Разностные уравнения

Москва
Лаборатория знаний
2020

В. К. Романко

Разностные
уравнения

4е издание, электронное

Учебное пособие

Р е к о м е н д о в а н о
Учебно методическим объединением по образованию
в области экономики, менеджмента, логистики
и бизнес информатики
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлениям
«Экономика», «Менеджмент», «Бизнес информатика»
и специальности «Логистика»

УДК 517
ББК 22.161.6
Р69

Романко В. К.
Р69
Разностные уравнения : учебное пособие / В. К. Романко. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. —
115 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-795-0
Пособие состоит из двух частей. В первой части содержатся
теоретические сведения, проиллюстрированные примерами, во второй — задачи по разностным уравнениям.
Для
студентов
экономических,
биологических,
физических
и других факультетов, программы курсов которых предполагают
изучение дискретных динамических систем.
УДК 517
ББК 22.161.6

Деривативное издание на основе печатного аналога: Разностные уравнения : учебное пособие / В. К. Романко. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2006. — 112 с. : ил. — ISBN 5-94774-343-4.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-795-0
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Предисловие

Теория разностных уравнений находит многообразные приложения во многих областях естествознания при моделировании поведения систем различной природы. Разностные уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина
регистрируется через некоторые (как правило, равные) промежутки времени. Например, так называемая паутинообразная
модель рынка одного товара описывается разностным уравнением вида
Pt+1 = aPt + b,

где Pt — цена товара в период t, a и b — некоторые числа.
При моделировании относительной численности какоголибо биологического вида появляется разностное уравнение
вида
xn+1 = λxn(1 − xn),

где xn — относительная численность популяции в n-й момент
времени, а λ — коэффициент размножения.
В задачах описания, анализа и синтеза дискретных динамических систем управления математические модели таких систем описываются разнообразными разностными уравнениями.
В современной теории нелинейных колебаний разностные
уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе
от дифференциальных уравнений к точечным отображениям
Пуанкаре. Такой переход в трехмерном случае значительно
упрощает исследование.
В математике основным источником разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Имеются в виду
разностные схемы, используемые для приближенного решения
дифференциальных уравнений.
Многие факты теории линейных дифференциальных уравнений верны и для линейных разностных уравнений, хотя
есть и некоторые различия. Отличие разностных уравнений от
дифференциальных уравнений проявляется в наибольшей степени, когда уравнения нелинейны. Например, поведение решений одномерных разностных уравнений может быть таким же

Предисловие

сложным, как и поведение решений многомерных разностных
уравнений. Для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, сложное поведение имеется лишь
в пространствах большой размерности (n ≥ 3).
Таким образом, многочисленные применения разностных
уравнений в экономических, биологических, математических
исследованиях, в теории автоматического регулирования, в
теории нелинейных колебательных процессов и в других задачах требуют знания элементарной теории разностных уравнений.
В настоящем учебном пособии изложена элементарная теория разностных уравнений. Учебное пособие предназначено
для первоначального ознакомления с такой теорией и рассчитано, в первую очередь, на студентов экономических, биологических, физических факультетов, факультетов прикладной математики и физики и других факультетов, программы курсов
которых предполагают изучение дискретных динамических
систем.
Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть является теоретической. В ней приведены основные методы исследования разностных уравнений и систем таких уравнений. Эти
методы достаточно полно проиллюстрированы примерами.
Вторая часть учебного пособия содержит задачи по разностным уравнениям. Решение этих задач позволяет закрепить
знание методов решения разностных уравнений. Эти задачи
пригодны как для самостоятельно решения учащимися, так и
для составления контрольных работ преподавателями.
В учебном пособии систематически используются следующие обозначения:
□ — начало доказательства теоремы;
◦ — начало решения примера;
■ — конец доказательства теоремы;
• — конец решения примера.
Формирование представлений о методике изложения теории
разностных уравнений в данном учебном пособии происходило под влиянием общения с моими коллегами по работе — профессорами Ф. Т. Алескеровым, П. Б. Гусятниковым,
С. Г. Лобановым. Всем им выражаю искреннюю благодарность.

