Основы стохастического анализа

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Д. Б. Рохлин 
 
ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов‐на‐Дону –Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2019 
 

УДК 519.216(075.8) 
ББК 22.171 я 73 
      Р79 
 
Печатается по решению 
кафедры высшей математики и исследования операций 
Института математики, механики и компьютерных наук 
им. И. И. Воровича Южного федерального университета 
(протокол №7 от 12 марта 2019 г.) 
 
 
Рецензенты: 
доктор технический наук, профессор А. Б. Усов;  
доктор физико‐математических наук, профессор И. В. Павлов 
 
 
 
 
 
Р79 
Рохлин, Д. Б. 
Основы стохастического анализа : учебное пособие / Д. Б. Рохлин ; 
Южный  Федеральный  университет.  –  Ростов‐на‐Дону  ;  Таганрог  : 
Издательство Южного федерального университета, 2019. – 190 с.  
ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 
 
 
 
 
В данном пособии, которое является кратким введением в стохастиче‐
ский анализ, отражены основы современной теории вероятностей, теории 
мартингалов и марковских процессов, стохастического исчисления, а также 
рассмотрена модель Блэка‐Шоулза. 
Публикуется в авторской редакции. 
 
 
УДК 519.216(075.8)
 
ББК 22.171 я 73
ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 
 
 
© Южный федеральный университет, 2019
© Рохлин Д. Б., 2019

Оглавление
Введение
5
Список обозначений
8
1
Основы современной теории вероятностей
10
Ÿ 1.1 Модель вероятностного эксперимента, условные вероятности . . . . . .
10
Ÿ 1.2 Случайные величины, интегрирование, характеристические функции .
15
Ÿ 1.3 Сходимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Ÿ 1.4 Условное математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Ÿ 1.5 Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Ÿ 1.6 Упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2
Мартингалы и марковские процессы
50
Ÿ 2.1 Мартингалы с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Ÿ 2.2 Мартингалы с непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Ÿ 2.3 Марковские процессы: общие определения . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Ÿ 2.4 Фундаментальное уравнение для марковских процессов с дискретным
временем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Ÿ 2.5 Броуновское движение и гармонические функции . . . . . . . . . . . . . 102
Ÿ 2.6 Упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3
Стохастическое исчисление
112
Ÿ 3.1 Процессы ограниченной вариации и семимартингалы . . . . . . . . . . . 113
Ÿ 3.2 Конструкция и свойства стохастического интеграла
. . . . . . . . . . . 118
Ÿ 3.3 Квадратическая вариация и квадратическая ковариация . . . . . . . . . 124
Ÿ 3.4 Расширение класса интеграндов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Ÿ 3.5 Формула Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Ÿ 3.6 Вероятностные представления решений уравнений Пуассона и теплопроводности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Ÿ 3.7 Стохастические дифференциальные уравнения, стохастическая экспонента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3

Оглавление
Ÿ 3.8 Вероятностные представления решений параболических уравнений с
переменными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Ÿ 3.9 Теорема Гирсанова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Ÿ 3.10 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4
Модель Блэка-Шоулза
162
Ÿ 4.1 Самофинансируемые портфели
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Ÿ 4.2 Арбитраж и мартингальные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Ÿ 4.3 Цены европейских опционов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Ÿ 4.4 Оптимальное инвестирование: мартингальный подход
. . . . . . . . . . 175
Ÿ 4.5 Оптимальное инвестирование: уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана
180
Ÿ 4.6 Упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Литература
186

Введение
Целью настоящего пособия является краткое введение в стохастический анализ. Роль стохастического анализа в современной прикладной
математике достаточно велика. Укажем на теорию стохастического оптимального управления, финансовую математику, теорию фильтрации,
теорию стохастической аппроксимации, моделирование различных процессов с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Имеются также глубокие связи между диффузионными процессами и уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типов.
Пособие предназначено прежде всего для магистрантов Южного федерального университета, обучающихся по специальности 01.04.01 ¾Фундаментальная математика, механика и математическое моделирование¿.
Данное пособие может быть рекомендовано также студентам старших
курсов бакалавриата, аспирантам и всем желающим ознакомиться со
стохастическим анализом. Для его изучения требуется владение основами математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа, теории линейных уравнений в частных производных, методов конечномерной оптимизации. Желательно знакомство с основными понятиями теории вероятностей.
Автор старался придерживаться строгих формулировок математических утверждений. В некоторых случаях такие утверждения сопровождаются доказательствами, помогающими лучше понять обсуждаемые понятия. В других случаях приводятся лишь иллюстрирующие примеры.
Рассматриваемый круг вопросов достаточно широк и обсуждение всех
5

