1.8)

Понятно также, что корни (1.8) отличаются от корней (1.7) только 
инверсией относительно единичной окружности (рис. 1.2).

Рис. 1.1. Распределение корней при n = 21, радиус окружности 1,618

n = 21,    m = 11

n = 21,    m = 11
♦