Математическое моделирование эмиссии из катодов малых размеров

Москва
Горячая линия – Телеком
2014

УДК 537.533.2:519.633 
ББК 22.311 
      М34 
 

Р е ц е н з е н т ы : доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой 

теории вероятностей и прикладной математики МТУСИ А. Г. Кюркчан; 
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики НИУ 
ВШЭ  В. М. Четвериков 
 
А в т о р ы :   
В. Г. Данилов, В. Ю. Руднев, Р. К. Гайдуков, В. И. Кретов  

М34 Математическое моделирование эмиссии из катодов малых 
размеров. – М.: Горячая линия–Телеком, 2014. – 232 с.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0425-2. 

Представлена новая математическая модель теплопереноса в 
кремниевом автоэмиссионном острийном катоде малого размера, 
которая позволяет учитывать возможное его частичное проплавление. Приведенная математическая модель основана на системе 
фазового поля – современного обобщения задачи типа Стефана. 
Используемый авторами подход является не чисто математическим, а основан на понимании структуры решения (построении и 
изучении асимптотических решений) и компьютерных вычислениях. В книге приведен алгоритм численного решения уравнений 
полученной математической модели, в том числе его параллельная реализация. В заключение приведены результаты численного моделирования. 
Для специалистов, проводящих исследования в области процессов теплопереноса и автоэлектронной эмиссии, может быть 
полезна студентам старших курсов и аспирантам. 

ББК 22.311 

 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU  

 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9912-0425-2                            ©  В. Г. Данилов, В. Ю. Руднев,  
Р. К. Гайдуков, В. И. Кретов, 2014 

         ©  Издательство «Горячая линия–Телеком», 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава 1. Введение
9
1.1. Краткая история открытия явления эмиссии электронов
9
1.2. Виды электронной эмиссии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4. Математическая постановка задачи. Модель теплопереноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Глава 2. Физические основы автоэлектронной эмиссии
18
2.1. Зонная теория и уровень Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2. Удельная проводимость полупроводников . . . . . . . . . .
24
2.2.1. Концентрация электронов и дырок . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.2. Эффективная масса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.3. Подвижности электронов и дырок . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.4. Зависимость удельной проводимости от температуры в кремнии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3. Термоэлектричество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4. Теплопроводность твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.4.1. Электронная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4.2. Теплопроводность кристаллической решетки . . . . .
34
2.5. Плотность эмиссионного тока и эффект Ноттингама .
35
2.5.1. Функция поддержки в металлах . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.5.2. Туннелирование электронов через
потенциальный барьер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.5.3. Формула для коэффициента прозрачности барьера
в случае автоэмиссионного катода . . . . . . . . . . . . .
51
2.5.4. Плотность эмиссионного тока в металлах . . . . . . .
56
2.5.5. Особенности автоэлектронной эмиссии из полупроводникового катода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Оглавление

2.5.6. Аппроксимация формулы для плотности эмиссионного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.5.7. Эффект Ноттингама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.5.8. Оптимальные значения параметров аппроксимаций
67
2.5.9. Зависимость инверсионной температуры от напряженности внешнего электрического поля . . . . . . . .
69

Глава 3. Математическая модель
72
3.1. Система фазового поля и ее использование при моделировании теплопереноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.2. Система фазового поля как регуляризация предельных
задач со свободной границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.3. Асимптотическое решение системы фазового поля и
модифицированная задача Стефана . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.3.1. Построение асимптотического решения . . . . . . . . .
87
3.3.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.4. Слабое решение системы фазового поля и модель зоны
проплавления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.4.1. Слабые решения и условия типа Гюгонио . . . . . . .
104
3.4.2. Решения типа «волновой поезд» и соответствующая предельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
3.5. Вывод решения предельной задачи Стефана–Гиббса–
Томсона из численного решения системы фазового поля
133
3.6. Рождение и слияние диссипативных волн . . . . . . . . . .
143

Глава 4. Численное моделирование и его результаты
151
4.1. Модель нанокатода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
4.2. Вычисление плотности тока внутри катода . . . . . . . . .
155
4.3. Вычисление плотности эмиссионного тока и моделирование эффекта Ноттингама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
4.4. Разностная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
4.4.1. Разностная схема для уравнения на потенциал . . .
162
4.4.2. Разностная схема для уравнения на функцию порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
4.4.3. Разностная схема для уравнения теплопроводности
166
4.4.4. Устойчивость разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . .
168
4.4.5. Об еще одном варианте разностной схемы . . . . . . .
173
4.4.6. Выбор шагов разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . .
175

Оглавление
5

4.5. Алгоритм решения разностных уравнений и возможные варианты его распараллеливания . . . . . . . . . . . . .
177
4.6. Результаты численных экспериментов . . . . . . . . . . . . .
182
4.6.1. Немонотонное поведение свободных границ . . . . . .
183
4.6.2. Результаты моделирования с физическими параметрами, соответствующими экспериментальным .
186
4.7. Образование зародышей плавления и кристаллизации
в модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
4.8. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213

Литература
218

ПРЕДИСЛОВИЕ

Излагаемая в книге работа была начата несколько лет назад,
когда М. В. Карасев познакомил авторов с сотрудниками МИЭТ*

Н. А. Дюжевым и М. А. Махибородой. В их докладе на семинаре
было сказано, что математическим моделированием эмиссии электронов из малоразмерных катодов мало кто занимался. Основной
проблемой, которую они назвали, было моделирование теплопереноса с возможным проплавлением катода.
Глобальное (далее в книге объясняется, что означают эти слова)
описание теплопереноса с учетом проплавления может быть дано в
рамках системы фазового поля — современного обобщения задачи
типа Стефана. Модель фазового поля уже около 15 лет изучалась
в математической литературе, но специалистам в области электроники, как оказалось, не была известна. Результат внедрения этой
модели излагается в предлагаемой читателю книге.
Отметим, что в книге Г. Фурсея** подробно изучен процесс туннелирования электронов для полупроводников и металлов. Однако
в этой работе в результате численного моделирования получается
очень высокая температура катода, но возможность проплавления
не учитывается.
Предварительные результаты, полученные авторами монографии
ранее в результате исследования процесса эмиссии электронов изложены в статьях [2–4].
Монография в основном посвящена математическому моделированию — описанию математической модели теплопереноса в кремниевом катоде малого (нано) размера с учетом возможного частичного расплавления. Математически это сложная задача, и полностью
свойства решения системы фазового поля, на которой основано наше
исследование, не описаны. Мы приводим известные аналитические
результаты. Но основная мысль, которую мы проводим в этой книге,
следующая. Вместо чисто математического подхода можно исполь
*Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники».
**G. Furcey “Field Emission in Vacuum Microelectronics” [1].

Предисловие
7

зовать подход, основанный на понимании структуры решения и компьютерных вычислений. Понимание структуры решения может быть
основано на построении и изучении свойств асимптотических решений. Дальнейшее сравнение результатов численных экспериментов
с асимптотическими решениями позволяет делать заключение о характеристиках процесса.
Далее, не все детали физических процессов, происходящих в катоде (особенно при появлении жидкой фазы), описаны в соответствующей литературе. Поэтому при численных экспериментах мы делали
некоторые дополнительные предположения, которые основаны больше на здравом смысле, чем на физической теории (см. раздел 4.7).
Полученные при этом результаты могут оказаться полезными при
дальнейших экспериментах и развитии физической теории. Кроме
того, в книге кратко приведены сведения из физической литературы, поясняющие свойства математической модели.
Все физические параметры, входящие в нашу модель, могут быть
определены из физической литературы — различных справочников
и т.д. Единственное исключение — это выражение, описывающее эффект Ноттингама. Все физические константы, входящие в него, известны, однако сама формула получена на основе туннелирования
через потенциальный барьер из полуплоскости в пространство. Таким образом, реальная геометрия катода в этой формуле не учитывается. На практике этот учет осуществляется с помощью так называемого «форм–фактора» — множителя, входящего в выражение
для потока тепла с поверхности эмиттера. Этот множитель является
единственным «подгоночным» параметром в нашей задаче и может
быть легко определен экспериментально с помощью сравнения теоретической величины плотности эмиссионного тока (с плоской поверхности эмиттера) и реального эмиссионного тока, наблюдаемого
в эксперименте.
Структура книги следующая. В главе 1 описана история открытия явления электронной эмиссии и ее виды. Далее приведена математическая постановка задачи автоэлектронной эмиссии из полупроводникового катода малого размера. В главе 2 кратко приводятся
некоторые сведения из физики твердого тела, в частности, — формулы для удельной проводимости, коэффициентов термо–ЭДС и Томсона для полупроводников. В ней также приводится математическое
описание процесса туннелирования через потенциальный барьер на
границе катод–вакуум, формула для плотности автоэмиссионного
тока в случае металлов и описание ее особенностей в случае авто

Предисловие

электронной эмиссии из полупроводниковых катодов. В конце второй главы приведено описание теории Фаулера–Нордгейма и эффекта Ноттингама для случая эмиссии из металлов. В главе 3 обсуждаются модель фазового поля и основные свойства ее решений. Приводятся формулы для асимптотических решений системы фазового
поля в простейшем и некоторых специальных случаях. В главе 4
приведены формулы для численного решения системы уравнения
фазового поля, алгоритм численного решения задачи (в том числе
его реализация с использованием современных многопроцессорных
систем и гибридных систем на основе графических ускорителей) и
обсуждаются результаты численных экспериментов.
Авторы выражают глубокую благодарность заведующему кафедрой прикладной математики НИУ ВШЭ* М. В. Карасеву за многочисленные дискуссии и комментарии.
Авторы выражают глубокую благодарность ректору МТУСИ**

профессору А. С. Аджемову за помощь в публикации монографии.

