Введение в алгебру. Задачи и решения

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования
«Сибирский федеральный университет»
Т.Ю. Войтенко
Е.Н. Яковлева
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
Задачи и решения
Учебное пособие
Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому 
и техническому образованию в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки: 
44.03.05, 44.03.01 — «Педагогическое образование»
(Профили подготовки: «Математика и физика», 
«Информатика», «Информатика и экономика»)
2-е издание, стереотипное
Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2017

УДК 512.5(075.8)
ББК  22.144я73
         В65
Войтенко Т.Ю. 
В65       Введение в алгебру. Задачи и решения [Электронный ресурс] : учеб.
   пособие / Т.Ю. Войтенко, Е.Н. Яковлева. — 2-е изд., стер. — М. :
       ФЛИНТА, 2017. —  148 с.
ISBN 978-5-9765-2986-1 
Учебное пособие по курсу высшей алгебры, изучаемому в первом 
семестре, охватывает материал следующих разделов: множества и отношения, бинарные алгебраические операции, группы, кольца, поля и 
комплексные числа. Пособие может быть использовано для первичного 
ознакомления с изучаемым материалом, для подготовки к практическим 
занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Для студентов различных форм обучения по направлению «Педагогическое образование».
УДК 512.5(075.8)
ББК 22.144я73
     © Войтенко Т.Ю., Яковлева Е.Н., 2017
ISBN 978-5-9765-2986-1 
 © Издательство «ФЛИНТА», 2017

Содержание
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Ÿ 1.
Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Ÿ 2.
Бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Ÿ 3.
Бинарные алгебраические операции . . . . . . . .
24
Ÿ 4.
Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ÿ 5.
Кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Ÿ 6.
Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Ÿ 7.
Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Приложение. История развития некоторых математических понятий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Ответы, решения, указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Указатель терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Предисловие
Данное учебное пособие содержит материал по теории алгебраических систем, излагаемый, как правило, в первом семестре курса высшей алгебры в педагогических вузах. Материал
распределен по следующим разделам: множества и отношения, бинарные алгебраические операции, группы, кольца, поля и комплексные числа.
В начале каждого параграфа кратко сформулированы основные положения соответствующего раздела теории. Далее
приведены примеры и задачи с решениями. В заключении параграфа содержатся задачи для самостоятельного решения,
которые снабжены указаниями и ответами. Наличие большого числа решенных задач познакомит читателя с приемами
и методами решения алгебраических задач.
Пособие подготовлено на основе материалов занятий по
алгебре, проводимых авторами в течение многих лет на физико-математическом факультете Лесосибирского педагогического института  филиала Сибирского федерального университета.
При работе над пособием использовалась учебная литература, список которой приведен в конце книги, там же приведен список используемых обозначений и указатель терминов.
Мы искренне благодарны всем преподавателям кафедры
алгебры и математической логики Института Математики и
фундаментальной информатики СФУ, в общении с которыми сложилось наше представление об алгебре и ее преподавании. Особую благодарность мы хотим выразить профессору
В. М. Левчуку за постоянную поддержку и интеллектуальное
вдохновение.
Авторы

Ÿ 1.
Множества
Множество  одно из основных понятий современной математики. Это понятие принимают за первоначальное и поэтому не определяют через другие. Можно сказать, что множество это совокупность объектов (чисел, точек, функций и
т.д.), которая рассматривается как единое целое. Синонимами слова множества являются также слова: семейство, класс.
Произвольные множества в математике обычно обозначают большими латинскими буквами: A, B, C, . . .
Об объектах, образующих множество, говорят, что они
принадлежат этому множеству, или являются его элементами (точками).
Запись a ∈A означает, что объект a есть элемент множества A, или объект a принадлежит множеству A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то пишут a /
∈A. Сам
символ ∈называют знаком принадлежности.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается через ∅.
Существует два способа задания множества: непосредственное перечисление всех элементов множества (этот способ
пригоден лишь для задания конечного множества), указание
характеристического свойства.
Например, если Z  множество всех целых чисел, то множество 2Z четных целых чисел, т.е. чисел, кратных 2, можно
записать как 2Z = {z ∈Z | z = 2x для некоторого x ∈Z}.
Говорят, что множество B включено в множество A, если каждый элемент множества B является также элементом
множества A; обозначается B ⊆A. Другими словами можно
сказать, что множество A содержит множество B. Сам символ ⊆называют знаком включения. Множество B при этом
называют подмножеством множества A.

Ÿ 1. Множества
Два множества A и B считают равными, если они состоят
из одних и тех же элементов; обозначается A = B (если A и
B не равны, то пишут соответственно A ̸= B). Используя отношение включения, определение равенства двух множеств
можно записать так
A = B ⇔A ⊆B и B ⊆A.
Различают два вида включения:
1) строгое включение A ⊂B: существует хотя бы один
элемент множества B, не принадлежащий множеству A;
2) нестрогое включение A ⊆B: не существует ни одного
элемента множества B, не принадлежащего множеству A.
Если A ⊂B, но A ̸= B и A ̸= ∅, то A называется собственным подмножеством множества B.
Основными операциями над множествами, с помощью которых можно получить из любых двух множеств A и B новые
множества, являются:
⋄объединение
A ∪B = {x | x ∈A или x ∈B};
⋄пересечение
A ∩B = {x | x ∈A и x ∈B};
⋄разность
A \ B = {x | x ∈A и x /
∈B}.
Если B ⊆A, то разность A \ B называется дополнением
множества B до множества A.
Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, то такое множество U называется универсальным

Ÿ 1. Множества
7
множеством. Разность U \ A в этом случае называется дополнением множества A и обозначается через A.
Для графического изображения множеств и их свойств
часто используются диаграммы ЭйлераВенна. На рис. 1 заштрихованная часть изображает объединение, пересечение и
разность множеств A, B.
B
A
B
A
B
A
'$
'$
'$
'$
'$
p
p p p
p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p
p p
p
'$
p p p p p
p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p
&%
&%
&%
&%
&%
&%
A ∪B
A ∩B
A \ B
Ðèñ. 1
Примеры решения задач
Задача 1. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющие элементов.
Доказательство. Предположим, что существуют два пустых множества ∅1 и ∅2, причем ∅1 ̸= ∅2. Для любого множества A имеем A ∩∅= ∅. Следовательно, ∅1 ∩∅2 = ∅2 = ∅1.
□
Задача 2. Доказать, что {∅} ̸= ∅.
Доказательство. Множество {∅} состоит из одного элемента ∅, а пустое множество ∅совсем не содержит никаких элементов. □
Задача 3. Существуют ли такие множества A, B и C,
что
A ∩B ̸= ∅, A ∩C = ∅, (A ∩B) \ C = ∅?

Ÿ 1. Множества
Решение. Так как A∩B ̸= ∅, то предположим, что элемент
x ∈A ∩B. Тогда x ∈A и A ∩C = ∅, следовательно, x /
∈C.
Отсюда, по определению разности двух множеств, получаем
x ∈(A ∩B) \ C и (A ∩B) \ C ̸= ∅, что противоречит условию.
Значит, таких множеств A, B и C не существует. □
Задача 4. Доказать, что для любых множеств A, B, C
выполняется свойство дистрибутивности объединения относительно пересечения, т.е.
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C).
Доказательство. Для доказательства этого равенства нам
необходимо будет доказать два включения: 1) A ∪(B ∩C) ⊆
⊆(A ∪B) ∩(A ∪C) и 2) (A ∪B) ∩(A ∪C) ⊆A ∪(B ∩C).
1) Пусть x ∈A ∪(B ∩C). Тогда x ∈A или x ∈B ∩C.
Если x ∈A, то x ∈A ∪B и x ∈A ∪C. Отсюда следует,
что x ∈(A ∪B) ∩(A ∪C). Если x ∈B ∩C, то x ∈B и
x ∈C, следовательно, x ∈A ∪B и x ∈A ∪C, и значит,
x ∈(A ∪B) ∩(A ∪C).
Мы доказали, что любого элемента x, из условия x ∈A ∪
∪(B ∩C) следует, что x ∈(A ∪B) ∩(A ∪C), т.е. мы доказали
включение A ∪(B ∩C) ⊆(A ∪B) ∩(A ∪C).
2) Пусть теперь x ∈(A ∪B) ∩(A ∪C). Тогда x ∈A ∪B
и x ∈A ∪C. Следовательно, x ∈A или x ∈B и x ∈A или
x ∈C. Откуда получаем, что x ∈A или x ∈B ∩C, и, значит,
x ∈A ∪(B ∩C).
Таким образом, мы доказали, что любого элемента x, если
x ∈(A ∪B) ∩(A ∪C), то x ∈A ∪(B ∩C), т.е. мы доказали
включение (A ∪B) ∩(A ∪C) ⊆A ∪(B ∩C).
Объединяя включения 1) и 2), имеем A ∪(B ∩C) = (A ∪
∪B) ∩(A ∪C). □
Задача 5. Доказать, что для любых двух множеств A, B
A ∪B = A ∩B.

Ÿ 1. Множества
9
Доказательство. Пусть x ∈A ∪B. Тогда x /
∈A ∪B, и
следовательно, x /
∈A x /
∈B. Отсюда следует, что x ∈A
и x ∈B, и, стало быть, x ∈A ∩B, т.е. верно включение
A ∪B ⊆A ∩B.
Докажем обратное включение. Пусть x ∈A ∩B. Тогда
x ∈A и x ∈B, следовательно, x /
∈A и x /
∈B. Откуда
получаем, что x /
∈A∪B, и, значит, x ∈A ∪B. Таким образом,
имеем включение A ∩B ⊆A ∪B.
Объединяя два полученных включения, получаем требуемое равенство. □
Упражнения для самостоятельной работы
1.1. Перечислить элементы следующих множеств:
а) {x ∈N | x < 6};
б) {x ∈Z | |x| ≤2};
в) {x ∈R | x2 −3x + 2 = 0};
г) {(x, y) | x ∈Z, y ∈Z, x2 + y2 = 1};
д) множество всех чисел от 0 до 30, которые можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
1.2. Задать множества с помощью характеристического
свойства:
а) множество всех нечетных целых чисел;
б) множество всех действительных чисел, модуль которых больше 3;
в) множество всех целых делителей числа 246, по модулю больших 2;
г) множество всех пар рациональных чисел, сумма квадратов которых равна 1;
д) {1, 6, 11, 16, 21, 26}.
1.3. Равны ли следующие множества:
а) {2, 4, 5} и {2, 4, 2, 5};
б) {1, 2, 5} и {{1}, {2}, {5}};

Ÿ 1. Множества
в) {1, 3} и {{1, 3}};
г)
{
x ∈Z | x .
.
. 4 и x .
.
. 6
}
и
{
x ∈Z | x .
.
. 24
}
;
д)
x−2 < 1
}
и {x ∈R | x > 3};
е) {x ∈R | 6 ≤x ≤5} и ∅?
{
x ∈R


1
1.4. Верны ли следующие включения:
а) {x2 | x ∈Q} ⊆{x4 | x ∈Q};
б) {4k + 1 | k ∈Z} ⊆{2k + 1 | k ∈Z};
в) {x ∈R | x2 + x + 2 = 0} ⊆∅;
г) {(x, y) ∈R2 | x > 0, y > 0} ⊆{(x, y) ∈R2 | xy > 0}?
1.5. Указать все подмножества множества {{1, 2}, {3}, 1}.
1.6. Соединить множества символами ∈или ⊆так, чтобы
получилось верное утверждение:
а) 1 и N;
б) {1, 2} и N;
в) {1, 2} и {1, 2, {1}, {2}};
г) {1, 2} и {1, 2, {1, 2}};
д) ∅и R;
е) ∅и {∅}.
1.7. Доказать, что если A ⊆B, B ⊆C и C ⊆A, то
A = B = C.
1.8. Найти A ∪B, A ∩B, A \ B, B \ A, A, B:
а) A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, U = {0, 1, . . . , 9};
б) A = {x | x делится на 2}, B = {x | x делится на 3},
U = N.
1.9. Изобразите с помощью кругов Эйлера  Венна множеств A, B и C, удовлетворяющих указанному условию:
а) A ⊆B и B ⊆C;
б) если A ⊆A ∩B;
в) если A ∪B ⊆A;
г) если A = A \ B.