Электромагнетизм. Методы решения задач

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

методы решения
задач

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

5-е издание, электронное

В. В. ПОКРОВСКИЙ

Москва
Лаборатория знаний 
2 0 2 0

УДК 004.514
ББК 32.973
П48

Покровский В. В.
П48
Электромагнетизм. Методы решения задач : учебное пособие / В. В. Покровский. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 123 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-841-4
Пособие посвящено методам решения задач по курсу общей
физики раздела «Электромагнетизм». Большинство рассматриваемых задач взято из сборника задач И. Е. Иродова «Задачи по общей физике». Каждый раздел предваряется кратким изложением
теоретических вопросов, приводятся основные формулы. Описывается методика решения задач, которая может быть применена
в данном разделе.
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 004.514
ББК 32.973

Деривативное
издание
на
основе
печатного
аналога:
Электромагнетизм. Методы решения задач : учебное пособие /
В. В. Покровский. — 2-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2011. — 120 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-0641-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-841-4
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Глава 1
ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Закон Кулона, электрическое поле, напряженность и
потенциал, связь между напряженностью и потенциалом, электрический диполь, энергия диполя в поле

Точечными зарядами считаются заряды, геометрические размеры которых много меньше расстояния между ними. Электрические заряды придают окружающему пространству особые свойства, основное из которых заключается в том, что на
точечный заряд q′, находящийся на расстоянии R от точечного заряда q, действует сила, направленная вдоль прямой,
соединяющей эти заряды, прямо пропорциональная величине
точечных зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (закон Кулона). При этом одноименные
заряды отталкиваются, разноименные притягиваются:

−→
F 1−2 = − q′q−→
R

4πε0R3 ,
−→
F 2−1 =
q′q−→
R

4πε0R3 ,
(1)

F1−2 = −
q′q

4πε0R2 ,
F2−1 =
q′q

4πε0R2 .

В современной физике доминирует теория близкодействия,
согласно которой силовое взаимодействие между разделенными заряженными телами передается с конечной скоростью
некоторой средой, окружающей эти тела. Эта среда — специфическая форма существования материи, называемая электрическим полем.
Вычленим из формулы (1) часть, не зависящую от пробного
заряда q′, которая имеет физический смысл силы, действующей
на точечный единичный положительный заряд, и назовем ее

Глава 1. Электростатика

напряженностью электрического поля:

−→
E =
q−→
R

4πε0R3 ,

или
E =
q

4πε0R2 .

Опытным путем установлено, что сила, с которой заряд q
действует на пробный заряд q′, не зависит ни от количества,
ни от пространственного расположения других зарядов, что

приводит нас к принципу суперпозиции −→
F =
N
i=1

−→
Fi; очевидно

также:
−→
E =

N
i=1

−→
Ei =
1

4πε0

N
i=1

qi
−→
Ri
R3
i
.
(2)

В большом классе задач игнорируется тот факт, что заряды всегда дискретны, а считается, что они распределены
по какому-либо закону, что вполне допустимо, пока мы не
переходим к малым масштабам. Закон распределения зарядов
дается в виде объемной (ρ), поверхностной (σ) или линейной
(λ) плотности, в виде

ρ = dq

dV ;
σ = dq

dS ;
λ = dq

dl ,

где dq — элемент заряда, заключенный в объеме dV , на поверхности dS или на длине dl.
Тогда принцип суперпозиции будет выглядеть следующим
образом:
−→
E =
1

4πε0

V

ρ⃗r dV

r3

для объемного распределения,
−→
E =
1

4πε0

S

σ⃗r dS

r3

для поверхностного распределения,
−→
E =
1

4πε0

l

λ⃗r dl

r3

для линейного распределения.

Глава 1. Электростатика
5

Понятие электростатического потенциала тесно связано с
работой при переносе заряда в кулоновском поле сил. Работа,
произведенная при переносе заряда из точки a в точку b:

dA = −→
F d−→
S = q′

ba

−→
E d−→
S .
(3)

Легко показать, что в случае кулоновских полей величина
A не зависит от пути переноса заряда из точки a в точку
b (консервативные поля). Вычислим по формуле (3) работу
по перемещению пробного точечного заряда q′ из точки 1 с
радиус-вектором r1 в точку 2 с радиус-вектором r2:

Aa−b =
qq′

4πε0

r2r1

dr
r2 =
qq′

4πε0r1 −
qq′

4πε0r2 .
(4)

Из формулы (4) видно, что в кулоновском поле работа определяется разностью величин, которые в механике называются
потенциальной энергией. Как и ранее, вычленим из выражения
для потенциальной энергии часть, не зависящую от пробного
заряда q′, и назовем ее потенциалом электрического поля в
данной точке. Физический смысл потенциала — потенциальная
энергия, которой обладает единичный, точечный, положительный заряд в точке с радиус-вектором ⃗r в поле, создаваемом
зарядом q:
ϕ =
q

4πε0r .
(5)

Очевидно, что ϕ является скалярной величиной.
Тогда работа по перемещению заряда q′ из точки a в точку
b согласно формуле (4) запишется в виде:
A = q′(ϕ1 − ϕ2).
(6)

Напряженность электрического поля −→
E
и потенциал ϕ
являются его важнейшими характеристиками, причем вектор
−→
E — силовая, а ϕ — энергетическая характеристики. Применим
формулу (3) для расчета работы, совершаемой при перемещении заряда q′ в поле, создаваемом совокупностью N произвольно расположенных точечных зарядов. Суммарная работа
при перемещении заряда q′ будет равна алгебраической сумме

Глава 1. Электростатика

работ, произведенных силами, действующими на q′ со стороны
каждого из зарядов qi. Поэтому можно записать, с учетом (4):

A =

N
i=1
Ai = q′
N
i=1

qi

4πε0ri1
−
qi

4πε0ri2

=

= q′
N
i=1
(ϕi1 − ϕi2) = q′
N
i=1
ϕi1 −

N
i=1
ϕi2

.
(7)

Следовательно, потенциал, создаваемый в данной точке
системой из N зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из них в отдельности, т. е.

ϕ =

N
i=1
ϕi,
(8)

что по аналогии с (2) можно назвать суперпозицией потенциалов. Перепишем (8) в виде

ϕ =
1

4πε0

N
i=1

qi
ri ,

и, заменяя qi на ρ dV , σ dS или λ dl, а знак на знак
,
получим, как и в случае −→
E , принцип суперпозиции для непрерывного распределения зарядов:

ϕ =
1

4πε0

V

ρ dV

r

для объемного распределения,

ϕ =
1

4πε0

S

σ dS

r

для поверхностного распределения,

ϕ =
1

4πε0

l

λ dl

r

для линейного распределения.
Установим связь между −→
E и ϕ. Эта связь имеет большое
практическое значение. Например, при вычислении ϕ, создаваемого каким-либо распределенным зарядом, для вычисления

Глава 1. Электростатика
7

нужно взять один интеграл (так как это скаляр), а при вычислении −→
E — три, так как это вектор, кроме того, интегралы от

функций вида f ∼ 1

r, как правило, проще, чем от функций

вида f ∼ 1

r2 .

В некоторых случаях требуется по заданным значениям −→
E
в каждой точке найти разность потенциалов между двумя
произвольными точками поля. Воспользовавшись (3) и (6),
запишем:

A1−2 =

21
qEl dl = q(ϕ1 − ϕ2),

откуда:

ϕ1 − ϕ2 =

21

El dl.
(9)

Перепишем (9) в виде −dϕ = El dl, откуда El = −∂ϕ

∂l , где

l — произвольное направление в пространстве, т. е.

Ex = − ∂ϕ

∂x,
Ey = − ∂ϕ

∂y ,
Ez = − ∂ϕ

∂z ,

или
−→
E =⃗iEx +⃗jEy +⃗kEz =−
⃗i ∂ϕ

∂x +⃗j ∂ϕ

∂y +⃗k ∂ϕ

∂z

=− grad ϕ=−∇ϕ.
(10)

Электрический диполь — это система из двух одинаковых
по модулю разноименных точечных зарядов +q и −q, находящихся на расстоянии друг от друга. В природе диполи
встречаются довольно часто. Например, при наложении электрического поля на проводник, электроны и протоны смещаются так, чтобы внутреннее поле обратилось в нуль. В
диэлектриках это смещение гораздо меньше, хотя каждый атом
тоже становится микроскопическим диполем. Мы будем рассматривать только точечные диполи, т. е. такие, для которых
радиус-вектор ⃗r до точек наблюдения много больше l (рис. 1).
Используя формулу (5) и принцип суперпозиции потенциалов,
потенциал поля диполя в точке P определяется с учетом r ≫ l,

