Операторные уравнения и смежные вопросы устойчивости дифференциальных уравнений

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 
УСТОЙЧИВОСТИ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
УРАВНЕНИЙ

Л.К. ОРЛИК
Г.С. ЖУКОВА

МОНОГРАФИЯ

Москва
ИНФРА-М
2020

УДК 517.9(075.4)
ББК 22.161.6
 
О66

Орлик Л.К.
О66  
Операторные уравнения и смежные вопросы устойчивости дифференциальных уравнений : монография / Л.К. Орлик, Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 296 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/1061676.

ISBN 978-5-16-015846-4 (print)
ISBN 978-5-16-108599-8 (online)
Монография посвящена приложению методов функционального анализа к вопросам качественной теории дифференциальных уравнений. 
Изложен алгоритм приведения дифференциальной краевой задачи к операторному уравнению. Выполнено исследование решений операторных 
уравнений специального вида в пространствах, полуупорядоченных при 
помощи конуса, где ограниченность элементов этих пространств понимается как сравнимость их с определенным фиксированным масштабным 
элементом экспоненциального типа. Найдены представления решений 
операторных уравнений в виде контурных интегралов, доказаны теоремы 
существования и единственности таких решений. Получены спектральные критерии ограниченности решений операторных уравнений и, как 
следствие, достаточные спектральные признаки ограниченности решений 
дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве. Результаты, полученные для операторных уравнений 
с операторами и произведением вольтерровых операторов, позволили 
распространить на некоторые системы уравнений в частных производных 
известные спектральные критерии устойчивости решений по А.М. Ляпунову, а также обобщить теоремы об экспоненциальной характеристике.
Результаты монографии могут быть полезны при изучении линейных 
механических и электрических систем, в задачах дифракции электромагнитных волн, в вопросах теории автоматического управления и др.
Предназначена для научных работников, аспирантов, студентов, изучающих функциональный анализ и его приложения к операторным и дифференциальным уравнениям.

УДК 517.9(075.4)
ББК 22.161.6

Р е ц е н з е н т ы:
Нефедов Н.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского политехнического университета

ISBN 978-5-16-015846-4 (print)
ISBN 978-5-16-108599-8 (online)
© Орлик Л.К., Жукова Г.С., 
2020

Оглавление

В в е д е н и е…………………………………………………………..………

Глава 1.  Линейные операторы в линейных полуупорядоченных

пространствах: аксиоматика и свойства……………………..

§ 1.1. Аксиоматика и примеры линейных полуупорядоченных 

пространств. Конусы………………………………………….....

§ 1.2. Элемент-функции комплексного переменного…………...........
§ 1.3. Оператор-функции комплексного переменного……………….
§ 1.4. Некоторые типы линейных операторов и их резольвенты….... 

1.4.1. Ядро конуса. Линейный оператор, ограниченный 

относительно данного ядра…………………………………….... 

1.4.2. Монотонный вольтерров оператор……………………........ 

Глава 2.  Операторные уравнения и эквивалентные 

дифференциальные уравнения…………………………………

§ 2.1. Теоремы существования и единственности для простейшего

операторного уравнения с одним оператором………………....

§ 2.2. Решение простейшего линейного операторного уравнения. 

Вывод основной формулы………………………………………

§ 2.3. Операторное уравнение с ограниченной правой частью.

Критерий ограниченности решений……………………………

§ 2.4. Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения

в банаховом пространстве. Критерий ограниченности
решений…………………...………………………………….......

§ 2.5. Обыкновенное дифференциальное уравнение с оператором,

слабо варьирующим на бесконечности………...........................

§ 2.6. Линейное дифференциальное уравнение с постоянным

запаздыванием аргумента в банаховом пространстве…...........

§ 2.7. Линейное дифференциальное уравнение с переменным 

оператором и постоянным запаздыванием аргумента..……….

§ 2.8. Линейное дифференциальное уравнение с переменным

оператором и переменным запаздыванием аргумента….…….

§ 2.9. Экспоненциальная характеристика линейного 

дифференциально-разностного уравнения первого порядка
запаздывающего типа……………………………………………

5 

16 

16 
24 
35 
40 

45 
50 

51 

54 

56 

59 

68 

78 

86 

105 

123 

151 

Глава 3.  Операторные уравнения и эквивалентные 

гиперболические системы……………………………………….

