Математика

О. В. Филипенко

МАТЕМАТИКА

Допущено Министерством образования Республики Беларусь 

в качестве учебного пособия для учащихся учреждений 
образования, реализующих образовательные программы 

профессионально-технического и среднего специального образования 

Минск
РИПО
2019

УДК 51(072.32)
ББК 22.1я7

Ф53

Автор: 

преподаватель УО «Могилевский государственный экономический 

профессионально-технический колледж» О. В. Филипенко.

Рецензенты:

цикловая комиссия естественно-математических учебных дисциплин 
УО «Минский государственный колледж электроники» (Т. С. Сергун);

доцент кафедры высшей математики УО «Белорусский государственный 

аграрный технический университет» кандидат физико-математических наук, 

доцент Л. А. Хвощинская.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее ча
сти не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства образования 

Республики Беларусь.

 

Филипенко, О. В.

Ф53
Математика : учеб. пособие / О. В. Филипенко. – Минск : РИПО, 2019. – 268 с. : ил.

ISBN 978-985-503-932-8.

Представлены краткий теоретический материал, примеры решения типовых задач, 

задания трех уровней сложности по всем темам. В конце каждой главы размещены тестовые задания двух уровней сложности открытого и закрытого типа. В отдельной 
главе представлены прикладные задачи.

Предназначено для учащихся учреждений образования, реализующих образователь
ные программы профессионально-технического и среднего специального образования. 

УДК 51(072.32)

ББК 22.1я7

Редактор Е.Л. Мельникова

Корректор, компьютерная верстка Е.В. Потапейко

Дизайн обложки О.С. Дубойской

Подписано в печать 05.08.2019. Формат 6084/16.
Гарнитура «Таймс». Бумага офсетная. Ризография.

Усл. печ. л. 15,62. Уч.-изд. л. 13,5. Тираж 1300 экз. Заказ 114.

Издатель и полиграфическое исполнение: 

Республиканский институт профессионального образования.

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, 

распространителя печатных изданий № 1/245 от 27.03.2014.

Ул. К. Либкнехта, 32, 220004, Минск. Тел.: 226 41 00, 200 43 88.

Отпечатано в Республиканском институте 

профессионального образования. Тел. 200 69 45.

 

ISBN 978-985-503-932-8
© Филипенко О. В., 2019
© Оформление. Республиканский институт

профессионального образования, 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ

В условиях инновационного развития экономики Республи
ки Беларусь особую значимость приобретает получение качественного профессионально-технического и среднего специального образования. Математика является важным средством формирования общей культуры, интеллектуального развития современного человека. При ее изучении в условиях непрерывного 
образования особое внимание уделяется формированию математической компетентности обучающихся.

Учебное пособие «Математика» разделено на главы и пунк
ты. В начале каждого пункта приведен необходимый теоретический материал, затем примеры решения заданий и набор заданий трех уровней сложности. Предлагаемая структура позволяет
реализовывать на занятиях по математике дифференцированный 
подход в обучении, а также делает возможным самостоятельное 
изучение материала. Учащиеся могут решать задания доступного 
им уровня сложности. После каждой главы в учебном пособии 
есть тестовые задания двух уровней сложности. В первом тесте 
каждой темы представлены задания репродуктивного и продуктивного типов деятельности, второй тест состоит из заданий репродуктивного, продуктивного и творческого типов деятельности. Тесты содержат теоретические (часть А) и практические 
(часть В) задания с предложенными вариантами ответов, а также 
практические задания (часть С), ответ на которые необходимо 
найти самостоятельно.

Особенностью учебного пособия является включение в его 

структуру практикоориентированных и профессионально значимых задач (глава 7 «Прикладные задачи»). В условиях компетентностного подхода (как ведущего в современном образова

Математика

4

нии) использование на занятиях по математике таких задач является обязательным. Решение прикладных задач способствует 
развитию у учащихся высокой мотивации и интереса к изучению 
учебного предмета, демонстрирует значимость математики в повседневной жизни и профессиональной деятельности человека.

Глава 1. Функция

5

ГЛАВА 1. ФУНКЦИЯ

1.1. Понятие функции 

Пусть Х 

X  R
– некоторое числовое множество. Если по 

некоторому правилу f каждому числу x
X



X  R  ставится в 

соответствие единственное число y 

y  R , то на множестве X

задана функция
 
y
f
x

.

Переменную
x
называют аргументом, или независимой 

переменной, а переменную y – зависимой переменной. Множество 
Х 
называют 
областью 
определения 
функции.
Обозначение: 

 
 
или 
D f
D y . 

Множество, состоящее из всех чисел y  таких, что 
 , 
y
f
x


 ,
x
D y

называют областью значений функции f. Обозначение:

 
 
или  
.
E
f
E y

Значением функции в точке 
0
x
называют значение


0
0 .
y
f
x


Функция задает некоторое множество упорядоченных пар 

чисел 

;
x y , где 
 
y
f
x

. 

Графиком функции
 
y
f
x

 называют множество всех точек 



;
x y  координатной плоскости таких, что 
 
y
f
x

, 
 
x
D f

.

1.2. Основные свойства функции

Функцию
 
y
f
x

 называют четной, если:

1) область определения 
 
D f
 симметрична относительно 

точки 
0
x 
;

Математика

6

2) для любого 
 
x
D f

 выполняется равенство 


 
f
x
f
x


.

Функцию
 
y
f
x

 называют нечетной, если: 

1) область определения 
 
D f
 симметрична относительно 

точки 
0
x 
;

2) для любого 
 
x
D f

 выполняется равенство 


f
x



 
f
x
 
.

Свойства графиков четных и нечетных функций: 

график четной функции симметричен относительно оси Оy;


график нечетной
функции симметричен относительно 

начала системы координат


0; 0
O
.

При построении графика четной или нечетной функции 

достаточно построить его часть для 
0
x 
, а затем отразить по
лученный график относительно оси Oy (четная функция) или 
начала системы координат (нечетная функция).

Функцию
 
y
f
x

 называют периодической с периодом Т



0
T 
, если для любого 
 
x
D f

 значения этой функции в 

точках 
;  
; 
x x
T
x
T


 равны, т.
е. выполняется равенство 





 
f
x
T
f
x
T
f
x




.

Все тригонометрические функции являются периодическими 

(подробнее см. п. 5.2).

Значение аргумента x из области определения функции, при 

котором 
 
0,
f
x 
называют нулем функции. Из определения 

следует, что нулем функции является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ox. 

Промежутками знакопостоянства функции называют такие 

числовые промежутки оси Ox, на которых все значения функции 
имеют один и тот же знак.

Для того чтобы найти промежутки знакоположительности

функции 
 
 
,
y
f
x

 необходимо решить неравенство 
 
0
f
x 
, 

промежутки 
знакоотрицательности
функции 
– 
неравен-

ство
 
 
 0
f
x 
. Другими словами, если функция
 
 
0,
f
x 
 то ее 

график расположен выше оси Ox; если
 
0,
f
x 
– то график

ниже оси Ox.

Глава 1. Функция

7

Функцию
 
y
f
x

 называют возрастающей на промежут
ке, если для любых значений 
1
2
, 
x
x  из рассматриваемого проме
жутка таких, что 
1
2
1
2
 
(
)
x
x
x
x


, выполняется неравенство 











1
2
1
2
f
x
f
x
f
x
f
x


. Другими словами, меньшему зна
чению аргумента соответствует меньшее значение функции, а
большему значению аргумента – большее значение функции.

Функцию
 
y
f
x

 называют убывающей на промежутке, 

если для любых значений 
1
2
, 
x
x  из рассматриваемого проме
жутка таких, что 
1
2
1
2
 
(
)
x
x
x
x


, выполняется неравенство 











1
2
1
2
f
x
f
x
f
x
f
x


. Другими словами, меньшему зна
чению аргумента соответствует большее значение функции, а
большему значению аргумента – меньшее значение функции.

Точку x0 называют точкой максимума функции
 
y
f
x

, ес
ли для всех x из некоторого интервала, которому принадлежит 
х0, справедливо неравенство 
 


0
f
x
f
x

. Значение функции в 

точке максимума, т. е. 


0
f
x
, называют максимумом функции.

Точку x0 называют точкой минимума функции
 
y
f
x

, ес
ли для всех x из некоторого интервала, которому принадлежит 
х0, справедливо неравенство 
 


0
f
x
f
x

. Значение функции в 

точке минимума, т. е. 


0
f
x
, называют минимумом функции.

Точки максимума и минимума называют точками экстре
мума функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции. 

Функция f(x) может иметь несколько точек максимума и не
сколько точек минимума, которые принадлежат ее области определения. Если функция рассматривается на некотором отрезке 
числовой оси из области определения функции, то на этом отрезке она имеет единственное наибольшее значение (в точке 
максимума или на конце отрезка) и единственное наименьшее 
значение (в точке минимума или на конце отрезка).

Если функция 
 
y
f
x

 возрастает на отрезке [a; b], то наи
меньшее значение она принимает в точке x
a

, а наибольшее –

в точке x
b

. Если функция 
 
y
f
x

 убывает на отрезке [a; b], 

Математика

8

то наименьшее значение она принимает в точке x
b

, а наи
большее – в точке x
a

.

