Математический анализ. Том 1

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е  -  Б А К А Л А В Р И А Т  

сер и я  о с н о в а н а  в 1 Э Э Б  г.

Г.С. ЖУКОВА 
М.Ф. РУШАЙЛО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

УЧЕБНИК 

ТОМ 1

Под редакцией Г.С. Жуковой

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по естественно-научным и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 2 от 03.02.2020)

Э л е к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8) 
Б Б К  22.161я73 
Ж 86

Р е ц е н з е н т ы :

Еникеев И.Х., доктор технических наук, профессор Московского 
политехнического университета;

Орлик Л.К., кандидат физико-математических наук, профессор 
Российского государственного социального университета

Жукова Г.С.

Ж 86 
Математический анализ : учебник. Том 1 /  Г.С. Жукова, М.Ф. Рушайло ; под ред. Г.С. Жуковой. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 388 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072169.

ISBN 978-5-16-015967-6 (общ.)
ISBN 978-5-16-015966-9 (print, т. 1)
ISBN 978-5-16-108351-2 (online, т. 1)
Цель учебника — помочь бакалаврам овладеть основными понятиями 
и методами исследования математического анализа. В томе 1 изучаются 
следующие разделы: теория множеств, теория пределов; дифференциальное исчисление функции одной переменной; исследование свойств 
функции и построение графика; интегральное исчисление функций одной 
переменной (неопределенный, определенный, несобственные интегралы), 
техника интегрирования; гиперболические функции; приложения к анализу и решению практических задач. Данные разделы изучаются в вузах, как 
правило, в первом семестре в рамках самостоятельной дисциплины «Математический анализ» или курсов «Высшая математика», «Математика».

Большое внимание уделено сравнению рассматриваемых методов, правильному выбору схемы исследования задач, анализу сложных ситуаций, 
возникающих при изучении указанных разделов математического анализа.

Для преподавателей, студентов и аспирантов вузов, изучающих математический анализ.

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-015967-6 (общ.)
ISBN 978-5-16-015966-9 (print, т. 1) 
ISBN 978-5-16-108351-2 (online, т. 1)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 
2000, 2020

В В Е Д Е Н И Е

Математические методы исследования прочно вошли во все 
области человеческой деятельности. В настоящее время математика превратилась в повседневный инструмент исследований не 
только таких наук, как механика, физика, химия, астрономия, но и 
экономика, биология, медицина, языкознание. Все это повышает 
интерес к математике со стороны смежных наук, использующих 
различный объем математических знаний, и ставит новые задачи 
в изучении самой математики.

Вторжение математики во все области научной и практической деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Идет прогрессирующий процесс математизации всех наук. 
Этому в значительной мере способствует быстрое развитие вычислительной техники и ее применение в самых различных областях науки и техники.

В настоящее время решение большинства возникающих задач 
выполняется на компьютерах с помощью различных вычислительных алгоритмов с использованием "серьезной"математики.

Для анализа многих задач технического, химического, экономического или биологического характера необходимо, прежде всего, 
чтобы эти задачи были переведены на математический язык, после чего они анализируются и решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой 
цепи является именно "перевод" задачи на математический язык. 
Это объясняется тем, что для правильной математической формулировки даже самой простой проблемы необходимо знание не 
только той науки, из которой возникла задача, но необходимы определенная математическая культура и математические знания.

Требования к математической подготовке современного специалиста постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей 
специальности ему необходимо знать и уметь использовать в сво3

ей практической деятельности возможности вычислительной 
техники, современные математические методы, уметь выбирать 
наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных 
известных методов.

Эти обстоятельства предъявляют к современному специалисту повышенные требования в их математической подготовке: 
знание теории и овладение навыками решения задач по основным 
разделам высшей математики, умение изложить их основы на 
четком алгоритмическом языке, знание преимуществ и недостатков того или иного метода решения.

По курсу математического анализа существует большое число 
учебников и учебных пособий, изданных в разные годы в нашей 
стране и за рубежом.

Настоящий учебник написан на базе лекций и практических занятий по математическому анализу, читаемых в первом семестре 
студентам первого курса всех факультетов и колледжей Российского химико-технологического университета им. Д. И.Менделеева.

