Уравнения математической физики

О.А. ТОРШИНА

 
 

УРАВНЕНИЯ 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

ФИЗИКИ 

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2020

УДК 517.958(075.8)
ББК 22.311я73

Т61

Торшина О.А.

Т61
Уравнения 
математической 
физики 
: 
учебное 
пособие 
/ 

О.А. Торшина. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 59 с.

ISBN 978-5-16-108561-5 (online)

Учебное пособие содержит основные понятия уравнений в частных 

производных эллиптического, гиперболического и параболического типа. 
Значительное 
место 
занимает 
описание 
методов, 
наиболее 
часто 

применяемых 
на 
практике 
при 
решении 
уравнений 
с 
частными 

производными, таких как метод Фурье, метод функции Грина и др. В 
пособии рассмотрено достаточное количество задач, иллюстрирующих 
теоретический материал.

Рекомендовано для студентов высших учебных заведений, изучающих 

курсы «Уравнения в частных производных», «Уравнения математической 
физики».

УДК 517.958(075.8)

ББК
22.311я73

ISBN 978-5-16-108561-5 (online)
© Торшина О.А., 2020

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................... 4

1.
ОБЩЕЕ 
РЕШЕНИЕ 
УРАВНЕНИЙ 
В 
ЧАСТНЫХ 

ПРОИЗВОДНЫХ ................................................................................................ 6

2.
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В 

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА.............................. 12

2.1.
Уравнения гиперболического типа .................................................... 12

2.2.
Уравнения параболического типа ...................................................... 12

2.3.
Уравнения эллиптического типа ........................................................ 13

3.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.................................................................... 18

3.1.
Уравнение малых поперечных колебаний струны........................... 18

3.2.
Уравнение малых поперечных колебаний мембраны...................... 20

3.3.
Телеграфное уравнение ....................................................................... 21

3.4.
Волновое уравнение в пространстве.................................................. 22

4.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ............................................. 33

4.1.
Краевая задача для однородного уравнения теплопроводности..... 33

4.2.
Распространение тепла в неограниченном стержне......................... 38

4.3.
Распространение тепла в ограниченном стержне............................. 39

5.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ..................................................... 44

5.1.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге............................... 45

5.2.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце ............................ 46

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.......................................................... 49

Введение

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных 

уравнений с частными производными второго порядка. Так, например: 


при 
 
изучении 
различных 
видов 
волн 

упругих, 
звуковых, 

электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к 

волновому уравнению

;
2

2

2

2

2

2

2

2

2























z
u

y
u

x
u
c
t
u

(0.1)

где c  скорость распространения волн в данной среде;


процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как 

и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

;
2

2

2

2

2

2

2























z
u

y
u

x
u
a
t
u

(0.2)


при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном 

изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

);
,
,
(
2

2

2

2

2

2

z
y
x
f

z
u

y
u

x
u













(0.3)


при отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (0.3) переходит в 

уравнение  Лапласа

.0
2

2

2

2

2

2














z
u

y
u

x
u
(0.4)

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также 

удовлетворяют 
уравнению 
Лапласа, 
в 
котором 
отсутствуют 
массы 
и, 

соответственно, электрические заряды. 

Уравнения (0.1) - (0.4) называют основными уравнениями математической 

физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого 

круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция 
)
,
,
(
z
y
x
u
u 
, удовлетворяющая какому-либо из уравнений (0.1)
(0.4), называется его решением.

1. Общее решение уравнений в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка: 

.0
)
,...,
''
,'
,
,
(
)
(

n
y
y
y
y
x
f
Его общий интеграл представляет собой некоторое 

семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных

.0
)
,...,
,
,
,
(
2
1

n
C
C
C
y
x
F

Пример. Найти решение уравнения  
,1
2







u
y
u
y
x
u
x
удовлетворяющее

начальному условию 
2
,
,1
0
0
0




t
u
t
y
x
.

Решение. Запишем характеристическое уравнение в параметрическом виде: 

1
,
2
,




u
ds
du
y
ds
dy
x
ds
dx
.

Полученная система дифференциальных уравнений имеет общее решение: 

s
s
s
e
c
u
e
c
y
e
c
x
3

2

2
1
1
,
,




.

Найдем значения 
2
1,c
c
и 3
c из начального условия при
0

s
, тогда получаем 

1

0

1
0
1
c
e
c
x



, 
2

0

2
0
c
e
c
t
y



и 
0

3
0
1
2
e
c
t
u




отсюда 
1
3

 t
c
.

Параметрическое решение задачи Коши имеет вид:

s
s
te
s
t
y
e
s
t
x
2
)
,
(
,
)
,
(


, 


s
e
t
s
t
u
)
1(
1
,



,

исключив из уравнений параметры s и t, получим решение 
x
y
x
u


1
.

Пример. Найти общее решение уравнения

0
)
(sin








y
u
yctgx
x
x
u

Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение

1

sin
yctgx
x
y




Получим линейное дифференциальное уравнение, которое будем решать 

методом вариации постоянных

x
x

y
C
C
x
x

y
x
C
x
x
y

C
x
x
C
C

x
C
x
x
C
x
C

x
x
C
x
y
е
т

x
C
y

C
x
y

ctgxdx
y
y

yctgx
x
y
































sin
,
sin
,
sin
)
(
)
(

)
(
,1

cos
sin
cos
sin

sin
)
(
)
(
.
.

sin

ln
sin
ln
ln

1
1

1
1
1

1

1

1

Ответ:
)
sin
(
)
,
(
x
x

y
F
y
x
u


.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных 

производных 
0
)
;
(

2

2






x

y
x
u
, где 
)
;
(
y
x
u

неизвестная функция двух 

независимых переменных.

Решение. Перепишем уравнение в виде: 
.0












x
u

x

Отсюда видно, что 

x
u


не зависит от x , так как частная производная от нее по x , равна нулю. 

Поэтому 
)
(
1 y
C
x
u 



, где 
)
(
1 y
C
 произвольная функция от y . В уравнении 

)
(
1 y
C
x
u 


частная производная 
x
u


берется по x ,  а y считается постоянной.

Взяв интеграл от левой и правой частей, получим решение поставленной задачи:





),
(
)
(
)
(
)
,
(
2
1
1
y
C
y
xC
dx
y
C
y
x
u
где 
)
(
1 y
C
и 
)
(
2 y
C
 произвольные 

функции от y .  Если найденную функцию 
)
,
(
y
x
u
два раза продифференцировать 

по x , то получим 
,0
2

2




x
u
и, следовательно, найденная функция является общим 

решением данного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения 
.
2

2

y
x
y
x

u






Решение. Переписав уравнение в виде: 
y
x
x
u

y












2
и интегрируя 

левую и правую части по y (считая в это время x постоянным), получим:









).
(
2
)
(
1

2

2
2
x
C
y
y
x
dy
y
x
x
u

Интегрируя теперь по x полученное уравнение (считая в это время 
y

постоянным), получим:










).
(
)
(
2
3
))
(
2
(
)
,
(
2
1

2
3

1

2

2
y
C
x
C
x
y
y
x
dx
x
C
y
y
x
y
x
u

Здесь 



.
)
(
)
(
1
1
dx
x
C
x
C
Таким образом, общим решением рассматриваемого 

уравнения будет функция: 

),
(
)
(
2
3
)
,
(
2
1

2
3

y
C
x
C
x
y
y
x
y
x
u






где  
)
(
1 x
C
и 
)
(
2 y
C
 произвольные функции, причем 
)
(
1 x
C
дифференцируема.

Пример. Решить дифференциальное уравнение в частных производных 

.
2

2

x
u

y
x

u








Решение. Переписав уравнение в виде 
0
2
















u
y
u

x

и интегрируя 

левую и правую части по переменной x, получим: 
).
(
2
1 y
C
u
y
u




В этом 

уравнении 
y
u


можно рассматривать как обычную производную по y , а x при 

этом считать параметром. Тогда уравнение перепишется в виде: 
).
(
2
1 y
C
u
dy
du



Мы получили неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, 

получаем:



).
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1

2

2

2

1
2

2
y
C
e
x
C
dy
e
y
C
x
C
e
y
x
u
y
dy
dy











Таким образом, 
),
(
)
(
)
,
(
1

2

2
y
C
e
x
C
y
x
u
y



где 
)
(
2 x
C
и 
)
(
1 y
C
 произвольные 

функции.

Задачи:

1.
).
('
)
(
)
(
)
(
)
,
(
y
y
x
y
x
y
x
u







Проверить, что 
y
u

y
x

u
y
x








2

)
(

( и   дважды дифференцируемые функции).

2. Исключить произвольные функции  и  из семейства:

).
(
)
(
)
,
(
at
x
at
x
t
x
u







Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с 

частными производными.

3. 
.0

2






y
x

u

4.
.

2

y
x
y
x

u






5. 
.
2

2

2

y
x
x
u





6. 
.
2

2

y
xe
y
u





7. 
.0
1
2









y
u

x
y
x

u

8. 
.
2

2

x
u
y
y
x

u








9. 
.
5

2

y
u

y
x

u








10. 
.2
2

2




x
u

11. 
.
2

2

x
y
x

u 




12. 
.
2

2

y
u

y
u







13. 
.
2

2

y
x
y
u





14. 
.
6
2

2

x
x
u 



Найти решение задачи Коши.

15.
,2
,
,1
:
,1
2
0
0
0











t
u
t
y
x
l
u
y
u
y
x
u
x

16.
,2
,2
,
:
,3
3
2
2

0
0
0

2











t
u
y
t
x
l
u
y
u
y
x
u
x

17.

2

0
0
0

2
,
,1
:
,2
t
u
t
y
x
l
u
y
u
y
x
u
ux
x











,