1.3. Преобразование графиков функции

Пусть задан график функции
 
y
f
x

. В таблице приведе
ны основные преобразования графика данной функции.

№
п/п

Новая

функция

Правила построения графика 

новой функции

1
 
y
f
x
 
График строят симметрично графику функции 

 
y
f
x

 относительно оси Ox

2


y
f
x


График строят симметрично графику функции 

 
y
f
x

 относительно оси Oy

 
y
f
x
b



(
0
b 
)

График получают параллельным переносом графика функции 
 
y
f
x

 вдоль оси Oy на b единиц 

вверх

3

 
y
f
x
b



(
0
b 
)

График получают параллельным переносом графика функции 
 
y
f
x

 вдоль оси Oy на b единиц 

вниз



y
f
x
a



(
0
a 
)

График получают параллельным переносом графика функции 
 
y
f
x

 вдоль оси Ox на a единиц 

влево 

4



y
f
x
a



(
0
a 
)

График получают параллельным переносом графика функции 
 
y
f
x

 вдоль оси Ox на a единиц 

вправо

5
 
y
kf
x




0
k 

График получают: 
а) «растяжением» графика функции 
 
y
f
x

 вдоль

оси Oy в k раз при 
1;
k 

б) «сжатием» графика функции 
 
y
f
x

 вдоль 

оси Oy в 1

k

 раз при 0
1
k



6


y
f
mx




0
m 

График получают: 
а) «сжатием» графика функции 
 
y
f
x

 вдоль 

оси Ox в m раз при 
1;
m 

Глава 1. Функция

9

Окончание таблицы

№
п/п

Новая

функция

Правила построения графика 

новой функции

б) «растяжением» функции 
 
y
f
x

 вдоль оси Ox

в 1

m

 раз при 0
1
m



7
 
y
f
x

Части графика функции 
 ,
y
f
x

 лежащие на 

оси Ox и выше оси Ox, оставляют без изменения, 
а лежащие ниже оси Ox – отображают симметрично относительно оси Ox

8


y
f
x

Часть графика функции 
 ,
y
f
x

 лежащую левее 

оси Oy, отбрасывают, а часть, лежащую правее оси 
Oy и на оси Oy, оставляют без изменения, кроме 
того, дополняют симметрично отображенной относительно оси Oy частью

Пример 1. Для заданной функции 




1

3
5

x
y
x
x





найти: 

1) область определения;
2) значение функции в точке 
0
6.
x 

Решение
1. 
Так 
как 
знаменатель 
дроби не равен 
нулю, то 




 3
 5
0
x
x



, т.
е. 
3, 
5
x
x
 

. Областью определения 

функции является 
 






 
;
3
3; 5
5;
D y   
 

  . 

2. Для того чтобы найти значение функции в точке 
0
6,
x 

подставим
6
x 
 в условие и находим:  




6
1
5
6
6
3
6
5
9
y





.

Пример 2. Для функции, заданной на интервале (–5; 4), гра
фик которой приведен на рисунке 1.1, найти:

1) нули функции; 
2) промежутки знакопостоянства функции;
3) промежутки возрастания и убывания функции;
4) точки максимума и минимума функции;
5) экстремумы функции.

Математика

10

Решение
1. Точки 
3,5, 
x  
1,
x 

3
x 
– нули функции, так

как в этих точках график 
функции пересекает ось Ox.

2. Промежутками знако
положительности 
функции 

являются интервалы (–3,5; 1),
(3; 4), так как на этих промежутках
 
0
f
x 
 (график 

расположен
выше оси Ox); 

промежутки знакоотрицательности – 
 

5;
3,5 , 1; 3


. На этих 

промежутках
 
0
f
x 
 (график расположен ниже оси Ox).

3. Функция возрастает на промежутках 
 

5;
1 , 2; 4


; убы
вает на промежутке 

1; 2

.

4. Точкой максимума является точка 
1;

 точкой миниму
ма – точка 2.

5. Экстремумами функции являются значения функции в 

точках 
максимума 
и 
в 
точках 
минимума: 


max
1
4
f


; 

 
min 2
1,5
f
 
.

Пример 3. Построить график функции 



2
1


y
x
.

Решение
Для того чтобы построить 

график 
функции 



2
 
1
y
x



(см. п. 4 таблицы), необходимо 
построить график 
2
y
x

, затем 

осуществить его параллельный 
перенос вдоль оси Оx на 1 вправо (рис. 1.2).