При его написании авторы использовали работы [2], [3], [7], 
руководствовались принципом достаточно краткого, но четкого 
изложения, доступного вчерашнему выпускнику средней школы 
Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, 
анализу различных методов их решения.

В том I учебника «Математический анализ» вошли следующие 
разделы:

♦ 
функция,

♦ 
теория пределов;

♦ 
теория непрерывных функций,

♦ 
дифференцирование функции одной независимой 
переменной;

♦ 
гиперболические функции',

♦ 
неопределенный и определенный интегралы функции одной независимой переменной;

♦ 
несобственные интегралы;

♦ 
приложения.

4

Содержание учебника разбито на параграфы и пункты. Нумерация формул, теорем, свойств, замечать, примеров, рисунков, 
таблиц в каждом параграфе самостоятельная.

В конце книги приведен перечень теоретических вопросов для 
самоконтроля. Дан краткий очерк истории математики.

Как показал многолетний опыт педагогической работы в вузах, материал, включенный в параграфы учебника, можно изложить и обсудить подробно, в умеренном темпе со студентами во 
время занятий за 20 лекций:

Л е к ц и я
1
Понятие функции (§1).

Л е к ц и я
2
Предел функции (§2).

Л е к ц и я
3
1-й и 2-й замечательные пределы. Непрерывность функции в точке (§3).

Л е к ц и я
4
Производная функции (§4).

Л е к ц и я
5
Производные некоторых элементарных функций (§5).

Л е к ц и я
6
Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших 
порядков. 
Свойства 
функций, непрерывных на отрезке (§6-7).

Л е к ц и я
7
Раскрытие 
неопределенностей. 
Асимптоты 
плоских кривых (§8-9).

Л е к ц и я
8
Возрастание и убывание функции. Экстремумы 
функции (§10 п. 1-2).

Л е к ц и я
9
Наибольшее и наименьшее значения функции на 
отрезке. Выпуклость и вогнутость, точки 
перегиба графика функции (§10 п.З, §11).

Л е к ц и я
10
Общая схема исследования функции и построение графика (§12).

5

Л е к ц и я  11 

Л е к ц и я  12

Л е к ц и я  13

Л е к ц и я  14 

Л е к ц и я  15

Л е к ц и я  16 

Л е к ц и я  17

Л е к ц и я  18

Л е к ц и я  19 

Л е к ц и я  20

Гиперболические функции (§13).

Первообразная функция. Неопределенный 
интеграл. Непосредственное интегрирование 
(§14, §15 п.1).

Методы интегрирования: подстановка, интегрирование по частям (§15 п. 2-3).

Интегрирование рациональных дробей (§16).

Интегрирование некоторых видов 
тригонометрических и иррациональных выражений
(§17). 
‘

Определенный интеграл и его свойства 
(§18 п. 1-4). 
'

Теорема о среднем значении определенного интеграла. Формула Ньютона -  Лейбница 
(§18 п.5, §19 п.1-3).

Методы интегрирования в определенном интеграле: подстановка, интегрирование по частям. 
Применение определенного интеграла для вычисления 
площадей 
плоских фигур в прямоугольной системе координат 
(§19 п. 4-5, §20 п.1).

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур в полярной 
системе координат. Приложение определенного интеграла к вычислению объемов (§20 п. 2-4).

Несобственные интегралы (§21).

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим 
высшую математику.

6

Глава I 
ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ФУНКЦИЙ

§ 1. 
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Понятия числа и множества являются одними из основных в 
математике. Это -  простые, первичные понятия, которые не определяются через другие.

Множества 
обозначают 
прописными 
буквами, 
например, 
А, В ,... или X , Y , ..., а их элементы -  строчными, например,

а,Ь,... или х , у , . . .  . Символом {а} обозначают множество, содержащее только элемент а  . Символом 0  обозначают пустое 
множество, то есть не содержащее элементов.

Запись х  е  А означает, что элемент X принадлежит множеству А . Если же X не входит во множество А , пишут X £ А .

