Введение в алгебру. Задачи и решения
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 148
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-2986-1
Артикул: 737662.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Учебное пособие по курсу высшей алгебры, изучаемому в первом семестре, охватывает материал следующих разделов: множества и отношения, бинарные алгебраические операции, группы, кольца, поля и комплексные числа. Пособие может быть использовано для первичного ознакомления с изучаемым материалом, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Для студентов различных форм обучения по направлению «Педагогическое образование».
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский федеральный университет» Т.Ю. Войтенко Е.Н. Яковлева ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Задачи и решения Учебное пособие Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки: 44.03.05, 44.03.01 — «Педагогическое образование» (Профили подготовки: «Математика и физика», «Информатика», «Информатика и экономика») Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017 2-е издание, стереотипное
УДК 512.5(075.8) ББК 22.144я73 В65 В65 Введение в алгебру. Задачи и решения [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Т.Ю. Войтенко, Е.Н. Яковлева. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 148 с. ISBN 978-5-9765-2986-1 Учебное пособие по курсу высшей алгебры, изучаемому в первом семестре, охватывает материал следующих разделов: множества и отношения, бинарные алгебраические операции, группы, кольца, поля и комплексные числа. Пособие может быть использовано для первичного ознакомления с изучаемым материалом, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Для студентов различных форм обучения по направлению «Педа гогическое образование». УДК 512.5(075.8) ББК 22.144я73 © Войтенко Т.Ю., Яковлева Е.Н., 2017 ISBN 978-5-9765-2986-1 © Издательство «ФЛИНТА», 2017 Войтенко Т.Ю.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. . . . . . . . . 24 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
, , , . : , , , , . . . , . . , -. , , . , . . . . 1. . . , (, , ..), . : , . : A, B, C, . . . , , , , (). a ∈ A , a A, a A. a A, a /∈ A. ∈ . , , ∅. : (), . , Z , 2Z , .. , 2, 2Z = {z ∈ Z | z = 2x x ∈ Z}. , B A, B A; B ⊆ A. , A B. ⊆ . B A.
1. A B , ; A = B (A B , A ̸= B). , A = B ⇔ A ⊆ B B ⊆ A. : 1) A ⊂ B: B, A; 2) A ⊆ B: B, A. A ⊂ B, A ̸= B A ̸= ∅, A B. , A B , : ⋄ A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B}; ⋄ A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B}; ⋄ A \ B = {x | x ∈ A x /∈ B}. B ⊆ A, A \ B B A. -U, U 1. 7 . U \ A A A. . . 1 , A, B. &% '$ &% '$ &% '$ &% '$ &% '$ &% '$ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p B A A ∪ B pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp pp B A A ∩ B p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p B A A \ B . 1 1. , , . . , ∅1 ∅2, ∅1 ̸= ∅2. A A ∩ ∅ = ∅. , ∅1 ∩ ∅2 = ∅2 = ∅1. □ 2. , {∅} ̸= ∅. . {∅} ∅, ∅ . □ 3. A, B C, A ∩ B ̸= ∅, A ∩ C = ∅, (A ∩ B) \ C = ∅?
1. . A∩B ̸= ∅, , x ∈ A ∩ B. x ∈ A A ∩ C = ∅, , x /∈ C. , , x ∈ (A ∩ B) \ C (A ∩ B) \ C ̸= ∅, . , A, B C . □ 4. , A, B, C , .. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). . : 1) A ∪ (B ∩ C) ⊆ ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 2) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C). 1) x ∈ A ∪ (B ∩ C). x ∈ A x ∈ B ∩ C. x ∈ A, x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C. , x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ B ∩ C, x ∈ B x ∈ C, , x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C, , x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). , x, x ∈ A ∪ ∪(B ∩ C) , x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), .. A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 2) x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C. , x ∈ A x ∈ B x ∈ A x ∈ C. , x ∈ A x ∈ B ∩ C, , , x ∈ A ∪ (B ∩ C). , , x, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), x ∈ A ∪ (B ∩ C), .. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C). 1) 2), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ ∪B) ∩ (A ∪ C). □ 5. , A, B A ∪ B = A ∩ B.
