Математика для операторов и электромехаников вычислительной техники

О. В. Филипенко

МАТЕМАТИКА 

ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИКОВ 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Рекомендовано учреждением образования «Республиканский 

институт профессионального образования» Министерства образования 

Республики Беларусь в качестве пособия для учащихся учреждений 

образования, реализующих образовательные программы профессионально
технического образования по специальностям 

направления образования «Вычислительная техника»

Минск
РИПО
2019

УДК 51(076)
ББК  22.1я722

Ф53

А в т о р :  

преподаватель УО «Могилевский государственный экономический 

профессионально-технический колледж» О. В. Филипенко.

Р е ц е нз е н т ы:

цикловая комиссия естественно-математических учебных дисциплин 
УО «Минский государственный колледж электроники» (Т. С. Сергун);

доцент кафедры физико-математических дисциплин Института информационных 

технологий УО «Белорусский государственный 

университет информатики и радиоэлектроники» кандидат физико-математических 

наук, доцент М. В. Ламчановская.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части 

не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Филипенко, О. В.

Ф53
Математика для операторов и электромехаников вычислительной тех
ники : пособие / О. В. Филипенко. – Минск : РИПО, 2019. – 183 с. : ил.

ISBN 978-985-503-880-2.

Пособие разработано в соответствии с действующей в УПТО учебной програм
мой по учебному предмету «Математика» для 10–11-х классов учреждений общего 
среднего образования (базовый уровень). Содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, задания трех уровней сложности по всем учебным 
темам программы. Его использование на занятиях позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении, а также обеспечивает возможность самостоятельного изучения математики. Отдельной главой представлены профессионально ориентированные задачи по специальностям направления «Вычислительная техника», 
что значимо для формирования профессиональной компетентности будущих специалистов.

Предназначено для учащихся учреждений профессионально-технического образо
вания по специальностям направления образования «Вычислительная техника».

УДК 51(076)

ББК 22.1я722

ISBN 978-985-503-880-2
© Филипенко О. В., 2019
© Оформление. Республиканский институт

профессионального образования, 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое пособие по математике подразделяется на главы, главы –

на параграфы. 

Каждый параграф включает необходимый теоретический материал, при
меры решения типовых заданиий, а также – две рубрики: «Задания» и «Ответы». Первая рубрика содержит задания трех уровней сложности (I уровень, 
II уровень, III уровень); вторая рубрика – ответы ко всем заданиям. Таким образом, содержание и структура учебного пособия позволяет организовать самостоятельное изучение математики обучающимися. Преподаватель, в свою 
очередь, может использовать предлагаемые задания как дидактический учебный материал для составления вариантов самостоятельных и контрольных работ в рамках поурочного и тематичекого контроля, а также для реализации 
дифференцированного подхода в обучении.  

В структуру пособия включены профессионально значимые
задачи 

(глава «Профессионально ориентированные задачи»). В условиях компетентностного подхода, как ведущего в современном образовании, использование 
на занятиях по математике таких задач является обязательным. Решение профессионально ориентированных задач мотивирует обучающихся на изучение
предмета и способствет осознанию ими значимости математики в повседневной жизни и профессиональной деятельности человека.   

Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам книги – препо
давателю высшей категории Минского государственного колледжа электроники Т.С. Сергун; доценту кафедры физико-математических дисциплин Институра информационных технологий БГУИР, кандидату физико-математических наук М.В. Ламчановской – за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания. 

Автор признательна кандидату физико-математических наук, доктору 

педагогических наук, профессору Л.И. Майсене за многие рекомендации по 
улучшению содержания и структуры учебного пособия.  Искренняя благодарность за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания методисту отдела научно-методического обеспечения общего среднего образования и образования лиц с ОПФР Республиканского института профессионального образования Т.П. Вахненко.

1. ФУНКЦИЯ

1.1. Понятие функции 

Пусть 𝑋 (𝑋 ⊆ 𝑹) – некоторое числовое множество. Если по некоторому 

правилу f каждому числу 𝑥 ∈ 𝑋 (𝑋 ⊆ 𝑹) ставится в соответствие единственное 

число 𝑦 (𝑦 ∈ 𝑹), то на множестве X задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑥). Переменная x

называется аргументом, или независимой переменной, а переменная 𝑦 – зави
симой переменной. Множество X называется областью определения функции

и обозначается: 𝐷(𝑓) или 𝐷(𝑦). 

