Математические методы и модели исследования операций

А. С. Шапкин, В. А. Шапкин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ
Учебник
7-е издание
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 061800
“Математические методы в экономике”
Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2019

УДК 519.87:330.4(075.8)
ББК 65.05
Ш23
Рецензенты:
кафедра математических методов в экономике Российского
экономического университета им. Г. В. Плеханова
(доктор экономических наук, профессор Н. П. Тихомиров)
и доктор экономических наук, профессор Б. А. Лагоша
Ш23
Шапкин А. С.
Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. — 7-е изд. — М.:
Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2019.
 
—
 
 398 
с.
ISBN 978-5-394-02736-9
В учебнике изложены экономико-математические методы и
модели для решения прикладных задач управления экономическими процессами. Рассмотрены некоторые вопросы применения ЭВМ
для принятия управленческих решений.
Для студентов, аспирантов, преподавателей экономических
вузов, а также лиц, занимающихся практической деятельностью в
экономической области.
2
© А. С. Шапкин, В. А. Шапкин, 2005
© ООО «ИТК «Дашков и К°», 2017
ISBN 978-5-394-02736-9

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................................................................................. 7
Раздел I
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Глава 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ..................................................................................................... 11
1.1. Математическое моделирование экономических систем....... 11
1.2. Классификация
экономико-математических моделей ......................................................... 16
1.3. Постановка задачи линейного программирования....................... 25
1.4. Геометрическая интерпретация задач линейного
программирования ...................................................................................................... 28
Глава 2. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД .......................................................................... 34
2.1. Обыкновенные жордановы исключения ................................................ 34
2.2. Применение жордановых исключений
в линейной алгебре..................................................................................................... 36
2.3. Модифицированные
жордановы исключения ......................................................................................... 44
2.4. Экстремумы линейной функции .................................................................... 46
2.5. Симплексный метод
на основе полных таблиц ..................................................................................... 47
2.6. Симплексный метод на основе укороченных таблиц................. 56
2.7. Симплексный метод на основе модифицированных
жордановых исключений ...................................................................................... 57
2.8. Задача минимизации
линейной функции ...................................................................................................... 72
2.9. Решение задач линейной алгебры
и линейного программирования на ЭВМ .............................................. 81
3

Раздел II
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ ........................... 91
3.1. Прямая и двойственная задачи линейного
программирования ...................................................................................................... 91
3.2. Основные теоремы двойственности ........................................................... 94
3.3. Двойственный симплексный метод ...........................................................102
3.4. Экономическая интерпретация двойственных задач ...............111
Глава 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА .......................................................................119
4.1. Постановка задачи и ее математическая модель .......................119
4.2. Построение первоначального опорного плана ..............................122
4.3. Оптимальность базисного решения.
Метод потенциалов...................................................................................................124
4.4. Улучшение плана перевозок ..........................................................................125
4.5. Задача определения оптимального плана перевозок ..............127
4.6. Открытая модель транспортной задачи ...............................................131
4.7. Понятие о распределительной задаче..................................................134
4.8. Решение транспортной задачи на ЭВМ...............................................140
Глава 5. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ......................146
5.1. Постановка задачи ...................................................................................................146
5.2. Задача определения оптимального
плана производства..................................................................................................150
Глава 6. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА........................................................................155
6.1. Модель межотраслевого баланса ...............................................................156
6.2. Общая модель межотраслевого баланса продукции ................159
6.3. Понятие о косвенных затратах...................................................................163
6.4. Полные внутрипроизводственные затраты .....................................164
6.5. Оптимизация межотраслевого баланса................................................173
6.6. Программа составления межотраслевого
баланса на ЭВМ...........................................................................................................177
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР В ЗАДАЧАХ
МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ ............180
7.1. Предмет теории игр. Основные понятия .............................................181
7.2. Нижняя и верхняя цены игры. Принцип “минимакса”..........184
4