Введение
деталей или углубление в одну из рассматриваемых теорий привело бы
многократному увеличению размера пособия.
В главе 1 приводятся необходимые сведения из теории вероятностей.
Доказательства не приводятся, вместо этого все вводимые понятия, объекты и утверждения иллюстрируются примерами. Одним из главных
итогов изучения этой главы должно стать свободное владение техникой
вычисления условных математических ожиданий. В главе 2 рассматриваются общие свойства мартингалов и приемы работы с ними, а также,
весьма кратко, марковские процессы. Основным иллюстративным примером является задача о разорении. Теория мартингалов играет важную
роль в главе 3, посвященной стохастическому исчислению и занимающей
центральное место. В ней описаны, в частности, конструкция стохастического интеграла и формула Ито. Кратко рассматриваются также вероятностное представление решений линейных эллиптических и параболических уравнений, стохастические дифференциальные уравнения, теорема
Гирсанова, теорема о представлении мартингалов. Этот материал необходим для понимания результатов главы 4, посвященной базовой модели
финансовой математики. Здесь, в рамках модели Блэка-Шоулза, рассматриваются традиционные вопросы: условие безарбитражности рынка, вычисление цен платежных обязательств, оптимальное инвестирование. В последнем случае наряду с мартингальным подходом используются традиционный метод динамического программирования, приводящий
к уравнению Гамильтона-Якоби-Беллмана.
Каждой из затронутых в главах 1 4 теорий посвящена обширная литература. Некоторые известные учебники, в которых рассматриваются
аналогичные вопросы, указаны в таблице 1. Они несколько условно разделены на начальный и продвинутый уровень. Выбор этих учебников
связан с личными вкусами автора. Имеется множество других источников, перечислить которые не представляется возможным. Изложение
в данном пособии ближе к продвинутому уровню, так как его целевой
аудиторией являются прежде всего студенты магистратуры.
Автор выражает благодарность доценту кафедры вычислительной математики и математической физики Е. В. Ширяевой за предоставленный

Введение
7
Начальный уровень
Продвинутый уровень
Теория вероятностей
[4, 6, 18, 20]
[1, 11, 17, 37]
Теория мартингалов
[14, 15, 41]
[2, 16, 32]
Теория марковских процессов
[7, 14, 24, 35]
[2, 16, 30, 33, 40]
Стохастическое исчисление
[8, 15, 19, 29, 39]
[16, 26, 31, 32, 36]
Финансовая математика
[3, 19, 21, 39]
[12, 26, 32]
Таблица 1
L
AT
EX-макет.
Данное пособие подготовлено при финансовой поддержке Российского
научного фонда (проект  17-19-01038).

Список обозначений
N, Z, Q, R  множества натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел соответственно;
Rn = Qn
i=1 R;
⟨a, b⟩= a1b1 + · · · + anbn  скалярное произведение;
∥a∥2 = ⟨a, a⟩;
Z+ = {z ∈Z : z ≥0}, R+ = [0, ∞), Rn
+ = Qn
i=1 R+;
a ∧b = min{a, b}, a ∨b = max{a, b};
a+ = max{a, 0}, a−= max{−a, 0};
Ck
n =
n!
(n−k)!k!, 0! = 1;
lim infn→∞an = limn→∞infk≥n ak  нижний предел последовательности;
AT  транспонированная матрица;
det(A)  определитель квадратной матрицы;
Ω множество элементарных исходов;
F, H  σ-алгебры;
P, Q  вероятностные меры;
Eξ, Dξ  математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ;
Ac = Ω\A  дополнение множества A;
IA(ω) =
(
1,
ω ∈A,
0,
ω ̸∈A
 индикатор множества A;
W  броуновское движение;
V  множество непрерывных процессов ограниченной вариации;
M  множество непрерывных мартингалов;
Mloc  множество непрерывных локальных мартингалов;
M 2  множество непрерывных квадратично интегрируемых мартинга8

Введение
9
лов;
[X], [X, Y ]  квадратическая вариация и квадратическая ковариация;
L  множество процессов, траектории которых непрерывны слева и имеют конечные пределы справа;
C  множество процессов с непрерывными траекториями;
H ◦X  стохастический интеграл H по X;
E (X)  стохастическая экспонента семимартингала X.

Глава 1
Основы современной теории вероятностей
Цель данной главы состоит в том, что напомнить ключевые понятия теории вероятностей: вероятностное пространство, независимость,
условная вероятность, случайная величина, ее распределение и числовые характеристики, конструкция и свойства интеграла (математического ожидания), виды сходимости случайных величин, характеристические
функции, условное математическое ожидание и его свойства, условное
распределение. Доказательства не приводятся, вместо этого все вводимые понятия, объекты и утверждения иллюстрируются примерами. При
условии активной работы с определениями, примерам и упражнениями
данный текст может быть использован для первоначального знакомства
с предметом. Для более глубоко изучения теории рекомендуются учебники [11, 18, 41]. Первый из них носит элементарный характер. Большое
число задач (с решениями) можно найти в [6, 13, 14, 22]. Ряд примеров
и упражнений заимствован из указанных источников.
Ÿ 1.1
Модель вероятностного эксперимента, условные вероятности
В основе любых математических моделей, учитывающих случайные
факторы, лежит модель вероятностного эксперимента. Согласно системе
аксиом Колмогорова описание такой модели включает три объекта:
• множество Ωвозможных исходов эксперимента (множество элемен10