Множество, состоящее из всех чисел 𝑦 таких, что 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑦),

называется областью значений функции f ; обозначается 𝐸(𝑓) или 𝐸(𝑦).

Значением функции в точке 𝑥0 назывется значение 𝑦0 = 𝑓(𝑥0).

Функция задает некоторое множество упорядоченных пар чисел (𝑥; 𝑦), 

где 𝑦 =  𝑓(𝑥). Графиком функции 𝑦 =  𝑓(𝑥) называется множество всех точек 

(𝑥; 𝑦) координатной плоскости таких, что 𝑦 =  𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

1.2. Основные свойства функции

Функция 𝑦 =  𝑓(𝑥) называется четной, если:

1) область определения 𝐷(𝑓) симметрична относительно точки 𝑥 = 0;

2) для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) выполняется равенство 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).

Функция 𝑦 =  𝑓(𝑥) называется нечетной, если:

1) область определения 𝐷(𝑓) симметрична относительно точки 𝑥 = 0;

2) для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) выполняется равенство 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).

Свойства графиков четных и нечетных функций: 


график четной функции симметричен относительно оси Оy;


график нечетной функции симметричен относительно начала си
стемы координат 𝑂(0; 0).

При построении графика четной или нечетной функции достаточно по
строить его часть для 𝑥 ≥ 0, а затем отразить полученный график относи
тельно оси Oy (четная функция) или начала системы координат (нечетная 

функция).

Функция 𝑦 =  𝑓(𝑥) называется периодической с периодом Т (𝑇 ≠ 0), 

если для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) значения этой функции в точках 𝑥, 𝑥 + 𝑇, 𝑥 − 𝑇

равны, т. е. выполняется равенство 𝑓(𝑥 − 𝑇) = 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥).

Все тригонометрические функции являются периодическими (более по
дробно об этом изложено в п. 4.2).

Значение аргумента x из области определения функции, при котором 

𝑓(𝑥) = 0, называется нулем функции. Из определения следует, что нулем 

функции является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ox.

Промежутками знакопостоянства функции называются такие число
вые промежутки оси Ox, на которых все значения функции имеют один и тот 

же знак.                   

Для нахождения промежутков знакоположительности
функции 

𝑦 =  𝑓(𝑥) необходимо решить неравенство 𝑓(𝑥) > 0,  для нахождения проме
жутков знакоотрицательности функции – неравенство 𝑓(𝑥) <  0. Другими 

словами: если функция 𝑓(𝑥) > 0, то ее график расположен выше оси Ox; если

𝑓(𝑥) < 0, то график – ниже оси Ox.

Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется возрастающей на промежутке, если для 

любых значений 𝑥1, 𝑥2
из рассматриваемого промежутка
таких, что 

𝑥1 <  𝑥2 (𝑥1 > 𝑥2), выполняется неравенство 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) (𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)).

Другими словами: меньшему значению аргумента соответствует меньшее значе
ние функции, или большему значению аргументу – большее значение функции.

Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) называется убывающей на промежутке, если для лю
бых 
значений 
𝑥1, 𝑥2
из 
рассматриваемого 
промежутка
таких, 
что 

𝑥1 <  𝑥2 (𝑥1 > 𝑥2), выполняется неравенство 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) (𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)).

Другими словами: меньшему значению аргумента соответствует большее 

значение функции, или большему значению аргументу – меньшее значение 

функции.

Точка x0 называется точкой максимума функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), если для 

всех x из некоторого интервала, которому принадлежит 𝑥0, справедливо нера
венство 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0). Значение функции в точке максимума, т.е. 𝑓(𝑥0), назы
вается максимумом функции. 

Точка x0 называется точкой минимума функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), если для 

всех x из некоторого промежутка области определения функции справедливо 

неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0). Значение функции в точке минимума, т.е. 𝑓(𝑥0), 

называется минимумом функции. 

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функ
ции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. 

Функция 𝑓(𝑥) может иметь на области ее определения несколько точек 

максимума и несколько точек минимума. Если функция рассматривается на 

некотором отрезке числовой оси из области определения функции, то на этом 

отрезке она имеет единственное наибольшее значение (в точке максимума или 

на конце отрезка) и единственное наименьшее значение (в точке минимума 

или на конце отрезка).

Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает на отрезке [a;b], то наименьшее зна
чение она принимает в точке 𝑥 = 𝑎, а наибольшее значение – в точке 𝑥 = 𝑏. 

Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает на отрезке [a;b], то наименьшее значение она 

принимает в точке 𝑥 = 𝑏, а наибольшее значение – в точке 𝑥 = 𝑎.   

1.3. Преобразование графиков функции

Пусть задан график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). В таблице 1.1 приведены основ
ные преобразования графика функции  𝑦 = 𝑓(𝑥).

Таблица 1.1

№ п/п
«Новая»
функция
Правила построения графика «новой» функции

1
𝑦 = −𝑓(𝑥)
График строится симметрично графику функции 
𝑦 = 𝑓(𝑥) относительно оси Ox.

2
𝑦 = 𝑓(−𝑥)
График строится симметрично графику функции 
𝑦 = 𝑓(𝑥) относительно оси Oy.

3
𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏

(𝑏 > 0)

График получается параллельным переносом графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси Oy на b единиц 
вверх.

𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑏

(𝑏 > 0)

График получается параллельным переносом графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси Oy на b единиц 
вниз.

4
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)

(𝑎 > 0)

График получается параллельным переносом графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси Ox на a единиц 
влево. 

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)

(𝑎 > 0)

График получается параллельным переносом графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси Ox на a единиц 
вправо. 

5
𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥)

(𝑘 > 0)

График получается: 
а) «растяжением» графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
вдоль оси Oy в k раз при 𝒌 > 𝟏;
б) «сжатием» графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль 

оси Oy в  

1

𝑘 раз при 𝟎 < 𝒌 < 𝟏.

6
𝑦 = 𝑓(𝑚𝑥)

(𝑚 > 0)

График получается: 
а) «сжатием» графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль
оси Ox в m раз при 𝒎 > 𝟏;
б) «растяжение» функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси Ox

в 

1

𝑚 раз при 𝟎 < 𝒎 < 𝟏.

7
𝑦 = |𝑓(𝑥)|
Части графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащие на оси 
Ox и выше оси Ox, остаются без изменения, а лежащие ниже оси Ox – отображаются симметрично относительно оси Ox.  

8
𝑦 = 𝑓(|𝑥|)
Часть графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащая левее 
оси Oy,отбрасывается, а часть, лежащая правее
оси Oy и на оси Oy,  остается без изменения и,
кроме того, дополняется симметрично отображенной относительно оси Oy частью.  

Пример 1. Для заданной функции 𝑦 =

𝑥−1

(𝑥+3)(𝑥−5) найти: 1) область опре
деления, 2) значение функции в точке 𝑥0 = 6.

Решение.

1. Так как знаменатель дроби не равен нулю, то (𝑥 +  3)(𝑥 −  5) ≠ 0, 

т. е. 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠ 5. Областью определения функции является:

𝐷(𝑦) =  (−∞; −3) ∪ (−3; 5) ∪ (5; +∞). 

2. Чтобы найти значение функции в точке 𝑥0 = 6, подставляем 𝑥 = 6 в 

условие и находим: 𝑦(6) =

6−1

(6+3)(6−5) =

5

9.

Ответ: 𝐷(𝑦) =  (−∞; −3) ∪ (−3; 5) ∪ (5; +∞); 𝑦(6) =

5

9.

Пример 2. Для функции, график которой изображен на рис. 1.1, на ин
тервале (−5; 4) найти:

1) нули функции; 

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) точки максимума и минимума функции;

5) экстремумы функции.

Решение.

1. Точки 𝑥 = −3,5, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3 – нули функции, т. к. в этих точках график 

функции пересекает ось Ox. 

2. Промежутками знакоположительности функ
ции являются интервалы (–3,5;1), (3;4), т. к. на 

этих промежутках 𝑓(𝑥) > 0 (график располо
жен выше оси Ox); промежутки знакоотрица
тельности – (−5; – 3,5), (1; 3), на этих проме
жутках 𝑓(𝑥) < 0 (график расположен ниже оси Ox).