§ 3.1. Теорема существования и единственности для уравнения

с n операторами………………………………………………….

§ 3.2. Линейное уравнение с n операторами.

Основная формула для решения………………………………..

§ 3.3. Критерий ограниченности решений линейного 

уравнения с n операторами…………………………………….. 

§ 3.4. Интегральная формула и критерий ограниченности 

решений уравнения с n попарно перестановочными
операторами................................................................................. 

§ 3.5. Простейшее операторное уравнение с произведением

вольтерровых операторов………………………………............

§ 3.6. Операторное уравнение общего вида. Критерий 

ограниченности решений…………………………………………

§ 3.7. Простейшая гиперболическая система

с n независимыми переменными............................................... 

§ 3.8. Гиперболическая система второго порядка с попарно

перестановочными операторами…………………………….

Глава 4.  Экспоненциальная характеристика некоторых 

гиперболических систем.………….…………………………......

§ 4.1. Две леммы……………………………………..………………. 
§ 4.2. Экспоненциальная характеристика двучленного 

гиперболического уравнения второго порядка 
со стационарным оператором……………………………………

§ 4.3. Экспоненциальная характеристика двучленного

гиперболического уравнения порядка N
со стационарным оператором……………………………………

§ 4.4. О порядке экспоненциального роста решений полного 

линейного уравнения гиперболического типа 
второго порядка………………………………………………….. 

Исторические и библиографические замечания………………………...

Библиографический список…….……………………………………............

168 

170 

172 

179 

184 

193 

199 

206 

226 

236 
237 

243 

257 

268 

277 

286 

Введение

Важным разделом качественной теории дифференциальных уравнений 

является теория устойчивости решений. Среди различных аспектов этой теории 

большое практическое значение имеют исследования, цель которых состоит в 

получении признаков ограниченности решений. Такие исследования широко 

применятся в теории управления, механике, задачах теории связи, биологии, 

экологии, социально-экономической динамики и др. 

Теория устойчивости, как самостоятельная математическая дисциплина, 

возникла в конце XIX – начале XX столетия. Первые фундаментальные работы 

в этой области принадлежат французскому математику Анри Пуанкаре и 

русскому математику Александру Михайловичу Ляпунову [40, 59]. Но подход к 

этим задачам в работах этих математиков существенно различен.

Устойчивость применительно к эволюции динамического процесса на 

бесконечном промежутке времени можно понимать, как 

устойчивость
по
Пуассону, когда возмущенное движение позднее 

возвращается как угодно близко к своему начальному положению, 

устойчивость по Лагранжу, когда возмущенное движение остается в 

ограниченной области фазового пространства, 

устойчивость по Ляпунову, когда малые начальные возмущения влекут 

малое отклонение возмущенного движения от невозмущенного,  

устойчивость по Жуковскому, это устойчивость по Ляпунову при 

некоторй специальной параметризации возмущенных решений; 

устойчивость по Пуанкаре, то есть орбитальная устойчивость, когда 

малые 
начальные 
возмущения 
влекут 
как 
близость 
траекторий 

возмущенного движения, так и близость скоростей фазовых точек,

которые движутся по этим раекториям [55]. 

Теория устойчивости движения была создана А.М. Ляпуновым в 1880-1902 

годы. Все дальнейшие исследования в этой области, так или иначе, являются 

развитием методов Ляпунова [40]. Однако работы Ляпунова «читаются с большим 

трудом, несмотря на его безупречную манеру излагать свои рассуждения. Это 

объясняется тем, что Ляпунов решал только феноменальные по своей трудности 

задачи и решал их исчерпывающим образом, создавая при этом новые методы 

исследования» [49].  

Одновременно с А.М. Ляпуновым вопросы качественной теории были 

развиты в исследованиях А. Пуанкаре [59]. Дальнейшее развитие идей Ляпунова в 

«классическом» направлении связано с исследованиями О. Перрона , Б.Ф. Былова, 

Р.Э. Виноградова, 
Д.М. Гробмана, 
В.В. Немыцкого, 
Б.П. Демидовича, 

И.Г. Малкина, Н.Г. Четаева, Дж. Сансоне,Э.И. Гольденгершеля и др. [6, 12, 14, 42, 

70, 72, 86]. 

Использование функционального анализа привело к появлению новых 

методов в теории дифференциальных уравнений, и в том числе в теории

устойчивости. Сами задачи теории устойчивости приобрели более общую 

постановку. Появились работы, посвященные исследованию устойчивости 

решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Как один из мощных методов была использована спектральная теория 

линейных операторов, в частности – теория Рисса. Оказалось, что методы 

функционального анализа позволяют менее сложно, а в некоторых случаях в 

более 
завершенном 
виде, 
получить 
теоремы 
устойчивости 
решений 

дифференциальных уравнений даже в классическом конечномерном случае

Впервые вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений 

в банаховом пространстве для построения общей теории устойчивости 

механических систем с бесконечным числом степеней свободы были 

исследованы М.Г. Крейном. В [36] по этой тематике получены спектральные 

признаки устойчивости по Ляпунову для краевой задачи

t
f
y
t
A
t
d
dy
;     0
0
y
y
t
0
, 

полагая, что 
t
f
и 
t
y
y – элемент-функции, у которых все значения 

принадлежат некоторому пространству Банаха, 
0
y
– элемент этого же 

пространства, 
t
A
–
комплексное 
семейство 
линейных 
операторов, 

непрерывно зависящее от t и имеющее слабую вариацию на бесконечности. 

Это означает, что
t
A
допускает представление: 

t
A
t
A
t
A
2
1
, 

где

0
1
t
A
и
0
2
t
A
при 
t
. 

В 1948 году М.Г. Крейн выступил на заседании Московского 

математического общества с докладом «Об одном круге идей А.М. Ляпунова», 

в котором заложил основы теории устойчивости дифференциальных уравнений 

в банаховых пространствах. Именно он
первым показал, что методы 

функционального анализа позволяют более просто, в более законченном виде 

получить теоремы устойчивости решений дифференциальных уравнений, 

включая классический конечномерный случай. Спустя два года он доказал

теорему о центральной зоне устойчивости и получил различные эффективные

признаки устойчивости решений; сформулировал критерий определения 

критических частот в явлении параметрического резонанса для систем со 

многими степенями свободы.

В 1970 году издана монография Ю.Л. Далецкого
и М.Г. Крейна

«Устойчивость 
решений 
дифференциальных 
уравнений 
в 
банаховом 

пространстве» [13] по этому кругу вопросов. Некоторые из изложенных здесь

результатов позднее были повторены группой иностранных физиков в связи с 

теорией синхротронов с сильной фокусировкой.

Результаты К.П. Персидского [58], исследовавшего счётные системы 

обыкновенных 
дифференциальных 
уравнений,
можно 
трактовать 
как 

развивающие теорию уравнений в банаховом пространстве ограниченных 

числовых 
последовательностей. 
Д.Л. Кучер 
[39] 
обобщил
результаты 

К.П. Персидского на уравнения в более широком классе слабо измеримых, а не 

только сильно измеримых функций, который оказывается более удобным в 

приложениях, поскольку в конкретных банаховых пространствах слабую 

измеримость проверить существенно легче, чем сильную. 

Исследования М.Г. Крейна получили дальнейшее развитие во многих 

работах, где были установлены критерии устойчивости для широкого класса 

дифференциальных уравнений (обыкновенных, в частных производных, 

операторных, 
с 
запаздывающим 
аргументом). 
М.А. Рутман
занимался 

применением
функционального 
анализа 
к 
теории 
дифференциальных 

уравнений в банаховом пространстве, в том числе к смежным вопросам теории 

устойчивости по Ляпунову. Он показал, что для некоторых дифференциальных 

уравнений с частными производными вопрос о ляпуновской устойчивости 

решений (иногда и вопрос об оценке роста решений) может быть сведен к 

исследованию решений операторных уравнений специального вида в 

пространствах, полуупорядоченных при помощи некоторого конуса [64, 65]. 