Для сокращения записи математических утверждений часто используют символы: 
" V" -  квантор общности; " 3" -  квантор существования.

Запись "V x g  А : а "  означает, что для всех (для любого) X из 

множества А имеет место некое утверждение, обозначенное а .

Запись " Зх0 G А : а" означает, что существует (найдется) такой элемент х 0 из множества А , для которого справедливо утверждение, обозначенное а .

Введем необходимую для дальнейшего изложения терминологию.

7

О п р е д е л е н и е  1. Суммой или объединением множеств А 
и 
В 
называется 
множество, 
обозначаемое 
А + В  
или 
A U В, состоящее из элементов обоих множеств А я В.

О п р е д е л е н и е  2. Произведением или пересечением множеств А иВ 
называется множество, обозначаемое А ■ В 
или 
А Г\ В, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих 

множествам А и В.

О п р е д е л е н и е  3. Разностью множеств АяВ  называется множество, обозначаемое 
А \ В , 
состоящее 
из 
элементов 
множества А , которые не принадлежат множеству В

О п р е д е л е н и е  4. Два множества А я В называются 
равными (пишут А = В), если эти множества состоят из одних и 
тех же элементов.

О п р е д е л е н и е  5. Два множества 
А и В называются 
эквивалентными 
(пишут А ~ В ), 
если между элементами этих 
множеств существует взаимно однозначное соответствие.

О п р е д е л е н и е  6. Говорят, что множество 
А вложено 
во множество В (пишут А а  В ), 
если любой элемент множества 
А является также элементом множества В .

О п р е д е л е н и е  7. Два множества А я В называются 
равными, если A d  В я В d  А ,то есть

О п р е д е л е н и е  8. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

8

Напомним обозначения некоторых бесконечных числовых множеств:

Отсюда, в частности,

N  г \Р  = Р , 
N u P  = N ,  
N  r\Z  = N , 
N  u Z  =  Z  

N ^ Q  = N ,  
N u Q  = Q , 
N r \ R  = N , 
N u R  = R

Заметим, что множество R  эквивалентно множеству точек числовой оси, в силу чего понятия 
“число х” и “точка х” 
на числовой оси будем считать равнозначными.

Напомним некоторые числовые подмножества числовой оси и 
их обозначения.

О п р е д е л е н и е  9. Множество чисел X €  R , удовлетворяющих неравенству а < х < Ь ,  называется отрезком и обозначается [a;Z>].

N  = {l, 2 , 3 , 4 , . . — множество натуральных чисел,

Z  = { . . . 2, — 1 , 0 , 1 , 2 , . . — множество целых чисел,

Нетрудно видеть, что

P a N c Z c z Q c z R .

9

О п р е д е л е н и е  10. Множество чисел х е  R , удовлетворяющих неравенству а < х  <Ь, называется интервалом и обозначается (a;b).

О п р е д  е л е н и е  11. Множество чисел X G R , удовлетворяющих одному из неравенств а < х  <Ь или а < х <Ь, называется полуинтервалом (или полуотрезком) и обозначается \а, Ь) 

или (а; Л] соответственно.

Перечисленные 
в определениях 9-11 
множества называют 
промежутками.

О п р е д е л е н и е  12. Окрестностью точки Х0 называется 

произвольный интервал (а,Ь ), содержащий точку х 0 .

О п р е д е л е н и е  13. Интервал 
(*о 
£,*0 
8 ), где

8  > 0, 
называется 8  -  окрестностью точки х 0 
(обозначается

«Л *о))

О п р е д е л е н и е  14. Интервал (х0 -  8 ; х 0 ), где 8  > 0, называется левои^о]^естндшь]д_точки Х0 (обозначается М^(х0)), 

а интервал (х0; х0 + 8 ), где 8  > 0, называется правой окрестностью точки х 0 (обозначается u 's (х0 )).

О п р е д е л е н и е  15. Множество X  называют ограниченным. если существует такое число М  > 0 , что для всех элементов 

X из X  справедливо неравенство: | х | < М , 
то есть

[ X  — ограничено]<=> 3 М  > 0 
V x е  X  : 
| х | < Л / .

10