Авторы выражают глубокую благодарность профессору кафедры 
высшей математики НИУ ВШЭ В. М. Четверикову за многочисленные замечания по рукописи данной монографии.

Исследования В. Г. Данилова и В. И. Кретова поддержаны Программой фундаментальных исследований НИУ ВШЭ.

В. Ю. Руднев и Р. К. Гайдуков выражают глубокую благодарность МТУСИ и НИУ ВШЭ за поддержку своих исследований.

*Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики».
**Московский технический университет связи и информатики.

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

1.1.
Краткая история открытия явления
эмиссии электронов

Эмиссия заряженных частиц, особенно электронов, из твердого
тела или жидкости в вакуум представляет собой интересное явление, имеющее разнообразные практические применения. Достаточно
сказать, что на основе этого явления работают электронно–лучевые
приборы, электронные микроскопы, фотоэлементы и т.д.
Явление эмиссии известно с второй половины XIX века. В 1839 году Александр Беккерель наблюдал [5] явление фотоэффекта* в электролите. Затем в 1873 году Уиллоуби Смит обнаружил, что селен
является фотопроводящим** [6]. После эффект изучался в 1887 году
Генрихом Герцем [7]. При работе с открытым резонатором он заметил, что если посветить ультрафиолетом на цинковые разрядники,
то прохождение искры заметно облегчается.
В 1888–1890 годах фотоэффект систематически изучал русский
физик Александр Столетов [8–10]. Им были сделаны несколько важных открытий в этой области, в том числе выведен первый закон
внешнего фотоэффекта. Однако фотоэффект был объяснен лишь
в 1905 году Альбертом Эйнштейном (за это он в 1921 году он получил Нобелевскую премию) на основе гипотезы Макса Планка о
квантовой природе света. Исследования фотоэффекта были одними
из самых первых квантовомеханических исследований.
Первое сообщение о другом типе эмиссии электронов — термоэлектронной эмиссии* сделал Фредерик Гутри в 1873 году [11]. Наблюдая за заряженными телами, он обнаружил, что нагретая докрасна железная сфера, заряженная отрицательно, теряет свои заряд, каким-то образом разряжаясь в воздух. Он также заметил, что
разряда не происходит, если сфера заряжена положительно. Среди

*См. раздел 1.2.
**Фотопроводимость — это увеличение электропроводности полупроводника
под действием электромагнитного излучения.

Глава 1. Введение

других ранних исследователей термоэлектронной эмиссии можно отметить И. В. Гитторфа [12–16], Е. Гольдштейна [17], Ю. Эльстера и
Х. Ф. Гейтеля [18–22]. Позднее эффект был открыт заново Томасом
Эдисоном в 1880 году, когда он пытался выяснить причину разрушения нити в лампе накаливания.
Поскольку электрон не был известен как отдельная физическая
частица до 1897 года, когда вышла работа Томсона, слово «электрон» не использовалось в обсуждениях экспериментов до этой публикации. После открытия электрона известный английский физик
Оуэн Уилланс Ричардсон начал работать над явлением, которое он
позднее назвал «термоэлектронной эмиссией», и в 1928 году он получил Нобелевскую премию по физике «за работу над явлением термоэлектронной эмиссии, и особенно за обнаружение закона, названного
его именем» [23].
Также во второй половине XIX века была открыта автоэлектронная эмиссия*. Впервые это явление было обнаружено Р .В. Вудом
в 1897 году. Первая попытка теоретического обоснования этого процесса была предпринята Шоттки в 1923 году [24]. Он предположил,
что электроны эмитируют через поверхностной потенциальный барьер, который уменьшается за счет приложенного электрического
поля. Р. Г. Фаулер и Л. Нордгейм в 1928 году впервые предложили
теоретическое объяснение явления автоэлектронной эмиссии. Ими
впервые была получена зависимость плотности автоэмиссионного тока от напряженности электрического поля [25].
Одно из последних эмиссионных явлений — взрывная электронная эмиссия* была открыта в 1966 году группой ученых Томского института автоматизированных систем управления и радиоэлектроники, Института автоматики и электроники и Института оптики атмосферы Сибирского отделения АН СССР, а также Ленинградского государственного университета в составе С. П. Бугаева,
П. Н. Воронцова–Вельяминова, А. М. Искольдского, Г. А. Месяца,
Д. И. Проскуровского и Г. Н. Фурсея.

1.2.
Виды электронной эмиссии

В настоящее время известно несколько типов электронной эмиссии: термоэлектронная, фотоэлектронная, вторичная электронная,
автоэлектронная и взрывная электронная.

*См. раздел 1.2.