1. 9 . x ∈ A ∪ B. x /∈ A ∪ B, , x /∈ A x /∈ B. , x ∈ A x ∈ B, , , x ∈ A ∩ B, .. A ∪ B ⊆ A ∩ B. . x ∈ A ∩ B. x ∈ A x ∈ B, , x /∈ A x /∈ B. , x /∈ A∪B, , , x ∈ A ∪ B. , A ∩ B ⊆ A ∪ B. , . □ 1.1. : ) {x ∈ N | x < 6}; ) {x ∈ Z | |x| ≤ 2}; ) {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}; ) {(x, y) | x ∈ Z, y ∈ Z, x2 + y2 = 1}; ) 0 30, . 1.2. : ) ; ) , 3; ) 246, 2; ) , 1; ) {1, 6, 11, 16, 21, 26}. 1.3. : ) {2, 4, 5} {2, 4, 2, 5}; ) {1, 2, 5} {{1}, {2}, {5}};
1. ) {1, 3} {{1, 3}}; ) { x ∈ Z | x ... 4 x ... 6 } { x ∈ Z | x ... 24 } ; ) { x ∈ R 1 x−2 < 1 } {x ∈ R | x > 3}; ) {x ∈ R | 6 ≤ x ≤ 5} ∅? 1.4. : ) {x2 | x ∈ Q} ⊆ {x4 | x ∈ Q}; ) {4k + 1 | k ∈ Z} ⊆ {2k + 1 | k ∈ Z}; ) {x ∈ R | x2 + x + 2 = 0} ⊆ ∅; ) {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0} ⊆ {(x, y) ∈ R2 | xy > 0}? 1.5. {{1, 2}, {3}, 1}. 1.6. ∈ ⊆ , : ) 1 N; ) {1, 2} N; ) {1, 2} {1, 2, {1}, {2}}; ) {1, 2} {1, 2, {1, 2}}; ) ∅ R; ) ∅ {∅}. 1.7. , A ⊆ B, B ⊆ C C ⊆ A, A = B = C. 1.8. A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A, B: ) A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, U = {0, 1, . . . , 9}; ) A = {x | x 2}, B = {x | x 3}, U = N. 1.9. A, B C, : ) A ⊆ B B ⊆ C; ) A ⊆ A ∩ B; ) A ∪ B ⊆ A; ) A = A \ B.
1. 11 1.10. , A∪B = A , B ⊆ A. 1.11. , A∩B = B A, B = ∅. 1.12. , A B A ∩ B ⊆ A ∪ B. 1.13. , : ) A ∪ B = A ∪ C, B = C; ) A ∩ B = A ∩ C, B = C; ) A ∪ B = A ∪ C A ∩ B = A ∩ C, B = C? 1.14. -: ) A ∪ A = A (); ) A ∩ A = A (); ) A ∪ B = B ∪ A (); ) A ∩ B = B ∩ A (); ) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (); ) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (); ) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (); ) A ∩ B = A ∪ B; ) A ∪ A = U; ) A ∩ A = ∅; ) A ∪ ∅ = A; ) A ∩ ∅ = ∅. 1.15. : ) A ∪ (A ∩ B) = A; ) A ∩ (A ∪ B) = A;
1. ) A \ B = A ∩ B; ) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); ) (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A; ) A ∩ B = A ∩ (A ∪ B); ) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A; ) (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A); ) (A \ B) ∪ (A \ B) = (A ∪ B) \ (A ∩ B); ) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B); ) (A \ B) ∪ (A \ B) = (B ∪ A) ∩ (A ∪ B); ) A \ (A \ B) = A ∩ B; ) B ∪ (A \ B) = A ∪ B; ) B ∩ (A \ B) = ∅; ) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C); ) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); ) A \ B = A ∪ B; ) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C); ) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C. 1.16. X, : ) A \ X = A A ∪ X = U; ) A \ X = ∅ A ∪ X = A. 1.17. , : ) A ∪ B ⊆ C ⇔ A ⊆ C B ⊆ C; ) (A \ B) ∪ B = A ⇔ B ⊆ A; ) (A ∪ B) \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅; ) A ∪ B = A \ B ⇔ B = ∅; ) A ⊆ B ⊆ C ⇔ A ∪ B = B ∩ C. 1.18. A B A ˙−B = (A \ B) ∪ (B \ A). : ) A ˙−B = B ˙−A; ) A ˙−(B ˙−C) = (A ˙−B) ˙−C; ) A ∩ (B ˙−C) = (A ∩ B) ˙−(A ∩ C);
1. 13 ) A ˙−(A ˙−B) = B; ) A ˙−∅ = A; ) A ˙−A = ∅. 1.19. : ) A \ B ∩ (A ∪ B); ) ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ ((A ∩ B) ∪ B); ) A \ B ∩ (A ∪ B); ) (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) ∪ (C ∪ D).
Доступ онлайн
В корзину