7.3. Вполне определенные игры ............................................................................186
7.4. Игры, не содержащие седловой точки. Смешанные
стратегии............................................................................................................................187
7.5. Элементарные методы решения матричных
игр 2×2, 2×n, m×2 ....................................................................................................190
7.6. Решение матричных игр m´n .......................................................................197
7.7. Сведение задачи линейного программирования
к матричной игре .......................................................................................................208
Раздел III
МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Глава 8. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ............................................210
8.1. Общая постановка задачи ..................................................................................210
8.2. Графическое решение задач нелинейного
программирования ....................................................................................................211
8.3. Метод множителей Лагранжа .......................................................................216
Глава 9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ............................................................................................225
9.1. Формулировка задачи...........................................................................................225
9.2. Графическое решение...........................................................................................226
Глава 10. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ......................232
10.1. Постановка задачи.................................................................................................232
10.2. Алгоритм решения задач методом динамического
программирования ....................................................................................................235
10.3. Решение задач ..........................................................................................................239
Раздел IV
ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
И ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Глава 11. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ...........................................................251
11.1. Области применения сетевого планирования
и управления ..................................................................................................................251
11.2. Назначение, характеристика и структура
систем СПУ......................................................................................................................252
5

11.3. Сетевой график. Критический путь ......................................................254
11.4. Временные параметры сетей. Резервы времени.......................258
11.5. Временные параметры вероятностных сетей .............................267
11.6. Сетевое планирование в условиях неопределенности .......270
11.7. Оптимизация сетевых моделей .................................................................272
Глава 12. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В МИКРОЭКОНОМИКЕ .............................................................................................279
12.1. Моделирование спроса и предложения ............................................279
12.2. Влияние эластичности спроса и предложения
и налогообложения на коммерческую деятельность.................294
12.3. Соотношения между суммарными, средними
и предельными величинами в экономике ...........................................312
12.4. Функция полезности ............................................................................................318
12.5. Исследование микроэкономических моделей на ЭВМ........324
Глава 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.....................................................................333
13.1. Введение .........................................................................................................................333
13.2. Распределение входящего потока
и распределение времени обслуживания...........................................341
13.3. Система массового обслуживания с отказами............................354
13.4 Системы массового обслуживания с ожиданием ......................365
13.5. Система массового обслуживания с очередью ...........................373
13.6. Система смешанного типа с ограничением
по длине очереди ......................................................................................................386
13.7. Расчет параметров СМО на ЭВМ............................................................393
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................................395
6

ПРЕДИСЛОВИЕ
Особенностью развития современного общества является сложный характер рыночной экономики, характеризуемый изменением и быстрой сменяемостью условий экономической деятельности, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственной деятельности. В этих условиях использование серьезных методов анализа в экономических исследованиях приобретает первостепенное значение. Математическое моделирование экономических ситуаций на базе современной вычислительной
техники позволяет автоматизировать сбор и обработку первичной информации, выделить основные параметры, влияющие на деятельность фирмы, рассчитать различные варианты деятельности (проектирования) фирмы, определить
наиболее целесообразные мероприятия, обеспечивающие
необходимую эффективность производства или предпринимательства, и на основе этих данных принять решение о
выборе оптимальной стратегии по управлению деятельностью фирмы (формы бизнеса).
Учебник содержит четыре раздела.
В разделе 1 (гл. 1—2) “Основы линейного программирования” рассмотрены модели линейного программирования.
В главе 1 “Экономико-математические методы и модели”
раскрываются основные понятия моделирования систем и
процессов, рассматриваются особенности применения методов математического моделирования в экономике, приводится классификация экономико-математических методов.
В п. 1.3 рассматриваются постановка задачи линейного программирования и геометрическое решение задач линейного программирования.
7