ЧАСТЬ I
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА 1

Линейные разностные уравнения
первого порядка

Пусть множество N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} и пусть R — множество всех вещественных чисел, а N — множество всех натуральных чисел.
Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида

yk+1 + akyk = fk,
(1)

где ak — заданная функция k ∈ N0, причем ak ̸= 0 для всех
k ∈ N0, fk — заданная функция k ∈ N0 и yk — искомая функция
k ∈ N0.
Будем считать в дальнейшем, что все значения функций ak,
fk, yk принадлежат множеству R.

Замечание. Условие ak ̸= 0 для всех k ∈ N0 является существенным в определении линейного разностного уравнения
первого порядка. Например, линейное разностное уравнение
вида
yk+1 = fk

не считается уравнением первого порядка, поскольку замена
k + 1 = n дает уравнение

yn = fn−1,

которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка.

Необходимость
требования для уравнения (1) условия
ak ̸= 0 для всех k ∈ N0 в дальнейшем будет понятна и из
других соображений.
Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным
уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргумент k ∈ N0

Глава 1

называют дискретным временем. Так как функции аргумента
k ∈ N0 принято называть последовательностями, то с этой
точки зрения ak и fk в уравнении (1) являются заданными последовательностями, а yk — искомая последовательность
k ∈ N0.
Простейшие примеры уравнения (1) дают арифметическая
прогрессия, геометрическая прогрессия и частичные суммы
числового ряда. Если ak = −1 и fk = d для всех k ∈ N0,
то уравнение (1) задает арифметическую прогрессию {yk} с
разностью d. Если же ak = −q и fk = 0 для всех k ∈ N0,
то уравнение (1) задает геометрическую прогрессию {yk} со
знаменателем q. Наконец, пусть для числового ряда

∞
n=1
fn

k-й частичной суммой является

yk =

k
n=1
fn.

Тогда yk удовлетворяет уравнению вида

yk+1 = yk + fk+1.

Если fk ≡ 0 для всех k ∈ N0, то уравнение (1) называется
линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным
неоднородным разностным уравнением первого порядка.
Заданная последовательность ϕk, k ∈ N0, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в
числовое тождество для всех k ∈ N0. График решения (1)
представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k, ϕk) для всех k ∈ N0.
Для линейного однородного разностного уравнения первого
порядка
yk+1 + akyk = 0,
(2)

где ak ̸= 0 для всех k ∈ N0, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из

Линейные разностные уравнения первого порядка
7

уравнения (2) имеем, что y1 = −a0y0, y2 = −a1y1 = a0a1y0,
y3 = −a2y2 = −a0a1a2y0, . . ., yk = (−1)ka0a1a2 . . . ak−1y0.
Если воспользоваться обозначением произведения знаком
, то получаем формулу всех решений (2):

yk = y0(−1)k
k−1
j=0
aj.

Положим y0 = C, Ak = (−1)k k−1
j=0 aj. Заметим, что Ak ̸= 0 для
всех k ∈ N0 в силу определения уравнения (1). Тогда формула
всех решений (2) примет вид

yk = C · Ak,
(3)

где C — произвольная постоянная из множества R, k ∈ N0.
Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2).
Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной.
Будем искать решение линейного неоднородного уравнения
(1) в таком же виде (3), что и решение линейного однородного
уравнения (2), но будем считать C не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией Ck, k ∈ N0. Итак,
решение (1) ищем в виде

yk = Ck · Ak,
k ∈ N0,
(4)

где функцию Ck найдем подстановкой yk в уравнение (1).
Подстановка в (1) дает равенство вида

Ck+1Ak+1 + akCkAk = fk

или
Ck+1Ak+1 − CkAk+1 = fk.

Отсюда
Ck+1 = Ck +
fk

Ak+1 ,

поскольку Ak+1 ̸= 0 для всех k ∈ N0 в силу определения уравнения (1). Последовательными подстановками тогда получаем,

Глава 1

что
Ck = C0 +

k−1
j=0

fj

Aj+1 ,

где k ∈ N0, C0 = D — произвольная постоянная из R.
Таким образом, подставляя Ck в формулу (4), находим
формулу всех решений (1):

yk =

D +

k−1
j=0

fj

Aj+1

Ak.
(5)

Формулу (5) называют формулой общего решения линейного
неоднородного разностного уравнения первого порядка (1).
Из формулы (5) видно, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1) представляет собой сумму общего
решения линейного однородного уравнения (2) и некоторого
частного решения линейного неоднородного уравнения (1).
Пример 1. Решить уравнение

yk+1 −
k + 2

k + 1

2
yk = 2k + 4

k + 3 .
◦ Для заданного уравнения имеем, что:

Ak = (−1)k(−1)k
k−1
j=0

j + 2

j + 1

2
= (k + 1)2,

k−1
j=0

fj

Aj+1 = 2

k−1
j=0

(j + 2)

(j + 3)(j + 2)2 =

= 2

k−1
j=0

1

(j + 3)(j + 2) = 2

k−1
j=0

1

j + 2 −
1

j + 3

=

= 2
1

2 −
1

k + 2

=
k

k + 2 .

Следовательно, по формуле (5) получаем общее решение заданного уравнения

yk =
C +
k

k + 2

(k + 1)2,

где C — произвольная постоянная.
•

Линейные разностные уравнения первого порядка
9

Для нахождения какого-либо конкретного решения уравнения (1) необходимо задать дополнительное условие, например,
начальное условие
y0 = u,
(6)

где u — заданное число.
Задачу нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (6), будем называть разностной
задачей Коши для уравнения (1). Решение разностной задачи
Коши для уравнения (1) существует, единственно при любом
u ∈ R и задается формулой

yk =

u +

k−1
j=0

fj

Aj+1

Ak,
(7)

В заключение отметим, что для получения общего решения
уравнения (1) необходимо уметь вычислять суммы k слагаемых
и произведения k сомножителей. Эти суммы и произведения
часто не задают элементарные функции. Например, доказано,
что уравнение (1) при ak = −1, fk = ln k, k ∈ N, не имеет
решения в классе элементарных функций. В таких случаях
при заданном начальном условии (6) формула решения (7)
разностной задачи Коши на практике позволяет найти лишь
значения решения yk при нескольких первых значениях k ∈ N.

ГЛАВА 2

Общие свойства и методы решения
линейных разностных уравнений порядка n

Линейным разностным уравнением порядка n называется
уравнение вида

yk+n + a1kyk+n−1 + · · · + ankyk = fk,
(1)
где a1k, . . . , ank, fk — заданные функции целочисленного аргумента k ∈ N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}, причем ank ̸= 0 для всех k ∈ N0,
а yk — искомая функция k ∈ N0.
В дальнейшем будем считать, что все эти функции могут
быть как вещественными, так и комплекснозначными. Так
как функции целочисленного аргумента принято называть
последовательностями, то с этой точки зрения a1k, . . . , ank,
fk — заданные последовательности, а yk — искомая последовательность. Функции a1k, . . . , ank называются коэффициентами
уравнения (1), а функция fk называется правой частью уравнения (1).
Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным
уравнением порядка n или линейным дискретным отображением порядка n, а аргумент k ∈ N0 называют дискретным
временем. Началом отсчета аргумента k может быть не только
0, но и любое целое число k0 > 0.
Условие ank ̸= 0 для всех k ∈ N0 является существенным.
Например, уравнение yk+2 = yk+1 не считается линейным
разностным уравнением второго порядка, поскольку замена
k + 1 = m приводит его к виду ym+1 = ym, являющемуся
линейным разностным уравнением первого порядка. Кроме
того, требование ank ̸= 0 для всех k ∈ N0, как будет ясно
из дальнейшего, обеспечивает единственность решения так
называемой разностной задачи Коши для (1).
Наряду с уравнением (1) иногда рассматривают и более
общие линейные разностные уравнения. Уравнение вида
n2
m=−n1
amkyk+m = fk,

где k = 0, ±1, ±2, . . . и a−n1k ̸= 0, an2k ̸= 0 для всех k,
называют линейным разностным уравнением порядка (n1+n2).