Глава 1. Электростатика

P
r+

r−
+q

l
θ

−q
Рис. 1

qE+

+q

−q

qE−

Рис. 2

⃗r− − ⃗r+ = l cos θ r+r− = r2,

ϕ =
1

4πε0

q
r+ − q

r−

=
1

4πε0

q(r− − r+)

r+r−
=
1

4πε0

p cosθ

r2
,
(11)

где p = ql — электрический момент диполя. Этой величине
сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному ⃗p = q⃗l. Можно показать,
что модуль вектора −→
E

E =
1

4πε0

p
r3
1 + 3 cos2 θ.
(12)

При θ = 0 и θ = π

2 получим выражение для напряженности

поля на оси диполя (E∥) и перпендикулярно ей (E⊥):

E∥ =
1

4πε0

2p
r3 ,
E⊥ =
1

4πε0

p
r3 ,
(13)

т. е. при одном и том же r E∥ вдвое больше E⊥.
Во внешнем неоднородном электрическом поле на каждый
конец диполя будут действовать разные силы, равные q−→
E +
и q−→
E − (рис. 2). Результирующая сила −→
F , действующая на
диполь, равна
−→
F = q−→
E + − q−→
E − = q
−→
E+ − −→
E−
,
(14)

где −→
E + и −→
E − — напряженность поля в точках, где расположены заряды диполя. Разность −→
E+ − −→
E− — это приращение
вектора −→
E на отрезке, равном длине диполя l. Вследствие его

Глава 1. Электростатика
9

малости:
Δ−→
E = −→
E+ − −→
E− = Δ−→
E
l
l = ∂−→
E
∂l l.
(15)

Подставив (15) в (14), получаем:

−→
F = p ∂−→
E
∂l .
(16)

Энергия диполя в поле. Энергия точечного заряда q во
внешнем поле равна W = qϕ, а так как диполь — это система
из двух зарядов, то

W = q+ϕ+ + q−ϕ− = q (ϕ+ − ϕ−) ,

где ϕ+ и ϕ− — потенциал внешнего поля в точках расположения зарядов +q и −q:

ϕ+ − ϕ− = ∂ϕ

∂l l = −Ell = −−→
E⃗l,

W = −−→p −→
E .
(17)

Рекомендации по решению задач

1. Внимательно ознакомьтесь с условием задачи. Недостающие данные можно получить из соответствующих справочников. Если какие-либо данные не использовались при
решении, то решение задачи неверно.
2. Задачу решайте в общем виде, после чего проверяйте
размерность. Неверная размерность — свидетельство неверного решения, хотя правильная размерность не является
гарантией правильного решения.
3. В задачах, где происходит перераспределение зарядов, следует помнить, что заряды перераспределяются таким образом, чтобы произошло выравнивание потенциала, а общий
заряд при этом остается неизменным.
4. В задачах типа задачи 4, где в решении фигурирует разность векторов, будьте внимательны в порядке расстановки
вычитаемого и уменьшаемого векторов.
5. Тщательно выполните чертеж, обозначьте направления
осей координат. Помните, что величины −→
F , −→
E , ⃗p — векторы,

Глава 1. Электростатика

поэтому записывайте векторные уравнения с учетом знака.
Потенциал — скаляр, и его знак определяется лишь знаком
заряда. Некоторые задачи (например 5, 6) требуют пространственного воображения и тщательного выполнения
чертежей. Если для вас это затруднительно, то при необходимости решения нескольких задач их лучше оставить
напоследок.

Задача 1
Два одинаковых электрических заряда расположены в точках
A и B. Сначала вычислим электрическое поле, создаваемое
зарядом qA в точке B, т. е. −→
E A−B. Действующая на заряд qB
сила должна быть равна −→
F = −→
E A−B qB. Однако заряд, находящийся в точке B, должен создавать свое собственное поле,
которое действует на заряд в точке A. Равна ли полная сила
взаимодействия между двумя зарядами сумме этих двух сил?

Решение. При взаимодействии двух тел на каждое из них
действуют одинаковые силы, направленные в противоположные стороны. В механике аналогом является задача о перетягивании каната, когда одна команда тянет вправо с силой −→
F ,
а вторая влево с силой −→
F .
□

Задача 2
Три одинаковых положительных заряда

Q1 = Q2 = Q3 = 1 нКл

расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить в центр треугольника, чтобы силы притяжения с его стороны уравновесили силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в
вершинах?

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для
решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует
поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Q1, находился в равновесии. В соответствии с