Глава 2 “Симплексный метод” посвящена описанию симплексного метода, который относится к числу наиболее распространенных вычислительных методов, реализующих
идею последовательного улучшения решения. Этот метод
может быть применен при решении любой задачи линейного программирования, т. е. является универсальным. Выводятся и рассматриваются обыкновенные жордановы исключения и на их основе обращается матрица и решаются системы линейных уравнений; вводятся модифицированные
жордановы исключения. Решается широкий круг оптимизационных задач на нахождение максимума или минимума
линейной целевой функции. В п. 2.9 рассмотрены методы
решения задач линейной алгебры и линейного программирования на ЭВМ с помощью программ Excel и Mathcad 2000.
Раздел 2 (гл. 3—7) “Экономико-математические модели
задач линейного программирования” посвящен классу экстремальных задач, определяемых линейным функционалом
на множестве, задаваемом линейными ограничениями. В главе 3 “Элементы теории двойственности” показано, что рассмотрение пар двойственных задач является эффективным
средством исследования проблем линейного программирования и построения различных методов и играет большую
роль при экономическом анализе результатов вычисления.
В главе 4 “Транспортная задача” рассмотрена задача оптимального плана перевозок груза из пунктов изготовления в
пункты потребления, причем, рассматривается как закрытая,
так и открытая модель задачи. Приводится метод решения
транспортной задачи с помощью вычислительной техники.
Глава 5 “Целочисленное программирование” посвящена
решению экономических задач, в которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции.
В главе 6 “Основы планирования межотраслевого баланса” рассмотрена проблема применения балансового метода в экономических исследованиях, описана схема межотраслевого баланса, приведен порядок расчета основных параметров модели. Изложен метод расчета параметров балансовой модели на ЭВМ.
8

В главе 7 “Элементы теории игр в задачах моделирования экономических операций” изучаются экономические
задачи, в которых достаточно часто решения приходится
принимать в условиях неопределенности, то есть в таких
условиях, когда или процесс выполнения операции является неопределенным, или нам сознательно противодействует противник, или нет ясных и четких целей (задач) операции. Показан метод сведения матричной игры к задаче линейного программирования.
Раздел 3 (гл. 8—10) “Модели нелинейного программирования” посвящен решению экономических задач, в которых
либо целевая функция, либо ограничения, либо то и другое
нелинейны. В главе 8 “Классические методы нелинейного программирования” рассмотрен процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее
геометрической интерпретации и с помощью метода множителей Лагранжа.
В главе 9 “Понятие о выпуклом программировании” изучаются задачи, в которых целевая функция является выпуклой функцией, рассматривается градиентный метод решения подобных задач.
В главе 10 “Динамическое программирование” рассматривается решение таких задач, как задача распределения
средств между предприятиями и задача о замене оборудования с помощью математического аппарата, позволяющего
осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.
Раздел 4 (гл. 11—13) “Прикладные модели исследования
операций и экономических процессов” посвящен рассмотрению ряда прикладных задач менеджмента, маркетинга и других областей управления в экономике. В главе 11 “Модели
сетевого планирования и управления” рассмотрены задачи
планирования разнообразных по своему содержанию работ,
процесс выполнения которых нельзя отразить в формальных
зависимостях. Приводятся методы определения критических
путей, резервов времени, оптимизации сетевых графиков.
9

В главе 12 “Экономико-математические методы в микроэкономике” рассматриваются модели спроса и предложения, устанавливается влияние факторов рыночного равновесия, эластичности спроса и предложения и налогообложения на производственную деятельность фирм, изучаются соотношения между суммарными, средними и предельными величинами в экономике. Даются методы исследования перечисленных в этой главе моделей на ЭВМ с помощью Mathcad 2000.
Глава 13 “Моделирование систем массового обслуживания” посвящена области прикладной математики, занимающейся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления и др. Рассмотренные задачи носят оптимизационный характер и включают экономический аспект
по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и
от простоев каналов обслуживания. Эти параметры определяются с помощью ЭВМ.
10