Секреты интересных интегралов: с введением в контурное интегрирование

Пол Дж. Нахин

Секреты  
интересных интегралов

Paul J. Nahin

Inside Interesting  
Integrals

(with an introduction to contour integration)

A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions,  
and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked,  
and Devilishly Seductive Maneuvers for Computing Nearly  
200 Perplexing Definite Integrals From Physics, Engineering,  
and Mathematics (Plus 60 Challenge Problems with Complete,  
Detailed Solutions)

Пол Дж. Нахин

Секреты  
интересных интегралов

(с введением в контурное интегрирование)

Коллекция ловких трюков, хитрых подстановок  
и множество других невероятно искусных, удивительно озорных  
и рискованных маневров для вычисления почти 200 дьявольски  
запутанных определенных интегралов из физики, техники  
и математики (плюс 60 сложных задач с полными,  
подробными решениями)

Москва, 2020

УДК 517.37
ББК 22.161
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Секреты интересных интегралов / пер. с анг. Н. К. Смоленцева. – М.: ДМК 
Пресс, 2020. – 428 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-763-3

В книге приведена целая коллекция из почти 200 запутанных определенных интегралов из физики, техники и математики, а также 60 задач с полными решениями. Если 
вам что­то говорят имена Римана, Бернулли, Эйлера, Френеля, Дирихле, Фурье, Коши, 
Фейнмана — эта книга точно для вас.
Издание доставит истинное удовольствие математикам, физикам, думающим студентам, а также всем читателям, кто еще только планирует стать великим учёным!

УДК 517.37
ББК 22.161

Authorized Russian translation of the English edition of Inside Interesting Integrals ISBN 
9781493912773 © 2015 Springer Science+Business Media New York.
This translation is published and sold by permission of Packt Publishing, which owns or 
controls all rights to publish and sell the same.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978­1­4939­1277­3 (анг.) 
© 2015 Springer Science+Business Media New York
ISBN 978­5­97060­763­3 (рус.) 
© Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020

Бернгард Риман (1826–1866), немецкий математический гений,  
интеграл которого является предметом этой книги  
(AIP Emilio Segrè Visual Archives, T. J. J. See Collection)

Эта книга посвящена всем, кто, прочитав следующую строку из 
шпионского романа времен холодной войны Джона Ле Карра 
1989 года «Русский дом», сразу узнает, что столкнулся с очень 
интересным персонажем:

а также всем, кто понимает, насколько разочаровывает сетование в книге Энтони Зи «Квантовая теория поля в двух словах»:

«Иногда он даже не следил за тем, на что смотрел, 
но он мог наслаждаться весь день хорошей страницей математики», –

«Ах, если бы мы только могли взять интеграл… Но 
мы не можем».

“The integral of z squared dz
From one to the cube root of three
All times the cosine
Of three pi o’er nine
Equals the natural log of the cube root of e”1.

Это три классические интегральные шутки, 
любимые той любопытной группой людей, 
которые, если бы им дали выбор между борьбой 
с хорошей математической задачей или чем­то 
еще, подумали бы, что решение очевидно.

1 «Интеграл от z в квадрате dz
От единицы до корня кубического из трех,
Умноженный на косинус
От три пи­на­девять,
Равен натуральному логарифму корня кубического из e».

Для поддержки теоретических расчетов, выполненных в этой 
книге, предоставляются числовые «подтверждения» с использованием нескольких команд интегрирования, доступных в программных пакетах, разработанных MathWorks, Inc. of Natick, MA. 
В частности, MATLAВ® 8.1 (Release 2013a) и пакет расширения 
Symbolic Math Toolbox 5.10, оба пакета работают на ПК с Windows 7. Эта версия MATLAВ® сейчас несколько устарела, но все 
команды, использованные в этой книге, работают с более новыми версиями и, вероятно, будут работать в последующих версиях 
еще несколько лет. MATLAВ® является зарегистрированным товарным знаком MathWorks, Inc. Компания MathWorks не гарантирует точности текста в этой книге. Использование или обсуждение MATLAВ® и пакета расширения Symbolic Math Toolbox здесь 
не означает одобрения или спонсорства компании MathWorks, 
конкретного педагогического подхода или конкретного использования MATLAВ® и пакета Symbolic Math Toolbox.