Для решения таких уравнений были введены понятия ограниченности в 

терминах полуупорядоченности в комплексной плоскости спектров операторов, 

входящих в уравнение.
Этот
метод был
применен другими авторами

(З.И. Рехлицкий, 
З.Г. Голубчак, 
И.И. Мармерштейн, 
Е.Я. Меламед, 

Р.К. Романовский и др.) к исследованию устойчивости решений некоторых 

систем уравнений с запаздывающим аргументом; к частным случаям систем 

разностных уравнений; к краевым задачам с частными производными; для 

интегральнного представления решений через операторы с криволинейными» 

нижними пределами [11, 43, 44, 60, 61, 62]. 

Далее началось исследование дифференциальных уравнений с вектор
функциями
t
f
, заданными на полуоси 
t
0
со значениями в 

банаховом пространстве X , которые назвали функциями экспоненциального

типа или -ограниченными, если существует вещественное число такое, что 

t

X

t
e
t
f
sup
0
. 

При изучении вопроса, при каких условиях -ограниченность всех правых 

частей линейных дифференциальных уравнений повлечет -ограниченность 

решения задачи, М.А. Рутман в [66, 67] дал признаки ограниченности решений 

и точную оценку для показателя экспоненциального роста решений некоторого 

класса систем дифференциальных уравнений, если правые части и краевые 

условия имеют заданный экспоненциальный рост. Он установил зависимость 

между порядком экспоненциального класса правых частей и нижней гранью 

порядков 
экспоненциальных 
классов, 
содержащих 
соответствующую 

совокупность решений уравнения.

В [12,87] были построены экспоненциальные характеристики некоторых 

систем дифференциальных уравнений с частными производными, операторные 

коэффициенты которых имеют слабую вариацию на бесконечности, а также 

распространены на некоторый класс вольтерровых операторов. В работах

Л.К. Орлик [46-48, 50, 57, 83, 85] выделен канонический и квазиканонический 

вид 
экспоненциальных 
характеристик
различных 
преобразований, 

определяемых 
линейными 
эволюционными 
дифференциальными 
и 

интегральными уравнениями. В работах [29, 45, 51-54, 82, 84 ] построены 

экспоненциальные характеристики некоторых разностных и дифференциально
разностных уравнений.

Оказалось, что если в уравнении правая часть  
t
f
пробегает множество 

функций, имеющих порядок экспоненциального роста не выше α, то все 

решения t
y
будут иметь порядок экспоненциального роста, не превышающий 

inf. В случае краевой задачи, впервые рассмотренной М.Г. Крейном, 

зависимость между экспоненциальными классами, к которым принадлежат 

правые части уравнения и соответствующми решениями имеет вид

и называется экспоненциальной
характеристикой
уравнения.
Графиком 

экспоненциальной характеристики  является ломаная с одной точкой 

излома .  Это – канонический вид экспоненциальной характеристики.

Доказано, что в случае линейных дифференциальных, дифференциально
разностных и разностных уравнений с операторными коэффициентами, 

имеющими 
слабую
вариацию
на
бесконечности, 
а 
также 
в случае 

периодических коэффициентов линейных дифференциальных уравнений или 

ядер интегральных операторов и уравнений типа Вольтерра, экспоненциальная 

характеристика имеет канонический вид:

æ
при 
0
,  0
æ
при 
0
.

Поэтому при 
0
показатель роста 
æ
решений 
t
y
зависит от

показателя 
роста 
правых 
частей
t
f
, 
при 
0
показатель 

экспоненциального роста
æ
решений t
y
не зависит от показателя роста 

правых частей уравнения.

Значит, если в уравнении правая часть 
t
f
является очень «быстро 

убывающей»
функцией, стремящейся к нулю,
то
решения 
t
y
этого 

уравнения будут «очень быстро» расти, что вызывает случай «сильной 

неустойчивости», рис. 1. 

Дальнейшие исследования показали, что при отказе от свойства 

периодичности коэффициентов линейных дифференциальных уравнений или 

ядер интегральных операторов при определенных условиях приходим к 

квазиканонической
экспоненциальной
характеристике:
существуют числа

,
,
,
0
0
0
γ
β
α
0
0
0
, такие что 

0
æ
при 
0
и 
æ
при 
0
, 

т. е. æ
в промежутке 0
0 ,
является неубывающей функцией (рис. 2).

æ
 

 

 

 

0
æ
 

   0 
 
      
0
 
                                   

Рис. 1. Канонический вид экспоненциальной характеристики