Основы теории и расчета цифровых фильтров

ОСНОВЫ ТЕОРИИ 
И РАСЧЕТА ЦИФРОВЫХ 
ФИЛЬТРОВ

В.П. ВАСИЛЬЕВ
Э.Л. МУРО
С.М. СМОЛЬСКИЙ

Под редакцией С.М. Смольского

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением
по образованию в области радиотехники, электроники,
биомедицинской техники и автоматизации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки «Радиотехника»

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

2-е издание, стереотипное

УДК 621.37(075.8)
ББК 32.84я73
 
В19

Васильев В.П.
В19 
 
Основы теории и расчета цифровых фильтров : учебное пособие / 
В.П. Васильев, Э.Л. Муро, С.М. Смольский ; под ред. С.М. Смольского. — 2-е изд., стереотип. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 272 с.  — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_
591ae74d57bb22.15375684.

ISBN 978-5-16-013023-1 (print)
ISBN 978-5-16-105784-1 (online)
Рассмотрены теория и методы расчета цифровых фильтров. Представленный материал является основой для изучения применения устройств 
цифровой обработки сигналов в радиолокации, системах связи, звукозаписи, медицине, сейсмографии и т.д. Учебное пособие содержит задачи 
с подробным объяснением решений.
Для студентов высших учебных заведений.

УДК 621.37(075.8)
ББК 32.84я73

Р е ц е н з е н т ы:
Гаврилов К.Ю., проф. кафедры радиолокации и радионавигации 
Московского авиационного института (национального исследовательского университета), д-р техн. наук;
Шелухин О.И., заслуженный деятель науки и техники РФ, председатель НМС по специальности «Бытовая радиоэлектронная аппаратура», проф., д-р техн. наук;
Петров Е.П., зав. кафедрой радиоэлектронных средств Вятского 
государственного университета, проф., д-р техн. наук

ISBN 978-5-16-013023-1 (print)
ISBN 978-5-16-105784-1 (online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

© Васильев В.П., Муро Э.Л.,
Смольский С.М., 2017

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 14.02.2020. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 17,0.
ППТ20. Заказ № 00000
ТК 663442-1086748-170517

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обработка электрических сигналов по принятым алгоритмам 
используется в настоящее время во всех областях техники. Это 
обусловлено тем, что практически все датчики технических систем преобразуют контролируемую информацию именно в электрический сигнал различной формы. Такие сигналы необходимо 
усиливать по амплитуде и мощности, разветвлять, фильтровать, 
концентрируя энергию в том или другом участке частотного спектра, очищать от шумов и паразитных сигналов, выполнять с сигналом различные преобразования, необходимые для технических 
систем, передавать сигнал по каналам связи в системах радиоуправления и т.д.

Развитый аппарат обработки сигналов аналоговыми устройствами начинает уступать по эффективности комбинированным (аналого-цифровым) или цифровым построениям, что обусловлено 
бурным развитием микросхемотехники и резким повышением 
быстродействия имеющихся компонентов.

В настоящее время от традиционного аналогового построения 
различных технических систем (измерительных, авторегулирования, управления, слежения и др.), в том числе использующих 
радиотехнические каналы связи, начинают отказываться и переходить к цифровым системам. Бытовая радио-, фото-, аудио- и 
видеотехника является в большинстве своем цифровой. Уже не 
вызывает удивления, когда в бытовом радиоприемнике оцифровка принимаемого сигнала может начинаться прямо от антенны, а перестройка приемника осуществляется не колебательными контурами, а с помощью цифрового синтезатора частоты. Переориентировка на цифровую базу происходит в научной, производственной и военной технике самого разнообразного применения.

Очевидные преимущества цифровых сигналов привлекли внимание широкого круга специалистов, и интенсивная работа в этом 
направлении отражена в большом числе монографий и статей. 
Однако эти издания ориентированы на подготовленных специалистов, поэтому многие положения даются без выводов и не сопровождаются комментариями. Методы цифровой обработки сигналов в настоящее время являются предметом изучения в общепрофессиональных и специальных дисциплинах.

3

В главе 1 учебного пособия анализируются характеристики цифрового сигнала, приводится и обсуждается структурная схема устройства цифровой обработки сигнала для достаточно распространенного случая, когда на вход устройства обработки поступает аналоговый сигнал и с выхода всего устройства также снимается преобразованный аналоговый сигнал. Отмечаются эффекты, вызванные дискретизацией аналогового сигнала и квантованием его по 
уровню. Приводятся примеры типовых цифровых последовательностей: единичного отсчета, единичной функции, цифровой синусоиды и др.

В главе 2 рассматриваются простые цифровые фильтры и вводятся важнейшие понятия: разностное уравнение, рекурсивный и 
нерекурсивный фильтр, фильтры с конечной и бесконечной импульсной характеристикой, дискретная свертка, частотная характеристика цифрового фильтра.

Глава 3 посвящена способам аналитического описания цифровых фильтров. Рассматривается ¿-преобразование как основной 
метод проектирования и исследования цифровых систем.

В главе 4 анализируются структурные схемы цифровых фильтров, рассматриваются последовательное (каскадное) и параллельное соединения их звеньев, проводится сравнение показателей 
фильтров, реализованных по той или иной структуре.

Глава 5 содержит необходимую информацию о характеристиках звеньев 1-го и 2-го порядка, входящих в состав цифровых фильтров высокого порядка.

Главы б и 7 посвящены методам расчета цифровых фильтров с 
бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) и с 
конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров). Материал, относящийся к синтезу БИХ-фильтров, включает в себя такие 
разделы, как расчет по заданному аналогу-прототипу, расчет по 
заданной амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) произвольной формы, расчет по заданным параметрам АЧХ и расчет по заданному выходному отклику фильтра при известном входном воздействии. Рассмотрены два основных метода расчета КИХ-фильтров с линейной фазочастотной характеристикой: метод, использующий «оконные» функции, и метод частотной выборки.

В главе 8 рассматриваются эффекты, вызванные конечной разрядностью цифровых отсчетов: шумы квантования, округления 
коэффициентов цифрового фильтра и результатов вычислений, а 
также предельные циклы. Анализируется процесс прохождения 
шума квантования через цифровой фильтр, приводятся расчетные выражения для определения мощности шума на выходе цифрового фильтра.

Задачи, приведенные в приложении 1, способствуют усвоению 
теоретического материала, дают навыки решения аналогичных задач, возникающих в практической деятельности.

Г Л А В А  1

ЦИФРОВЫЕ СИГНАЛЫ

1.1. Структурная схема устройства цифровой 
обработки сигналов

Рассмотрим структурную схему устройства цифровой обработки сигналов (УЦОС) для наиболее общего случая обработки аналоговых сигналов (рис. 1.1).

Аналоговый сигнал мвх(/), поступающий на вход устройства, 
проходит через ограничивающий фильтр ОФ. В этом фильтре происходит подавление тех компонентов входного аналогового сигнала, частоты которых превосходят значение некоторой верхней 
(максимальной) частоты / в рабочего диапазона частот. Выходной 
сигнал фильтра и({) изображен на эпюре 1 (рис. 1.2). По значению 
частотыустанавливают значение частоты дискретизации^. Минимальное значение /а должно, в соответствии с теоремой отсчетов, удовлетворять равенству

/д  = 2/в. 
(1.1)

Из этого равенства следует, что частота дискретизации должна 
выбираться при оцифровке так, чтобы спектр обрабатываемого

Рис. 1.1. Структурная схема устройства цифровой обработки сигналов

5

сигнала на выходе ограничивающего фильтра ОФ не выходил за 
диапазон частот 0...^/2. Этот диапазон частот называется интервалом Найквиста.

Напряжение с выхода ограничивающего фильтра поступает на 
аналого-цифровой преобразователь АЦП. В нем осуществляется 
дискретизация аналогового сигнала по времени и уровню, которую соответственно выполняют дискретизатор Д и квантователь К. 
В результате этих операций аналоговый сигнал заменяется последовательностью цифровых отсчетов.

Дискретизатор работает как ключ, управляемый последовательностью импульсов «тЦ) (эпюра 2 на рис. 1.2). Период их повторения Г, называемый интервалом дискретизации, связан с частотой 
дискретизации^ соотношением Т = \//А. Импульсы указывают только на моменты, в которые производятся выборки (измеряется 
амплитуда) аналогового сигнала, поэтому форма импульсов в 
общем случае может быть произвольной, а их амплитуда принимается равной единице.

Длительность отдельного импульса ти устанавливается достаточно малой, чтобы за время его действия аналоговый сигнал 
практически не изменился. При поступлении очередного импульса ключ замыкается и на выходе дискретизатора появляется импульс, пиковое значение которого в точности соответствует мгновенному значению аналогового напряжения и(0 в момент действия импульса. Последовательность этих импульсов представляет 
собой дискретные выборки иЛ{п) аналогового сигнала.

В этой последовательности импульсов информация о входном 
сигнале присутствует только в течение действия импульса дискретизации.

Рис. 1.2. Эпюры напряжений в узлах 1... 4 структурной схемы

6

Рис. 1.3. Эпюры напряжений в узлах 5 и 6 структурной схемы

В паузах между импульсами информация на следующий за аналого-цифровым преобразователем АЦП цифровой процессор ЦП 
не поступает, что дает возможность использовать паузу для обработки других сообщений.

Последовательность дискретных отсчетов является функцией 
не непрерывного времени, а дискретных моментов Т, 2Т, ... , 
пТ ... или функцией номера п интервала дискретизации, как это 
отмечено на эпюре 3 (см. рис. 
1.2), так как Т — постоянная 
величина.

В квантователе К осуществляется преобразование дискретных 
выборок «д в числа с конечным числом разрядов. Таким образом, 
выходные отсчеты квантователя представляют собой цифровую 
последовательность х(п), которая также является функцией номера интервала дискретизации п, но уже квантована по величине. 
График х(п) показан на эпюре 4 (см. рис. 1.2) в условной форме, 
так как х представляет собой последовательность чисел.

Цифровая последовательность х(п) с выхода квантователя поступает на цифровой процессор ЦП, который выполняет функции цифрового фильтра. В результате фильтрации на выходе этого 
процессора появляется новая цифровая последовательность у(п), 
которую можно сохранить в памяти цифрового процессора ЦП 
или вывести из него для обратного преобразования в аналоговый 
сигнал («восстановления» аналогового сигнала). Это преобразование выполняют цифроаналоговый преобразователь ЦАП и формирующий фильтр ФФ (см. рис. 1.1).

Напряжение на выходе цифроаналогового преобразователя 
Мцап(0  имеет ступенчатую форму (эпюра 5 на рис. 1.3). Это колебание сглаживается формирующим фильтром.

Выходное напряжение фильтра является выходным напряжением устройства uBUX(t). Оно изображено на эпюре 6. При построении рис. 1.3 в качестве примера предполагалось, что цифровой 
процессор выполняет функции фильтра верхних частот, а значит, 
при обработке последовательности х(л), полученной из u(í), ослабляет составляющие спектра на низших частотах и усиливает 
составляющие на верхних частотах.

7

1.2. Дискретизация аналогового сигнала

Очевидным требованием при дискретизации является наличие 
принципиальной возможности восстановления первоначального 
аналогового сигнала из последовательности его дискретных отсчетов, т. е. из дискретизированного сигнала. Рассмотрим особенности спектра дискретизированного сигнала. Этот спектр по своей форме совпадает со спектром амплитудно-модулированного импульсного колебания (АИМ-колебания), который изучен в курсе 
«Радиотехнические цепи и сигналы» [1]. На рис. 1.4 дан график 
двустороннего (т.е. для области отрицательных и положительных 
частот) спектра Аа{/) дискретизированного сигнала в предположении, что форма дискретизирующих импульсов, осуществляющих выборки аналогового сигнала, близка к прямоугольной. Этот 
спектр содержит спектр исходного аналогового сигнала и его копии, повторяющиеся с периодом^. Спектр исходного аналогового сигнала расположен в полосе 2/в (на рис. 1.4 заштрихован). Огибающая спектра Ут( /)  определяется спектром отдельного стробирующего импульса длительностью ти.

График соответствует случаю, когда /д > 2/в. Восстановление 
исходного аналогового сигнала х(7) при этом возможно с помощью идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с прямоугольной 
формой АЧХ Афнч (см. пунктирную линию на рис. 1.4).

Устанавливаемое теоремой отсчетов значение частоты дискретизации 
= 1/Т = 2/в следует считать минимально допустимым 
для полного восстановления напряжения м(Г).

Если /д < 2/в, то восстановление исходного сигнала оказывается 
невозможным. При этом возникают ошибки двух родов: связанные 
с усечением спектра исходного сигнала и с наложением копий 
спектра, появляющихся в процессе дискретизации. На рис. 1.5 
тонкими линиями изображены огибающая спектра исходного сигнала, расположенного в диапазоне частот от нуля до / в, и часть 
огибающей первой копии спектра, находящейся в районе частоты дискретизации^. Жирной линией изображена огибающая суммарного спектра, образовавшегося в результате наложения (пе
8

Рис. 1.5. Ошибки наложения и усечения спектров

рекрытия) спектров. Идеальный ФНЧ с прямоугольной АЧХ ЛГФНЧ 
выделяет составляющие спектра, расположенные в интервале Найквиста, т.е. в диапазоне частот 0.../а/2. При этом отсекается часть 
спектра исходного сигнала в диапазоне частот/д/2.../в и возникает ошибка усечения. В то же время в полосу пропускания идеального фильтра попадают составляющие от копии спектра, вызывающие эффект наложения спектров. Этих составляющих нет в исходном сигнале, что приводит к специфическим ошибкам.

Рассмотренный пример иллюстрирует вывод о необходимости 
соблюдения требования теоремы отсчетов о соотношении между 
частотами А и /в. Конкретное значение отношения/а/2 /в зависит 
от степени ограничения спектра на выходе ограничивающего фильтра ОФ (см. рис. 1.1) и может превышать единицу на десятки процентов или в несколько раз.

На рис. 1.4 представлен спектр сигнала на выходе дискретизатора. Рассмотрим теперь спектр сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя, т. е. спектр цифрового сигнала. Если бы 
при переводе дискретного сигнала в цифровую форму информация обо всех его параметрах полностью передавалась цифровому 
сигналу, то спектры этих двух сигналов были бы идентичными. На 
самом деле процедура перевода дискретного сигнала в цифровую 
форму не предусматривает сохранение информации о форме дискретизирующего импульса в отдельной посылке. В цифровом сигнале каждая отдельная посылка представляет собой единственный числовой отсчет. Этот отсчет может соответствовать такой 
дискретной посылке, которая имеет единственное мгновенное 
значение своего уровня. Форма такой посылки должна описываться

А(Л

%  
Уд. 
/л 
0 
/а 
%  
7

Рис. 1.6. Спектр цифрового сигнала

9

5-функцией (называемой часто функцией Дирака) и иметь длительность, устремленную к нулю. Обращаясь к рис. 1.4, можно 
установить, что спектр цифрового сигнала должен содержать спектр 
исходного аналогового сигнала вблизи нулевой частоты и бесчисленное множество его одинаковых копий с огибающей в виде уходящей в бесконечность прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 
1.6). Эти многочисленные копии составляющих спектра цифрового сигнала обычно называют частотными зонами', они характеризуются номером зоны п по номеру гармоники частоты дискретизации, вокруг которой эта зона существует. В случае, показанном 
на рис. 1.6, эффект наложения спектров отсутствует.

1.3. 
Аналого-цифровой преобразователь 
как преобразователь частоты (наложение колебаний)

Рассмотрим, что образуется на выходе аналого-цифрового преобразователя АЦП, если из устройства цифровой обработки сигналов (см. рис. 1.1) исключить ограничивающий фильтр ОФ и на 
вход преобразователя подать гармоническое колебание, частота 
которого превосходит верхнюю границу интервала Найквиста.

Пусть на входе аналого-цифрового преобразователя АЦП действует синусоидальное колебание и(г) = 5т2к/вхГ Рассмотрим спектр 
на его выходе при разных соотношениях между значениями / вх и 
частотой дискретизации /я.

1. Частота входного колебания меньше значения верхней границы интервала Найквиста:/ъх </й/2 (рис. 1.7, а). При увеличении 
частоты колебания основная спектральная линия / вх и все ее копии перемещаются в направлениях, показанных стрелками. Линия /вх, соответствующая спектру исходного аналогового колебания, остается в пределах интервала Найквиста. Будем считать, что 
цифроаналоговый преобразователь ЦАП совместно с формирующим фильтром ФФ выполняет функцию идеального ФНЧ, верхняя граничная частота которого равнаД/2. Тогда на выходе формирующего фильтра ФФ будет восстановлено преобразованное 
синусоидальное колебание, частота которого / вых в точности равна частоте / вх входного синусоидального колебания. Зависимость 
./вых от/вх представляет собой прямую, выходящую из начала координат под углом 45° (участок 0 на рис. 1.8).

2. Частота входного колебания равна значению верхней границы интервала Найквиста: / вх =/а/2 (рис. 1.7, б). Значение частоты 
восстановленного колебания на выходе равно значению частоты 
входного колебания, т .е .^ /2  (см. рис. 1.8).

Если исходное синусоидальное колебание имеет частоту ^ /2 , 
то его восстановление возможно только в том случае, когда от- 
счетные импульсы не попадают на нулевые значения колебания.

10