Содержание

Вступительное слово от издательства ..................................................................... 11
Предисловие .................................................................................................................... 12

Глава 1. Введение ........................................................................................................... 22
1.1. Интеграл Римана .......................................................................................................... 22
1.2. Примеры риманова интегрирования ......................................................................... 26
1.3. Интеграл Лебега ........................................................................................................... 28
1.4. «Интересно» и «секреты» ............................................................................................. 31
1.5. Некоторые примеры трюков ....................................................................................... 33
1.6. Особенности ................................................................................................................. 38
1.7. Интеграл Далцелла ....................................................................................................... 43
1.8. Откуда берутся интегралы  .......................................................................................... 46
1.9. Заключительные слова ................................................................................................ 60
1.10. Задачи для упражнений ............................................................................................. 61

Глава 2. «Легкие» интегралы ....................................................................................... 64
2.1. Шесть «легких» для разминки ..................................................................................... 64
2.2. Новый прием ................................................................................................................ 68
2.3. Два старых трюка, плюс один новый .......................................................................... 75
2.4. Еще один старый прием. Лог­синус Эйлера ............................................................... 84
2.5. Задачи для упражнений ............................................................................................... 90

Глава 3. Любимый трюк Фейнмана ........................................................................... 92
3.1. Формула Лейбница....................................................................................................... 92
3.2. Удивительный интеграл .............................................................................................101
3.3. Интеграл Фруллани .....................................................................................................103
3.4. Обратная сторона трюка Фейнмана ..........................................................................106
3.5. Сочетание двух приемов ............................................................................................115
3.6. Интеграл Улера и символьное интегрирование .......................................................118
3.7. Интеграл вероятности, новый взгляд ........................................................................122
3.8. Интеграл Дини ............................................................................................................125
3.9. Любимый прием Фейнмана решает физическое уравнение ...................................128
3.10. Задачи и упражнения ................................................................................................130

Глава 4. Гамма- и бета-функции ................................................................................134
4.1. Гамма­функция Эйлера ..............................................................................................134
4.2. Интеграл Валлиса и бета­функция ............................................................................136
4.3. Перестановка порядка интегрирования в двойном интеграле ...............................147
4.4. Гамма­функция встречает физику .............................................................................158
4.5. Задачи для решения ....................................................................................................161

Глава 5. Использование степенных рядов для нахождения интегралов .....164
5.1. Число Каталана ............................................................................................................164
5.2. Степенные ряды для логарифмической функции ....................................................168

 Содержание

5.3. Интегралы дзета­функции .........................................................................................176
5.4. Константа Эйлера и связанные с ней интегралы......................................................181
5.5. Задачи и упражнения .................................................................................................195

Глава 6. Семь сложных интегралов  .........................................................................199
6.1. Интеграл Бернулли .....................................................................................................199
6.2. Интеграл Ахмеда .........................................................................................................201
6.3. Интеграл Коксетера  ....................................................................................................205
6.4. Оптический интеграл Харди–Шустера  .....................................................................212
6.5. Тройные интегралы Уотсона/Ван Пейпа ...................................................................217
6.6. Эллиптические интегралы в физической задаче .....................................................223
6.7. Задачи и упражнения ..................................................................................................229

Глава 7. Использование –1 для нахождения интегралов  .............................235
7.1. Формула Эйлера ..........................................................................................................235
7.2. Интегралы Френеля .....................................................................................................236
7.3. ζ(3) и снова интегралы лог­синуса .............................................................................240
7.4. ζ(2), наконец! ................................................................................................................245
7.5. Опять интеграл вероятности ......................................................................................248
7.6. За пределами интеграла Дирихле ..............................................................................250
7.7. Дирихле встречает гамма­функцию ..........................................................................256
7.8. Преобразования Фурье и интегралы энергии  ..........................................................259
7.9. «Странные» интегралы из радиотехники  .................................................................265
7.10. Причинность и интегралы преобразования Гильберта  .........................................275
7.11. Задачи и упражнения ................................................................................................283

Глава 8. Контурное интегрирование ........................................................................287
8.1. Вступление ..................................................................................................................287
8.2. Криволинейные интегралы ........................................................................................287
8.3. Функции комплексной переменной ..........................................................................290
8.4. Уравнения Коши–Римана и аналитические функции .............................................296
8.5. Интегральная теорема Грина .....................................................................................300
8.6. Первая интегральная теорема Коши .........................................................................303
8.7. Вторая интегральная теорема Коши ..........................................................................316
8.8. Особенности и теорема о вычетах .............................................................................330
8.9. Интегралы с многозначными подынтегральными функциями ..............................338
8.10. Задачи и упражнения  ...............................................................................................346

Глава 9. Эпилог  ..............................................................................................................349
9.1. Риман, простые числа и дзета­функция  ...................................................................349
9.2. Вывод функционального уравнения для ζ(s) ............................................................359
9.3. Вопросы для упражнений ...........................................................................................372

Решения задач и упражнений ...................................................................................375

Предметный указатель ................................................................................................426