3. Функция возрастает на промежутках (−5; −1], [2; 4); убывает на проме
жутке [−1; 2].

4. Точкой максимума является точка −1; точка минимума – точка 2.

Рис. 1.1

5. Экстремумами функции являются значения функции в точках максимума и 

в точках минимума: 𝑓max(−1) = 4; 𝑓min(2) = −1,5.

Ответ: 1) 𝑥 = −3,5, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3; 
2) (–3,5;1), (3;4); (−5; – 3,5), (1; 3); 

3) (−5; −1], [2; 4); [−1; 2]; 4) 𝑥max = −1; 𝑥min = 2; 5) 𝑓max(−1) = 4; 

𝑓min(2) = −1,5.

Пример 3. Построить график функции 𝑦 = (𝑥 − 1)2.

Решение.

Для того чтобы построить график функции 

 𝑦 = (𝑥 − 1)2 (см. п. 4 табл. 1.1), необходимо по
строить график 𝑦 =  𝑥2, затем осуществить его 

параллельный перенос вдоль оси Оx на 1 единицу 

вправо (рис. 1.2). 

Пример 4. Построить график функции 𝑦 = |𝑥2 − 2𝑥 − 3|.

Решение.

Для того чтобы построить график функции

 𝑦 =  |𝑥2 − 2𝑥 − 3| (см. п. 7 табл. 1.1), необходимо по
строить график 𝑦 =  𝑥2 − 2𝑥 − 3 (рис. 1.3) График дан
ной функции пересекает ось Ox в точках 𝑥 = −1, 𝑥 = 3. 

Вершина параболы имеет координаты:

𝑥в =

2

2 = 1; 𝑦в = 12 − 2 ∙ 1 − 3 = −4.

Те части графика функции 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3, которые ле
жат на оси Ox и выше нее, необходимо оставить без изменения, а часть гра
фика, лежащую ниже оси Ox, необходимо отобразить симметрично относи
тельно оси Ox.

Пример 5. Определить, является ли функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) четной, нечетной 

или не обладает этими свойствами, если:

1) 𝑦 = 7𝑥5 + 6𝑥4 + 2𝑥3;

Рис. 1.3

Рис. 1.2

2) 𝑦 =

3𝑥2+7𝑥8

2𝑥3
.

Решение.

1.
Чтобы определить четность, нечетность функции, необходимо 

вначале убедиться, что ее область определения симметрична относительно 

точки 𝑥 =  0. Функция представлена многочленом. Область определения мно
гочлена есть множество действительных чисел R, т. е. 𝐷(𝑦) = (−∞; +∞). Зна
чит, область определения симметрична относительно точки 𝑥 =  0. Проверяем 

выполнение второго условия. Вместо x подставляем –x:

𝑦(−𝑥) = 7(−𝑥)5 + 6(−𝑥)4 + 2(−𝑥)3 = −7𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥3.

Сравнивая полученный результат с первоначальной функцией, прихо
дим к выводу, что не выполняются равенства из определения четности и не
четности функции. Данная функция не обладает свойствами четности и нечет
ности.

2.
Область определения заданной функции симметрична относи
тельно точки 𝑥 =  0, т. к. 𝐷(𝑦) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 

Проверяем выполнение второго условия:

𝑦(−𝑥) =

3(−𝑥)2+7(−𝑥)8

2(−𝑥)3
=

3𝑥2+7𝑥8

−2𝑥3
= −

3𝑥2+7𝑥8

2𝑥3
= −𝑦(𝑥).

Значит, выполняется равенство 𝑦(−𝑥) = −𝑦(𝑥), т.е. функция является 

нечетной.

Ответ: 1) не обладает свойствами четности и нечетности; 2) функция не
четная.

Задания

1. Найдите область определения функции:

I уровень:
II уровень:
III уровень:

1) 𝑦 = 2𝑥2 + 1;
1) 𝑦 =

𝑥2+4

𝑥
;
1) 𝑦 = √𝑥2 − 6𝑥 + 5;

2) 𝑦 = 𝑥3 + 3;
2) 𝑦 =

𝑥+7

(𝑥−3)(𝑥+4) ;
2) 𝑦 =

𝑥

𝑥2−12𝑥+20 ;

2. Найдите значение функции в точке 𝑥0: